Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden
U.N.P.S.J.B. Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II
Ing. Nilda E. Belcastro
U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática IIEcuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial se trata de una relación entre una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función, donde la función
es la incógnita.
Por ejemplo:
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Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.
variable dependiente
variable independiente
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1) Ecuación diferencial ordinaria Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.
Ejemplo :
puede contener más de una variable dependiente:
Clasificación por tipo:
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2) Ecuación diferencial parcial :
Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.
Ejemplos:
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Notaciones
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux, uy, uxx, uyy, uxy , …En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la
variable dependiente y la independiente:
5 ey dx
dy x
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Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
segundo orden primer orden
Entonces es una ecuación diferencial de segundo orden.
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Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo:La siguiente ecuación diferencial:
es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.
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Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
c)
d)
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Por ejemplo :
y = cx – x cos x
es la solución general de
xy’ – y = x2 sin x
Tomando c = 0, tenemos:
y = x cos x que es una solución particular.
La solución particular es una solución libre de parámetros arbitrarios.