EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE UNA E.D. DE MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Problema 1: Resuelva el problema de valor inicial.

P .V . I .|d2 xdt2

+16 x=0

x (0 )=10x ' (0 )=0

El problema equivale a tirar hacia abajo una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio y soltarla desde ese instante.

De la ecuación diferencial:

ω2=16 → ω=4

De la solución general:

x (t )=c1 cos 4 t+c2 sen4 t

x (0 )=10=c1cos 0+c2 sen0 x ' ( t )=−4c1 sen4 t+4c2 cos4 t

x ' (0 )=0=−4 (10 ) sen0+4c2cos 0

Por tanto la ecuación del movimiento es:

x (t )=c1 cosωt+c2 senωt

c1=10 c2=0

x (t )=10cos 4 t

Problema 2: Un cuerpo que pesa 2libras estira un resorte en 6 pulgadas. Dicho cuerpo se suelta en t=0 desde un punto que esta 8 pulgadas bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pies/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.

Solución: Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies y las unidades de peso en unidades de masa.

Por regla de tres para las elongaciones:

1 ft 12 pulgadas 1 ft 12 pulgadas

S= 1/2 ft X=2/3 ft

S 6 pulgadas X 8 pulgadas

Para la masa:

W=mg m=Wg

m= 232

= 116slug

Por la ley de Hooke:

2=k 12

lo que implica que k=4lbft

De la ecuación diferencial:

W=kx

d2 xdt2

+ω2 x=0

d2 xdt2

+ kmx=0 d

2 xdt2

+64 x=0

La posición y la velocidad iniciales están dadas por:

x (0 )=23ft y x

' (0 )=−43ft /s

También: ω2=64 ω=8

De modo que la solución general de la ecuación diferencial es:

x (t )=c1 cos8 t+c2 sen8 t

Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos:

x (0 )=23=c1 (1 )+c2(0) ( c1=

23

)

→ x (t )=23cos8 t+c2 sen 8 t

Derivando:

x' ( t )=−16

3sen8 t+8c2cos 8t

x ' (0 )=−43

=−163

(0 )+8c2(1) ( c2=−16

)

Por consiguiente, la ecuación del movimiento es:

CONCLUSIONES

1. Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede determinar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en las

x (t )=c1 cosωt+c2 senωt

x (t )=23cos8 t−1

6sen8 t

ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar c1 y c2 para darle una solución principal a la ecuación diferencial.

2. Sabiendo los valores respectivos con las cuales podemos hallar la ecuación diferencial podemos darle solución a x (t) siendo el valor principal que nos pide en cada ejercicio determinado por la ecuación principal.