Download - Euler - Matemáticas I Tema: 14 1 Funciones elementales Final Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones.

Euler - Matemáticas ITema:

14 1Funciones elementales

X

Y

Final

Funciones lineales

Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales.

X

Y

• (0, b): ordenadaen el origen

• (0, b): ordenadaen el origen

f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0

Dominio: R Dominio: R

Recorrido: R

Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente

xlim (ax + b) =

x – lim (ax + b) = –

xlim (ax + b) = –

x –lim (ax + b) =

Recorrido: R



Final

Funciones cuadráticas

Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a 0, b, c R

Funciones y = ax2 para diferentes valores de a• Son parábolas• Dominio: R• Si a > 0: Recorrido = [0, )• Si a < 0: Recorrido = (–, 0]

a =2

a =1

a = 0,5

a = – 2

a = – 1

a = – 0,5



Final

Representación gráfica de funciones cuadráticas

Como f(x) =

x2 + ba x +

ca = a

x + b2a

2 –

b2

4a2 + ca = a

x + b2a

2 +

c – b2

4a

El vértice está en V =

– b2a, c –

b2

4a . Además Si a > 0 abierta hacia arribaSi a < 0 abierta hacia abajo

f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola

X

Y

V•

• V

a > 0

a < 0

xlim (ax2 + bx + c) =

x – lim (ax2 + bx+ c) =

xlim (ax2 + bx + c) = –

x – lim (ax2 + bx+ c) = –



Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se

dice que tenemos una función polinómica de grado n

Funciones polinómicas

Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, .....

f(x) = x4 f(x) = x2

f(x) = x5f(x) = x3

Dominio

Dominio

Recorrido

Recorrido

Final



Final

Representación gráfica de algunas funciones polinómicas

Grado 3 Grado 4

Grado 5 Grado 6

n par

xlim f(x) = si an > 0

xlim f(x) = – si an < 0

n impar

xlim f(x) = si an > 0

xlim f(x) = –+ si an < 0



– 11

Final

Funciones racionalesUna función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir,

f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios

• Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0

• Continuidad: son funciones continuas en su dominio

• Asíntotas: pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas

X

Y

x + 1 – + +

x + 1 –

f(x) +

–

–

+

+

Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1)y los cambios de signo en su dominio



Final

Funciones con radicales (I)

Las funciones f(x) = n

xm, m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....

f(x) = x3

f(x) = x

f(x) = 4

x

f(x) = 3

x

f(x) = 5

x

Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar

Dom (f) = {x R : x 0}

xlim n

xm =

Dom (f) = R

xlim n

xm = ; x–lim

nxm = –



Final

Funciones con radicales (II)

Las funciones f(x) = n

xm, m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....

Si m es par y n es par Si m es impar y n es imparDom (f) = R

xlim n

xm = ; x–lim

nxm =

f(x) = 4

x2

f(x) = 3

x2

Dom (f) = R

xlim n

xm = ; x–lim

nxm = –



Final

Funciones potencialesUna función potencial es una función de la forma f(x) = xa, siendo x la variable y a un

número real

• Dominio: en general definidas sólo en [0, ). En algunos casos también está definidas para los reales negativos

• Continuidad: son funciones continuas en su dominio

a < 0 0 < a < 1 a > 1

x 0+lim xa =

xlim xa = 0

xlim xa = xlim xa =



Final

Funciones exponencialesUna función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a

un número real

• Dominio: R. Recorrido: (0, )• Continuidad: son funciones continuas en su dominio• Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1)

0 < a < 1 a > 1

f(x) = 2xf(x) = e– x = (1/e)x

f(x) = exf(x) = 2– x

= (1/2)x



Final

Funciones exponenciales: algunas propiedades

f(x) = ax para 0 < a < 1 f(x) = ax para a > 1

• Asíntota horizontal por la derecha• Decreciente

•Asíntota horizontal por la izquierda• Creciente

x– lim ax =

x lim ax = 0

x– lim ax = 0

x lim ax =



FinalComparación entre funciones exponenciales y potenciales

x 5 10 20 40 60 80 1002X 32 1024 1,049.106 1,099.1012 1,152.1018 1,2090.1024 1,268.1030

x4 625 10000 1,6.105 2,56.106 1,296.107 4,096.107 108

x4/2X 19,536 9,766 0,153 2,328.10-6 1124.10-11 3,388.10-17 7,889.10-23

Si a > 1 la función exponencial ax crece más rápido que cualquier función

polinómica cuando x tiende a infinito: xlim

xn

ax = 0 para todo n = 1, 2, 3, ....



Final

Funciones logarítmicas

Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1

• Dominio: (0, ). Recorrido: R• Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, )• Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0)• Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x

0 < a < 1 a > 1

f(x) = ax

f(x) = ax

f(x) = loga x

f(x) = loga x



X

Y

Final

Funciones logarítmicas: algunas propiedades

f(x) = loga x para 0 < a < 1 f(x) = loga x para a > 1

• Decreciente en su dominio• loga x < 0 si x > 1• loga x > 0 si 0 < x < 1

• Creciente en su dominio• loga x > 0 si x > 1• loga x < 0 si 0 < x < 1

X

Y

x0+lim loga x = +

xlim loga x = – x0+lim loga x = –

xlim loga x =



FinalComparación entre funciones logarítmicas y potenciales

x 1 10 100 1000 10000log2 x 0,0000 3,3219 6,6439 9,9659 13,2877

x2 1 102 104 106 108

log2 x/x2 0 3,3219.10-2 6,6439.10-4 9,9659.10-6 13,2877.10-8

Si a > 1 la función polinómica ax crece más rápido que la función logarítmica

loga x cuando x tiende a infinito: xlim

loga x xn = 0 para todo n = 1, 2, 3, ....

X

Y



FinalFunción periódica

t

km

0

123

10,15 10,30 10,45 11 11,15 10,35 11,45

período = T

x

período = T

x + T

Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T 0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio



FinalFunción seno

X

Y

y = 1

y = -1

3

Propiedades de la función seno• En continua en su dominio que es R.• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].• Es periódica de período 2.• No existe el límite de sen x cuando x tiende a ± .• Es una función impar: sen (– x ) = sen x



FinalFunción coseno

y = 1

y = -1

3

Propiedades de la función coseno• En continua en su dominio que es R.• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].• Es periódica de período 2.• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .• Es una función par: cos (– x ) = cos x

y = cos xy = sen x



X

Y

Función tangente

Propiedades de la función tangente• En continua en su dominio que es R - kk Z• Su recorrido es toda la recta real.• Es periódica de período .• Las recta x = kk Z son asíntotas verticales• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .• Es una función impar: tan (– x ) = – tan x

Final



Final

Función arco seno

Propiedades de la función arco seno• En continua en su dominio: [-1, 1].• Su recorrido es el intervalo ].• Es creciente.

La función sen x es inyectiva en /2, /2 En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x

y = sen x

y = arcsen x

1

y = x

1

0

– 1

-1



Final

Función arco coseno

Propiedades de la función arco coseno• En continua en su dominio: [-1, 1].• Su recorrido es el intervalo ].• Es decreciente.

La función cos x es inyectiva en , En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x

y = cos x

y = arccos x y = x

01

1

-1



X

Y

Final

Función arco tangente

Propiedades de la función arco tangente• En continua en su dominio: R.• Su recorrido es el intervalo ].• Es creciente.• Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en y hacia la izquierda en -

La función tan x es inyectiva en , En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x

y = tan x

y = arctan x

y = x

0



Final

Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y dilataciones

Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + )