Estado actual y perspectivas del Método deElementos Finitos
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AMECÁNICA DE SÓLIDOS Y ESTRUCTURAS
José M.a Goicolea
Grupo de Mecánica Computacional
Escuela de Ingenieros de Caminos,
Universidad Politécnica de Madrid
19 de febrero del 2009
Índice
1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones
2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF
3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular
4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión
Índice
1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones
2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF
3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular
4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Motivación
Objetivos de los modelos de elementos �nitos
♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos
♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones
♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.
In�uencia de los métodos de simulación por ordenador
♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW
♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):
Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (I)
Primer artículo (�paper�):
Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp,
L.J. (1956): Sti�ness and de�ection analysis of
complex structures, J. Aeronautical Science, 23.
Década 1960: problemas linealesTecnología de elementos isoparamétricosCálculo estáticoIndustria aeronáutica y nuclearIndependencia diseño � cálculo
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (I)
Primer artículo (�paper�):
Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp,
L.J. (1956): Sti�ness and de�ection analysis of
complex structures, J. Aeronautical Science, 23.
Década 1960: problemas linealesTecnología de elementos isoparamétricosCálculo estáticoIndustria aeronáutica y nuclearIndependencia diseño � cálculo
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (II)
Década 1970: problemas dinámicosIngeniería sísmicaMateriales no lineales: metales, suelos, hormigón
Década 1980: maduración cálculo linealProblemas lineales: integración diseño (CAD) � cálculo → CAEUso extensivo en industria, sectores no tradicionalesCálculo no lineal: Geometría, plasticidad, condiciones contorno,modelos acoplados, . . .Métodos explícitos en aplicaciones civiles (no militares)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (II)
Década 1970: problemas dinámicosIngeniería sísmicaMateriales no lineales: metales, suelos, hormigón
Década 1980: maduración cálculo linealProblemas lineales: integración diseño (CAD) � cálculo → CAEUso extensivo en industria, sectores no tradicionalesCálculo no lineal: Geometría, plasticidad, condiciones contorno,modelos acoplados, . . .Métodos explícitos en aplicaciones civiles (no militares)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (III)
Década 1990: maduración cálculo no linealPrototipos virtualesUso extensivo en todos los ámbitos industrialesGeneralización modelos de materialesSimulación de procesosDiscontinuidades: localización, fractura, ondas choque.Dinámica de FluidosBiomecánicaGeneralización métodos explícitos
Década 2000:Robustez modelos no lineales; e�cacia �solvers� linealesMétodos sin malla (EFG, SPH, PU), X-FEM,. . .Métodos multiescala: continuo+atomístico, etc.Aplicaciones: Biomecánica, Fluidos, Multifísica,. . .
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Evolución Método Elementos Finitos (III)
Década 1990: maduración cálculo no linealPrototipos virtualesUso extensivo en todos los ámbitos industrialesGeneralización modelos de materialesSimulación de procesosDiscontinuidades: localización, fractura, ondas choque.Dinámica de FluidosBiomecánicaGeneralización métodos explícitos
Década 2000:Robustez modelos no lineales; e�cacia �solvers� linealesMétodos sin malla (EFG, SPH, PU), X-FEM,. . .Métodos multiescala: continuo+atomístico, etc.Aplicaciones: Biomecánica, Fluidos, Multifísica,. . .
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Prestaciones de los Elementos Finitos
ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.
Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.
Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Prestaciones de los Elementos Finitos
ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.
Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.
Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Prestaciones de los Elementos Finitos
ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.
Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.
Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Comportamiento no Lineal
No linealidad geométrica:Grandes Desplazamientos, RotacionesGrandes DeformacionesCondiciones de contorno:
ContactosCargas: dependencia velocidad, cargas seguidorasMontaje, procesos constructivos
No linealidad materialPlasticidad: metales, suelos, termoplásticosHiperelasticidad: elastómeros, materiales biológicosDaño, degradación: hormigón, cerámica, compuestos
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Comportamiento no Lineal
No linealidad geométrica:Grandes Desplazamientos, RotacionesGrandes DeformacionesCondiciones de contorno:
ContactosCargas: dependencia velocidad, cargas seguidorasMontaje, procesos constructivos
No linealidad materialPlasticidad: metales, suelos, termoplásticosHiperelasticidad: elastómeros, materiales biológicosDaño, degradación: hormigón, cerámica, compuestos
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo estático
Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas
Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales
Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales
Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.
Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo estático
Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas
Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales
Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales
Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.
Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo estático
Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas
Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales
Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales
Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.
Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo dinámico
Considera fuerzas de inercia, (−Md).
Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)
Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:
lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita
Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo dinámico
Considera fuerzas de inercia, (−Md).
Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)
Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:
lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita
Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo dinámico
Considera fuerzas de inercia, (−Md).
Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)
Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:
lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita
Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo dinámico
Considera fuerzas de inercia, (−Md).
Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)
Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:
lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita
Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo dinámico
Considera fuerzas de inercia, (−Md).
Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)
Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:
lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita
Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Procedimientos de cálculo acoplado
Problemas:Térmico�mecánicoPoro�elástico (�uido+esqueleto, consolidación)Mecánico�acústico
Métodos:Esquemas monolíticosEsquemas particionados
Índice
1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones
2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF
3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular
4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl
L
ℓA
a
P P
P P
=⇒ fk
x
f
σ = Eε
σdef=
P
a; ε
def=
L− `L
P =Ea
L∆`
f = kx
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl
L
ℓA
a
P P
P P
=⇒ fk
x
f
σ = Eε
σdef=
P
a; ε
def=
L− `L
P =Ea
L∆`
f = kx
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl
L
ℓA
a
P P
P P
=⇒ fk
x
f
σ = Eε
σdef=
P
a; ε
def=
L− `L
P =Ea
L∆`
f = kx
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl
L
ℓA
a
P P
P P
=⇒ fk
x
f
σ = Eε
σdef=
P
a; ε
def=
L− `L
P =Ea
L∆`
f = kx
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl
F3F2 F4
F1
K · u = f
K =
k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN
; u =
u1...uN
; f =
F1...FN
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl
F3F2 F4
F1
K · u = f
K =
k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN
; u =
u1...uN
; f =
F1...FN
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl
F3F2 F4
F1
K · u = f
K =
k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN
; u =
u1...uN
; f =
F1...FN
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =
du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
τ(x)dx
σ σ + dσ
dx
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =
du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
τ(x)dx
σ σ + dσ
dx
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x);
ε(x) =du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
τ(x)dx
σ σ + dσ
dx
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =
du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
τ(x)dx
σ σ + dσ
dx
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =
du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)
a
P P
x
τ(x)
τ(x)dx
σ σ + dσ
dx
dσ(x)
dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =
du
dx
σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2
= 0
Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Tensiones
t(n, x): vector tensión (por unidadde área)
Tensor de tensiones de Cauchy
σ·n = t; σipnp = ti
en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB
σ·n = t∗ in ∂tB; u = u
∗ in ∂uB
Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)
nBdS
∂uB
∂tBtdS
u∗
t∗
tσ
τ
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Tensiones
t(n, x): vector tensión (por unidadde área)
Tensor de tensiones de Cauchy
σ·n = t; σipnp = ti
en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB
σ·n = t∗ in ∂tB; u = u
∗ in ∂uB
Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)
nBdS
∂uB
∂tBtdS
u∗
t∗
tσ
τ
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Tensiones
t(n, x): vector tensión (por unidadde área)
Tensor de tensiones de Cauchy
σ·n = t; σipnp = ti
en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB
σ·n = t∗ in ∂tB; u = u
∗ in ∂uB
Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)
nBdS
∂uB
∂tBtdS
u∗
t∗
tσ
τ
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Tensiones
t(n, x): vector tensión (por unidadde área)
Tensor de tensiones de Cauchy
σ·n = t; σipnp = ti
en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB
σ·n = t∗ in ∂tB; u = u
∗ in ∂uB
Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)
nBdS
∂uB
∂tBtdS
u∗
t∗
tσ
τ
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Deformaciones (lineales)
Desplazamientos (pequeños):
u = xt − x
0; ⇔ ui = x ti − x0i
Tensor de deformaciones (lineal):
ε =12
(∇u +∇Tu); ⇔ εij = u(i ,j) =
12
(ui ,j + uj ,i )
ui ,jdef=
∂ui∂xj
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Deformaciones (lineales)
Desplazamientos (pequeños):
u = xt − x
0; ⇔ ui = x ti − x0i
Tensor de deformaciones (lineal):
ε =12
(∇u +∇Tu); ⇔ εij = u(i ,j) =
12
(ui ,j + uj ,i )
ui ,jdef=
∂ui∂xj
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Comportamiento Elástico Lineal
Ley de Hooke generalizada; Elasticidad isótropa:
σ σC
ε
B0
Bt
εσC
σ = C:ε; σij = Cijpqεpq = λδijεpp + 2µεij ;
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Comportamiento Elástico Lineal
Ley de Hooke generalizada; Elasticidad isótropa:
σ σC
ε
B0
Bt
εσC
σ = C:ε; σij = Cijpqεpq = λδijεpp + 2µεij ;
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Sistemas continuos3D: Planteamiento del problema elástico
Ecuaciones de campo
Comportamiento elásticolineal σ = C : ε
Compatibilidad(deformaciones)ε = 1
2(∇u +∇T
u)
Equilibrio (tensiones):∇·σ + b = 0
Condiciones de Contorno
in ∂tB: σ·n = t∗
in ∂uB: u = u∗
nnn
BdS
�uB
�tB
tttdS
uuu�
ttt�
bbb
Incógnitas
Desplazamientosu(x) : B → R3
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f
No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?
Ingredientes del Método
Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.
Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.
Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .
Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.
Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.
Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Ejemplo de aplicación: fémur estándar
Cargas reales Cargas planocoronal
Resultado
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Ejemplo de aplicación: fémur estándar
Geometría Malla (nodos y elementos)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Ejemplo de aplicación: fémur estándarAnálisis de resultados
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Ejemplo: remodelación de tejido óseo
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (I)
Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):
�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)
Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:
K = LU; Ka = LUa = r ⇒{
Ly = r (eliminación);
Ua = y (sustitución).
Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal
Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (I)
Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):
�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)
Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:
K = LU; Ka = LUa = r ⇒{
Ly = r (eliminación);
Ua = y (sustitución).
Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal
Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (I)
Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):
�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)
Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:
K = LU; Ka = LUa = r ⇒{
Ly = r (eliminación);
Ua = y (sustitución).
Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal
Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (II)
Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales:
Métodos Matriciales: linealización Newton-Raphson:
residuo: {Ψ(d)} def= −({fext(d)}+ {f int(d)});
Linealización: {∆Ψ} =
[∂Ψ
∂d
]{�d} = [Kt ]{�d}
{Ψi+1} = {0} : ⇒ {di+1} = {di} − [Kt ]−1{Ψi}
([Kt ]: matriz de rigidez tangente)
Métodos vectoriales:
{di+1} = [A(d)]{di}
Esquemas explícitos: i ≤ 1 (no se itera para convergencia)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (II)
Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales:
Métodos Matriciales: linealización Newton-Raphson:
residuo: {Ψ(d)} def= −({fext(d)}+ {f int(d)});
Linealización: {∆Ψ} =
[∂Ψ
∂d
]{�d} = [Kt ]{�d}
{Ψi+1} = {0} : ⇒ {di+1} = {di} − [Kt ]−1{Ψi}
([Kt ]: matriz de rigidez tangente)
Métodos vectoriales:
{di+1} = [A(d)]{di}
Esquemas explícitos: i ≤ 1 (no se itera para convergencia)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (III)
Métodos MatricialesSe forma matriz de rigidez global, [Kt ].
Cuenta de operaciones: O(n7/3e ).
Almacenamiento: O(n3/2e ).
Incondicionalmente estables
Métodos VectorialesNo se forman matrices globales
Cuenta de operaciones: O(n3/2e ).
Almacenamiento: O(ne).Condicionalmente/Incondicionalmente establesMétodos iterativos (GC): ¾robustez?; precondicionamientoMétodos explícitos: tratamiento sencillo
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (III)
Métodos MatricialesSe forma matriz de rigidez global, [Kt ].
Cuenta de operaciones: O(n7/3e ).
Almacenamiento: O(n3/2e ).
Incondicionalmente estables
Métodos VectorialesNo se forman matrices globales
Cuenta de operaciones: O(n3/2e ).
Almacenamiento: O(ne).Condicionalmente/Incondicionalmente establesMétodos iterativos (GC): ¾robustez?; precondicionamientoMétodos explícitos: tratamiento sencillo
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (IV)
DinámicaIntegración explícita (vectorial)Integración implícita:
Newton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)
Integradores energía-momento (conservativos)Integradores con disipación controlada
EstáticaNewton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resolución de las Ecuaciones (IV)
DinámicaIntegración explícita (vectorial)Integración implícita:
Newton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)
Integradores energía-momento (conservativos)Integradores con disipación controlada
EstáticaNewton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)
Índice
1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones
2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF
3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular
4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónTanque de Gas Natural Licuado (GNL)
1
2
31
2
3
GNL
65 m
33 m
1
2
31
2
3
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónTanque de GNL: Respuesta Sísmica (Modos de Vibración)
Modo 1 (f1 = 3,65 Hz) Modo 3 (f3 = 6,18 Hz)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónTanque de GNL: Pretensado + Operación + Impacto
Animación de impacto sobre cúpula
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónHormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica
Chapa metálica, en rojo la zona de
aplicación de las cargas del caso 1.
Detalle: tres anillos de hormi-
gón resistente (conectado�rojo, no
conectado�amarillo) y un anillo con
hormigón fresco (verde).
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónHormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica
Detalle carga caso 1: desplazamien-
tos nodales verticales.
Carga caso 2: desplazamientos noda-
les verticales.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Temperatura criogénica: −170 ◦C sobre cara interior de muro dehormigón
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor
Fase 3: Peso de GNl en operación
Tensión MERIDIONAL Tensión CIRCUNFERENCIAL
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor
Fase 3: Peso de GNl en operación
-16-14-12-10
-8-6-4-2 0 2 4
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
S11
:tens
ion
vert
ical
(M
Pa)
altura (m)
tensiones verticales en muro, operacion con tanque lleno
pto 1 (cara interior)
pto 2 (0.1333 m)
pto 3 (0.2666 m)
pto 4 (0.4000 m)
pto 5 (0.5333 m)
pto 6 (0.6666 m)
pto 7 (cara exterior)
Tensión VERTICAL en el muro
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
S22
: ten
sion
hor
izon
tal (
MP
a)
altura (m)
tensiones horizontales en muro, operacion con tanque lleno
pto 1 (cara interior)
pto 2 (0.1333 m)
pto 3 (0.2666 m)
pto 4 (0.4000 m)
pto 5 (0.5333 m)
pto 6 (0.6666 m)
pto 7 (cara exterior)
Tensión HORIZONTAL en el muro
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor
Fase 4: Fuga mayor
Tensión MERIDIONAL Tensión CIRCUNFERENCIAL
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor
Fase 4: Fuga mayor
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
S11
:tens
ion
vert
ical
(M
Pa)
altura (m)
tensiones verticales en muro, fuga mayor (MLK)
pto 1 (cara interior)
pto 2 (0.1333 m)
pto 3 (0.2666 m)
pto 4 (0.4000 m)
pto 5 (0.5333 m)
pto 6 (0.6666 m)
pto 7 (cara exterior)
Tensión VERTICAL en el muro
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
S22
: ten
sion
hor
izon
tal (
MP
a)
altura (m)
tensiones horizontales en muro, fuga mayor (MLK)
pto 1 (cara interior)
pto 2 (0.1333 m)
pto 3 (0.2666 m)
pto 4 (0.4000 m)
pto 5 (0.5333 m)
pto 6 (0.6666 m)
pto 7 (cara exterior)
Tensión HORIZONTAL en el muro
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Colapso de Cimentaciones
F
a
0.8 m
2a
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
F (*
106 N
)
d
Prandtl400 elementos
1600 elementos Time = 1.00E+00Time = 1.00E+00
Time = 1.00E+00Time = 1.00E+00
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Biomecánica Cardiovascular � Corazón
Miocardioy Coronarias Corazón virtual
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Biomecánica Cardiovascular � Aterosclerosis
Causas de la aterosclerosis
Los mecanismos de formación de la aterosclerosis no son bienconocidos, aunque incluyen diversos factores biológicos,bioquímicos y mecánicos.
Según investigaciones recientes, valores bajos e irregulares dela tensión tangencial sobre el endotelio favorecen laacumulación de placa.
Factores biologicos
¿Factores mecanicos?
...
Factores quımicos
la placaOrigen de
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estabilidad de la placa vulnerable
Grandes desplazamientos y rotaciones(Lorée, Circ.Res. 1992)
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Estabilidad de la placa vulnerable
Grandesdeformaciones (×1,69)
Viscoelasticidad
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
reconstrucción 3D - luz y pared arterial
Bifurcación LAD � CX
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Biomecánica Cardiovascular � Propiedades del tejido blando
Respuesta geométrica no lineal:
grandes desplazamientos ydeformaciones
Respuesta no lineal del material:
elastina + colágeno, reclutamientoy alineamiento progresivos
Incompresibilidad (fase acuosa) Alargamiento
Pres
ion
Anisotropía, direcciones preferentes de �bras de colágeno
Comportamiento reológico (viscoelástico) y �pseudoelástico�
Adaptación a acciones externas. Remodelación: variación decaracterísticas geométricas o mecánicas
Tensiones iniciales en la con�guración sin cargas
Tono y actividad muscular
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (I)
�uido:16878 elementos
sólido:16425 elementos
Velocidad Líneasde corriente
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (II)
Bifurcación LAD-CX:
Trayectorias de partículas
Contornos de presiónen el modelo 3D. Ma-terial de Ogden.
Índice
1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones
2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF
3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular
4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Perspectivas
Problemas acoplados: multifísicaFluido-estructura
� Interacción dinámica� Interacción acústica-estructural� Turbulencia, combustión (escala)
Materiales multifásicos
� Consolidación suelos semisaturados, mat. porosos� Materiales biológicos
Problemas termomecánicos
� Soldadura por difusión� Conformado de metales, fundición� Tratamientos térmicos
Problemas electromecánicos: piezoelectricidad
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Perspectivas
Problemas con escalas múltiples:
Delaminación y rotura materiales compuestosDaño, fractura y localización en hormigón y geomaterialesModelos atomísticos + continuo (descripción del materialdirectamente de la estructura atómica)Nanomecánica
Nuevos modelos constitutivos
PolímerosTermoplásticosMateriales biológicos: adaptabilidadNuevas aleaciones: materiales superelásticos
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Perspectivas
Adaptatividad y control de calidad soluciónRemallados y control errorTécnicas ALE, Eulerianas, Lagrangianas, multi-malla
Mecanismos �exibles: sistemas multicuerpo
Ingeniería mecánica � Ingeniería estructuralSimulación Robots, mecanismos espaciales, biomecánica,ergonomía, deportes, automóviles.
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Resumen y Conclusiones
Estado actual Métodos de Elementos FinitosAspectos clave de la formulación
Cinemática de medios continuosEcuaciones (estática y dinámica)Comportamiento no lineal (geométrico, material, . . . )Métodos y algoritmos de resolución
Algunos ejemplos
Perspectivas de desarrolloConclusiones:
Comprensión y planteamiento de problemas complejosMenor di�cultad del cálculo propiamente dicho
Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones
Elementos Finitos en Internet
(http://members.dencity.com/thefemsite/)http://www.engr.usask.ca/~macphed/finite/fe_
resources/fe_resources.html
http://www.swan.ac.uk/civeng/Research/Software/
flagshyp/
http://www.calculix.de/
http://www.abaqus.com/
http://www.adina.com/
http://www.ansys.com/
http://www.tnodiana.com/
http://www.ls-dyna.com/
http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap
http://www.ce.berkeley.edu/~sanjay/FEAP/feap.html
http://mse2.ugr.es/indexfem.html
http://titan.Colorado.EDU/Felippa.d/FelippaHome.d/
http://filemon.mecanica.upm.es/~goico/docmefnl/
http://www.mapleapps.com/powertools/fem/fem.shtml
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