Capitulo 01en movimiento y registros sísmicos utilizando la
Transformada Wavelet
Prof. Patrocinante: José Soto Miranda. Ing. Civil. – M. Sc. Eng.
Civil.
Prof. Copatrocinante: Alfredo Illanes. Ing. Ej. en Electrónica -
Dr. en Tratamiento de Señales
Prof. Revisor: Galo Valdebenito. Ing. Civil - Dr. en Ing. Sísmica y
Dinámica Estructural
Fernando Iván Echeverría Pérez Valdivia – Chile
2010
Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la
Ingeniería
Escuela de Ing. Civil en Obras Civiles
“Tesis presentada como parte de los requisitos para optar al
Título
Profesional de Ingeniero Civil en Obras Civiles”.
1
2
Agradecimientos
Agradezco a Dios, por haberme dado la oportunidad de llevar esta
vida y haberme entregado amor y salud
durante todo el tiempo.
A mis Padres y Hermano, por haberme apoyado durante todo este
proceso, por haberme entregado cariño,
compresión y ayudado a perseverar en mis proyectos.
A Bárbara, por estar incondicionalmente junto a mí en los años más
importantes de mi vida y a sus padres,
quienes me han regalado un segundo hogar.
A grandes amigos y amigas universitarios, que compartieron cientos
de horas junto a mi brindándome
amistad sin pedir nada a cambio, en especial a (por orden
alfabético):
Aníbal, Cristóbal, Franklin, Ignacio, Juan Guillermo, y
Odette.
A mis viejos amigos de colegio, a todo aquél clan, en especial a
quien me escogió como su compadre.
A Rogelio, un gran amigo que supe descubrir tras la faceta de
profesor.
Al profesor que me impulsó en la investigación acerca de Wavelets,
Gracias Eduardo.
Agradecimientos para los Profesores Alfredo y José por haberme
apoyado y entregado su tiempo durante
todo este proceso.
3
RESUMEN
En esta investigación se muestra un método Espectral-Frecuencial,
basado en el uso de la
Transformada Wavelet y el Software MatLab, para la determinación de
frecuencias de
vibración de señales en general y en especial del tipo sísmico. Las
señales analizadas
corresponden a registros de aceleraciones obtenidos desde
estaciones sísmicas a nivel de
suelo y a registros de aceleraciones ubicados en los grados de
libertad de estructuras
sometidas a aceleraciones basales verídicas simulados en
SAP2000.
Ambos registros son de gran importancia para el análisis
sísmico-estructural. Se presentan
un análisis del comportamiento frecuencial, en el tiempo, de ambos
tipos de registros y las
posibilidades de resonancia en la estructura modelada. Las
herramientas de tratamiento de
señales utilizadas corresponden a la FFT, STFT y CWT
(CWT-Daubechies). Se presentan
los programas implementados en MatLab para la obtención de los
espectros wavelet y las
características del comportamiento frecuencial variante de las
señales propuestas.
ABSTRACT
This paper shows a Frequency-Spectral method to determine
vibrational frequency signals
in general and in particular the seismic kind. The analized signals
were obtained from
seismic stations at ground level and from time-history data
(time-acceleration) located at
the degrees of freedom of the structure affected by real basal
accelerations modelled on
SAP2000.
These registries are both of great significance to the
seismic-structural analysis. It is
performed a frequency behavior analysis in time for both registries
and find all possible
occurrence of resonance. The mathematical tools used correspond to
the FFT, STFT and
continuous wavelet transform of Daubechies (CWT-Daubechies).
Finally we present the
programs implemented in MatLab in order to obtain the wavelet
spectra.
4
INDICE
Capitulo 01 Transformada de
Fourier........................................................................
16
Series de Fourier y Frecuencia de una Función Periódica
............................................ 17
Representación Matemática de la Transformada de Fourier
......................................... 19
Teorema del Muestro de Nyquist
..................................................................................
20
Densidad Espectral de Welch.
.......................................................................................
21
Cuantización de señales sinusoidales.
...........................................................................
22
Ejemplos
........................................................................................................................
24
5
Áreas de Aplicación de
Wavelets..................................................................................
33
Kobe 1995
.....................................................................................................................
65
Capitulo 05 Análisis de Registro de una Estructura de un Grado de
Libertad ........ 70
Capitulo 06 Análisis de Registro de una Estructura de 4 Grados de
Libertad ........ 80
Discusión y Proyecciones del
Trabajo..................................................................................
87
Fuerza de Agitación
....................................................................................................
102
Tipo de Subsuelo
.........................................................................................................
103
Tipo de Estructura
.......................................................................................................
103
Apéndice B Sismómetro
........................................................................................
104
Extracción de Características del Espectrograma Wavelet.
........................................ 112
Cálculo de Coeficientes de Transformada Continua Wavelet.
................................... 114
Generación de Escalograma.
.......................................................................................
122
Ondas P (Ondas de Cuerpo):
.......................................................................................
127
7
Ondas Love (Onda Superficial):
.................................................................................
127
Ondas Rayleigh (Onda Superficial):
...........................................................................
127
Apéndice E Mapas e Imágenes
.............................................................................
129
Chile 1985.
..................................................................................................................
129
México 1985.
...............................................................................................................
133
Kobe 1995.
..................................................................................................................
135
Planteamiento del Problema
Por mucho tiempo la determinación de las frecuencias dominantes en
señales ha sido
realizada utilizando transformadas discretas y sus herramientas
derivadas. La más
tradicional de estas herramientas es la Transformada de Fourier
utilizada aún para obtener
componentes frecuenciales en señales.
Ya es conocido que para el análisis de señales estacionarias es
altamente recomendable el
uso de la Transformada de Fourier (FFT), sin embargo cuando la
señal a analizar
corresponde a una señal del tipo no estacionaria o del tipo
aleatoria ésta herramienta
matemática es insuficiente. Para analizar estos tipos de señales no
estacionarias, es posible
hoy en día utilizar dos herramientas independientes, estas son: la
Técnica de Tratamiento en
Tiempo-Frecuencia (STFT) basada en la transformada de Fourier y la
Transformada
Wavelet Continua (CWT).
Ambas herramientas anteriores proveen espectrogramas con una
descripción gráfica de los
sucesos energéticos y frecuenciales a través del tiempo, con la
diferencia de que para el
correcto uso de la STFT se requiere de un conocimiento previo del
ancho de banda
frecuencial a analizar, mientras que para el uso de la CWT esto no
es necesario.
La FFT funciona adecuadamente en la determinación de bandas
frecuenciales (acotamiento
frecuencial) de registros de aceleraciones obtenidos de estructuras
en movimiento que han
de ser excitadas dinámicamente por funciones estacionarias (de
periodicidad constante) ya
sean, amortiguadas y/o con perturbación de ruido (Mimica, 2007),
pero ¿Qué sucede
cuando la excitación dinámica a la cual se somete la estructura
corresponde a un
9
movimiento no estacionario?. La respuesta a esta interrogante está
en el correcto uso de
wavelets y de su transformada. De manera similar a la Transformada
de Fourier, la
Transformada Wavelet describe en los espectrogramas a través de
peaks de energía el
comportamiento frecuencial de la señal, pero sus bases al no ser
funciones estacionarias
permiten además el análisis de señales no estacionarias.
La representación de las wavelet se puede hacer en 3 dimensiones,
Energía-tiempo-escala,
obteniendo así información de las frecuencias dominantes y los
tiempos en que ocurren.
Cada escala con que se analiza la señal se encuentra asociada a una
frecuencia, por ende
también se conoce la frecuencia en que ocurren dichos
fenómenos.
La investigación de las utilidades de la transformada wavelet en el
campo sísmico solo se
ha llevado a cabo en el análisis de registros de aceleraciones
sísmicas de suelos para
determinar componentes frecuenciales y su profundidad y así
ubicarlo en estratos o capas
(profundidad (Km.) v/s Frecuencia (Hz.)) (Papandreou, 2003). El
análisis en registros
obtenidos en los grados de libertad de estructuras es un tema no
investigado en la
actualidad, es por esto que será investigado en este trabajo de
investigación, obteniendo
resultados que verifiquen la hipótesis.
10
Las wavelets son un adelanto relativamente reciente en las
matemáticas avanzadas. Su
nombre “wavelet” fue designado aproximadamente hace dos décadas por
Morlet, Arens,
Fourgeau y otros investigadores. En los últimos 20 años el interés
por sus usos ha crecido
sin límites dada la amplia gama de aplicaciones que posee
(Daubechies, 1992).
Los trabajos más lejanos ocurrieron en la década de 1980 por J.
Morlet, Grossman, Meyer,
Mallat y otros, pero ésta, la “transformada Wavelet” fue llevada al
papel por Ingrid
Daubechies en 1988 que capturó la atención de diferentes
comunidades matemáticas en
procesamiento de señales, estadística y análisis numérico.
Cada día se van hallando nuevas aplicaciones para la utilización de
esta herramienta
matemática para procesar señales. Si hubiese que clasificar los más
importantes campos de
aplicación, estos serían: Medicina, Industria Metalúrgica,
Industria Petrolífera, Ingeniería
eléctrica, Ingeniería Sísmica y Geofísica (Droujinine, 2006). En
medicina las wavelets se
está utilizando para el estudio de señales emitidas por el cuerpo,
tales como cardiacas y
cerebrales, y en biología las wavelets son utilizadas para
distintos propósitos, tales como
descripción y reconocimiento de membranas celulares. En la
industria metalúrgica también
podemos encontrar su aplicación, a la hora de determinar las
superficies rugosas de los
metales. En el ámbito Financiero es utilizada para detectar las
propiedades de rápidas
variaciones de valores. En Internet las wavelets son útiles para
hacer mejores descripciones
de tráfico y diseño de servicios.
Existe cierta relación entre la industria petrolífera y la
ingeniería sísmica ya que las mejores
decisiones al momento de realizar excavaciones se han logrado
realizando un previo
estudio sísmico, las imágenes sísmicas de la sub-superficie de la
tierra es una técnica
esencial en la exploración de petróleo y acumulaciones de gas. Las
imágenes sísmicas son
obtenidas por sondeo de la subsuperficie con ondas acústicas, así
cuando las ondas
11
sísmicas se propagan a través de la superficie, la energía es
reflectada de nuevo hacia la
superficie en contraste de impedancia acústica (Papandreou,
2003).
Las wavelets fueron propuestas para el análisis de datos sísmicos
por Goupillaud et al en
1984 abriendo un nuevo campo en la investigación y aplicación de
ésta. Desde entonces, se
les ha dado aplicaciones a las wavelet en el área sísmica ya sea
para determinación de
puntos de origen de excitación sísmica (Stojanovi et al, 1999) y en
investigación de
patrones de reflexión sísmica, ésta última tiene por objetivo
determinar la estratigrafías de
suelos a través de su transmisión de componentes frecuenciales
(Steeghs et al, 1995). Con
respecto al uso de wavelets para el estudio del comportamiento
frecuencial de estructuras
sometidas a excitaciones dinámicas estacionarias o no estacionarias
no ha de existir
investigación alguna.
Con respecto al funcionamiento, la transformada wavelet es una
herramienta matemática
que procesa datos o funciones en diferentes componentes
frecuenciales, estudiando cada
componente con una resolución dada por su escala o frecuencia, es
ésta la ventaja de su uso
frente a señales no estacionarias como los registros de
aceleraciones sísmicas propias de la
tierra o registros de aceleraciones de estructuras sometidas a
excitaciones sísmicas
dinámicas verídicas.
Objetivo General
El objetivo de la presente tesis es determinar parámetros
frecuenciales en estructuras en
movimiento de uno y varios grados de libertad utilizando CWT y FFT.
Las estructuras
serán modeladas en SAP2000 siendo sometidas a una excitación
sísmica obtenida de
registros de aceleraciones verídicas. Posteriormente se generarán a
partir de SAP2000
registros de aceleraciones de sus grados de libertad respectivos.
Éstos registros de
aceleraciones serán posteriormente analizados utilizando la CWT,
generándose sus
espectrogramas respectivos, en los cuales será posible visualizar
el comportamiento
frecuencia en Energía-Tiempo-Frecuencia (ver figura 1)
Objetivos Específicos
En orden de importancia los objetivos específicos para este trabajo
de investigación
corresponden a:
MatLab.
La determinación del comportamiento frecuencial de señales o
registros del tipo
estacionario, no estacionario y transientes.
Determinación de las ventajas del uso de la CWT frente a la FFT y
la STFT.
Analizar registros sísmicos reales con el fin de analizar el
comportamiento dinámico
del suelo en términos de periodo natural de vibración.
13
Figura 1 – Esquema de operación de la investigación (Elaboración
Propia)
14
Este trabajo de investigación tiene como propósito ampliar el
conocimiento acerca del
comportamiento de estructuras en movimiento. El movimiento de las
estructuras puede
deberse a excitaciones de diferente índole y duración, dentro de
las cuales las excitaciones
mas importantes corresponden a las sísmicas.
En la investigación se pretende interpretar a través de
espectrogramas generados con la
CWT el comportamiento frecuencial de dos estructuras. Las dos
estructuras son modeladas
de acuerdo al interés de la investigación, esto significa, se
considerarán masas
traslacionales y grados de libertad solo en la dirección de las
excitaciones.
Los resultados obtenidos en la investigación proveen un mejor
entendimiento del
comportamiento frecuencial de estructuras y de sus aceleraciones
basales excitantes. Una
mejor visión de las gamas de frecuencias participantes en eventos
sísmicos permite
comprender en el tiempo comportamientos de interés para la
ingeniería estructural tales
como la resonancia estructural.
Perspectivas de la Investigación
La investigación como tal y los resultados obtenidos abren una
nueva ventana para el uso
de la CWT en ingeniería estructural. La principal perspectiva de la
investigación tiene lugar
en el uso de la CWT y sus espectrogramas para la determinación de
parámetros
frecuenciales en estructuras de cualquier tipo, tales como puentes
o edificios de gran altura.
Para estructuras que se encuentran ya construidas, hoy en día es
posible efectuar una
determinación de las verdaderas frecuencias de vibración instalando
acelerogramas en sus
grados de libertad y posteriormente analizando estos registros de
aceleraciones con la FFT,
sin embargo, esta herramienta de tratamiento de señales digitales
no permite el estudio
frecuencial a través del tiempo, está ahí la principal proyección
de la CWT y sus
espectrogramas, en el análisis del comportamiento vibracional en el
tiempo de la
estructuras.
Otra proyección de investigación utilizando los espectrogramas se
hace presente en el
ámbito de la geotecnia. La determinación de las frecuencias
vibracionales dominantes en el
tiempo, en los suelos de nuestro país, podría adquirir importancia
debido a la alta cantidad
de movimientos sísmicos del último tiempo, permitiendo la
caracterización de los suelos
para una posterior construcción sismorresistente sobre ellos.
16
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Para comprender de una mejor manera la transformada wavelet se debe
necesariamente
hacer una revisión de la Transformada de Fourier y su teoría.
El tratamiento de señales digitales ha avanzado a pasos agigantados
durante el último
tiempo. Desde la invención del cálculo en el siglo XVII, pasando
por la publicación del
tratado de Fourier sobre la representación de funciones mediante
series armónicas a
principios del siglo XIX. El análisis de señales digitales con el
paso de los años se
transformó en un proceso limitado en su desarrollo debido al gran
trabajo que implicaba
analizar señales con gran cantidad de datos sin contar con el apoyo
de las computadoras.
No es hasta el año 1965 cuando evoluciona la Transformada de
Fourier, Los investigadores
Cooley y Tukey desarrollan un algoritmo veloz llamado Transformada
Rápida de Fourier
(en Inglés Fast Fourier Transform y sus siglas: FFT) (Cooley et al,
1965), que se vio
impulsado con la proliferación de los microprocesadores y circuitos
integrados. El
desarrollo de este algoritmo en aquella época, fue la herramienta
que definitivamente abrió
el campo del procesamiento digital de señales.
La mejor forma de estudiar una señal es a través de sus contenidos
de frecuencias (Gomes
et al, 1999), en una señal de audio, por ejemplo, las frecuencias
son responsables de que
acostumbremos a identificar sonidos agudos o graves. También, la
distinción entre colores
rojo y verde, por ejemplo, es capturada en la frecuencia de la onda
electromagnética
17
asociada. En un sismo, las frecuencias responsables del movimiento
son difíciles de
percibir a través de nuestros sentidos, pero a través de
sismógrafos o acelerómetros y
utilizando herramientas matemáticas del área de Tratamiento
Frecuencial podemos hallar
frecuencias dominantes en éstos.
Series de Fourier y Frecuencia de una Función Periódica
La frecuencia de una función es fácil de entender si se comienza
con una función periódica.
Por ejemplo la función f(t) = Asen(2πft), con A>0, posee una
amplitud A y una frecuencia
ω (Poularikas, 1999), la frecuencia f indica cuantos ciclos existen
en el intervalo [0,1] seg.
Por ejemplo al dar los valores A=1 y f=2Hz. a los parámetros de la
función f(t) se obtiene
f(t)=sen(4πt) y el grafico de la figura 1.1.
Figura 1.1 - Representación de la función f(t) en el intervalo
[0,1] seg.
Al considerar una función periódica con periodo L>0, o sea,
f(t+L)=f(t), denotamos por
2 ( )TL el espacio de funciones periódicas de periodo T las cuales
tienen su cuadrado
integrable, o sea:
(1.1)
18
La teoría de series de Fourier en su forma exponencial dice que
puede ser descompuesta
como:
Donde ωj = j/T es un valor constante. Esta descomposición de una
función periódica f es
llamada Serie de Fourier de f. Es sabido que la familia 2 ,ji
s
e j
ortonormal completo del espacio 2 ( )TL .
En conclusión, las series de Fourier muestran que cualquier función
periódica puede ser
descompuesta como una suma infinita de funciones trigonométricas
periódicas (senos y
cosenos). Esta descomposición hace fácil un análisis de las
frecuencias presentes en la
función f. Existen una frecuencia fundamental ω y la totalidad de
las otras frecuencias que
son enteros múltiplos de ωj, j , de esta frecuencia
fundamental.
El coeficiente aj en la ecuación 1.2 de la serie de Fourier mide la
amplitud de la
componente frecuencial ωj en la función f. En particular, si aj =
0, ésta frecuencia no está
presente en la función. Esta amplitud de frecuencia aj es calculada
usando la ecuación:
Donde L es el periodo de la función. Notar que la ecuación (1.3)
caracteriza completamente
la función f a través de sus frecuencias.
2 ( ) ,ji s
Representación Matemática de la Transformada de Fourier
La representación de la función f citada anteriormente funciona
bien, pues podemos obtener
una representación aproximada de la función f a través de sus
frecuencias. El inconveniente
es que la función f debe ser una función estacionaria.
Si queremos aplicar lo anterior a funciones no periódicas no nos
entrega un espectro
discreto de funciones bien definidas como en la ecuación (1.2),
sino, algo menos exacto.
Aceptando esto podemos utilizar las representaciones de la Serie de
Fourier como una base
para introducir el concepto de Frecuencia de funciones
arbitrarias.
Si hacemos s = ωj en la ecuación (1.2), la cual calcula la amplitud
de frecuencia, y
asumimos que la variable s puede tomar cualquier valor,
tenemos:
La operación f(u)e i2πsu
del integrando es llamada modulación de la función f. El
exponencial
es llamada función modulante para cada valor de s, e i2πsu
es una función periódica de
frecuencia s, con s .
El proceso puede ser explicado de la siguiente manera: “Cuando la
función f tiene una
oscilación de frecuencia s, o cercana a s, estas frecuencias
resultan estar en resonancia
con la frecuencia s de la función modulante, de esta forma a(s)
toma valores distintos de
cero”. En forma contraria: “Cuando las oscilaciones de la función f
y las frecuencias de la
función modulante son completamente distintas se tiene un efecto de
cancelación y los
valores de a(s) son cero o cercanos a cero” (Gomes et al,
1999).
Como conclusión podemos definir que a(s) indica la ocurrencia de la
frecuencia s en la
función f. Dado que s toma diferentes y continuos valores, es
importante interpretar
2( ) ( ) i sua s f u e du
(1.4)
20
a(s) como una densidad de frecuencia de la función f. Cuando a(s) ≠
0 significa que la
frecuencia s existe en f.
Al cambiar la nomenclatura de a(s) por F(f)(s) y cambiar el signo
de la función de
modulación podemos familiarizar con una forma más común de expresar
la transformada
de Fourier en la literatura.
Las funciones f que se pueden utilizar para esta aplicación son
aquellas que son funciones
de cuadrado integrable (Oppenheim et al, 1994) o funciones con
energía finita y que
pertenecen al espacio de funciones 2 ( )L satisfaciendo la
ecuación:
Teorema del Muestro de Nyquist
Para que durante el muestreo de señales digitales no se produzcan
perdidas de información
Harry Nyquist estableció que la frecuencia de muestro de la señal
digital debe ser como
mínimo igual al doble de las frecuencias contenidas en la señal
(Nyquist, 1928). Esto es, si
la frecuencia de la señal es Fmax y la frecuencia de muestro Fm
entonces se debe cumplir
que:
Nyquist mostró que, para que podamos distinguir sin ambigüedad las
componentes
frecuenciales se una señal, es necesario que muestreemos al menos
al doble de la frecuencia
máxima contenida en la misma, para evitar los efectos de
“aliasing”. La máxima frecuencia
permitida en una señal para una frecuencia de muestreo dada se
denomina frecuencia de
Nyquist.
En realidad el teorema de Nyquist no es tan riguroso, la frecuencia
de Nyquist no es
2( )( ) ( ) i suF f s f u e du
(1.5)
(1.6)
21
necesario que sea el doble de la frecuencia máxima contenida en la
señal, sino el doble del
ancho de banda de la señal de interés. Este hecho se conoce como
teorema de Nyquist
pasabanda ya que no considera el caso en que las frecuencias se
encuentre desplazadas en
el espectro una cierta cantidad.
Cuando estamos trabajando con señales reales, aunque tengamos un
conocimiento a priori
de las frecuencias, los más usual es que tengamos ruido solapado
con componentes
frecuenciales superiores a la de Nyquist, que nos producirían
aliasing, por esta razón previa
a la conversión analógico-digital es necesario filtrar pasa baja la
señal de manera que se
eliminen las frecuencias por encima de la banda de interés.
Densidad Espectral de Welch.
El Método de Determinación de Densidad Espectral de Welch consiste
en una función
matemática que nos informa como se encuentra distribuida la energía
o Potencia (según el
caso) de una señal sobre la totalidad de frecuencias por la que
está formada realizando un
promedio de periodogramas modificados (Welch, 1967). La principal
propiedad consistió
en la introducción del solapamiento de segmentos de datos (o
ventanas) que mejoraron la
resolución de los ya periodogramas promediados de Bartlett.
22
Cuantización de señales sinusoidales.
Para entender cómo funciona el proceso de obtención de señales
digitales (que serán las
analizadas en esta investigación) es necesario realizar un muestreo
y cuantización de una
señal Análoga para lo cual se hace referencia a la figura 1.2. Los
niveles de cuantización y
tiempos para cada registro pueden ser definidos a través de la
grilla rectangular (Proakis el
at, 1996), donde las líneas verticales indican los tiempos de
muestreo y las líneas
horizontales los niveles de cuantización permitidos. Si se toma
como ejemplo una señal
sinusoidal de ecuación 0( ) cosax t A t y se muestra en un tiempo
discreto se obtiene
ax nT y si se cuantifica en amplitud discreta se obtiene la señal
en tiempo discreto
qx nT .
Figura 1.2 Muestreo y Cuantización de una señal Sinusoidal
Si la frecuencia de muestreo sf satisface el teorema de muestreo
entonces la cuantización es
tan solo el error entre la conversión del proceso Análogo-Digital
(Proakis el at, 1996), por
lo cual se puede evaluar el error de cuantización cuantificando la
señal análoga ( )ax t en vez
de la señal en tiempo discreto ( ) ( )ax n x nT .
23
La calidad de la salida del convertidor Análogo-Digital es
usualmente medida por la razón
“ruido de cuantización de señal” (en inglés sus siglas SQNR
“Signal-to-quantization noise
ratio”), la cual provee la razón entre la potencia de la señal y la
potencia del ruido (Proakis
el at, 1996), dada por:
Donde P corresponde a la potencia promedio de la señal ax t , qP la
potencia del error
cuadrático medio y el término b a los bits de precisión del
cuantizador.
Debido al alcance de la esta investigación, no se ahondará más en
la explicación
matemática de la obtención de la expresión para SQNR.
23 2
24
Ejemplos
Suponga que tiene la función f(t)=sen(4πt) la cual tiene una
frecuencia conocida de 2 Hz.
La frecuencia de Nyquist o mínima frecuencia de muestreo
corresponde a 2 2 Hz. = 4 Hz.
Para evitar pérdidas de datos y aprovechando la ayuda de las
grandes capacidades de las
computadoras actuales, la señal se va a muestrear a una frecuencia
fm = 500 Hz. durante 2
seg. (Figura 1.3a)
Figura 1.3a y 1.3b, Registro generado a partir de la función f(t) y
Espectro de Fourier del registro f(t)
respectivamente.
Al analizar el registro con la transformada de Fourier se obtiene
el espectro mostrado en la
figura 1.3 b, encontrándose claramente un peak de energía asociado
a la frecuencia de 2
a)
b)
25
Hz. Con mayor claridad se aprecia en la figura 1.4 que hace zoom de
la figura anterior.
Figura 1.4, Zoom sobre ubicación de peak en el espectro de Fourier
de la figura 1.3b
Claramente se concluye, debido a sus bases trigonométricas, que la
transformada de Fourier
trabaja de bien con Funciones sinusoidales.
Otros registros basados en funciones ya más complejas se muestran
junto a sus
correspondientes espectros en la tabla de la página
siguiente:
26
Ejemplos de Funciones analizadas con FFT.
Function a muestrear: Function a muestrear:
f(t) = sin(22πt) + cos(62πt) g(t) = sin(22πt) + cos(62πt) +
sin(152πt) + Ruido
Frecuencias Reales: Frecuencias Reales:
Frecuencia de Muestreo (Fm): Frecuencia de Muestreo (Fm):
Fm = 500 Hz. Fm = 500 Hz.
Comportamiento gráfico de la señal f(t)
Comportamiento gráfico de la señal g(t)
Espectro de Fourier de la señal f(t)
Espectro de Fourier de la señal g(t)
Acercamiento sobre peaks del Espectro de Fourier de
la señal f(t)
la señal g(t)
Función a muestrear: Función a muestrear: h(t) = e
-2t (sin(82πt)+ cos(272πt)+ sin(22πt)+Ruido) r(t) = e
-2t (sin(22πt) cos(242πt))
Frecuencias Reales: Frecuencias Reales:
Frecuencia de Muestreo (Fm): Frecuencia de Muestreo (Fm):
Fm = 500 Hz. Fm = 500 Hz.
Comportamiento gráfico de la señal h(t)
Comportamiento gráfico de la señal r(t)
Espectro de Fourier de la señal h(t)
Espectro de Fourier de la señal r(t)
Acercamiento sobre peaks del Espectro de Fourier de
la señal h(t)
la señal r(t)
Nota:
En la señal r(t) la frecuencia de 2 Hz. se encuentra modulada por
la frecuencia de 24 Hz. En la visualización
del espectro la frecuencia de -2 y 2 Hz. encuentran su nuevo origen
desplazado en 24 Hz. provocando que los
peak se encuentren en 24 ± 2 Hz. Para una mejor comprensión se
recomienda el libro “Teach Yourself
Electricity and Electronics” de Stan Gibilisc
28
Capitulo 02
Análisis Tiempo-Frecuencia
En el capitulo anterior se presentó el uso de la trasformada
discreta de Fourier para obtener
una representación en el dominio de la frecuencia de una señal
compuesta por componentes
sinusoidales.
Las señales presentadas anteriormente poseen una frecuencia
constante a lo largo del
tiempo es decir son estacionarias y deterministas, de manera que
las propiedades de la señal
seguirán siendo las mismas desde su inicio hasta el final.
Las señales sísmicas a menudo no presentan esta característica de
conservación de
frecuencias, sino que presentan frecuencias y amplitudes variantes
a lo largo del registro.
Este tipo de señales son conocidas como señales no estacionarias
(Bendat, 2000).
Para describir el comportamiento frecuencial de este tipo de
señales no es suficiente utilizar
tan solo una transformada discreta sobre la señal, sino que se hace
necesario el trabajar con
transformadas discretas sobre intervalos o “ventanas deslizantes”
sobre la señal. Este tipo
de análisis comúnmente recibe el nombre de Análisis
Tiempo-Frecuencia. El Análisis en
Tiempo-Frecuencia expuesto en este capítulo corresponde al que
utiliza la Transformada de
Discreta de Fourier (en inglés Short-Time Fourier Transform STFT) y
el tipo de ventanas
que se considerará para su análisis corresponde a la ventana de
Hamming.
29
La transformada de Fourier dependiente del tiempo de una señal x[n]
se define
(Oppenheim et al, 2000) como:
Donde w[m] corresponde a una secuencia de ventana. La ecuación
anterior puede ser
interpretada como la transformada discreta de Fourier de la señal
desplazada x[n+m], vista
a través de la ventana w[m]. De acuerdo a esto, la ventana tiene un
origen estacionario y a
medida que n cambia, la señal se desliza por la ventana de tal
forma que en cada valor de n
se ve una parte distinta de la señal.
Como resultado de este análisis se puede hacer una representación
de las magnitudes de las
frecuencias existentes en función del tiempo o del numero de
muestra, obteniéndose así
espectrogramas como el de la figura 2.1 que muestra las frecuencias
existentes en una señal
sísmica con respecto al tiempo.
Figura 2.1. En la Imagen izquierda se muestra una señal digital con
contenido de frecuencia variante en el
tiempo. La frecuencia de muestreo es fs = 20Hz. Sus frecuencias son
2, 5 y 3 Hz. con cambios de amplitud y
frecuencia a los 4 y 6 seg. En la Imagen Derecha se muestra el
espectrograma obtenido utilizando STFT con
una longitud de ventana de 20 muestras.
, j m
(2.1)
30
El principal propósito de la ventana en la STFT es limitar la
extensión de la secuencia que
se va a transformar de forma que las características espectrales
sean razonablemente
estacionarias en el intervalo de duración de la ventana. Cuanto más
rápidas sean las
variaciones de la señal, más corta debe ser la ventana. La correcta
selección de la longitud
de la ventana define la precisión en el hallazgo de frecuencias y
su ubicación en el tiempo.
Una ventana más pequeña da mayor opción a determinar variaciones en
el tiempo pero
decrece la resolución en frecuencia, de manera inversa, al ampliar
la longitud de la ventana,
amplia la resolución en frecuencia pero no se permite la resolución
en el tiempo.
El problema de trabajar con las técnicas de Análisis en
Tiempo-Frecuencia tales como la
STFT radica en la incertidumbre 1 de encontrar el tamaño de ventana
y traslape que
represente de mejor forma el contenido de frecuencias involucradas
en la señal (Stojanovi
et al, 1999).
La longitud de traslape también es un factor importante, pues le da
el efecto de suavizado al
espectrograma en las intersecciones de ventanas, pero no colabora
al momento de
determinar las frecuencias dominantes.
En la figura 2.2 se pueden apreciar diferentes resultados de
espectrogramas para la señal
anterior. La diferencia entre estos espectrogramas es la longitud
de la ventana sobre la cual
se hace el análisis, todos ellos con una longitud de traslape de
tan solo una muestra,
claramente se visualiza que para una menor longitud de ventana se
obtiene una mayor
resolución tiempo, mientras que con una ventana mas grande (con
mayor numero de
muestras) se obtiene una mejor resolución en frecuencia.
1: Incertidumbre: Basado en el principio de incertidumbre de Werner
Heisenberg (1927). Para profundizar en
éste principio se recomienda leer texto de Gomes citado en
bibliografía.
31
Figura 2.2, Seis espectrogramas obtenidos aplicando STFT sobre la
señal sinusoidal con variación de
frecuencias. Se comienza con una ventana grande que permite mayor
resolución en frecuencia
disminuyéndose la longitud de la ventana, de izquierda a derecha, y
de arriba hacia abajo, hasta obtener una
mayor resolución en tiempo.
Notar que en las figuras 2.2a y 2.2f se está en altas resoluciones
en frecuencia y tiempo
respectivamente, esto es facilitado en gran medida por que el tipo
de señal que se está
analizando corresponde a una señal compuesta netamente
estacionaria. El análisis de
señales no estacionarias como las sísmicas se hace más complicado
por los grandes
contenidos de frecuencias y lo variante en el tiempo que estas
pueden llegar a ser.
32
Los espectrogramas anteriores fueron obtenidos utilizando el
comando “spectrogram(x,
windows, noverlap, nfft, fs)” en MatLab del cual cada parámetro se
explica a continuación:
x: corresponde a la señal o registro que se va a someter al
análisis.
windows: corresponde al tipo de ventana que se utilizara para el
análisis. Para este
caso se utilizo la ventana de Hamming.
noverlap: corresponde al número de muestras que se traslaparan
entre cada ventana.
nfft: es el largo de la transformada rápida de Fourier en cada
ventana. Sus valores
oscilan con respecto al largo de las ventanas.
fs: corresponde a la frecuencia de muestreo o registro.
Como previa conclusión se puede decir que la transformada de
Fourier dependiente del
tiempo es una herramienta útil al analizar señales de cualquier
índole, pues ejecuta un
análisis temporal de Fourier a través de ventanas resaltando la
totalidad de frecuencias
dominantes presentes en el registro. Se sugiere que para realizar
estos análisis en Tiempo-
Frecuencia se requiere conocer previamente los posibles rangos o
contenidos de frecuencia
de la señal analizada y si ésta presenta características de
estacionariedad.
Como sugerencia para quien quiera profundizar en la transformada de
Fourier dependiente
del tiempo se recomienda leer las investigaciones de Rabiner y
Gomes et al citadas en la
bibliografía.
33
Análisis Wavelet - Wavelet de Daubechies
Áreas de Aplicación de Wavelets
Cada día se van hallando nuevas aplicaciones para la utilización de
esta herramienta
matemática para procesar señales. Si hubiese que clasificar los más
importantes campos de
aplicación, estos serían:
Ingeniería Sísmica y Geofísica (Droujinine, 2006).
En medicina las wavelet se está utilizando para el estudio de
señales emitidas por el cuerpo,
tales como cardiacas y cerebrales, y en biología las wavelets son
utilizadas para distintos
propósitos, tales como descripción y reconocimiento de membranas
celulares.
En la industria metalúrgica también podemos encontrar su
aplicación, a la hora de
determinar las superficies rugosas de los metales. En el ámbito
Financiero es utilizada para
detectar las propiedades de rápidas variaciones de valores. En
Internet las wavelets son
34
útiles para hacer mejores descripciones de tráfico y diseño de
servicios.
Existe cierta relación entre la industria petrolífera y la
ingeniería sísmica ya que las mejores
decisiones al momento de realizar excavaciones se han logrado
realizando un previo
estudio sísmico, imágenes sísmicas de la sub-superficie de la
tierra es una técnica esencial
en la exploración de petróleo y acumulaciones de gas. Las imágenes
sísmicas son obtenidas
por sondeo de la subsuperficie con ondas acústicas.
Cuando las ondas sísmicas se propagan a través de la superficie, la
energía es reflectada de
nuevo hacia la superficie en contraste de impedancia acústica
(Papandreou, 2003).
Familias Wavelets
Existen diversas “familias” wavelet, cada una con características
distintas pero basadas en
la misma teoría señalada anteriormente.
Hay diferentes tipos de familias wavelets cuyas cualidades varían
de acuerdo a varios
criterios. El principal criterio es:
El soporte de la wavelet ψ y de la función escala Φ: la velocidad
de
convergencia a 0 de estas funciones ψ(t) ó ψ(ω) cuando el tiempo t
o la
frecuencia ω tienden a infinito, lo cual cuantifica las
localizaciones del
tiempo y la frecuencia.
Estas están asociadas con dos propiedades que permiten un rápido
algoritmo y un ahorro de
espacio de codificación:
La ortogonalidad o la biortogonalidad de los resultados del
análisis.
Estas también pueden estar asociadas con propiedades menos
importantes tales como:
La existencia de una expresión explicita.
La facilidad de tabular.
La familiaridad al usar.
Las funciones ψ y Φ pueden ser calculadas en MatLab utilizando el
comando wavefun y los
filtros son generados usando el comando wfilters
36
Wavelet Daubechies
De manera similar al funcionamiento de la Transformada de Fourier,
que descompone la
señal en una serie de ondas sinusoidales, la Transformada Wavelet
descompone la señal en
su Wavelet Madre escalada y desplazada a través de la señal.
La Wavelet Madre corresponde a una Wavelet a determinar bajo
ciertas ecuaciones
matemáticas en las que no se ahondará en esta investigación. Los
tipos de Wavelets Madre
comúnmente utilizados corresponden a: Wavelet de Daubechies,
Wavelet de Haar, Wavelet
Symlet, Wavelet Coiflet, Wavelet Meyer, Wavelet Mexican Hat y
Wavelet Morlet entre
otros.
Las Wavelet Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, Meyer, Mexican Hat
y Morlet pueden
ser investigadas en mayor profundidad en la publicaciones de Ingrid
Daubechies. Otras
Wavelets pueden ser investigadas en publicaciones de Cohen, Abry y
Teolis.
El tipo de wavelet utilizada en esta investigación corresponde la
Wavelet de Daubechies de
cuatro Coeficientes, una de las más simples y completas frente a
sus símiles (Daubechies,
1980), la cual presenta la apariencia de figura 3.1.
Figura 3.1 – En color Azul, Wavelet de Daubechies de cuatro
coeficientes. En color Rojo, Representación de
su frecuencia central a través de un sinusoide.
37
De manera similar a las Técnicas de Tratamiento en
Tiempo-Frecuencia, la Transformada
Wavelet consiste en una técnica de ventanas con regiones de tamaño
variable, permitiendo
el uso de intervalos de tiempo más grande donde se requiere
información más precisa de
contenidos de bajas frecuencias y de intervalos de tiempo más
cortos donde requiere
analizar con precisión contenidos de altas frecuencias, como se
aprecia en la figura 3.2
Figura 3.2 – Esquema de distribución de ventaneo de la Transformada
Wavelet.
La gran diferencia del uso de wavelets frente a las Técnicas de
Tratamiento en Tiempo-
Frecuencia radica en que este análisis posteriormente posibilita la
visualización simultánea,
a través de su espectrograma (o escalograma), de los
comportamientos frecuenciales a
través del tiempo, para cada rango de frecuencias de interés.
38
Matemáticamente, la Transformada Wavelet Continua (en Ingles CWT –
Continuous
Wavelet Transform) corresponde a una suma sobre todo el intervalo
de tiempo de la señal
f(t) multiplicada por versiones escaladas y desplazadas de la
Wavelet Madre como se
muestra en la siguiente ecuación:
Donde C corresponde al conjunto de Coeficientes Wavelet obtenidos
al integrar sobre todo
el tiempo la señal f t multiplicada por la Wavelet Madre
seleccionada escalada y
desplazada.
El espectrograma Wavelet corresponde a una representación visual de
los Coeficientes
Wavelet el cual, en su programación en MatLab, utiliza colores para
diferenciar las
concentraciones de energía. La generación de este Espectrograma es
posible hacerla en tres
dimensiones, de manera que se puede visualizar en tiempo,
frecuencia (o escala) y energía.
En esta investigación los espectros serán trabajados considerando,
el eje horizontal como el
tiempo, el eje vertical como eje de las frecuencias y la coloración
(o profundidad) como la
concentración de energía.
39
Cada una de las escalas en las que se “estirará” la wavelet de
Daubechies se encuentra
asociada a una Pseudo-frecuencia. La Pseudo-frecuencia equivalente
a cada escala es
determinada a través de la siguiente relación matemática:
Donde: aF corresponde a la frecuencia asociada a la escala a
,
cF corresponde a la
frecuencia central de la Wavelet Madre en cuestión, a corresponde
al factor de
escalamiento a aplicar en la Wavelet Madre y es el periodo de
muestreo.
En la siguiente sección se muestran dos ejemplos de funciones
sinusoidales con sus
respectivos espectrogramas Wavelet.
40
Ejemplos
Si comparamos solo de manera visual el espectro de Fourier, de la
figura 3.3, y el espectro
wavelet de una señal sinusoidal simple, de la figura 3.4, se puede
apreciar la semejanza
entre ellos con respecto a los parámetros energía y
frecuencia.
Ambos espectros señalan la existencia de peaks de energía y estos
asociados a frecuencias
dominantes. La diferencia radica en la posibilidad de visualizar el
ancho de banda y su
variación en el tiempo durante todo el registro.
Figura 3.3. Señal y espectro de Fourier para el registro generado a
partir de la función sinusoidal simple
f(t)=sen(1πt)+sen(4πt).
41
Figura 3.4. Espectrograma Wavelet para el registro generado a
partir de la función sinusoidal simple
f(t)=sen(1πt)+sen(4πt).
Un segundo ejemplo del uso del espectro wavelet y su funcionalidad
con respecto al tiempo
corresponde al análisis de la señal discontinua con tres contenidos
de frecuencias separados
en el tiempo.
Aceleracion t t cm s s t s
t cm s s t s
En la cual las frecuencias utilizadas son 2, 5 y 3 Hz. y las
amplitudes para cada intervalo
son 100, 120 y 140 cm/s 2 respectivamente. La señal y su espectro
de Fourier son mostrados
en la figura 7.5.
42
Figura 3.5. Señal generada a partir de la función Aceleración(t),
Espectro de Fourier y Densidad espectral de
Welch.
Los contenidos de frecuencia son fáciles de hallar en el espectro
de Fourier gracias a las
concentraciones de energía asociadas a frecuencias. Claramente se
visualiza energía
asociada a frecuencias de 2, 3 y 5 Hz. en el espectro de Fourier
con el respaldo de la
Densidad espectral de Welch.
El uso de espectros wavelet presenta gran interés al analizar este
tipo de señales, transientes
y/o de no estacionariedad, ya que la transformada de Fourier solo
funciona bien al
momento de analizar señales estacionarias de componentes
periódicos. El espectro para este
registro puede verse en la figura 3.6.
43
Figura 3.6. Señal y Espectrograma wavelet o también llamado
escalograma wavelet generado a partir de la
señal Aceleración(t).
Los contenidos de frecuencias, de la misma forma que para el uso
del espectro de Fourier,
son visualizados a través de concentraciones de energía (referencia
de energía, ver barra
lateral del espectrograma). Las concentraciones de energía son
asociadas a una frecuencia
en el eje vertical del espectrograma y ubicadas en el tiempo. Esto
quiere decir que el
comportamiento frecuencial de la señal puede ser analizado en el
tiempo y ver sus
variaciones o continuidades.
Es esta característica la que contribuye a definir la gran utilidad
que presta el uso de los
espectrogramas wavelet en el área estructural-sísmica, debido a que
la gran mayoría de los
registros sísmicos, ya sean de desplazamiento, velocidad o
aceleración, son transientes y
además presentan notables variaciones de su contenido frecuencial
en el tiempo,
característica imposible de analizar utilizando simplemente la
Transformada de Fourier.
Los espectros pueden ser usados para evaluar directamente el efecto
del sismo sobre la
estructura. Los espectros de respuesta son usados para evaluar el
movimiento sísmico en la
estructura (análisis dinámico). Un espectro de respuesta es
básicamente un grafico de
máximos desplazamientos, velocidad y aceleraciones versus el
periodo natural de
44
uno de los grados de libertad de la estructura. Los Espectros
pueden ser usados para
diferentes valores de amortiguamiento y por lo tanto se puede
obtener una familia de
curvas.
La principal preocupación al analizar una estructura sometida a
excitación sísmica radica en
la posibilidad de que exista resonancia, es decir, la condición en
la cual el periodo de
vibración del terremoto inducido por el movimiento terrestre es
igual al periodo natural de
vibración de la estructura en cuestión produciéndose intensas
amplificaciones de la
dinámica. Cuando ocurre la resonancia, el movimiento responsable
del edificio es
aumentado, incrementando la amplitud de la vibración rápidamente.
Edificios altos,
puentes, y otras estructuras largas responden más a sismos que
tienen un periodo de
vibración mayor, y a la inversa, las estructuras pequeñas responden
a sismos con periodos
de vibración menor.
Registros
Cuando se habla de registros, se está refiriendo a señales
digitales en tiempo discreto. Las
señales en tiempo discreto están definidas solo para valores
racionales de la variable
independiente, constan de un periodo de muestreo T y su recíproco
que corresponde a la
frecuencia de muestreo f.
Los registros son detectados con sismómetros o acelerómetros, que
poseen una frecuencia
de muestreo definida generalmente entre 50 y 200 Hz.
Los movimientos registrados en la superficie de la tierra difieren
considerablemente del
movimiento inicial generado en el hipocentro por el desplazamiento
o fisura de placas
(Sherbaum, 1994). La Onda Generada en el Hipocentro sufre
modificaciones en su trayecto
hasta el lugar en donde se realizará el muestreo de aceleraciones.
Los cambios en la onda
son producidos básicamente por cambios de fases y por la
dispersión, que producen una
complicada superposición de onda con diferentes caminos. Otro
cambio de la onda sísmica
puede ser producido por la existencia de capas sedimentarias en el
suelo, que producen
amplificaciones de las ondas. Un último cambio de la onda puede ser
ocasionada por el
equipo de grabación, y un inadecuado proceso de registro.
La herramienta para la detección de aceleraciones sísmicas es
acelerómetro, el cual consta
de una masa un resorte y un amortiguador. Lo que controla la acción
del acelerómetro es la
interacción simultánea de todas las fuerzas actuantes sobre la
masa, (ver Apéndice B).
46
Registro de Aceleraciones
La medición de todos los movimientos sísmicos se realiza a través
de un sismógrafo, sean
microsismos o terremotos, quedando registrados en un sismograma.
Cuando el sismo pasa a
ser relevante toma importancia utilizar un acelerómetro y registrar
las aceleraciones del
suelo. El medio en que se almacena este registro, sea físico o
digital, se llama
acelerograma. Actualmente el sismómetro más utilizado es el
“particle-velocity
sismograph” (Hunt, 2005)
Procesamiento de grandes movimientos
Los datos en bruto obtenidos desde un acelerómetro pueden incluir
errores, a los cuales se
les llama “ruido”. Éste ruido puede ser producido, por ejemplo, por
vibraciones inducidas
por el viento o por océanos. Es por esto que los acelerómetros
deben ser correctamente
evaluados y corregidos para asegurar que la medición solo
represente al sismo.
Los sismómetros pueden detectar la microactividad sísmica producida
por el reventar de
olas en el océano, vibraciones provocadas por vehículos y
edificios, incluyendo los cambios
de presión (Kramer, 1996).
Sismógrafo
Muchos terremotos son causados por la liberación de energía debido
a desplazamientos
sucedidos en fallas. Esto no implica que todos los grandes
movimientos de las fallas
producirán terremotos. Por ejemplo, puede haber una falla por
deslizamientos, donde el
gran movimiento de tierra no está acompañado por un terremoto. Los
grandes terremotos
son causados por la acumulación de tensiones y su repentina
liberación causando las
rupturas (Day, 2002).
Un sismógrafo es un instrumento que graba, como una función del
tiempo, el movimiento
47
de la superficie de la tierra debido a las ondas sísmicas generadas
por el terremoto. Los
registros de las grandes agitaciones son grabadas por el sismógrafo
en el sismograma.
Los sismogramas utilizados por los ingenieros son los que miden los
peak de aceleraciones
durante el terremoto. Un acelerómetro es definido como un
sismógrafo de baja
magnificación que es especialmente diseñado para grabar las
aceleraciones durante un
terremoto. Los acelerómetros más modernos usan un transductor
electrónico que produce
unas salida de voltaje la cual es proporcional a la
aceleración.
Como se ve en la figura 4.1. Notar que la velocidad y el
desplazamiento son resultado de la
integración de la aceleración.
Figura 4.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento. La velocidad
es obtenida al integrar la aceleración y el
desplazamiento es obtenido al integrar la velocidad.
amáx.
vmáx.
dmáx.
48
Los datos de la figura 4.1 fueron grabados el 09 de julio de 1985
en Santiago de Chile, los
gráficos indican lo siguiente:
1. Aceleración versus tiempo: La aceleración fue medida en una
dimensión horizontal. El
máximo valor de la aceleración es conocido como amáx el cual
comúnmente es
concebido como “peak” de la aceleración, en este caso es de 140,744
cm/s 2 como se
muestra en la figura 4.1. Este valor máximo ocurre en el tiempo
15.56 seg. después de
comenzada la grabación. Comúnmente la aceleración es representada
como una
fracción de la aceleración de gravedad correspondiente a 981 cm/s 2
. Esta aceleración es
obtenida haciendo 140,744/981, así el peak de aceleración en
función de la aceleración
de gravedad es 0,143g.
2. Velocidad versus tiempo: la velocidad horizontal se obtiene
integrando la aceleración
horizontal. La máxima velocidad vmáx es 23,19 cm/s 2 y ocurre a
17,7 seg. de comenzado
el registro como se muestra en la figura 4.1.
3. Desplazamiento versus tiempo: el último grafico muestra el
desplazamiento horizontal
de la superficie de la tierra con respecto al tiempo. Este
desplazamiento es obtenido
integrando el registro de velocidad. El máximo desplazamiento
horizontal dmáx es de
9.481 cm. y ocurre a 9.26 seg. de comenzado el registro como se
muestra en la figura
4.1.
Los registros que se toman comúnmente son de desplazamiento,
velocidad y aceleración.
De estos registros los parámetros más importantes para la
Ingeniería Sísmica son la
Amplitud, la frecuencia y la duración del registro (Baker, 2007).
El registro de
aceleraciones es el de mayor importancia por la cantidad de
información que posee y por su
fácil integración para obtener velocidades y desplazamientos.
49
En la figura 4.2 se pueden apreciar las aceleraciones en tres
direcciones, dos horizontales y
una vertical del sismo registrado en Valparaíso en 1985.
Figura 4.2. Gráficos de aceleraciones registradas en el sismo de
Valparaíso, Chile el 3 de Marzo de 1985. Las
figuras a y b corresponden a las aceleraciones horizontales y la
figura c a la aceleración vertical.
a)
b)
c)
50
Parámetros Importantes.
Los parámetros más importantes de un registro sísmico para la
ingeniería estructural son:
1. Frecuencia
2. Amplitud
3. Duración
4. Peaks
1. Frecuencia.
El término “frecuencia”, en un registro de aceleraciones sísmicas,
es usado para referirse a
la frecuencia principal de aceleración terrestre que está presente
durante el sismo.
Generalmente existen varias frecuencias presentes en la aceleración
de un fenómeno
sísmico, pero la mayoría de las veces una domina sobre las otras en
su prolongación o
valor.
Contenido de Frecuencia
La gran mayoría de las estructuras poseen una respuesta dinámica
frente a las fuerzas que
las excitan bajo ciertas frecuencias. Por ejemplo, los terremotos
producen cargas
complicadas con componentes de movimiento que varían en un gran
rango de frecuencias.
El rango de frecuencias es conocido también como contenido de
frecuencias y corresponde
al conjunto de las frecuencias presentes en la señal. Desde el
punto de vista de la ingeniería
sísmica o estructural el conocer el contenido de frecuencias de una
señal sísmica es de gran
importancia, puesto que dependerá de ello el saber el
comportamiento dinámico básico
51
del suelo y posteriormente su caracterización. Para un estudio del
comportamiento
frecuencial a través del tiempo de registros de aceleraciones
obtenidos de señales sísmicas
y de registros de estructuras se propone el uso de espectros
wavelet.
2. Amplitud
La amplitud de un registro, en particular un registro de
aceleraciones, va indicando las
máximas aceleraciones que se pueden encontrar en el tiempo. Estos
valores carecen de
importancia a menos que sean repetitivos y conduzcan a un
comportamiento de resonancia.
3. Duración
La duración de un sismo es de carácter importante, la prolongación
en el tiempo de las
frecuencias genera mayor riesgo de caer en resonancia a estructuras
que poseen una
frecuencia natural similar a la frecuencia generada por el
sismo.
4. Peak de Aceleración
Como se indica en la figura 4.1, los grandes movimientos causados
por terremotos son
generalmente caracterizados en términos de desplazamiento,
velocidad y aceleración de la
superficie. En ingeniería se usa más frecuentemente la aceleración
que la velocidad y el
desplazamiento, porque ésta, está directamente relacionada con las
fuerzas dinámicas que
inducen el terremoto en el suelo. Las aceleraciones generadas son
verticales y horizontales,
pero las horizontales dominan en su magnitud sobre las verticales
(Day, 2002) por lo cual
cuando se habla del “Peak de aceleración” siempre se estará
aludiendo a la aceleración
horizontal.
El Peak de aceleración corresponde al más alto valor absoluto de
aceleración alcanzado en
el historial de tiempo y este valor puede variar de una estación de
registro a otra, por
ejemplo para el sismo de Kobe 1995 en la figura 4.3 se muestra el
registro de 15 estaciones
52
ubicadas en un rango de 0,3 a 119,6 Km. del epicentro.
Figura 4.3. Variación de los Peaks de Aceleraciones para 15
estaciones que registraron el terremoto de Kobe
1995, Japón.
Debido a que determinar los acontecimientos sísmicos, en el tiempo,
es aún imposible, la
determinación de las aceleraciones toma un papel fundamental para
mitigar los daños
estructurales que provocan los movimientos terrestres. Conocido el
peak de aceleración se
pueden determinar las fuerzas actuantes sobre las estructuras y
diseñarlas para que la
soporten.
Para este sismo los Peaks de aceleraciones registrados en las
estaciones variaban en un
rango de 0.06g en la estación TOT hasta 0.61g en la estación
Takatori. Estas variaciones en
las aceleraciones y en la frecuencia se producen por los cambios de
tipo de suelo y de la
humedad existente en ellos y de la distancia al epicentro
(Stojanovi et al, 1999).
En general, de las tres aceleraciones, dos horizontales y una
vertical, que se registran
habitualmente, las menos importante para la ingeniería estructural
corresponde a la
aceleración vertical, puesto que es la que menos daños provoca a
las estructuras ya
53
que el margen de seguridad utilizado para soportar las fuerzas
estáticas verticales provee
una adecuada resistencia para soportar las fuerzas dinámicas
verticales. Generalmente para
el cálculo estructural, el peak de aceleración vertical es
considerado como dos tercios del
peak de aceleración horizontal (Newmark et al, 1982).
5. Prolongación de Peaks de Aceleración.
Según investigaciones realizadas acerca de la sismicidad de la zona
central de Estados
Unidos (Nuttli, 1979) el sostenimiento de un peak de gran magnitud
en el registro de
aceleraciones es capaz de provocar más daño estructural que si solo
se produjera una sola
vez. En otras palabras, al reiterarse un peak de tres a cinco veces
seguidas (ciclos
continuos) existirán mas estructuras que sufrirán daños puesto que
existen edificaciones
que requieren la existencia de más de un peak para dañarse.
Obtención de Parámetros
La obtención de registros sísmicos se realizó a través de las
páginas web de las bases de
datos sísmicas siguientes: Cosmos Virtual Data Center, USGS, EMSC y
RENADIC (ver
web links citados en Bibliografía). Los registros se analizaron con
el programa
wavelet_FE.mat creado en el programa MatLab y basado en subrutinas
contenidas en la
Wavelet Toolbox de MatLab para crear un espectro wavelet utilizando
wavelets de
Daubechies de cuatro coeficientes y la comparación se hace creando
un espectro de Fourier
de la señal con la transformada rápida de Fourier compilada también
en MatLab.
54
1. Valparaíso 1985, Chile. Estación “La Ligua”. Orientación
200°.
2. Michoacán 1985, México. Estación “La Unión”. Orientación
0°.
3. Kobe 1985, Japón. Estación “Takatori”. Orientación
Señales registradas en el año 1985 para Chile, 1940 para El Centro,
y 1995 para Japón.
55
Chile 1985:
El registro analizado corresponde al obtenido en el año 1985 en el
sector de La Ligua,
Provincia de Petorca, Región de Valparaíso, a menos de 2 Km. del
mar. Este registro no
corresponde a una réplica, sino, al movimiento principal. Fue
registrado el 03 de Marzo de
1985 a las 22:47:07 UTC (UTC – Universal Time Coordinated). Las
coordenadas de la
estación de registro fueron: Latitud: -32.6350 y Longitud: -71.6300
(ver figura E1). El
acelerómetro fue instalado en una zona de Roca volcánica.
Figura 4.4. Registro de Aceleraciones del terremoto de Valparaíso
de 1985, en la Figura a) se aprecia el
registro de aceleraciones capturado en la estación La Ligua. En la
figura b) se visualiza el espectro de Fourier
relacionando energía y frecuencia. En la figura c) se ve el
espectro de Welch para la misma señal confirmando
las ubicaciones de alta energía.
a)
b)
c)
56
Este terremoto causo daños importantes en la zona central de Chile,
incluyendo las
ciudades de San Antonio, Viña del Mar, Santiago, Rancagua y
Valparaíso, esta última con
un registro de intensidad grado VIII en la escala de Mercalli. Este
terremoto fue sentido en
una faja de 2000 km. Desde Copiapó hasta Valdivia detectándose
además aumento de la
altura de las olas de marea en sectores tales como Hawái, Alaska,
Tahití y Japón. (Ver Link
Citado en Bibliografía: Historic Earthquakes, Offshore Valparaíso,
Chile)
El terremoto causo un total de 170 personas muertas, 2575 personas
heridas, 45000 hogares
destruidos y 76000 gravemente dañados, resultando 372000 personas
sin hogar en la zona
central de chile. Las pérdidas estimadas fueron de 1800 millones de
dólares. Terremotos de
magnitud 6.6 le siguieron los días 17 y 19 de marzo, y un último
“aftershock” de grado 7.5
el 9 de abril ubicado a 75 Km. al suroeste de Santiago. (Ver Link
Citado en Bibliografía:
Historic Earthquakes, Offshore Valparaíso, Chile)
El aspecto del registro de aceleraciones del sismo de Valparaíso
1985 capturado en la
estación “La Ligua” es mostrado en la figura 4.4a. En este registro
se obtuvo un peak de
aceleración de 130,71 cm/s 2 a los 30.3 seg. de comenzado el
registro (ver circulo en figura
4.4). El registro presenta aceleraciones de mayor valor entre los
14 y 20 seg. y entre los 25
y 35 seg., predominando en este ultimo rango, pero conocer esto no
es útil para identificar
en el tiempo los contenidos de frecuencias presentes. Las
frecuencias de este registro se
pueden identificar solamente utilizando espectros. Los Espectros
clásicos, como el de
Fourier, muestran la relación entre la Energía de la señal y la
frecuencia a la cual se halla
esta energía. En la figura 4.4b se presenta el espectro de Fourier
para el registro de
aceleraciones de la estación La Ligua. La determinación de los
peaks de energía no es
certera cuando se analiza únicamente el espectro de Fourier puesto
que existe “ruido”. No
existe una exacta definición de ruido, pero en análisis de señales
puede definirse como: “Un
trastorno que afecta a una señal y que pueden distorsionar la
información transportada
por la señal”. En los registros de aceleraciones de suelos los
problemas de ruido suelen
deberse a la complejidad de la superposición de frecuencias debidas
al sismo que capta el
acelerómetro durante el registro. En estructuras, los registro de
aceleraciones son
“contaminados” con aceleraciones no relacionadas al sismo, tales
como tránsito
57
de vehículos, viento y rompimiento de olas, etc., es por esto que
en algunos casos puede ser
útil el uso del método de Welch (ver figura 4.4c).
De acuerdo al espectro de Fourier de la figura 4.4b el ancho de
banda de frecuencias puede
ser considerado de interés entre los valores 3 Hz. y 6 Hz. Dentro
de este ancho de banda
existe un peak de energía para 3.14 Hz. (ver circulo en figura
4.4b) coincidente con el peak
de energía presentado por el espectro de Welch de la figura 4.4c.
Debe recordarse que este
peak no necesariamente corresponde exactamente a la frecuencia
dominante de la señal,
debido a que el aumento de la energía también se ve influenciado
por la amplitud que
alcanza la señal, pero sí se encuentra cercano a la frecuencia
dominante de la señal.
La determinación de los instantes en que se registran las
frecuencias dominantes se logra
generando espectros wavelet. En la figura 4.5 se presenta el
espectro wavelet del registro
“La Ligua” el cual relaciona energía, frecuencia y tiempo,
mencionados anteriormente.
La ubicación en el tiempo de las frecuencias dominantes de un
registro sísmico terrestre
presenta cierta importancia para la ingeniería estructural y el
diseño estructural puesto que
puede ser usada para determinar parámetros que se requieren conocer
para el diseño tal
como la frecuencia de la fuerza excitadora, igual de importante es
cuando la señal analizada
es el registro de movimiento de la estructura como se verá más
adelante.
La eliminación de ciertos contenidos de frecuencias en la señal se
hace necesario cuando
éstos contenidos de frecuencias comúnmente llamados “ruido”
dificultan el análisis para
con las herramientas de tratamiento de señales. Desde el punto de
vista del análisis de
señales sísmicas terrestres, los contenidos de frecuencias
considerados como ruido son
encontrados por sobre los 20 Hz., sin embargo, al generar los
espectros y visualizar sus
contenidos de frecuencias se decide aplicar un nuevo filtro, de ser
necesario, sobre la señal
original, eliminando nuevos contenidos de frecuencias en ésta,
transformándose en un
análisis de tipo retroalimentado.
Figura 4.5. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto
de Valparaíso de 1985. Frecuencia de
muestreo 200 Hz.
De acuerdo al análisis efectuado sobre el registro de aceleraciones
“La Ligua”, el espectro
de Fourier revela que el contenido de frecuencias dominantes se
halla entre las frecuencias
1 y 5 Hz. contenido coincidente con el rango de frecuencias de la
mayoría de los sismos,
rango ubicado entre los 0.1 y 10 Hz. (Jiménez, 2004)(Guada,
2000).
En la figura 4.5 muestra el espectro wavelet para el registro de
aceleraciones sísmicas de
“La Ligua”, de inmediato se aprecia la participación de ciertas
“frecuencias contaminantes”
o ruido en el rango [0,1] Hz. y mayor a 10 Hz. por lo cual se hace
necesario aplicar un filtro
de contenido de frecuencias sobre la señal original como se muestra
a continuación:
59
Figura 4.6. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto
de Valparaíso de 1985 filtrado entre 1
Hz. y 5 Hz.
Figura 4.7. Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto
de Valparaíso de 1985 filtrado entre 2
Hz. y 4.7 Hz.
Figura 4.8 Registro de Aceleraciones y espectrograma del terremoto
de Valparaíso de 1985 filtrado entre 2
Hz. y 3.5 Hz. Ultimo ancho de banda propuesto para la determinación
de la frecuencia dominante del registro.
60
En la figura 4.6 se puede apreciar el registro de aceleraciones
filtrado, eliminando
contenidos de frecuencias menores a 1 Hz. y mayores a 5 Hz.,
Claramente se visualiza que
el contenido de frecuencias asociado a la mayor concentración de
energía está ubicado en la
frecuencia de 2.46 Hz.
Al efectuar un nuevo filtrado sobre la señal original, pero esta
vez conservando las
frecuencias entre los 2 y los 4.7 Hz. se obtiene el espectrograma
de la figura 4.7 en la cual
claramente vuelve a aparecer el peak de energía anterior. Es
importante indicar que las
frecuencias entre los 2 y 4.7 Hz se encuentran durante gran parte
del registro y se
encuentran asociadas en su mayoría a los mayores valores de
aceleraciones registradas.
Para dar una mayor acotación al valor del peak de energía, se
aplica un filtro sobre la señal
original, conservando un ancho de banda entre 2 y 3.5 Hz. El
espectrograma wavelet
resultante para este caso se muestra en la figura 4.8, en el cual
se aprecia que el peak de
energía que aparece en los filtrados anteriores sigue presente, y
la continuidad del rango de
frecuencia presente en el espectro de la figura 4.5 se sigue
presentando en la figura 4.8, lo
cual indica que este ultimo acotamiento contiene la especifica
frecuencia dominante del
registro.
Otro aspecto importante que es posible obtener del espectrograma
wavelet corresponde a la
posibilidad de ubicar en el tiempo o transcurso del registro los
contenidos de frecuencias
presentes en el registro. Al analizar más detalladamente el
espectro de la figura 4.8 se halla
que la frecuencia dominante presente en el ancho de banda de 2 a
3.5 Hz posee cantidades
importantes de energía a los 17.5, 27.5, 36 y 30.5 segundos de
comenzado el registro
indicando claramente la aparición de frecuencias en el ancho de
banda indicado
anteriormente.
61
México 1985:
Registrado el día 19 de Septiembre de 1985, este gran terremoto
dejo al menos 9500
personas fallecidas, 30000 heridos y más de 100000 damnificados con
grandes daños en
partes de Ciudad de México y muchos estados de México central,
causando un total de
4000 millones de dólares en daños (USGC, Historic Earthquakes, Ver
Bibliografía Web).
Este terremoto provoco el colapso de 420 edificios y serios daños
estructurales en 3124
edificios en Ciudad de México. La máxima intensidad modificada de
Mercalli fue IX en
Ciudad de México, Ciudad Guzmán y las Ciudades de Lázaro, Cárdenas,
Ixtapa y la Unión,
estas últimas ubicadas en la costa Pacífica. Este sismo también
produjo un tsunami,
detectado en Hawái, Tahití y la costa de México, reportándose
grandes olas de hasta 30
metros de altura mar adentro (USGC, Historic Earthquakes, Ver
Bibliografía Web).
La gran mayoría de los edificios que fueron dañados en Ciudad de
México tenían entre 8 y
18 pisos de altura indicando posibles efectos de resonancia, siendo
el que más daño ha
causado en la historia a Ciudad de México (Aproximadamente a 430
Km. del epicentro). Su
epicentro se ubico en la zona de subducción de la Placa “Cocos”. El
mayor daño dentro de
Ciudad de México ocurrió a aquellos edificios que estaban
cimentados en los 39 a 50
metros de suelo arcilloso, el cual está contenido en una parte de
la ciudad conocida hoy
como “Lake Zone” (Stone et al, 1987). Debido a que el epicentro del
terremoto fue tan lejos
de la Ciudad de México, el peak de aceleración registrado en los
ramales cortos de las
cadenas montañosas de la Ciudad de México fue alrededor de 0.04g
(Chavez et al, 1989).
Sin embargo el peak de aceleración en la “Lake Zone” fue cinco
veces más grande que en
lugar rocoso (Kramer, 1996). En adición a esto, los periodos
característicos del sitio fueron
estimados en 1.9 a 2.8 segundos (Stone et al, 1987). Este periodo
de vibración del terreno
tiende a ser el mismo periodo natural de vibración de las
estructuras más altas, en rango de
5 a 20 pisos.
Las coordenadas del epicentro fueron 18.081 Latitud Norte; 102.942
Longitud Oeste, con
62
una profundidad focal de 15 Km., a casi 7 Km. de la costa de
Michoacán. Las estaciones en
ese momento estaban ubicadas en la costa de México en un rango de
distancia al epicentro
entre 20 Km. y 380 Km.
El incremento del peak de aceleración terrestre y el efecto de
resonancia causo mucho daño
o el colapso de los edificios más altos.
El registro representativo a analizar corresponde al obtenido en la
estación ubicada en “La
Unión” con coordenadas 17.982N; 101.805º, (ver figuras E2 y E3). La
frecuencia de
muestreo fue de 200 Hz. El peak de aceleración del registro fue
165,57 cm/s 2 a los 23.68
seg. de comenzado el registro (ver figura 4.9). El ancho de banda
de frecuencias es posible
determinarlo a través del espectro de Fourier y un buen intervalo
corresponde al
comprendido entre 0 y 10 Hz. El peak de energía de este espectro
está asociado a una
frecuencia de 1.71 Hz. respaldado por la densidad espectral del
Welch.
Figura 4.9. Registro de Aceleraciones del terremoto de México de
1985, en la Figura a) se aprecia el registro
de aceleraciones capturado en la estación La Unión. En la figura b)
se visualiza el espectro de Fourier
relacionando energía y frecuencia. En la figura c) se ve el
espectro de Welch para la misma señal confirmando
las ubicaciones de alta energía.
a)
b)
c)
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Para el registro de la estación “La Unión” se genero el espectro
wavelet de la figura 4.10, el
cual muestra el contenido de frecuencias completo del registro sin
filtrar. El rango de
frecuencias que presenta el espectro va desde los 0,55 Hz. hasta
los 10,20 Hz.
Así como para un espectro de Fourier, la determinación de las
frecuencias dominantes de
un registro en un espectro wavelet se debe hacer ubicando las
mayores concentraciones de
energía. La diferencia radica en la posibilidad de ubicar estos
contenidos de frecuencias a
través del tiempo como se indico anteriormente.
El espectro wavelet de la figura 4.10 presenta concentraciones de
energía considerables
entre los 10 y 31 segundos a partir de comenzado el registro. La
continua aparición de
ciertos contenidos frecuenciales dentro del espectro es una
característica imposible de
determinar únicamente con el espectro de Fourier. El espectro de la
figura 4.10 presenta
una concentración de energía repetitiva bajo una frecuencia
asociada a la frecuencia 1,43
Hz. Estas concentración de energía están ubicadas en las muestras
numero 2307, 3618,
4862 y 6228, asociadas a los tiempos 11.53, 18.09, 24.31 y 31.14
segundos
respectivamente.
Un análisis con un acotamiento de frecuencias del registro de la
“La Unión” se presenta en
la figura 4.11, en la cual se le ha pasado por un filtro de bandas
eliminando las frecuencias
menores a 0.9 Hz. y mayores a 3 Hz. El espectrograma presentado
vuelve a reflejar la
energía de la frecuencia 1.43 Hz. y sus cuatro apariciones
importantes. Finalmente a modo
de comprobación en la figura 4.12 se presenta la señal original con
un filtro entre 1.0 Hz. y
1.8 Hz. apareciendo nuevamente los peaks asociados a la frecuencia
de 1.43 Hz. y su
reiterada aparición durante 20 segundos.
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Figura 4.10. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la
estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro sin aplicación de filtros.
Figura 4.11. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la
estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro filtrado entre 0.9 Hz. y 3 Hz.
Figura 4.12. Espectro Wavelet del terremoto de México 1985, en la
estación “La Unión” Ubicada en la costa
del Pacifico. Registro filtrado entre 1.0 Hz. y 1.8 Hz.
65
Kobe 1995
El día 19 de Enero de 1995, se produjo un terremoto de
aproximadamente 20 segundos de
duración y una intensidad de 7.2 en la Escala de Richter (JMA)
denominado terremoto de
Kobe 1995 o Gran terremoto de Hanshin-Awaji, con epicentro en el
extremo norte de la isla
Awaji, a 20 Km. de Kobe, Japón.
Para este terremoto, se registraron aproximadamente 5.200 muertes y
36.896 heridos,
dejando a más de 750.000 personas sin hogar y más de 200.000
edificios dañados. La
pérdida total estimada fue alrededor de 200 billones de dólares, de
orden similar al
terremoto de Northridge, California, 1994 (Somerville, 1995). El
periodo del sismo fue
extenso, producido por el desplazamiento de la falla de Nojima de 9
Km. (ver figura 4.13)
de largo ubicada en el borde de la isla de Awaji y extendiéndose
bajo la ciudad de Kobe
(ver figuras E4 y E5). Se registró un desplazamiento lateral máximo
de 1.7 metros y un
desplazamiento vertical máximo de 1.3 metros. (USGC, Historic
Earthquakes, Ver
Bibliografía Web).
Al igual que ciudad de México, parte el suelo de la ciudad de Kobe
está formado por suelos
blandos, donde éstos amplifican lo movimientos del suelo (ver
figura E6). El Peak de
Aceleración registrada para este sismo fue de 832 cm/s 2 valores
registrados entre ciudad de
Kobe y Nishinomiya y el Peak de velocidad de 55 cm/s en la estación
de la Universidad de
Kobe
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Figura 4.13. Ubicación geográfica de la isla de Awaji, la falla de
Nojima y el epicentro del terremoto de Kobe
con respecto a Ciudad de Kobe. Coordenadas del Epicentro 34.6N,
135E a 10 Km. de Profundidad.
Se analizó la señal de la estación Takatori ubicada a 1.5 Km. del
epicentro, ubicada en la
isla Awaji, Japón. La señal consiste en un registro de 40.96
segundos de duración con una
frecuencia de registro fs = 100 Hz. (4096 muestras). Visualmente el
contenido de
frecuencias importante del registro se encuentra en los primero 20
segundos de éste. El
Peak de Aceleración en este registro corresponde a 0,61g ubicado a
los 5,77 seg.
presentándose tan solo una vez durante todo el registro (ver figura
4.14)
Kobe
Epicentro
Kobe
Epicentro
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Figura 4.14. Registro de Aceleraciones de la estación Takatori para
el terremoto de Kobe 1995.
Al analizar el registro de aceleraciones con el espectro de Fourier
(ver figura 4.15) se
identifica el rango de frecuencias dominantes del registro,
hallándose el peak de energía
entre los 0.5 Hz. y 1.0 Hz. El espectro de Welch según la figura
4.15 corrobora la existencia
de estos peaks de energía.
Figura 4.15 Espectro de Fourier (superior) y de Welch (inferior)
para el registro de la estación Takatori,
terremoto de Kobe 1995.
Al realizar un análisis del registro utilizando la transformada
wavelet de Daubechies con 4
coeficientes se obtiene el espectro wavelet de la figura 4.16, en
el cual se aprecia
claramente entre las 200 y 1500 muestras (2 y 15 segundos de
comenzado el registro) altos
niveles de energía (Toda et al, 1998) asociados a frecuencias en el
rango que va desde los
0.4 Hz a los 2.65 Hz.
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La gran concentración de energía (en color rojo) asociada a la
muestra n° 567 (5.67
segundos de comenzado el registro) se debe en gran parte a la
máxima amplitud de
aceleración del registro en ese instante. Un espectro basado en un
filtrado de la señal se
presenta en la figura 4.17. El filtro aplicado elimina las
frecuencias menores a 0,4 Hz.