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Page 1: Examen admision 2_do_grado

1Preguntas de exámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisiónARITMÉTICA

Pregunta 1

El producto de tres números reales es 900 y la suma de sus inversos multiplicativos es 1/5. Determina la suma de los productos de dichos números tomados de dos en dos sin repetición.

UNMSM 2010 - II

A) 160 B) 180 C) 190 D) 210 E) 170

Resolución:

Tema: Operaciones fundamentalesAnálisis y procedimiento

Sean a; b y c los tres números reales.

Por dato tenemos:

• a # b # c = 900 … (I)

• a b c1 1 1

51+ + = … (II)

Nos piden hallar a # b + a # c + b # c.

Del segundo dato (II) tenemos:

a b c1 1 1

51+ + =

a b cb c a c a b

51

# ## # #+ + =

Pero de (I):a # b # c = 900

& b c a c a b900 5

1# # #+ + =

b # c + a # c + a # b = 180

` a # b + a # c + b # c = 180Rpta. 180

Clave B

Pregunta 2

El máximo común divisor de dos números enteros positivos es 19. Halla la diferencia positiva de estos números sabiendo que su suma es 114.

UNMSM 2011 - II

A) 57 B) 38 C) 45 D) 63 E) 76

Resolución:

Tema: MCD y MCMRecuerda que si el MCD (A; B) = d, entonces:

A = d . p PESÍ

B = d . q

Análisis y procedimiento

Sean A y B los números (A > B).

Por dato, tenemos lo siguiente:

• MCD (A; B) = 19

Entonces:

A = 19 p PESÍ

B = 19 q

• A + B = 11419(p + q) = 114

. . 5 1 (son PESÍ)

Luego:

A = 19 . p = 19(5) = 95

B = 19 . q = 19(1) = 19

` A - B = 95 - 19 = 76

Rpta. 76

Clave E

Pregunta 3

Sean a; b enteros positivos que satisfacen:

0,969696...a b11 3+ =

Halla a + b.

UNMSM 2012 - II

A) 6 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

Resolución:

Tema: Números decimalesRecuerda que la fracción generatriz de un número decimal periódico puro es de la siguiente manera:

0, ... 0,mnmnmn mn mn99

= =!

Análisis y procedimiento

Nos piden a + b, sabemos que a y b son enteros positivos.

Por dato, tenemos:

, ...a b11 3

0 969696+ =

0,a b11 3

96+ =!

Llevando el número decimal a su fracción generatriz, tenemos:

1 3

a b33

3 119996+ =

3a + 11b = 32 . .

7 1

Entonces:

a = 7 y b = 1

` a + b = 8Rpta. 8

Clave D

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2

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

Pregunta 4

¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?

UNMSM 2013 - II

A) 40% B) 4% C) 0,4% D) 400% E) 0,04%

Resolución:

Tema: Tanto por cientoTen en cuenta que, de forma práctica:

• Las palabras de, del y de los indican multiplicación.

• Las palabras es y equivalente indican igualdad.

Análisis y procedimiento

Según el enunciado

¿ é 50% 0,05 0,01?tanQu to por ciento del de es

%x # # =1 2 3444444 444444 SS S

Entonces: x% # 50% # 0,05 = 0,01

x100 100

501005

1001

# # =

x = 400

Lo anterior, es equivalente a decir:

x% = 400%Rpta. 400%

Clave D

Pregunta 5

Halla el menor número entero positivo n, tal que al dividir 1583n entre 178 se obtiene (8n + 3) de cociente por defecto.

UNMSM 2014-I

A) 8 B) 5 C) 6 D) 7 E) 4

Resolución:

Tema: Operaciones fundamentalesEn una división:

Por defecto Por exceso

D d

rd q-

cocientepor defecto

D = d # q + rd

D d

re q + 1

Análisis y procedimiento

Del enunciado, n ! Z+ donde n es mínimo.

Además:

1583n 178

r 8n + 3 ; r < 178

Por el algoritmo de Euclides, se tiene:

1583n = 178(8n + 3) + r

159n = 534 + r . .

4 102 (único caso)

` n = 4Rpta. 4

Clave E

Pregunta 6

En una biblioteca municipal existen en total 72 libros de matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3 respectivamente. El número de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea de 9 a 10, es:

UNI 2010-I

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

Resolución:

Tema: RazonesAnálisis y procedimiento

N.° de librosde matemática

N.° de librosde literatura

Totalde libros

Lo quese tiene 5 # (9) 3 # (9) 8 # (9) = 72

Se observa que hay lo siguiente:

• 45 libros de matemática y• 27 libros de literatura.

Luego, si agregamos x libros de literatura, tendríamos:

• 45 libros de matemática• 27 + x libros de literatura

Por condición del problema, tenemos:x

945

1027= +

` x = 23Rpta. 23

Clave C

Pregunta 7

¿Cuántos números enteros menores que 100 existen que son cubos perfectos y que al ser multiplicados por 3 se convierten en cuadrados pefectos?

UNI 2011 - I

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución:

Tema: PotenciaciónAnálisis y procedimiento

Sean N los números que cumplen la condición. Por dato se tiene lo siguiente:

• N < 100• N = K3

• 3N = R2

Page 3: Examen admision 2_do_grado

3

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Como

N = K3 < 100 & K < 4,64 … 1; 2; 3; 4

& N: 1; 8; 27; 64

& 3N: 3; 24; 81; 192

Como 3N debe ser cuadrado perfecto, solo se cumple cuando 3N = 81.

` Solo existe un valor para N.Rpta. 1

Clave A

Pregunta 8

Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N - M = 99, calcula el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.

UNI 2012-II

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

Resolución:

Tema: Cuatro operacionesAnálisis y procedimiento

Del enunciado, se tiene lo siguiente:

dividendo.

divisor.

2abba2 1000N-

residuo

M-

cociente

...( I )

• N - M = 99 ...( II )

Realizamos la división en ( I ):

2abba2 1000200 abba a000 bba2 b000 ba2

2ab

! N

! M

En (II):

ba2 - 2ab = 99

99b - 198 = 99

b = 3 & amáx. = 9

Luego, el dividendo es 293 392.

Rpta. La suma de sus cifras es 28.Clave C

Pregunta 9

Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras del número A.

UNI 2013 - II

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

Resolución:

Tema: Cuatro operacionesAnálisis y procedimiento

Sea A = abcd del cual debemos hallar a + b + c + d.

Del dato tenemos: abcd # 999 = …5352

abcd # (1000 - 1) = …5352

abcd000 - abcd = …5352

Entonces:abcd000

abcd5352

10 - d = 2 & d = 8 9 - c = 5 & c = 4 9 - b = 3 & b = 6 7 - a = 5 & a = 2

-

` a + b + c + d = 20Rpta. 20

Clave C

Pregunta 10

La media aritmética de dos números enteros es los 5/4 de su media geométrica. Halla la razón de dichos números.

UNFV 2011 - II

A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7

Resolución:

Tema: Promedios• Media aritmética de a y b: a b

2+

• Media geométrica de a y b: ab

Análisis y procedimiento

Sean los números a y b.

Del enunciado planteamos:

a b2+ = ab

45

2(a + b) = ab5

[2(a + b)]2 = ab527 A

4(a2 + 2ab + b2) = 25ab

4a2 + 8ab + 4b2 = 25ab

aba

abb4 42 2

+ = abab17

ba

ab4 4+ = 17 ; si

ba = x

& 4x + x4 = 17

4x2 - 17x + 4 = 0

4x - 1 x - 4

(4x - 1)(x - 4) = 0

Entonces: x = 41 0 x = 4

Nos piden: ba = x

Rpta. 4

Clave D

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4

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

Pregunta 11

Halla m + n, si ,m n11

0 6=!

.

UNFV 2012 - I

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 11

Resolución:

Tema: NumeraciónRecordar:

0,ab ab99

=!

Análisis y procedimiento

Sabemos:

0, n6!

= n996

& m11

= n996

9 . m = 6n . .

7 3

& m = 7; n = 3

m + n = 10Rpta. 10

Clave C

Pregunta 12

Syd agrupa cierta cantidad de discos de 7 en 7 y le sobran dos. Cuando Robert los apila de 8 en 8, sobran tres discos para completar una pila. David, en cambio, lo guarda en cajas de a 6 y uno queda suelto. ¿Cuántos discos hay, como máximo, si dicha cantidad no es mayor que 700?

PUCP 2014 - I

A) 597 B) 635 C) 667 D) 541 E) 620

Resolución:

Tema: DivisibilidadAnálisis y procedimiento

Sea “x” la cantidad de discos: x # 700

Según Syd: x = °7 + 2 = °7 - 5

Según Robert: x = °8 + 3 = °8 - 5

Según David: x = °6 + 1 = °6 - 5

Propiedad: x = MCM(7; 8; 6) - 5 … (a)

Se sabe que: MCM(7; 8; 6) = 168

En (a):

x = 168K - 5 # 700

k # 168

700 5+

k # 4,196

Máximo valor (k = 4): x = 168(4) - 5 = 667

Rpta. 667

Clave C

ÁlgebRA

Pregunta 13

Halla el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación:

log logx x5 6 022

2- + =

UNMSM 2010 - II

A) 12 B) 6 C) 30 D) 32 E) 5

Resolución:

Tema: Ecuación logarítmicaResolvemos la ecuación logarítmica mediante un cambio de variable para facilitar la factorización de la expresión logarítmica.

Análisis y procedimiento

(log2x)2 - 5(log2x) + 6 = 0

Hacemos el cambio: log2x = t ; x > 0

Luego: t2 - 5t + 6 = 0

Factorizamos: (t - 2)(t - 3) = 0

& t - 2 = 0 0 t - 3 = 0

& t = log2x = 2 0 t = log2x = 3

Por definición de logaritmos obtendremos:

x = 22 0 x = 23

Luego: x1 = 4 0 x2 = 8

Nótese que ambas soluciones son positivas.

Por lo tanto: x1 . x2 = 32

Rpta. El producto de valores de x que satisfacen la ecuación es 32.

Clave D

Pregunta 14

Halla el producto de la suma de coeficientes de (2x2 - 3y)5 con la suma de los coeficientes de (x + y)4.

UNMSM 2011- II

A) 15 B) -16 C) 30 D) -18 E) 20

Resolución:

Tema: PolinomiosPara una variable:

Recuerda que:

Si P(x) = x2 + 2x + 5

& Suma de coeficientes = P(1) = 8

Para más de una variable:

Si P(x; y) = 3x2 + 5xy + 6y2

& Suma de coeficientes = P(1; 1) = 14

Page 5: Examen admision 2_do_grado

5

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Análisis y procedimiento

• P(x; y) = (2x2 - 3y)5

Suma de coeficientes = P(1; 1) = (2 - 3)5 = -1

• Q(x; y) = (x + y)4

Suma de coeficientes = Q(1; 1) = (1 + 1)4 = 16

Piden: (-1)(16) = -16Rpta. -16

Clave B

Pregunta 15

Halla la suma de tres números que están en progresión aritmética, sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12, y que el producto del primero por el segundo es 24.

UNMSM 2012 - II

A) 14 B) 18 C) 16 D) 15 E) 12

Resolución:

Tema: Progresiones aritméticasAnálisis y procedimiento

Sean los números que están en progresión aritmética.

; ;a a R a R2t t t1 2 3

+ +? ? ?

+R +R

Por dato tenemos:a + (a + 2R) = 12 2a + 2R = 12

a + R = 6 … (I)

Además:a # a R

I

+__

iiS

= 24

a # 6 = 24 a = 4

& R = 2

Entonces los números son 4; 6 y 8.

` t1 + t2 + t3 = 4 + 6 + 8 = 18Rpta. 18

Clave B

Pregunta 16

Sean b ! 0 y c ! 0. Si a + b1 = 1 y b +

c1 = 1, halla el valor

de abc.

UNMSM 2013 - I

A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1/2

Resolución:

Tema: Teoría de ecuacionesAnálisis y procedimiento

Como:

a + b1 = 1 / b +

c1 = 1

& b

ab 1+ = 1 / c

bc 1+ = 1

& ab + 1 = b / bc + 1 = c

& (ab + 1) # c = b # c / bc + 1 = c

& abc + c = bcc 1-S

/ bc = c - 1

abc + cY = cY - 1

` abc = -1Rpta. -1Clave C

Pregunta 17

Si las ecuaciones en x:

x2 + x + a = 0

x2 + 2x + b = 0

tienen un raíz común, calcula:

b aa b

25 2

--_ i

; b ! 2a

UNMSM 2014 - I

A) 5 B) 4 C) 6D) 1 E) 3

Resolución:

Tema: Ecuaciones cuadráticasAnálisis y procedimiento

Sea a la raíz en común de las siguientes ecuaciones en x:

x2 + x + a = 0 … (I)x2 + 2x + b = 0 … (II)

Entonces de (II) y (I):

a2 + 2a + b = 0 (-)

a2 + a + a = 0 a + b - a = 0 a = a - b … (III)

Luego, reemplazamos (III) en (I):

(a - b)2 + (a - b) + a = 0 (a - b)2 = b - 2a

Finalmente, nos piden calcular:

b aa b

b a

b a2

52

5 25

2

--

=--

=_ _i i

Rpta. 5

Clave A

Pregunta 18

Halla el valor de x en la siguiente ecuación:

logxlogx - logx - 6 = 0

Da como respuesta la suma de soluciones.

UNI 2011-II

A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01D) 999,99 E) 1000,01

Page 6: Examen admision 2_do_grado

6

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

Resolución:

Tema: LogaritmosRegla del sombrero

Siendo a; b positivos se tiene:logabn = n . logab

con a ! 1 ; n ! R.

Análisis y procedimiento

logxlogx - logx - 6 = 0(logx) . (logx) - logx - 6 = 0 (logx)2 - logx - 6 = 0 logx - 3 logx + 2

& (logx - 3)(logx + 2) = 0

& logx = 3 0 logx = -2

x = 103 0 x = 10-2

` La suma de soluciones = 103 + 10-2

= 1000,01Rpta. 1000,01

Clave E

Pregunta 19

Si x1 = 2 y x2 = -1 son raíces de x4 - ax2 + b = 0, halla a - b.

UNI 2012 - I

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

Resolución:

Tema: EcuacionesPara resolver el problema usaremos y aplicaremos el concepto de solución o raíz de una ecuación polinomial.

Análisis y procedimiento

Como x1 = 2 y x2 = -1 son raíces (o soluciones) de la ecuación bicuadrada x4 - ax2 + b = 0, entonces verifican la ecuación.

En particular, para x2 = -1 tenemos:

(-1)4 - a(-1)2 + b = 0

& 1 - a + b = 0

a - b = 1Rpta. 1

Clave C

Pregunta 20

Sabemos que se cumple: abc = 0

a + b + c = 1

Halla el valor de:

2 3K a b c a b c2 2 2 3 3 3= + + - + +d dn n

UNI 2013 - II

A) 0 B) 1/6 C) 1/3 D) 1/2 E) 1

Resolución:

Tema: Productos notablesRecuerda que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)

Análisis y procedimiento

Como: abc = 0 & a = 0 0 b = 0 0 c = 0

Si: a = 0 & b + c = 1

• (b + c)2 = (1)2

& b2 + c2 + 2bc = 1 b2 + c2 = 1 - 2bc

• (b + c)3 = (1)3

& b3 + c3 + 3bc b c

1

+_ iS

= 1

b3 + c3 = 1 - 3bc

Luego:

K = 2 3

a b c a b c2 2 2 3 3 3+ + - + +d dn n

K = bc bc2

0 1 23

0 1 32 3+ - - + -d dn n

K = 61

Análogamente:

Si: b = 0 Si: c = 0

& K = 61& K =

61

` K = 61

Rpta. 1/6

Clave B

Pregunta 21

Considera a > b > 0 y determina el cociente entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x.

x a b x a b1 1 1 1+ + = + +

UNI 2014 - II

A) a/b B) b/a C) abD) a + b E) 1

Resolución:

Tema: EcuacionesAnálisis y procedimiento

Resolvemos:

x a b1 1 1+ + =

x a b1

+ +

a b1 1+ =

x a b x1 1

+ + -

aba b+ =

x x a bx x a b

+ +- - -_ i

Se obtiene:

x2 + (a + b)x + ab = 0 (x + a)(x + b) = 0

x = -a 0 x = - b

Page 7: Examen admision 2_do_grado

7

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Como: a > b > 0 & -a < - b < 0Luego:

xx

ba

ba

2

1 = -- =

Rpta. a/b

Clave A

Pregunta 22

Halla x + y, dado el siguiente sistema de ecuaciones:

xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468

UNFV 2011 - II

A) 11 B) 24 C) 12D) 10 E) 13

Resolución:

Tema: Productos notables

Binomio al cubo(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Resolución y procedimiento

Datos: xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468Piden: x + ySabemos:

(x + y)3 = 3x y xy x y3 3

468 420

+ + +_ i1 2 344 44S

(x + y)3 = 468 + 3 . 420 (x + y)3 = 1728 x + y = 17283 = 12

Rpta. 12

Clave C

Pregunta 23

Después de factorizar: x4 - 6x3 + 5x2, señala la suma de los términos independientes de los factores.

UNFV 2014

A) 5 B) 6 C) -5 D) -6 E) 7

Resolución:

Tema: FactorizaciónAnálisis y procedimiento

Factorizamos: x4 - 6x3 + 5x2

x2(x2 - 6x + 5) x - 5 x - 1

x2(x - 5)(x - 1)

& Términos independientes: -5; -1

` -5 + -1 = -6Rpta. -6

Clave D

Pregunta 24

Si F es una función constante, tal que:

F

F F

5 3

3 28

-+

=_

_ _i

i i

Encuentra F(1997) + F(1998).

PUCP 2014 - I

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 9

Resolución:

Tema: FuncionesAnálisis y procedimiento

Sea la función constante: F(x) = a ; a ! R

Dato:

F

F F

5 3

3 2

-+

__ _

ii i

= 8

aa a

3-+ = 8

a = 4& F(x) = 4

Piden: F(1997) + F(1998) = 4 + 4 = 8Rpta. 8

Clave D

geoMeTRíAPregunta 25

La figura ABCD es un trapecio, CB = CD = 1 m, BD m3= y la medida del ángulo BAD es 45°. Halla la medida del ángulo ADB.

UNMSM 2010 - II

A

D

B

C

A) 90° B) 120° C) 105° D) 135° E) 75°

Resolución:

Tema: CuadriláterosRecuerda:

θ θ

a a

a 3

30ºθ =

Análisis y procedimiento

Piden m+ADB = x

θ

θθA

D

45°B

C

1 m3 m

1 m

x

Page 8: Examen admision 2_do_grado

8

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

Datos:DC = CB = 1 mDB = m3m+DAB = 45°

Como ABCD es un trapecio entonces: //DC AB , luego por el teorema de los ángulos conjugados internos:

(x + q) + 45° = 180°

& x + q = 135° … (I)

En el triángulo DCB, se deduce: q = 30° … (II)Reemplazamos (II) en (I):

x + 30° = 135° ` x = 105°

Rpta. 105°Clave C

Pregunta 26

En un triángulo ABC, D es un punto medio de AB y E es un punto de BC , tal que //DE AC . Si P y Q son los puntos medios de AE y DC , respectivamente, y PQ = 6 cm, halla AC.

UNMSM 2011 - II

A) 16 cm B) 28 cm C) 22 cmD) 24 cm E) 18 cm

Resolución:

Tema: CuadriláterosAnálisis y procedimiento

Piden AC.

A

D

B

C

QP

a

,

,

2a

6 n

n

m

mE

Como AD = DB y //DE ACEntonces, por el teorema de la base media en el triángulo ABC tenemos:

DE = AC2

= a

Por dato, tenemos que P y Q son puntos medios de las diagonales AE y DC del trapecio respectivamente; además PQ = 6.

Entonces, por teorema:6 = a a

22 -

a = 12

Pero AC = 2a ` AC = 24

Rpta. 24 cm

Clave D

Pregunta 27

En la figura, A y B son puntos de tangencia y el ángulo ACB mide 60°. Halla la medida del arco ADB.

UNMSM 2012-II

A

D

B

C

A) 60° B) 75° C) 120° D) 90° E) 105°

Resolución:Tema: CircunferenciaRecuerda que:

En el ángulo exterior determinado por dos tangentes.

Q

P

x

α

Se cumple:

180ºx α+ =

(P y Q son puntos de tangencia)

Análisis y procedimiento

Nos piden la medida del arco .ADB mADB x= =!

Datos: m+ACB = 60°, A y B son puntos de tangencia.

xA

D

60°

B

C

De la observación inicial, se cumple que:

m+ACB + mADB!

= 180° 60° + x = 180° ` x = 120°

Rpta. 120°Clave C

Pregunta 28

En la figura, halla a + b.

β

A

D

B

150°20° 70°

C

E

UNMSM 2013 -I

A) 70° B) 90° C) 80° D) 60° E) 100°

Page 9: Examen admision 2_do_grado

9

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Resolución:

Tema: TriángulosRecuerda:

Suma de las medidas de los ángulos interiores:

β

θα 180ºα β θ+ + =

Medida del ángulo exterior en función de 2 ángulos internos:

x

β

α x α β= +

Análisis y procedimiento

Nos piden a + b.

β

α

A

D

B

150°20° 70°

C

E

Por teoremas previos:

• En el TABC: 20° + 150° + a = 180° a = 10°

• En el TADE: 70° = b + 20° b = 50°

` a + b = 60°Rpta. 60°

Clave D

Pregunta 29

En la figura, ,BCAC

34= BE = 1 m y AD = 6 m.

Halla CE.

DA

B

E

β

β

C

UNMSM 2014 - I

A) 9 m B) 10 m C) 8 mD) 7 m E) 6 m

Resolución:

Tema: Triángulos rectángulos notables Análisis y procedimiento

Nos piden CE.

Datos: BCAC

34= ; BE = 1 m y AD = 6 m

DA

B

E

3a

4a

4k

3k6 m

1 m

β = 37°C

β = 37°

Del dato, ,BCAC

34= entonces AC = 4a y BC = 3a.

Se observa: ABC notable 37° y 53°, entonces b = 37°.

Luego, el DCE notable 37° y 53°, entonces CD = 3k y CE = 4k.

Como 3a = 4k + 1 y 4a = 3k + 6, dividimos las expresiones:

kk

43

3 64 1= ++

k = 2

Finalmente CE = 4(2)

` CE = 8 mRpta. 8 m

Clave C

Pregunta 30

En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF, donde D es un punto de tangencia. Si AD = 3 cm, EC = 2 cm, calcula AC (en cm).

AD

B

CE

F

UNI 2010 - II

A) 6,0 B) 6,4 C) 6,8 D) 7,2 E) 7,6

Resolución:

Tema: Semejanza de triángulosAnálisis y procedimiento

Piden: DE = ,

Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se cumple que: AD = AB = 3 DE = EF = ,

Page 10: Examen admision 2_do_grado

10

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

AD

B

CE

3

3

´

F

Luego:

ABC a EFC

53

2,,

+ =

6 = ,(5 + ,) . .

1 1

Entonces: , = 1

` DE = 1Rpta. 6,0

Clave A

Pregunta 31

En un triángulo ABC se tiene que m+C = 2m+A. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB ). Sim+PAB =

21 m+C y AP = 12 u, determina el valor de BC (en u).

UNI 2012-Il

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8

Resolución:

Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerda el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

A

B

CM

m

mm

Análisis y procedimiento

Piden BC.Sea: BC = xDato: AP = 12

A

6

12

6 6

2α 2α

B

C Q

P

M

x

α

αα

12

Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el TAPQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el TPAQ es isósceles.

& AP = AQ = 12

En el TABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.& AM = MQ = BM = 6El TMBC es isósceles, por lo tanto, x = 6.

Rpta. 6

Clave D

Pregunta 32

En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB = 7 u y BC = 24 u. Calcula el valor del segmento DE (en u).

UNI 2013-II

A D

B

CEH

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

Resolución:

Tema: Líneas notablesRecuerda algunos de los triángulos pitagóricos.

5

12

13

24

257

Análisis y procedimiento

Nos piden DE = x.

θθ

A D

7

θ + 2αα + 2θ2θ 2α

B

C

241

Ex

H

α α

Datos AB = 7, BC = 24 & AC = 25

Como BD y BE son bisectrices, entonces el TABE y el TBCD son isósceles (AB = AE).

Luego: x + 1 = 7 ` x = 6

Rpta. 6

Clave C

Pregunta 33

En la circunferencia de radio R de la figura, determina el ángulo a de modo que , = R.

UNI 2014 - II

A

B

C

α

,

A) 15º B) 18º C) 30º D) 36º E) 45º

Page 11: Examen admision 2_do_grado

11

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Resolución:

Tema: CircunferenciaAnálisis y procedimiento

A60° 60°

60°

B

C

α

R

, = R

R

Dato: AC = , = R

Piden a.Si AC = , = R & mAC

!

= 60°

Por ángulo inscrito:

a = mAC2

!

= º260 = 30º

Rpta. 30º

Clave C

Pregunta 34

¿Para qué valor de x, las rectas 1L y 2L serán paralelas?

12(8 - x)

x2 + 120L1

L2

UNFV 2012 - I

A) 5,92 B) 6,09 C) 6D) 5,14 E) 8

Resolución:

Tema: Líneas y segmentosAnálisis y procedimiento

Si 1L y 2L & x2 + 120 + 12(8 - x) = 180°

x2 + 120 + 96 - 12x = 180°

x2 - 12x + 36 = 0

(x - 6)2 = 0

` x = 6Rpta. 6

Clave C

Pregunta 35

En un triángulo rectángulo un cateto “a” y la hipotenusa “c” son enteros consecutivos, ¿cuál es el cuadrado del segundo cateto?

UNFV 2013

A) c - a B) c + a C) caD) 2a + c E) 2c - a

Resolución:

Tema: TriángulosAnálisis y procedimiento

Datos: A

C B

x

a

c

c = a + 1

& c - a = 1

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

x2 + a2 = c2

x2 = c2 - a2

x2 = c a c a

1

- +_ _i iS

` x2 = c + aRpta. c + a

Clave B

Pregunta 36

La figura muestra un triángulo equilátero ABC, donde DE // AC y:

ABAF

BCBE

31= =

Calcula la medida del ángulo x. PUCP 2013-I

A

D

B

C

Fx

E A) 60º

B) 30º

C) 37º

D) 25º

E) 40º

Resolución:

Tema: TriángulosAnálisis y procedimiento

Por la proporción:Si AF = m & AB = 3m

DABC por ser equilátero, entonces:DB = BE = DE

Además: AB = BC = 3m

Por el dato de la proporción:BC = 3m & BE = m

De la figura: BE = DB = m& DA = 2m & FD = m

TFDE es isósceles: x = 30°

Rpta. 30°Clave B

A

D

B

C

Fx

mm

m

m

m

2m

3m

60°

120°

60°

60°

E

Page 12: Examen admision 2_do_grado

12

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

TRIgonoMeTRíA

Pregunta 37

En la figura, CB = 4 cm, M es punto medio de AB , CM = MB y AB = 2 6 cm. Halla cosa.

A

C

BM

α

UNMSM 2010-II

A) 32 B)

33 C)

23

D) 3

2 2 E) 22

Resolución:Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoPropiedad:Si x + y = 90°, entonces, cosx = seny.

Análisis y procedimiento

Piden cosa.

θ

θA

C

L

2

2

2θB

M

2

66

α

M es punto medio de AB& AM = MB = 6CM = MB & m+MCB = m+CBM = q

Se traza la altura ML: & CL = LB = 2

MLB (teorema de Pitágoras):

2ML ML6 22 2 2&+ = =_ _i i

Se observa que: a + 2q = 90°Entonces:cosa = sen2qcosa = 2senqcosq

cosa = 262

62f dp n

` cosa = 3

2 2

Rpta. 3

2 2

Clave D

Pregunta 38

Si 0 < q < ,4π simplifica la expresión:

1 2 21 2 2

coscosE

sensen

θ θθ θ= + +

- +UNMSM 2011-II

A) cotq B) senq C) tanq D) cosq E) tan2q

Resolución:

Tema: Identidades trigonométricas del ángulo doble• 2sen2q = 1 - cos2q• 2cos2q = 1 + cos2q• sen2q = 2senqcosq

Análisis y procedimiento

Piden simplificar:

1 2 21 2 2

coscosE

sensen

θ θθ θ= + +

- +

Por identidades del ángulo doble:

2 22 2cos cos

cosEsen

sen sen2

2

θ θ θθ θ θ=++

2cos cos

cosE

sen

sen sen2

θ θ θ

θ θ θ=

++

__

ii

Simplificando tenemos:

cos

E senθθ=

` E = tanqRpta. tanq

Clave C

Pregunta 39

Si cosa = ,nm donde |m| ! |n|, halla el valor de:

K = (cota + csca)(tana - sena)

UNMSM 2012-II

A) mn 12

2- B) 1

nm2

2- C)

mnm 12 -

D) mn

m n2 2- E) mn

n m2 2-

Resolución:

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales

• tanqcotq = 1 • secq = cos1θ

• tanq = cossen

θθ • senqcscq = 1

Análisis y procedimiento

Dato: cosa =

nm ; |m| ! |n|

K = (cota + csca)(tana - sena)

K = cotatana - cotasena + cscatana - cscasena

K = 1 coscossen

sensen

sen1 1αα α

α αα- + -b bl l

K = -cosa + seca

Reemplazamos el dato:

K = nm

mn

mn

nm- + = -

` K = mn

n m2 2-

Rpta. mn

n m2 2-

Clave E

Page 13: Examen admision 2_do_grado

13

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Pregunta 40

Se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si CQ = a cm, AB = b cm; halla el valor de

ba .

A B

C

Q

45°30°

UNMSM 2013-I

A) 31 3 3-_ i B)

31 3 3+_ i C)

31 6 3-_ i

D) 31 6 3+_ i E)

31 3

Resolución:

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

n60°

30°

2n

n 3

n45°

45°n

n 2

Análisis y procedimiento

A B

C

Q

45°30°

30°

aa/2

a 3/2

a 3/2

b

tan30° = b

a21 3+_ i

ba = ºtan

3 12 30

+

ba = º

1tan3 1

2 3033 1

+ --f p

ba = 30ºtan 3 1-_ i

ba =

33 3 1-_ i

ba =

31 3 3-_ i

Rpta. 31 3 3-_ i

Clave A

Pregunta 41Determina el rango de la función:

f(x) = (2 + senx)(2 - senx), x ! R

UNMSM 2014-I

A) [2; 4] B) [1; 3] C) [3; 4]D) [1; 9] E) [1; 4]

Resolución:

Tema: Funciones trigonométricas-1 # senx # 1 ; x ! R

Análisis y procedimientof(x) = (2 + senx)(2 - senx)

Aplicamos diferencia de cuadrados:f(x) = 4 - sen2x

Si x ! R & -1 # senx # 1 0 # sen2x # 1 0 $ -sen2x $ -1 4 $ 4 - sen2x $ 3 4 $ f(x) $ 3 3 # f(x) # 4

` f(x) ! [3; 4]

Rpta. [3; 4]Clave C

Pregunta 42

Sea:A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R}

Entonces podemos afirmar que:UNI 2011-I

A) A es una circunferencia.B) A es un segmento de recta.C) A es una semielipse.D) A es una recta.E) A es un segmento de parábola.

Resolución:

Tema: Ecuación paramétrica de la rectaRecuerda: cossen 12 2θ θ+ =

Análisis y procedimiento

Sea:A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R}

x = cos2t … (I)y = sen2t … (II)

Donde 0 # x # 1 / 0 # y # 1

Sumamos (I) y (II): x + y = 1

Se tiene la ecuación de un segmento de recta debido a que x e y están acotados.

Rpta. A es un segmento de recta.Clave B

Pregunta 43

Una escalera se encuentra apoyada en una pared haciendo un ángulo de 45°. Se resbala, la parte inferior se desliza 8 5 m2- de su posición inicial y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53°. ¿Cuántos metros mide la escalera?

UNI 2012-II

A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 16

Page 14: Examen admision 2_do_grado

14

Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de

exámenes de admisión

2.° de Secundaria

Resolución:

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoTriángulos rectángulos notables

45°

45°k

k

k 2

3k

4k

5k53°

37°

Análisis y procedimiento

Sea AB la longitud de la escalera.A

3k

A'

B' B M4k - 8 + 5 28 - 5 24k

Si A'M = 3k, entonces B'M = 4k y A'B' = 5k.

Se observa que AB = A'B'.

k4 8 5 2 2- +_ i = 5k k4 2 8 2 10- + = 5k 810 2- = k k5 4 2- 2 5 4 2-_ i = k 5 4 2-_ i

k = 2

` AB = 5k = 5(2) = 10Rpta. 10

Clave B

Pregunta 44

Si secx = csc2q - cot2q, determina:

E = 2 cot cossec tan

xx2 2

θθ

- +-

UNI 2013-I

A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1 E) 3/2

Resolución:

Tema: Identidades trigonométricas de arco doble

• tan2xb l = cscx - cotx

• sec2x = 1 + tan2x

Análisis y procedimiento

De la condición: secx = csc2q - cot2q secx = tanq … (I) cosx = cotq … (II)

Nos piden E:

E = 2 cot cossec tan

xx2 2

θθ

- +-

E = cot costan tan

xx

21 2 2

θθ

- ++ -

Reemplazamos (I) y (II) en la expresión:

E = cos cossec tan

x xx x

21 2 2

- ++ -

E = 2

1 1+

` E = 1Rpta. 1

Clave D

Pregunta 45

Si tan2a = 2tan2x + 1, halla el valor de y = cos2a + sen2x.

UNI 2014-I

A) sen2a B) cos2a C) 1 + sen2aD) tan2a E) 1 + cos2aResolución:

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales• sec2q = 1 + tan2q

• secq = cos1θ

• sen2q = 1 - cos2q

Análisis y procedimiento

tan2a = 2tan2x + 1 1 + tan2a = 2(tan2x + 1)

sec2a = 2sec2x

cos12α

= cos x22

cos2x = 2cos2aNos piden: y = cos2a + sen2x y = cos2a + 1 - cos2x y = cos2a + 1 - (2cos2a) y = 1 - cos2a y = sen2a

Rpta. sen2aClave A

Pregunta 46

Si se cumple que cos(x - y) = 3senxseny, calcula tanxtany.

UNFV 2010

A) -2 B) -1/2 C) 1/2D) 1 E) 2

Resolución:

Tema: Arco compuestoRecuerda: cos(x - y) = cosxcosy + senxseny

Análisis y procedimiento

Al desarrollar cos(x - y) en la igualdad obtenemos:

cos(x - y) = 3senxseny cosxcosy + senxseny = 3senxseny cosxcosy = 2senxseny

21 =

cos cosx ysenxseny

` 21 = tanxtany

Rpta. 1/2

Clave C

Page 15: Examen admision 2_do_grado

15

Preguntas deexámenes de admisión

Preguntas de exámenes de admisión

Pregunta 47

Si: cosb

senxax=

Calcula: R = acos2x + bsen2x

UNFV 2011

A) a2/2 B) a2 C) b2

D) a E) b

Resolución:

Tema: Arco compuestoRecuerda: cos2x = 1 - 2sen2x sen2x = 2senxcosx

Análisis y procedimiento

Dato: cosb

senxax=

& senx = cosa

b x … (I)

Nos piden: R = acos2x + bsen2x

Por identidad de arco doble sabemos:R = a(1 - 2sen2x) + b(2senxcosx)

De (I) tenemos:

R = 1 2 2cos cos cosaa

b x ba

b x x2

- +d dn n> >H H

R = cos cosaab x b

ab x1 2 22

22 2- +< <F F

R = 2 2cos cosaab x

ab x

22

22- +

R = aRpta. a

Clave D

Pregunta 48

En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.

A

D

B

C

E

PUCP 2014-I

A) 2cosa cm B) 2cota cm C) 2sena cm D) 2tana cm E) 2seca cm

Resolución:

Tema: Razones trigonométricasRecuerda:

x

a

α

cotx a α=

Análisis y procedimiento

Dato: EF = 2 cmPiden: BC = x

x

A

D

B

C

α

α

E 2

2cotα

En el EBC: sena = cotx

2 α& x = 2cotasena = 2cosa

Rpta. 2cosa cm

Clave A