EJERCICIOS DISTRIBUCIN WEIBULL
UNIDAD VI
0
2.4
830 720
Estimacin de Factores
Vida Mnima,
Factor Forma,
Vida Caracterstica,
Vida Media,
Vida Promedio
Vida Bq
Vida Caracterstica
tiempo
= 2.4
= 830
f(t)
63.2%
Vida Media
tiempo
= 2.4
= 740
f(t)
52.7%
Vida Mediana
tiempo
= 2.4
B50 life = 720
f(t)
50%
Ploteando los datos usando el parmetro de ubicacin
El tercer parmetro de la distribucin Weibull es utilizado cuando no es posible trazar una recta con los datos.
Para poder utilizar el mtodo de ploteo de probabilidad, se utiliza la siguiente formula para determinar un nuevo valor de :
Restar de cada dato el valor de * y plotear la correspondiente recta.
1223
12232
TTTT
TTTTT
Estimacin del Factor de Ubicacin
( )( )
( ) ( )
t
t t t t
t t t t23 2 2 1
3 2 2 1
b
a
tiempo t1 t2 t3
Ejercicio : Ploteo de Probabilidad (con Weibull 3P)
Seis tems idnticos, estn siendo probados en las mismas condiciones de aplicacin y exigencia.
Todos los tems fallan durante el ensayo siguiendo los siguientes numero de horas:
48;66;85;107;125 y 152 horas.
Encuentre los parmetros de la distribucin Weibull 3P (tres-parmetros) usando el mtodo de ploteo de probabilidad.
Resultado: Probabilidad - Weibull
Tiempo, (t)
De
sc
on
fia
bil
ida
d,
F(t)
10.000 1000.000100.00010.000
50.000
90.000
99.000
26.17
32.92
95.1
Datos
originales
Datos ajustado por
Nmero
Falla (i)
Horas para la
Falla (ti )
Lnea Media %
Acum Falla F(t )
1 1000 9.4
2 1300 22.8
3 1550 36.4
4 1850 50.0
5 2100 63.6
6 2450 77.2
7 3000 90.6
Ejercicio: Anlisis de Weibull 3P
Estimacin del factor de Ubicacin
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
t
t t t t
t t t t23 2 2 1
3 2 2 1
4000 1500 1500 810
4000 1500 1500 810547
Desde los datos: t1 = 810 horas
t2 = 1500 horas
t3 = 4000 horas
Replanteando:
t1 1000 547 = 453 horas
t2 1300 547 = 753 horas
t3 1550 547 = 1003 horas, etc.
ti
Nmero
Falla
(i)
Horas para
la falla
ajustadas
Lnea Media
% Acum Falla
F(t )
1 453 9.4
2 753 22.8
3 1003 36.4
4 1303 50.0
5 1553 63.6
6 1903 77.2
Ejercicio: Anlisis Weibull 3P
El ajuste del tiempo para la falla es ahora lineal
Resultado: Probabilidad - Weibull
Tiempo, (t)
De
sc
on
fia
bil
ida
d,
F(t)
100.000 10000.0001000.0001.000
5.000
10.000
50.000
90.000
99.000
Datos O riginalesDatos C orregidos
Beta = 1.85
Eta = 1538.7
Gamma = 558.5
Ejercicio 01
La informacin disponible acerca de la duracin de 10 controladores neumticos, sometidos a funcionamiento continuo hasta que se produce un fallo, da los siguientes resultados expresados por su duracin en meses: 1.9, 4, 5.5, 7, 8.5, 10, 12, 13.5, 19.5, 23
Se pide:
a. Calcular las probabilidades acumuladas.
b. Determinar los parmetros de Weibull.
c. Indicar el tipo de fallo.
d. Calcular la probabilidad de fallo para 12 meses.
e. Indicar cual es la duracin media de vida.
f. Determinar la desviacin tpica.
Solucin a. Calcular las probabilidades acumuladas
Las probabilidades de fallo acumuladas, para un valor de n=10, sern:
= 0.3
+ 0.4
Los valores de TBF estn dentro del rango o escala, por lo tanto no es necesario usar escala.
Escala=1
N FALLO
TBF F(i) F(i) [%]
1 1.9 0.0673 6.73
2 4 0.1635 16.35
3 5.5 0.2596 25.96
4 7 0.3558 35.58
5 8.5 0.4519 45.19
6 10 0.5481 54.81
7 12 0.6442 64.42
8 13.5 0.7404 74.04
9 19.5 0.8365 83.65
10 23 0.9327 93.27
Solucin b. Determinar los parmetros de Weibull
Ubicar los puntos en el papel Weibull y trazar la lnea que mejor se aproxime a la interseccin de los valores.
El valor de beta () se obtiene de la comparacin de lneas paralelas, siendo el resultado. =1.481
El valor de Eta () se obtiene de la interseccin de la recta hallada con la recta de Eta y transfiriendo a la coordenada de tiempo. = 12
El valor de Gamma () por ser una recta se considera. = 0
Solucin c. Indicar el tipo de fallo
El valor de 1 < < 2 indica que los tipos de fallo son una mezcla entre fallos aleatorios = 1 y fallos por desgaste = 2 . As mismo, al ser nulo el parmetro de origen, estos controladores no disponen de fiabilidad intrnseca. Finalmente el valor del parmetro de escala indica que la dispersin es baja. Por tanto, el mejor mantenimiento parece ser el preventivo sistemtico.
Solucin: d. Calcular la probabilidad de fallo para 12 meses
= 1
12 = 1 120
12
1.481
=0.632 =63.2%
La probabilidad ser:
Ntese que el tiempo para el que se a pedido el calculo (12 meses), coincide con el parmetro de escala , por lo que la probabilidad calculada (63.2%) tambin es un parmetro caracterstico.
Solucin: e. Indicar cual es la duracin media de vida
= . + = 0.9042 12 + 0 = 10.85
El valor de A se a obtenido de la tabla de Anexo para un valor = 1.481
Solucin: f. Determinar la desviacin tpica
La desviacin tpica ser: = = 0.6212 12 = 7.45
Donde el valor de B se a obtenido de la tabla de anexo para = 1.481
Ejercicio 02
La informacin disponible acerca de la duracin de 15 controladores neumticos sometidos a funcionamiento continuo hasta que se produce un fallo, da los siguientes resultados, expresado por su duracin en horas: 124, 190, 234, 276, 313, 349, 386, 420, 455, 499, 542, 588, 648, 710, 830. Se pide: a. Determinar el tipo de distribucin de fallos y sus paramentos,
explicando el significado de los resultados obtenidos. b. Calcular la duracin media de vida, la desviacin tpica y la
probabilidad de fallo en el valor medio. c. Si los tiempo medios de reparacin siguen una distribucin de
Weibull con = 2, = 40, = 10, Cul es la disponibilidad media?
Solucin: a. Determinar el tipo de distribucin de fallos y sus parmetros, explicando el significado de los resultados obtenidos
FALLO TBF TBF' F(i) [%]
1 124 13.78 4.55
2 190 21.11 11.04
3 234 26.00 17.53
4 276 30.67 24.03
5 313 34.78 30.52
6 349 38.78 37.01
7 386 42.89 43.51
8 420 46.67 50.00
9 455 50.56 56.49
10 499 55.44 62.99
11 542 60.22 69.48
12 588 65.33 75.97
13 648 72.00 82.47
14 710 78.89 88.96
15 830 92.22 95.45
Para el ajuste de los datos se seguir el procedimiento anterior.
Para este caso se tomara en consideracin usar la escala=9
Luego de dibujar los valores en la hoja de weibull, se obtienen los datos
= 0
=
= 55.4 9 = 498
= 2.2
En este caso al tener un parmetro de forma superior a 2, el tipo de fallo de estos controladores es fallo por desgaste. Asimismo este tipo de fallo no disponen de fiabilidad intrnseca = 0 y tienen una disposicin media-alta = 55.4 . A la vista de estos resultados el mejor tipo de mantenimiento ser un preventivo (probablemente predictivo por el tipo de falla)
Solucin: b. Calcular la duracin media de vida, la desviacin tpica y la probabilidad de fallo en el valor medio
Duracion de Vida media = + = 0.8856 498 + 0 = 441
Desviacin tpica = = 0.4245 498 = 212
Probabilidad de fallo
= 1
= 1
1
= 1 0.88562.2
= 0.535
Solucion: c. Si los tiempo medios de reparacin siguen una distribucin de Weibull con = , = , =
=
+
Debemos calcular MTTR = + = 0.8863 40 + 10 = 45.5
=
+ =
441
441 + 45.5= 0.91
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