Estadística para la toma de decisiones
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
1
Sesión No. 5
Nombre: Introducción a la Probabilidad.
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante distinguirá las reglas de la adición y de la
multiplicación, a través de la resolución de ejercicios para practicar el cálculo de
probabilidad simple, conjunta, condicional y suma de probabilidades, y resolver
problemas del área económico administrativa.
Contextualización En esta sesión aprenderemos el concepto de probabilidad, su teoría, conceptos
básicos y las reglas de la adición y multiplicación aplicadas para la solución de
problemas económicos administrativos.
Aprenderemos a utilizar los diagramas de Venn y el diagrama de árbol para
ilustrar de una manera gráfica las probabilidades de los eventos.
Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_pTLom3c-
2K4/SPQSqfgp61I/AAAAAAAAAHI/ar5fVMWDjYc/s400/union.jpg
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2
Introducción al Tema Los administradores sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres
como las siguientes:
• ¿Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los
precios?
• ¿Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo?
• ¿Qué oportunidad existe de que una nueva invención sea rentable?
La probabilidad dentro de las empresas participa en aquellos problemas y
situaciones donde se presenta la incertidumbre y es requerida una toma de
decisiones.
Fuente: http://us.123rf.com/400wm/400/400/michaelstock/michaelstock1108/michaelstock110800011/10303
960-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpg
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3
Explicación La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un
evento. Sus valores se encuentran en una escala de 0 a 1.
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_nr3ZfKjSXkY/TJ4MLCaZPgI/AAAAAAAAACA/2lw2iXQGdeQ/s1600/,.png
Teoría de la Probabilidad
• Experimento, es un proceso que produce uno de varios resultados
posibles. Por ejemplo, un volado produce Águila o Sol.
• Espacio muestral (U), es el conjunto formado por todos los resultados
posibles de un experimento. Por ejemplo, en un volado: U = {Águila, Sol}
• Evento es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, el evento:
E1 = Caer Águila en un volado.
• Probabilidad, es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un
resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo.
casosdeTotalfavorablesCasosadProbabilid ==
oexperimentdelposiblescasosdeNúmerooexperimentdelfavorablescasosdeNúmero
Por ejemplo, la probabilidad de que caiga Águila (A) en un volado es:
50%0.521
====sol)oáguila:posibles resultados (dos 2
moneda) laen águila (una1P(A)
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4
Ejemplo 1. Se lanza una vez un dado legal.
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sea E1 = Obtener un 1 en la tirada.
Casos favorables = 1 Todos los casos posibles = 6
Su probabilidad es: 61
=)( 1EP
Sea E2 = Obtener un 2 en la tirada, su probabilidad es: 61
=)( 2EP
Considerando el espacio muestral se tiene:
P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4) + P(E5) + P(E6) = 1
1==+++++=∑= 6
661
61
61
61
61
61)(
6
1iEP i
Sea E7 = Obtener un 2 o un 5 en la tirada, su probabilidad es:
31
==+=62
61
61)( 7EP
Complemento de un evento
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de
todos los resultados que no están en A. Su cálculo es: P( E ) = 1 – P(E)
El diagrama de Venn ilustra claramente el concepto de complemento en la
siguiente figura:
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Fuente: http://matematicasdivertidas6.files.wordpress.com/2012/07/complemento1.jpg
El complemento del evento A es toda la región sombreada.
Ejemplo 2. Calcular P( 7E ) = Probabilidad de no obtener un 2 o un 5 en la
tirada.
Si se excluyen los eventos E2 y E5 se obtiene:
P(E1) + P(E3) + P(E4) + P(E6)
32
==+++=64
61
61
61
61)( 7EP
Otra solución es: 32
=−=−=−=31
33
311)(1)( 77 EPEP
Ejemplo 3. Para el experimento de lanzar una moneda al aire, se tiene como
resultado el espacio muestral (cara, cruz) y para el lanzamiento de
dos monedas al aire se tiene el siguiente espacio muestral
representado en un diagrama de árbol.
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
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Fuente: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena12/imagenes12/arbol.g
if
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un
experimento de pasos múltiples.
Eventos mutuamente excluyentes
Un conjunto de eventos es mutuamente excluyente si la ocurrencia de cualquiera
de ellos excluye la posibilidad de que ocurra otro cualquiera.
Ejemplo 1. En un volado si cae águila excluye que caiga sol y viceversa,
entonces son eventos mutuamente excluyentes.
Cálculo probabilístico
En la Tabla 1 puede observarse el comportamiento de los compradores de cierto
producto, suponiendo que se ha tomado una muestra aleatoria de 500 clientes
de una tienda departamental.
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Tabla 1
Hombres ( H ) Mujeres ( H ) Total
Compradores ( C ) 20 80 100
No compradores ( C ) 130 270 400
Total 150 350 500
1. Probabilidad simple Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.
resultadosdeTotal(A)nP(A) ==
posiblesresultadosdeTotalAticacaracteríslatienenqueeventosdeNúmero
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido sea hombre?
30%ó0.3===500150)()( HPHombreP
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer?
70%ó0.7===500350)()( HPMujerP
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea comprador?
20%ó0.2===500100)()( CPCompradorP
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido no compre?
80%ó0.8===500400)()( CPcompradorNoP
2. Probabilidad conjunta Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con
dos o más características.
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resultadosdeTotalB)y(AnB)P(A ==∩
posiblesresultadosdeTotalByAticascaracteríslasconeventosdeNúmero
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea al mismo tiempo hombre
y comprador?
4%ó0.04==∩50020)( CHP
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y no compradora?
54%ó0.54==∩500270)( CHP
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre y no comprador?
26%ó0.26==∩500130)( CHP
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y compradora?
16%ó0.16==∩50080)( CHP
Ley de la adición. Sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo
menos uno de dos eventos. Antes de presentar esta ley veremos la combinación
de eventos tales como la unión y la intersección.
Ley de la adición:
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Para dos eventos A y B: P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A ∩ B).
Para tres eventos A, B y C:
P(A U B U C)= P(A) +P (B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A∩C) - P(B ∩ C) - P(A ∩ B ∩ C)
Ejemplo 1. Si las probabilidades de gana/pierde/empate para un equipo
deportivo son 0.40, 0.23 y 0.37 respectivamente, ¿Cuál es la
probabilidad de que este equipo no pierda?
Sea G el evento “gana” y E el evento “empate”, por lo tanto:
P (G U E) = P(G) + P(E) = 0.40 + 0.37 = 0.77
3. Suma de probabilidades (reglas de la adición) Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento
con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa
como P(A o B) = P(A ∪ B).
Caso 1: para eventos mutuamente excluyentes la regla es:
resultadosdeTotaln(B)n(A)B)P(A +
=+=∪= )()(o BPAPB)P(A
Caso 2: para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:
resultadosdeTotalB)yn(An(B)n(A)B)P(A −+
=∩−+=∪ )()()( BAPBPAP
Ejemplo 1. Cuando se extrae una carta de una baraja, los eventos As (A) y
Rey (R) son mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un As o un Rey en una sola extracción?
132
==+=+=∪=528
524
524)()(o RPAPR)P(AR)P(A
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
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Ejemplo 2. Los eventos As (A) y Trébol (T) no son mutuamente excluyentes.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un As, un Trébol o ambos en
una sola extracción?
134
==−+=∩−+=∪=5216
521
5213
524)()()(o TAPTPAPT)P(AT)P(A
Ejemplo 3. Con los datos de la Tabla 1 calcule lo siguiente:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente elegido sea hombre o comprador?
46%ó0.46==−+=∩−+=∪=500230
50020
500100
500150)()()(o CHPCPHPC)P(HC)P(H
Observe que se sumó la probabilidad de hombre con la probabilidad de
comprador y se le restó la probabilidad de hombre comprador, ya que la
toma dos veces, y si no se restará la estaría duplicando. Si observa el
siguiente diagrama de Venn, se puede observar que sólo se interceptan
los datos una vez y no dos.
46%ó0.46==++
=∪500230
5008020130C)P(H
Sólo cuando se trabaja con una tabla de contingencias es más fácil
obtener la suma de probabilidades por medio de la cardinalidad de la
unión: | A ∪ B | = | A | + | B | – | A ∩ B |, que realizar un diagrama de
Venn para cada unión.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o comprador? 74%ó0.74==−+=∩−+=∪=
500370
50080
500100
500350)()()(o CHPCPHPC)HP(C)HP(
H C
20 80 13
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3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre o no comprador?
84%ó0.84==−+=∩−+=∪=500420
500130
500400
500150)()()(o CHPCPHP)CP(H)CP(H
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o no comprador?
96%ó0.96==−+=∩−+=∪=500480
500270
500400
500350)()()(o CHPCPHP)CHP()CHP(
4. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya
ha ocurrido, se denota P(A / B) y se lee ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el
evento A si ya ocurrió el evento B?
n(B)B)y(AnB)/P(A ==
∩=
BticacaracteríslaconeventosdeNúmeroByAticascaracteríslasconeventosdeNúmero
BPBAP
)()(
Ejemplo 1. En cierta ciudad, 75% de la gente consume el refresco A, 55% el
refresco B y 40% consume ambos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar
consuma el refresco B, dado que consume el A?
P(A) = 0.75, P(B) = 0.55, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.40
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐴)
= 0.400.75
= 0.5333 = 53.33%
Condicional: lo
que ya sucedió
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Ejemplo 2. Con los datos de la Tabla 1 calcule lo siguiente:
1. Suponga que el cliente elegido es hombre ¿cuál es la probabilidad de que también sea comprador?
13.33%ó0.1333==∩
=15020
)()(
HPHCPH)/P(C
Al dar por hecho que es hombre, nuestro universo se concreta a los
hombres (150) y buscando la probabilidad de comprador, se cuenta
únicamente los compradores hombres (20).
2. Calcular la probabilidad de que el cliente elegido sea comprador, dado el
hecho de que es mujer.
22.86%ó0.2286==∩
=35080
)()(
HPHCP)H/P(C
Reglas de la multiplicación
Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A
y B, esto se refiere a la intersección de A y B: P(A ∩ B). Existen dos variaciones
a la regla de la multiplicación de acuerdo a si los eventos son independientes o
dependientes.
Caso 1: Regla de la multiplicación para eventos independientes es:
P(A ∩ B) = P(A y B) = P(A) P(B)
Ejemplo 1. Si se lanza una moneda dos veces, la probabilidad de que ambos
resultados sean águila es:
41
1 =
===∩
21
21)()()y( 2121 APAPAAP)AP(A 2
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Ejemplo 2. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos
negras, calcule lo siguiente:
a ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas blancas en dos extracciones si se repone la primera ficha después de haberla sacado?
B = Blanca y N = Negra
259
21 =
===∩
53
53)()()y( 2121 BPBPBBP)BP(B
La segunda extracción tiene la misma probabilidad porque se repone
la primera ficha extraída, por ello, las dos extracciones son eventos
independientes. Reponer la ficha extraída se conoce como muestreo
con reemplazo.
b ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra si se repone la primera ficha que fue blanca?
256
21 =
===∩
52
53)()()y( 2121 NPBPNBP)NP(B
c ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca si se repone la primera ficha que fue negra?
256
21 =
===∩
53
52)()()y( 2121 BPNPBNP)BP(N
d ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas negras en dos extracciones si se repone la primera ficha extraída?
254
21 =
===∩
52
52)()()y( 2121 NPNPNNP)NP(N
1ra. extracción
2da. extracción
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
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Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el
árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura 1.
Extracción 1 Extracción 2 Resultados posibles
( )53
2 =BP B2 259
==
53
53
( )53
1 =BP 5
31 =B ( )
52
2 =NP
N2 B1N 256
==
52
53
( )53
2 =BP B2 256
==
53
52
( )52
1 =NP 5
21 =N
( )52
2 =NP N1N 254
==
52
52
1.055
= 1.02525
=
Figura 1
Caso 2: Regla de la multiplicación para eventos dependientes es:
P(A ∩ B) = P(A y B) = P(A) P(B / A)
Ejemplo 1. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos
negras, calcule lo siguiente:
1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos fichas blancas en dos intentos, sin reponer la primera ficha en la urna?
La probabilidad de sacar una ficha blanca en el primer intento es:
( ) 53
1 =BP ; ya que hay tres fichas blancas entre cinco fichas totales; la
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probabilidad de sacar otra ficha blanca es: ( ) 42
12=/BBP ; ya que quedan
en la urna dos fichas blancas entre cuatro fichas totales. De aquí que la
probabilidad de que en ambos intentos saquemos una ficha blanca es:
B = Blanca y N = Negra
206
21 =
==∩
42
53)/()( 121 BBPBP)BP(B
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en la segunda extracción, si se obtuvo primero una ficha blanca y no se repuso?
206
21 =
==∩
42
53)/()( 121 BNPBP)NP(B
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en el segundo intento, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso?
202
21 =
==∩
41
52)/()( 121 NNPNP)NP(N
4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca en la segunda extracción, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso?
206
21 =
==∩
43
52)/()( 121 NBPNP)BP(N
Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el
árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura 2.
1ra. extracción
2da. extracción
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
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Extracción 1 Extracción 2 Resultados
( )42
2 =BP B2 206
==
42
53
( )53
1 =BP 5
31 =B
( )42
2 =NP N2 206
==
42
53
( )43
2 =BP B2 206
==
43
52
( )52
1 =NP 5
21 =N
( )41
2 =NP N2 202
==
41
52
1.055
= 1.02020
=
Figura 2
Independencia estadística
Dos eventos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno
no afecta a la probabilidad de que suceda el otro.
Cuando P(A / B) = P(A), significa que la probabilidad de A, conocida B, es
exactamente la misma que la de A, sin conocer B; es decir, el conocimiento de B
no modifica de ninguna forma la probabilidad de A. En consecuencia A es
estadísticamente independiente de B.
Si P(A / B) = P(A) entonces son eventos estadísticamente independientes.
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Ejemplo 1. ¿Quién compra más los hombres o las mujeres? ¿Quién compra
más los jóvenes o los adultos?
Para ilustrar la noción de independencia estadística, vamos a considerar el
siguiente ejemplo relacionado con el comportamiento de los clientes, a los
que ahora clasificaremos por edad y sexo.
Hombres ( H ) Mujeres ( H )
Jóvenes ( J )
Adultos ( J )
Subtotal Jóvenes ( J )
Adultos ( J )
Subtotal Total
Compradores ( C )
5 15 20 20 60 80 100
No compradores ( C )
25 105 130 75 195 270 400
Total 30 120 150 95 255 350 500
Calcule de los clientes lo siguiente:
1. ¿Probabilidad de ser hombre? 30%ó0.3==
+==
500150
50012030)()(
UHnHP
2. ¿Probabilidad de ser mujer?
70%ó0.7==
+==
500350
50025595)()(
UHnHP
3. ¿Probabilidad de ser joven?
25%ó0.25==
+==
500125
5009530)()(
UJnJP
Probabilidad simple
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18
4. ¿Probabilidad de ser adulto?
75%ó0.75==+
==500375
500255120)()(
UJnJP
5. ¿Probabilidad de ser comprador? 20%ó0.2==
500100)()(
UCnCP
6. ¿Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser joven?
20%ó0.2==++
=∩
=12525
9530205
)()(
JPJCPJ)/P(C
7. ¿Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser adulto?
20%ó0.2==++
=∩
=37575
2551206015
)()(
JPJCP)J/P(C
Observe que: )(CPJ)/P(C = y )(CP)J/P(C =
0.2 = 0.2 0.2 = 0.2
Si )()/( CPJCP = y )()/( CPJCP = entonces son eventos
estadísticamente independientes, porque la probabilidad condicional
es igual a la probabilidad simple.
En consecuencia, la edad (joven o adulto) y el comportamiento del cliente
(comprar o no comprar) son cualidades independientes. El conocer la edad
no es de utilidad para predecir si una persona compra o no.
Por otra parte, el comportamiento del cliente y el sexo no son cualidades
independientes, observe que:
Probabilidad simple
Probabilidad
condicional
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Probabilidad de ser comprador, dado que es hombre:
13.33%ó0.1333==∩
=15020
)()(
HPHCPH)/P(C
Probabilidad de ser comprador, dado que es mujer:
%22.86ó0.2286 .35080
)()(
==∩
=HP
HCP)H/P(C
Observe que: )()/( CPHCP ≠ y )()/( CPHCP ≠
2.01333.0 ≠ 2.02286.0 ≠
Si )()/( CPHCP ≠ y )()/( CPHCP ≠ entonces son eventos
estadísticamente dependientes, porque la probabilidad condicional es
diferente a la probabilidad simple.
Entonces comportamiento y sexo son eventos dependientes, porque no
existe independencia estadística.
Como 22.86% > 13.33% entonces hay más mujeres compradoras que
hombres.
Como es una muestra aleatoria se puede afirmar que: las mujeres
compran más que los hombres.
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
20
Conclusión En esta sesión aprendimos a calcular la probabilidad de un evento a través de
las reglas de adición y multiplicación para la probabilidad apoyándonos en el uso
de los diagramas de Venn y los diagramas de árbol.
En la siguiente sesión trabajaremos con las técnicas de conteo más utilizadas,
las permutaciones y combinaciones.
Fuente: http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=56b7ac88-051c-44a3-ab22-
f13979c64bef&groupId=10137&t=1260845265734
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21
Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
• Introducción al cálculo de probabilidades.
http://brd.unid.edu.mx/introduccion-al-calculo-de-probabilidades/
• Probabilidad y estadística.
http://brd.unid.edu.mx/probabilidad-y-estadistica/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de la Probabilidad y las reglas de la
adición y multiplicación, resuelve los siguientes ejercicios:
1. Las autoridades de Clarkson Univesity realizaron un sondeo entre sus
alumnos para conocer su opinión acerca de su universidad. Una pregunta fue
si la universidad no satisface sus expectativas, si las satisface o si las supera.
Encontraron que 4% de los interrogados no dieron una respuesta, 26%
correspondieron que la universidad no llenaba sus expectativas y 56% indicó
que la universidad las superaba.
a. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la
universidad supera sus expectativas?
b. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la
universidad satisface o supera sus expectativas?
2. Suponga dos eventos, A y B, que son mutuamente excluyentes. Admita,
además, que P(A) = 0.30 y P (B)= 0.40.
a. Obtenga 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
b. Calcule P( A | B).
c. Un estudiante de estadística argumenta que los conceptos de eventos
mutuamente excluyentes y eventos independientes son en realidad lo
mismo y que si los eventos son mutuamente excluyentes deben ser
también independientes. ¿está usted de acuerdo? Use la información
sobre las probabilidades para justificar su respuesta.
d. Dados los resultados obtenidos, ¿Qué conclusión sacaría usted de los
eventos mutuamente excluyentes e independientes?
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.
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Bibliografía
• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.
ISBN: 970-686-278-1
• Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):
Estadística descriptiva. México: Pearson Educación
• Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):
Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill.
Cibergrafía
• Rincón, L. (agosto de 2006). Probabilidad y estadística. Recuperado
de: http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/pe-agosto-2006.pdf
• (s.f.). Introducción al cálculo de probabilidades. Recuperado
de: http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadistic
aII/tema1.pdf
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