Energía magnetostática – existencia de dominios
iii
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iM VHMHBE 222
1 00
Energía magnetostática
Energía de interación entre los dipolos de un material magnetizado
E1 E2 En
...
mi
Bi iij
ji rBB
?mínME
i
dVHM
2
0
Evaluación de: En ausencia de corrientes:
0
0
H
B
además
UH
MHB
0
dVHMEM
20
y las ecuaciones de Maxwell:
Dado un cuerpo (forma, volumen V, superficie S),
0 MU
MU int
2
02 outU
Una distribución de magnetización M,
continuoU
Potencial escalar
S
n
condiciones de contorno
MU int
2
02 extU
SextSUU int
nMn
U
n
U
S
ext
S
int
Ur
rU2
Acotadas para r
)(rU
Se puede demostrar que el problema tiene
solución única
dVHMEM
20
UH
dadarM )(
Ejemplo: Esfera de radio R magnetizada uniformemente
0 M
M uniformez
M
n
R 0intint yx
HH
3intSM
Hz
U ( r⃗ ) H⃗ =−∇⃗(U )
5
3
r
xzRMH S
extx
5
3
r
yzRMH S
ext y
3
12
2
3
3
r
z
r
RMH S
ext z
Campo demagnetizante
Campo dispersoz
MHD
Hext
energía
esferaSM VHMdVHMEzint
00
22
3intSM
Hz
9
2 20
3S
M
MRE
2
0 SM MCE
generalizando para otras
geometrías y distribuciones
de la magnetización
9
2
3
4
32
20
330 SS
S
MRRMM
esfera
E M⩾0
H iz=−N D M Sgeneralizando
Factor demagnetizante
SDMNHzint
Factor demagnetizante
3/1 xS NxMM
3/1 yS NyMM
3/1 zS NzMM
1 zyx NNN
Esfera
si
(tensor demagnetizante)
Cilindro infinito magnetizado uniformemente en dirección perpendicular al eje
M
n
x
xHextM
H
D
0intint yz
HH
2intSM
Hx
z
dSHMM
20
2intSM
Hx
Energía magnetostática por unidad de área al eje del cilindro
422
20
220 SS
S
MRR
MM
N x=1/2
2/1 xS NxMM
2/1 yS NyMM
0 zS NzMM
1 zyx NNN
M
n
x
z
Otros cuerpos magnetizados uniformemente
M uniforme Caso general Hint NO uniforme
Hint uniforme
M uniforme
1222
c
z
b
y
a
x
elipsoide
MNH D
ˆ
Campo demagnetizante
Tensor demagnetizante
Diagonal si los ejes de
coordenadas coinciden con
los del elipsoide
Número si además M
iM S
jM S
kM S
Traza unitaria
1 zyx NNN
xMyM
zM M
H
MNH D
ˆ
xxx MNH
yyy MNH
zzz MNH
1 zyx NNN
dVHMEM
20
VMNMNMNE zzyyxxM2220
2
VHMHMHM zzyyxx 2
0.,, unifHM ii
colinealesnoMHD
,
0,0 MparaE mínM
2220
2 zzyyxxM MNMNMNV
E
Superficies no cuadráticas
Válido también para cuerpos con superficies no cuadráticas: cubos, prismas, cilindros, octaedros, etc.
(teorema de Brown-Morrish)
Casos particulares
Cubo, octaaedro, tetraedro
3/1 zyx NNN
Prisma regular, cilindro
zyx NNN
Caso límite
0;2
1 zyx NNN
Tensores demagnetizantes magnetostático y balístico
campo efectivoHapl
HD M
NMH D
NMHHHH aplDaplef
Cuando se reporta la respuesta M vs. H debería usarse como excitación al Hef
NMHHvsM aplef
Susceptibilidad diferencial
efaplef HNHH N
HH apl
ef
1aplH
NM
1
Cuando << 1 aplHM Independientemente de N
Cuando aplHN
M1
Fuertemente dependiente de N >> 1
χ=dM /dH ef
κ=dM /dH apl
Susceptibilidad aparente
Susceptibilidad aparente
1/κ=1 /χ+N
Hapl
HD M
SaplSef NMHH
Ejemplo, Ni
TeslamAxM S 6.0/108.4 5
campo de saturación
TeslaHTeslaHHNMH NiSaplN
NiSSapl 03.001.06.0
1
factores demagnetizantesCálculos en prismas
Factores demagnetizantes– referencias
Fórmulas, tablas y gráficos de factores demagnetizantes, Chen et al. IEEE Trans. Magnetics 27, 3601-19 (1991)
Campo demagnetizante y medidas magnéticas, J.A. Brug y W.P. Wolf, J.Appl.Phys. 57, 4685-701 (1985)
Cálculo de factores demagnetizantes, http://www.magpar.net/static/magpar/doc/html/demagcalc.html
Elipsoide prolado u oblado prolado
oblado
zyx NNNcba
zyx NNNcba z
2220
2 zzyyxxM MNMNMNV
E
cteMNNV
cteMNNV
E SxzzxzM 22020 cos22
cteVKcteMNNV
E SSxzM 2220 sinsin2
2222zyxS MMMM
2sinVKE MEM 20
2 SzxME MNNK
2220
2 zzyxx MNMMNV
yx NN
Anisotropía de forma: NP elipsoidales
0,2/1;2
20 zxSzxME NNMNNK
Ejemplo: elipsoide prolado largo de magnetita
mAM S /105.4 5
343257
/104.6/105.42
1
2
104mJmJKME
Energía magnetostática - Origen de los dominios
1 dominio n dominios
nE
nE
M
M 1
1
expresión aproximada
20 SM MnCnE
E M (1) E M (n)
La energía magnetostática decrece al aumentar el número de dominios
Energía de pared de dominios
n dominios 2/ mJPD
2/ mJnSE PDPDPD
La energía de pared de dominio aumenta con el número de dominios porque es proporcional al área de la superficie entre dominios
PDPD
monoMmulti nSn
EE
Nro dominios en equilibrio
E magnetostática decrece
E pared dominios crece
Energía de pared por unidad de área, proporcional al número
de dominios
n dominios
Número de dominios en equilibrio
magnetostática
pared
mu
lti
n
neq
Pseudo-3d MFM image of a (YSmLaCa)3 (FeGe)5
O12 magnetic thin film garnet, 4.5 x 4.5 µm2,
domain walls appear dark;
MFM
Dominios y paredes de dominio
Pared de Bloch Pared de Néel
= Na Pared de Bloch de 180° E
je f
ácil
JK
intercambio
anisotropía
N
JK
Optimización energía por unidad de área de pared
Ka
JsaNeqeq
22
KAeq 22
aJsA /2
mJAmJ /10/10 1112
Ancho de la paredK
A2
3633 /10/10 mJKmJ nmeq 444nmeq 4.44
mJA /10 1133 /10 mJK 35 /10 mJK
Cte de stiffness
Fin módulo