Download - Examen admision habilidades

11

Solucionario de Examen de Admisión UNMSM 2010-I

HABILIDAD VERBAL

Tema

Series verbales

Referencias

Ejercicio de aptitud verbal que consiste en

interrelacionar un conjunto de palabras a través

de vínculos semánticos (sinonimia, antonimia,

inclusión, etc.), lógicos (causalidad, jerarquía,

meronimia, etc.) y/o conceptuales, engarzadas

mediante una regla de formación. La finalidad

del ejercicio es medir el conocimiento lexical

del estudiante y desarrollar la capacidad de

asociación lógico-semántica entre las ideas.

Pregunta N.º 1

Diálogo, coloquio, conversación, ................

A) idioma.

B) facundia.

C) rumor.

D) banquete.

E) tertulia.

Solución

Análisis y procedimiento

En la presente serie, se observa una relación de

sinonimia respecto del término conversación.

Por ende, el término que continúa a dicha serie

es tertulia.

Solucionario de Examen

Solucionario de Examen

de Admisión de Admisión UNMSM 2010-I

UNMSM 2010-I

Habilidades

Se descarta el vocablo facundia ya que alude a

la afluencia y facilidad en el hablar y no al acto

mismo de conversar.

Respuesta

Tertulia

Pregunta N.º 2

¿Cuál es el término que no corresponde a la serie?

A) impávido

B) impresionable

C) imperturbable

D) impasible

E) impertérrito

Solución


El campo semántico de la serie vincula sinónimos

del término impávido que significa sujeto

sereno, tranquilo. Por ende, el término que no

corresponde a dicho campo semántico es la

palabra impresionable por ser antónimo ya que

este adjetivo significa sujeto fácil de impresionar

o propenso a recibir una impresión.

Respuesta

Impresionable

HabilidadesHabilidades


22

Tema

Eliminación de oraciones

Referencias

Ejercicio de aptitud verbal que consiste en identi-

ficar y excluir la oración impertinente (disociada o

redundante) para desarrollar la idea central de un

texto constituido por cinco unidades informativas.

De ahí que resulta crucial identificar el tema en la

que se sustentan las demás informaciones.

Pregunta N.º 3

(I) El amaranto o kiwicha (Amaranthus caudata)

fue una planta sagrada para los incas. (II) Per-

tenece al conjunto de alimentos más antiguos

con valor nutritivo. (III) Sus granos tienen más

proteínas, calcio, hierro, fósforo que los del cen-

teno. (IV) Como alimento, es comparable con

la quinua. (V) La quinua es una planta anual,

oriunda de América.

A) III B) IV C) II

D) I E) V

Solución


El tema gira en torno al valor nutritivo de la

kiwicha. La primera oración presenta el tema,

la segunda refiere que el valor nutritivo se le

reconoce desde la antigüedad. La tercera resalta

el contenido proteico, y la cuarta reitera su valor

alimenticio. La oración V se elimina por diso-

ciación, ya que habla de la quinua.

Respuesta

Es la oración V.

Pregunta N.º 4

(I) Los pastores protegían sus rebaños con hondas. (II) La honda era un arma de guerra común en el antiguo Oriente Medio. (III) Muchos ejércitos tenían unidades de lanzadores de honda. (IV) La honda se ha usado en las guerras medievales. (V) El lanzador ponía la piedra en el cuero, tomaba las dos cuerdas y hacía girar la honda en el aire soltando una de las cuerdas y liberando la piedra.

A) II B) IV C) ID) V E) III

Solución


El tema central es el uso de la honda como arma de guerra. Se elimina la oración I por disociación, ya que refiere el uso de la honda por los pastores.

Respuesta

Es la oración I.

Pregunta N.º 5

(I) A diario convivimos con millones de gérmenes que se encuentran en el ambiente, en la casa y en el lugar de trabajo. (II) Algunos gérmenes resultan inocuos, pero otros pueden generar desde leves hasta graves enfermedades. (III) Virus, hongos y bacterias son microorganismos que se reprodu-cen en lugares insospechados para los humanos. (IV) El contacto diario con microorganismos puede causar enfermedades. (V) Los microor-ganismos se encuentran, frecuentemente, en los alimentos expuestos en la vía pública y en los botes de basura.

A) I B) V C) IIID) IV E) II



33

Solución


En el presente ejercicio, está referido a infinidad

de lugares donde se encuentran los gérmenes o

microorganismos, que pueden causar enferme-

dades en las personas. Se elimina la oración

IV por ser redundante con el contenido de la II

oración.

Respuesta

Es la oración IV.

Tema

Comprensión de lectura

Referencias

La comprensión lectora es una de las actividades

académicas más importantes para la adquisición

y perfeccionamiento del conocimiento y para

la formación del espíritu crítico. Consiste en la

interacción entre el lector y el texto, en el que inter-

vienen diversos factores tales como los procesos

de análisis y síntesis, el proceso de inferencia y

extrapolación, además de los conocimientos pre-

vios textuales y culturales. Todos estos procesos

se ven reflejados en los niveles de comprensión

y que se evalúan a través de los distintos tipos

de preguntas.

Pregunta por idea principal o tema central

La idea principal es el enunciado que expresa

el contenido esencial del texto y se manifiesta

generalmente mediante una oración que incluye

el aspecto más relevante del tema central; por

ejemplo, el aborto es un delito y como tal debe

ser penalizado, la contaminación ambiental

es la causa principal del calentamiento global.

En cambio, el tema central es la palabra o frase

nominal que encierra el concepto principal del

texto; por ejemplo, el aborto, la contaminación

ambiental, etcétera.

Preguntas por sentido contextual

El sentido contextual es aquel significado que

adquiere un término o locución de acuerdo al

contexto lingüístico en que aparece. El lector

debe expresar este significado con otro u otros

términos equivalentes.

Pregunta por compatibilidad o incompa-

tibilidad

Una idea compatible es aquella que concuerda

con el contenido del texto y mantiene su cohe-

rencia, puede ser tácita o expresa. Para que una

afirmación sea compatible con lo leído debe

coincidir con el tema, la tesis y la intención del

autor. En cambio, la idea incompatible constituye

una negación de alguna idea principal o secun-

daria del texto.

Pregunta por inferencia

La inferencia es un razonamiento que consiste

en hacer explícitas las ideas implícitas del texto

a partir de una o varias premisas (información

literal). Cabe recordar que toda deducción o

conclusión que se extraiga del texto se sustenta

solo en él.

Pregunta por extrapolación

Una vez que se ha comprendido cabalmente el

texto, el lector puede hacer extrapolaciones, es

decir, aplicar o trasladar las conclusiones del autor

a otro campo o situación diferente que no se ha

descrito en el texto. Además, toda extrapolación

siempre es probable y se justifica solo a partir de

los datos vertidos en el texto.



44

Texto N.º 1

Algunas personas dicen que la televisión es el

invento más grande del siglo XX. Otras afirman que

es un gran consumidor de tiempo valioso y una

mala influencia para el país. Hay quienes culpan

a la televisión de fomentar la violencia, de incitar

a los jóvenes televidentes a imitar a criminales y

héroes pistoleros. Otras personas dicen que la

televisión convierte en vegetales pasivos a las

personas que no hacen más que sentarse frente

a la pantalla.

Sin embargo, hay otros que ven a la televisión

como el educador más efectivo de la historia, que

lleva hasta el hogar del más humilde ciudadano las

maravillas y conocimientos del mundo. Algunas

personas dicen que es un pasatiempo inofensivo,

que brinda un escape a los problemas de la vida

diaria. Por otra parte, los niños de hoy parecen

saber más acerca del mundo que lo que sus pa-

dres y abuelos sabían a la misma edad. Muchos

educadores dan a la televisión parte del crédito

por este incremento de los conocimientos.

Los argumentos surgen por doquier. Para cada

declaración convincente sobre los perjuicios de

la televisión, hay otra sobre sus beneficios. La

televisión es un tema de controversia sobre el

cual todos deben tomar posición. Esa caja con

ventana de cristal, que está en casi todos los

hogares del país, exige una decisión diaria. Ver o

no ver es la decisión

Pregunta N.º 6

En síntesis, el texto aborda el fenómeno de la

televisión como

A) un factor positivo.

B) una influencia negativa.

C) un invento inofensivo.

D) una técnica educativa.

E) un asunto polémico.

Solución

Referencias

Pregunta por idea principal o tema central.



televisión como un asunto polémico. El autor

expone una serie de opiniones a favor y en contra

de la televisión. Finalmente, concluye que es un

tema de gran controversia y que, por lo tanto,

exige una decisión constante de ver o no televisión

ya que hay programas televisivos que son aptos

para elevar nuestra cultura, mientras que otros

resultan perjudiciales.

Se descartan las otras alternativas, pues solo

señalan algunos de los puntos de vista citados

por el autor.

Respuesta


televisión como un asunto polémico.

Pregunta N.º 7

Se dice que la televisión es una mala influencia

social porque

A) suele ser un pasatiempo inofensivo.

B) acarrea la pérdida de tiempo valioso.

C) presenta críticamente imágenes violentas.

D) exige una crucial decisión cotidiana.

E) crea una brecha intergeneracional.

Solución

Referencias




55



social porque acarrea la pérdida de tiempo

valioso ya que, según sus críticos incita a la vio-

lencia y vuelve al televidente en un ente pasivo.

Se descarta la alternativa C porque la televisión no

presenta críticamente imágenes violentas, al contra-

rio, las incita mediante programas cuyo contenido

se centra en crímenes y hechos de sangre.

Respuesta


social porque acarrea la pérdida de tiempo

valioso.

Pregunta N.º 8

Se puede argumentar que la televisión es,

principalmente, beneficiosa porque

A) critica el crimen social.

B) suscita mucha controversia.

C) permite un escape a los problemas.

D) está en todos los hogares.

E) aumenta los conocimientos.

Solución

Referencias



Se puede argumentar que la televisión es, principal-

mente, beneficiosa porque aumenta los conoci-

mientos. Dentro de las opiniones recogidas por el

autor se indica que, para muchos docentes, la televi-

sión tiene el mérito de acrecentar los conocimientos,

esto debido a que los niños saben mucho más del

mundo que sus progenitores cuando ellos tenían la

misma edad, tal postura serviría para argumentar a

favor del aporte cultural de la televisión.

Se descarta la alternativa C, pues al permitir

un escape de los problemas nos vuelve entes

pasivos, lo cual no constituye beneficio alguno

para el televidente.

Respuesta

Se puede argumentar que la televisión es,

principalmente, beneficiosa porque aumenta

los conocimientos.

Pregunta N.º 9

La expresión vegetales pasivos alude,

principalmente, a una vida

A) agresiva.

B) irreflexiva.

C) inofensiva.

D) apacible.

E) incierta.

Solución

Referencias



La expresión vegetales pasivos alude, prin-

cipalmente a una vida irreflexiva puesto que

el televidente no hace más que sentarse frente

a la pantalla y asimilar acríticamente lo que la

televisión le muestra.

Se descarta las alternativas inofensiva y apacible

porque la primera es una persona que no hace

daño a otras y la segunda alude a una persona

dócil y agradable en el trato, los cuales no con-

cuerdan con el sentido de irreflexivo.

Respuesta

La expresión vegetales pasivos alude, principal-

mente a una vida irreflexible.



66

Pregunta N.º 10

Si todos concordaran en que la televisión es el educador más efectivo de la historia, la caja con ventana de cristal

A) perdería su carácter controversial.B) reduciría su valor cognoscitivo.C) solo podría ser vista como algo lúdico.D) dejaría de tener credibilidad en el mundo.E) sería poco apreciada por los televidentes.

Solución

Referencias

Pregunta por extrapolación


Si todos concordaran en que la televisión es el educador más efectivo de la historia, la caja con ventana de cristal (la televisión) perdería su carácter controversial. Puesto que, hay puntos de vista divergentes, respecto a la televisión, esto ocasiona su permanente controversia. Sin embargo, si se pensara que solo es beneficiosa para la humanidad, por su notable efectividad en el plano educativo, la polémica en torno a la televisión desaparecería.Se descarta la posibilidad B puesto que no se reduciría su valor cognoscitivo (de conocimiento), más bien este se potenciaría en mayor medida.

Respuesta

Si todos concordaran en que la televisión es el educador más efectivo de la historia, la caja con ventana de cristal perdería su carácter controversial.

Texto N.º 2Quizá la principal fuerza moral de la literatura estribe en su poder de estimular y desarrollar la facultad de la imaginación.

Mediante la literatura nos transportamos más

allá del estrecho mundo en que reside la mayor

parte de nosotros, y nos trasladamos a un mundo

de pensamientos y sentimientos más profundos

y más variados que el nuestro, un mundo en

el cual podemos compartir las experiencias de

seres humanos (reales y ficticios) que están muy

lejos de nosotros en el tiempo y en el espacio, en

actitud y modo de vida. La literatura nos hace

entrar en los procesos afectivos de otros seres

humanos; y, hecho esto, ningún lector inteligente

podrá ya condenar o repudiar en conjunto a

una amplia fracción de la humanidad, bajo el

rótulo de "extranjeros", simplemente como masa,

porque gracias a la literatura viven ante nuestros

ojos como individuos, animados por las propias

pasiones que nosotros, enfrentados con idénticos

conflictos y purificados en el mismo crisol de la

amarga experiencia.

A través del ejercicio de la imaginación compren-

siva, la literatura tiende a reunir a los hombres,

en lugar de mantenerlos separados en grupos

convenientemente clasificados y etiquetados. La

literatura, más que la prédica o los razonamientos

científicos, tiende a unir a la humanidad mos-

trando la naturaleza común que hay en nosotros,

tras la fachada de las doctrinas que dividen, de

las ideologías políticas y de los sentimientos

religiosos.

Pregunta N.º 11

Centralmente, el texto propone que la literatura

dota a los hombres de una

A) imaginación intensa y frenética.

B) sensibilidad profundamente religiosa.

C) visión más amplia del mundo.

D) ideología política fundamentalista.

E) concepción sectaria del mundo.



77

Solución

Referencias

Pregunta por tema central o ideal principal



dota a los hombres de una visión más amplia

del mundo.

Según el texto, mediante la literatura los lectores

accedemos a mundos más profundos y variados,

podemos compartir la experiencia con otros seres

humanos gracias al estímulo y el desarrollo de

nuestra imaginación. De esta manera entramos en

procesos afectivos con otras personas y logramos

una visión más panorámica de la realidad.

La opción A no constituye respuesta porque la

literatura estimula y desarrolla nuestra imaginación,

pero no en proporciones desenfrenadas.

Respuesta


dota a los hombres de una visión más amplia

del mundo.

Pregunta N.º 12

Puede entenderse que la literatura nos enseña

mediante

A) ejemplos de situaciones humanas.

B) enunciados morales abstractos.

C) argumentaciones sobre situaciones.

D) monólogos de contenido moral.

E) imágenes ideológicas o religiosas.

Solución

Referencias



Puede entenderse que la literatura nos enseña mediante ejemplos de situaciones humanas dado que se constituye no solo en un medio para conocer otras experiencias sino que se convierte en un cordón umbilical que nos sensibiliza con ese mundo que está más allá de nuestro entorno rutinario, generando una empatía de ideas y sentimientos.La alternativa C queda descalificada como respuesta porque la literatura nos permite compartir situaciones diversas con otras personas y no propiamente argumentaciones sobre dichas situaciones.

Respuesta

Puede entenderse que la l i teratura nos enseña mediante ejemplos de situaciones humanas.

Pregunta N.º 13

Dado el contexto, el adjetivo estrecho connota, principalmente,

A) homogeneidad.B) provincianismo.C) inclusión.D) cosmopolitismo.E) apertura.

Solución

Referencias

Pregunta por sentido contextual


En el texto, el adjetivo estrecho connota, princi-palmente, provincianismo, pues hace referencia a lo limitado del mundo individual o social que experimentamos cada uno de nosotros, lo cual se puede ampliar gracias a la literatura.



88

Se descalifica la alternativa A porque el adjetivo

de la pregunta no se refiere a la existencia de

pensamiento y sentimiento uniformes o iguales;

asimismo queda desvirtuada la opción C, dado

que no implica que nuestro mundo necesaria-

mente coincida con todas las situaciones que nos

ofrece la literatura.

Respuesta

El adjetivo estrecho connota, principalmente,

provincianismo.

Pregunta N.º 14

Quienes hayan leído grandes obras literarias,

haciendo de ellas parte de su vida,

A) serán más tolerantes y comprensivos.

B) se identificarán con el pensamiento de un

autor.

C) aceptarán libremente los prejuicios.

D) adquirirán nuevas virtudes religiosas.

E) desplegarán su fantasía en toda circunstancia.

Solución

Referencias



Quienes hayan leído grandes obras literaturas,

haciendo de ellas parte de su vida, serán más

tolerantes y comprensivos. Al compartir otras

experiencias humanas mediante la literatura nos

identificamos con ellas viéndolas como un reflejo

de las nuestras. Asimismo, la literatura incide en

los procesos afectivos predisponiéndonos para

un cambio de actitud ante situaciones que antes

de la lectura podríamos considerar como ajenas.

Se descarta la opción B, porque la literatura

nos remite a pensamientos y sentimientos que

trascienden los del autor, así como la opción

E, pues lo que se despliega como facultad es la

imaginación más que la fantasía y además ese

despliegue no es vago ni superficial, sino profundo

y humano.

Respuesta

Quienes hayan leído grandes obras literarias,

haciendo de ellas parte de su vida, serán más

tolerantes y comprensivos.

Pregunta N.º 15

El principal efecto de la literatura sobre los lectores

consiste en que esta

A) permite su identificación con las posiciones

ante la vida.

B) cuestiona una amplia gama de ideas políticas

y religiosas.

C) hace percibir a los otros como grupos opuestos

a los nuestros.

D) hace ver a los otros como seres ficticios, pero

similares a nosotros.

E) los hace sentir parte de un mundo compartido

con otros hombres.

Solución

Referencias



El principal efecto de la literatura sobre los lectores

consiste en que los hace sentir parte de un

mundo compartido con otros hombres.

La literatura, según el autor, enseña a adoptar una

actitud humanista y cosmopolita del ser humano.

Los hombres no son seres que forman grupos

aislados sino miembros de una colectividad a ser

compartida como obra común.



99

La opción A no constituye respuesta ya que, según el texto, identificarse con posiciones ante la vida alimenta el sectarismo y no fomenta la actitud tolerante propia del quehacer literario.

Respuesta

Los hace sentir parte de un mundo compartido

con otros hombres.

Texto N.º 3

La cultura y el lenguaje articulado son propios de

los humanos: estas dos características marcan la

diferencia específica de nuestra especie respecto de

todas las demás. El humano tiene la capacidad de

ir amoldando y transformando no sólo la naturale-

za, sino sus propias relaciones con el mundo y con

su propia forma de vivir. A través de su historia,

el hombre crea y modifica su propia relación con

el mundo y la transmite a su descendencia, lo

cual implica el desarrollo de sistemas simbólicos

complejos y variados, y que tienen un importante

grado de arbitrariedad. No obstante, hoy en día se

discute si esta facultad es realmente exclusiva del

ser humano. A partir del estudio de los posibles

sistemas simbólicos de primates y cetáceos, se nos

ofrece la posibilidad de descartar la mencionada

exclusividad. Pese a todo ello, es totalmente válido

mantener la perspectiva antropológica y hablar de

cultura como el modo propio del ser humano de

relacionarse con el mundo.

La relación con el mundo implica relacionarse

con la naturaleza, con los demás, consigo mismo,

con la trascendencia; nos relacionamos con el

mundo a partir de formas de mirar, de sentir, de

expresarnos, de actuar, de evaluar. Aunque las

expresiones materiales manifiestas son parte de

la cultura, es importante entender que, en tanto

viva, una cultura no se reduce nunca a la suma

de todas sus producciones. Lo central de la cul-

tura no se ve; se encuentra en el mundo interno

de los seres culturales y son todos los hábitos

adquiridos y compartidos con los que nos rela-

cionamos con el mundo. Por esta razón, podemos

afirmar que la cultura, a la vez que se internaliza

individualmente, es un hecho eminentemente social, puesto que es compartida y se socializa permanentemente, en todas las interacciones de la sociedad, y en forma muy particular en los procesos educativos.

Pregunta N.º 16

El texto trata, principalmente, acerca de

A) los sistemas simbólicos que los humanos comparten con otras especies animales.

B) la cultura y los sistemas simbólicos como características exclusivas de los primates.

C) la cultura como el modo particular en el que los humanos se relacionan con el mundo.

D) las posibilidades de comunicación mediante los sistemas simbólicos de los primates.

E) la cultura como un atributo de las especies capaces de comunicación simbólica.

Solución

Referencias



El texto trata centralmente sobre la cultura como el modo particular en el que los humanos se relacionan con el mundo. En la lectura se explica la naturaleza de la cultura. Esta es "el modo propio del ser humano de relacionarse con el mundo". En ese sentido, lo "central de la cultura no se ve", pues es una relación, un vínculo especial entre el hombre y el mundo.Un distractor a considerar es la alternativa B; sin embargo, el autor no afirma que la cultura sea exclusiva de los primates.



1010

Respuesta

El texto trata, principalmente, acerca de la

cultura como el modo particular en el que

los humanos se relacionan con el mundo.

Pregunta N.º 17

De acuerdo con el texto, considerar a la amistad

como algo valioso sería, sobre todo, un hecho

A) natural.

B) simbólico.

C) significativo.

D) cultural.

E) íntimo.

Solución

Referencias





cultural. Según lo leído, la cultura es la relación

peculiar entre el hombre y el mundo. Esto implica

que la relación entre los hombres también es cul-

tura. Por tanto, la amistad es una manifestación

cultural.

Un distractor a considerar sería la alternativa C.

Sin embargo, si bien la amistad podría ser consi-

derada como una relación significativa, especial,

en el contexto de la lectura es esencialmente un

hecho cultural.

Respuesta



cultural.

Pregunta N.º 18

Se puede deducir del texto que la cultura es

A) estática, porque implica un proceso cíclico con

la naturaleza.

B) inmaterial, puesto que se vincula solo con la

naturaleza.

C) ubicua, debido a que se encuentra en lo

inanimado y en lo social.

D) racional, porque consiste exclusivamente en

los productos de la ciencia.

E) cambiante, porque se realiza en la interacción

social.

Solución

Referencias



Se puede deducir del texto que la cultura es cam-

biante, porque se realiza en la interacción

social. La cultura, a decir del texto, es el modo

propio del ser humano de relacionarse con el

mundo. Esto supone que la cultura se vitaliza con

la interacción social. En este sentido, la cultura es

dinámica, es decir, cambiante.

La opción B señala que la cultura es inmaterial,

puesto que se vincula solo con la naturaleza.

De acuerdo al texto, la lectura tiene expresiones

materiales e inmateriales y no se reduce solo a

una de tales manifestaciones.

Respuesta

Se puede deducir del texto que la cultura

es cambiante, porque se realiza en la

interacción social.



1111

Pregunta N.º 19

¿Cuál de los siguientes enunciados es incompa-tible con la argumentación del texto?

A) Los sistemas simbólicos humanos son com-plejos, heterogéneos y convencionales.

B) La cultura de toda comunidad posee una doble dimensión: individual y social.

C) Toda cultura es la suma de sus manifestaciones materiales del presente y del pasado.

D) La definición antropológica de la cultura incide en la relación humana con el mundo.

E) La tendencia a la vida en sociedad es una característica central de la especie humana.

Solución

Referencias

Pregunta por incompatibilidad al contenido textual


El enunciado incompatible con la argumentación del texto es que toda cultura es la suma de sus manifestaciones materiales del presente y del pasado. Según el autor, la cultura tiene manifestaciones tanto materiales como inmate-riales. No solo una construcción arquitectónica es cultura, también lo son las valoraciones que, por ejemplo, sobre la belleza y la bondad tengan los seres humanos. La afirmación reduce la cultura a lo material y resulta incompatible.La opción D señala que la definición antropológi-ca de la cultura incide en la relación humana con el mundo. Se trata de una afirmación compatible con la tesis del autor según la cual la cultura es propia de la condición humana.

Respuesta

Es incompatible con la argumentación del texto señalar que toda cultura es la suma de sus manifestaciones materiales del presente y del pasado.

Pregunta N.º 20

En virtud de las ideas del texto, se podría sos-

tener que

A) los sistemas simbólicos se heredan genética-

mente.

B) el sistema educativo es un modelizador

cultural.

C) los códigos culturales se transmiten intuitiva-

mente.

D) el lenguaje articulado es la única manera de

expresión humana.

E) la educación combate la socialización de la

cultura.

Solución

Referencias



En virtud de las ideas del texto, se podría sostener

que el sistema educativo es un modelizador

cultural. El texto concluye señalando que la

cultura se socializa con los procesos educativos. Es

decir, mediante los contenidos y las metodologías

de un sistema educativo es factible transmitir

las expresiones culturales de una sociedad. Los

miembros de una sociedad aprenden y reaprenden

su cultura dentro del sistema educativo.

La opción D señala que el lenguaje articulado

es la única manera de expresión humana, lo que

resulta falso puesto que se estaría dejando de lado

la cultura como elemento central.

Respuesta

En virtud de las ideas del texto, se podría sostener

que el sistema educativo es un modelizador

cultural.

Habilidades


12

HABILIDAD MATEMÁTICA

Pregunta N.º 21

Determine el número total de bolitas oscuras que habría en la figura 10.

fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4

. . .

A) 77 B) 45 C) 50D) 66 E) 55

Solución

Tema

Razonamiento inductivo

Referencias

En aquellos problemas en los cuales el procedimien-to resulta muy operativo, además de responder a una formación recurrente, se puede hacer uso de un tipo de razonamiento denominado razonamiento inductivo, en el cual se analizará casos particulares y sencillos manteniendo la forma inicial del problema para luego llegar a una conclusión.


Piden N.º total de bolitas oscuras en la fig. 10.

fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4

. . .fig. 10...

1 3 6 10

1 22× 2×3

23×4

24×5

210×11

2

N.º debolitasoscuras

N.ºtriangulares

x

...

. . .

→ x=55

Respuesta

La cantidad de bolitas oscuras en la figura 10 es 55.

Económico EmpresarialesPregunta N.º 22

Miguel, Mario, Fernando y David son sospechosos

de haber robado una billetera en una reunión

a la cual los cuatro habían asistido. Cuando se

les interrogó acerca del robo, ellos afirmaron lo

siguiente:

Miguel: Yo no fui.

Fernando: Mario fue.

Mario: Fernando miente al decir que fui yo.

David: Yo la robé.

Si se sabe que solo uno robó la billetera y que

tres mienten, ¿quién dice la verdad?

A) Miguel

B) Mario

C) David

D) Fernando

E) David y Fernando

Solución

Tema

Verdades y mentiras

Referencias

En este tipo de problemas, debemos poner

mucha atención a las afirmaciones que sean

contradictorias, pues de estas necesariamente

una será verdadera y la otra, falsa. En el caso de

una contradicción parcial, por lo menos una de

ellas será falsa.


De los datos, 3 personas mienten y solo una

persona dice la verdad.

Analizando los enunciados, tenemos

• Miguel: Yo no fui.

• Fernando: Mario fue.• Mario: Fernando miente al decir que fui yo.

contradicción

• David: Yo la robé.

Habilidades


13

De lo que deducimos que, entre Fernando y Mario, uno dice la verdad y el otro miente; como una sola persona dice la verdad, concluimos:• Miguel: Yo no fui. (F)• Fernando: Mario fue.• Mario: Fernando miente al decir que fui yo.

(V y F)

• David: Yo la robé. (F)

De lo dicho por Miguel, tenemos• Miguel: Yo no fui. (F)Entonces, Miguel fue.Luego, como solo hay un culpable.• Fernando: Mario fue. (F)• Mario: Fernando miente al decir que fui yo. (V)

Respuesta

La única persona que dice la verdad es Mario.

Pregunta N.º 23

Jaime, Carlos, Alberto y Juan nacieron en años distintos: 1982, 1983, 1985 y 1987, no necesa-riamente en ese orden. Si se sabe que el menor no es ni Jaime ni Juan, y que Jaime es tres años menor que Alberto, ¿cuál de las siguientes afir-maciones es correcta?

A) Alberto nació en 1985.B) Carlos nació en 1982.C) Jaime nació en 1983.D) Juan nació en 1985.E) Carlos nació en 1987.

Solución

Tema

Orden de información

Referencias

En este tipo de problemas se presenta un conjunto de personas, animales y objetos con sus respec-tivas categorías (características). La información brindada nos permite encontrar la relación correc-ta entre los sujetos y sus respectivas categorías.


Piden indicar una afirmación correcta.Del dato, Jaime es 3 años menor que Alberto.→ Jaime nació en 1985 y Alberto en 1982.

Años 1982 1983 1985 1987

Nombres Alberto Jaime

Del dato, se sabe que el menor no es ni Jaime ni Juan.→ Juan no nació en 1987, entonces, nació en

1983.

Por lo tanto, Carlos nació en 1987.

Años 1982 1983 1985 1987

Nombres Alberto Juan Jaime Carlos

Respuesta

La afirmación correcta es Carlos nació en 1987.

Pregunta N.º 24

En una caja hay 30 bolos numerados desde el 1 hasta el 30, todos con diferente numeración. ¿Cuántos bolos como mínimo se debe extraer al azar para tener la certeza de haber extraído, entre ellos, un bolo con numeración impar menor que 17?

A) 23 B) 22 C) 24D) 21 E) 25

Solución

Tema

Problemas sobre certezas

Referencias

La certeza es el conocimiento seguro de un evento, sin temor a equivocarse. Es el proceso que realizamos por el cual obtenemos el resultado de un problema con anticipación y este resultado puede verificarse en la práctica.

Habilidades


14


Del enunciado, en una caja hay 30 bolos nume-rados del 1 al 30.

1 2 3 1516 17 18 30

. . .

. . .

De los números del 1 al 30, reconocemos 8 números impares menores que 17: (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15).En el problema, deseamos con seguridad un bolo cualquiera de los 8.

2 4 6 1617 18 19 30

. . .

. . .1 3 59 11 13

715

22 bolas 8 bolas

En el peor delos casosnecesitamosextraer

22 + 1 =23

Respuesta

Se deben extraer al azar 23 bolos como mínimo.

Pregunta N.º 25

En un juego se lanzan tres dardos a un tablero circular idéntico a la figura adjunta; sólo se gana cuando los dardos inciden en sectores distintos y la suma de los dígitos que figuran en ellos es un número primo, sin importar el orden de lanzamiento. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ganar?

4

2

0

3

6

1

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 7

Solución

Tema

Razonamiento deductivo

Referencias

En este tipo de problemas se resuelven casos específicos a partir de una determinada regla general.

CASO GENERAL

CASOSPARTICULARES

deducción


De los seis números dados (0; 1; 2; 3; 4; 6) se pueden formar 20 grupos diferentes de tres nú-meros cada uno.

Grupo Suma de números

0; 1; 2 → 3 (primo) 0; 1; 3 → 4 0; 1; 4 → 5 (primo) 0; 1; 6 → 7 (primo) 0; 2; 3 → 5 (primo) 0; 2; 4 → 6 0; 2; 6 → 8 0; 3; 4 → 7 (primo) 0; 3; 6 → 9 0; 4; 6 → 10 1; 2; 3 → 6 1; 2; 4 → 7 (primo) 1; 2; 6 → 9 1; 3; 4 → 8 1; 3; 6 → 10 1; 4; 6 → 11 (primo) 2; 3; 4 → 9 2; 3; 6 → 11 (primo) 2; 4; 6 → 12

3; 4; 6 → 13 (primo)

Respuesta

Se puede ganar de 9 maneras diferentes.

Habilidades


15

Pregunta N.º 26

De un concurso de baile se retiraron 20 partici-pantes y quedaron más de la tercera parte del total. Si se hubieran retirado 5 más, quedarían menos 7 participantes. ¿Cuántos participantes había inicialmente?

A) 34 B) 30 C) 32D) 33 E) 31

Solución

Tema

Planteo de ecuaciones

Referencias

En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad. Para traducir una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática, se requiere de una gran capacidad de observación y abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la que una o más cantidades son desconocidas.


Sea x el número de participantes inicialmente (x ∈ Z+)De las condiciones se plantea:

• xx

x− > → >203

30 (I)

• x – 20 – 5 < 7 → x < 32 (II)

Luego, de (I) y (II) 30 < x < 32 → x=31

Respuesta

Por lo tanto, el número de participantes inicial-mente es 31.

Pregunta N.º 27

Al examen de un curso de Matemática, solo asistieron 3/4 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/5 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso?

A) 100 B) 75 C) 180D) 80 E) 120

Solución

Tema

Fracciones

Referencias

Una fracción es el cociente de dos números enteros positivos, llamados numerador y deno-minador; además, el numerador es diferente del múltiplo del denominador.

FND

= ← numerador

← denominador

donde: N ∈ Z+, D ∈ Z+; N ≠ Do


De los datos, el total debe tener cuarta y quinta, es

decir, debe ser 4o y 5

o a la vez, es decir, 20

o

.Para casos prácticos consideraremos el total como un 20x.De los datos:

Asisten No asisten34

(20 )=15x x 5x

Total: 20x

Aprueban Desaprueban35

(15 )=9x x 6x

Habilidades


16

Por dato: desaprobaron 30 alumnos.

→ 6x=30

x=5

Respuesta

El número total de alumnos matriculados es

20x=100.

Pregunta N.º 28

Si

abc×a=5481

abc×b=6264

abc×c=2349,

halle la suma de las cifras de abc2.

A) 30 B) 18 C) 21

D) 27 E) 24

Solución

Tema


Referencias

En este tipo de problemas se resuelven casos

específicos a partir de una determinada regla

general.

CASO GENERAL

CASOSPARTICULARES

deducción


Resolvemos la expresión pedida

(abc)2=abc×abc

De las expresiones indicadas y utilizando el algo-

ritmo de la multiplicación, deducimos que

a b c ×

a b c

2 3 4 9 ← abc×c

6 2 6 4 ← abc×b

5 4 8 1 ← abc×a

6 1 3 0 8 9

Luego, sumamos las cifras del producto

6+1+3+0+8+9=27.

Respuesta

La suma de cifras de (abc)2 es 27.

Pregunta N.º 29

En un país africano, la inflación en el mes de

septiembre fue del 10% y la inflación en el mes

de octubre, 5%. ¿Cuál es la inflación acumulada

durante estos dos meses?

A) 12,5% B) 15% C) 15,5%

D) 10,5% E) 16%

Solución

Tema

Tanto por ciento

Referencias

Si el valor de una magnitud cambia (aumenta o

disminuye), entonces, existe una variación, la cual

tiene el siguiente esquema.

cantidad inicial

cantidad final

aumento o disminución

Habilidades


17


De la información brindada tenemos

100 Septiembre 110 Octubre 115,5

inflación=10%(100) inflación=5%(110)

+15,5consideramos

100 comovalor inicial

+10 +5,5

Luego, la inflación acumulada fue

15 5100

100 15 5,

% , %×( )=

Respuesta

La inflación acumulada durante los meses de

septiembre y octubre fue de 15,5%.

Pregunta N.º 30

En la siguiente progresión aritmética, m es un entero positivo.

mn n

; . . . ; ; . . . ;( ) ( )+ +1 3 1

33 113términos términos

¿Cuál es el máximo valor de n – m?

A) 112 B) 21 C) 79D) 100 E) 50

Solución

Tema

Situaciones aritméticas

Referencias

Una sucesión puede denotarse como un conjunto ordenado de elementos relacionados al lugar que ocupa cada uno de ellos en la sucesión. Esta rela-ción se presenta acorde a una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. Entre las principales sucesiones numéricas se destacan la progresión aritmética y la progresión geométrica.


Sea la progresión aritmética

m

n n

m n

; . . . ; ; . . . ;

términos términos+( ) +( )

+

↓ ↓

1 3 1

33 113

++( ) = + +( ) =2 33 33 3 2 113r n r

Igualamos r en cada caso

332

803 2

−+

=+

mn n

Operando se tiene

19n – 2m – 3mn=94

19n – m(3n+2)=94

19n×3+38 – 3m(3n+2)=94×3+38

Luego de factorizar se forma una ecuación

diofántica, donde m y n ∈Z+.

(3n+2)(19 – 3m)=320

diferencia

6 1 5

10 3 7

26 5 21

106 6 100

máxima

Como nos piden (n – m) máximo, entonces, para

que m sea máximo el factor (19 – 3m) debe ser

mínimo, con lo que

19 – 3m=1

m=6 y n=106

(m – n)máx=100

Respuesta

El máximo valor de n – m es 100.

Habilidades


18

Pregunta N.º 31

Si a+b=1 y ab= 2, simplifique la expresión

(ab+ba)(aa+bb) – (aa/2+2b/2)

A) ab+1 B) ba+1 C) 1D) a+1 E) 0

Solución

Tema


Referencias

En este tipo de problemas, se resuelven casos específicos a partir de una deteminada regla general.

CASO GENERAL

CASOS PARTICULARES

deducción


Sea a+b=1 y ab= 2

Nos piden simplificar

M a b a b

M a b ab ab

b a a b a b

a b a b a

= + + − +

= + + ++ +

( )( ) ( )

( ) (

/ /

2 22 2

)) ( )

( ) ( ) (

/ /

/ / /

b a b

a b a b a b aM a b ab ab

− +

= + + + −+ +

2 2

2

2 2

2 2 2 2 2++2 2b / )

Reemplazando se tiene

M=a1+b1+[2]a/2+[2]b/2 – 2a/2 – 2b/2

Simplificando se tiene que M=1.

Respuesta

Al simplificar la expresión se obtiene 1.

Pregunta N.º 32

Si xy=2 (donde x>0), halle el valor de la expre-

sión ( ) ·( ) ( )4

2 6

2

2

xy x y xy y y

y yx x

x x

− −

−+

−.

A) 3 B) 11/4 C) 16/5D) 13/4 E) 16/3

Solución

Tema


Referencias

Leyes de exponentes:

Sea x ∈ R; se cumple

• xn · xm=xn+m

• (xn)m=(xm)n=xn·m

• x – n=1x

n

; x ≠ 0


Dato. xy=2 (x>0)

Piden el valor de

M=( ) ( ) ( )4

2 6

2

2

xy x y xy y y

y yx x

x x

− −

−+

−

Utilizando propiedades y leyes de exponen-

tes, podemos transformar la expresión; luego,

tenemos:

Mx x

x x

xy x y y xy y

y y= +−

=− −

−4

2 64

2

2 1

· ( )·( ) ( )

·( ) ( )

x0=1

Finalmente, reemplazamos xy=2 y operamos.

M = +−

=+

−= =

−

−4 2 2

2 2 6 2

1614

8 3

6545

134

2 2

2 1·

· ·

Respuesta

El valor de la expresión es 134

.

Habilidades


19

Pregunta N.º 33

En el conjunto de los números reales, definimos el operador ⊕ de la siguiente manera:

a b a bab

a b ab⊕ = +

>

− + ≤

10

0

,

( ),

si

si

Halle r1 ⊕ (r2 ⊕ r3), sabiendo que r1<r2<r3 son las raíces de la ecuación(2x – 1)(2x2 – 3x – 2)=0

A) 1/10 B) 1/5 C) – 1/10D) 1/3 E) 2/5

Solución

Tema

Operaciones matemáticas

Referencias

Una operación matemática es un proceso que consiste en la trnasformación de una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas que definen la operación.


Se define en R la siguiente operación matemática:

a b a bab

a b ab⊕ = +

− + ≤

1,

( ),

si >0 (I)

si 0 (II)

Piden el valor de M=r1 ⊕ (r2 ⊕ r3) si r1<r2<r3 ;

además estas son raíces de la ecuación

(2x – 1)(2x2 – 3x – 2)=0

Para hallar r1, r2 y r3 factorizamos la ecuación e

igualamos a cero (0) cada uno de los factores.

→ (2x – 1)(2x2 – 3x – 2)=0

2x +1x –2

→ ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 00 0 0

x x x− + − == = =

→ x=1/2 → x=–1/2 → x=2

Ordenando tenemos:

→ r1=– 1/2; r2=1/2 r3=2

Luego, reemplazando piden el valor de:

M = −

12

⊕ 12

2

( )α

⊕ .

En (α):

12

21

12

2

25

2 0

=+

=

>

(Por condición I)12

( )

⊕

M= ⊕− = − − +

−

<

12

25

12

25

12

25

0

( )Por condición II

∴ M=1

10

Respuesta

El valor de r1 ⊕ (r2 ⊕ r3) es 1

10.

Pregunta N.º 34

Si P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)).

A) 4/3 B) 1/3 C) 5/3D) 2/3 E) – 4/3

Solución

Tema

Operaciones matemáticas

Referencias

Una operación matemática es un proceso que consiste en transformación de una o más cantida-des en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas que definen la operación.

Habilidades


20


De las expresiones planteadas tenemos:

P(x)+Q(x)=ax+b

P(x) – Q(x)=a+bx

Determinamos lo siguiente:

P x

a b x a b( )

( ) ( )= + + +2

Q x

a b x a b( )

( ) ( )= − − −2

Además, P(5)=4

P

a b a b( )

( )· ( )5

52

4= + + + =

Luego, a+b=4/3

Se pide: P(Q(1))

Q

a b a b( )

( )· ( )1

12

0= − − − =

Luego

P(Q(1))=P(0)=( )· ( ) /a b a b+ + + = =0

24 3

223

El valor de P(Q(1)) es 2/3.

Pregunta N.º 35

Si 7 – 3r – 6(7 – 2r)=71 – r, calcule el valor de la expresión

11

11 2

148 49( )( ) ( )( )

...( )( )− −

+− −

+ +− −r r r r r r

A) 7/5 B) 87/98 C) 4/5D) 48/49 E) 49/50

Solución

Tema

Series

Referencias

En este tipo de serie notable, para llegar a reducir-la hay que descomponer cada sumando teniendo en cuenta la siguiente forma.

1 1a b

b aab

− = −


Piden el valor de la expresión

Er r r r r r

=− −

+− −

+ +− −

11

11 2

148 49( )( ) ( )( )

...( )( )

Hallaremos el valor de r en el dato

7– 3r – 6(7– 2r)=71 – r

Multiplicamos por 73r

7– 3r ×73r– 6(7– 2r)×73r=(71 – r)×73r

70 – 6×7r=72r+1

Por aspa simple en

7(7r)2+6(7r) – 1=0

7(7r) – 17r +1

→ 717

1r r= − o 7 =

r=– 1 ∃r ∈ R

Luego, reemplazamos en lo pedido

E =×

+×

+ +×

11 2

12 3

149 50

...

E = − + − + + −112

12

13

149

150

...

E = − =1150

4950

Respuesta

El valor de la expresión E es 4950

.

Habilidades


21

Pregunta N.º 36

En la f igura, ABCD es un rectángulo y

OC=PD=14

CD. Si M y N son puntos medios de

BC y AD, respectivamente, halle la razón entre el

área de la región sombreada y el área de la región no sombreada.

A) 3/5

A

B

D

C

O

P

M

N

B) 8/3C) 5/3D) 3/8E) 5/8

Solución

Tema

Áreas

Referencias

El área de una región plana es la medida que indica cuántas veces contiene dicha región a la región unitaria.

Además

A

B C

SS

D

B

A

C

D

2SS

S

121


Se pide A

AR. somb.

R. no somb.

B

A

M CK

KP

O

DN

2K 4K

S3

S2

S1

Dividimos la región sombreada de forma

conveniente.

K

K

2K

S

S

4S

S

S4S

4S

Entonces

• AR. somb.=10S

• AR. no somb.=6S

∴ A

ASS

R. somb.

R. no somb.= =10

653

Respuesta

La razón entre el área de la región sombreada y

el área de la región no sombreada es 5/3.

Habilidades


22

Pregunta N.º 37

En la figura, los puntos A, B y C son centros de

las circunferencias tangentes. Si el radio de la

circunferencia mayor es 5 cm, halle el perímetro

del triángulo ABC.

A

B

C

A) 5 cm B) 10 cm C) 15 cmD) 20 cm E) 8 cm

Solución

Tema

Perímetos

Referencias

El perímetro de una región es la medida de la

longitud de la línea (o líneas) que conforman el

borde o contorno de una región. El perímetro

de una región se denota como 2p, donde p es

el semiperímetro.

b

b b

a

b

a c

2 =4p b 2 =2( + )p a b 2 = +p a b+c

b

b b

a

b

a c

2 =4p b 2 =2( + )p a b 2 = +p a b+c


Se pide el perímetro del triángulo ABC.

A

B

C

r1

r1

r2r2

P

N

M

5

En el gráfico, M, N y P son puntos de tangencia.

Además

AM=AP=r1

BN=BP=r2

Del dato tenemos

CM=CA+r1=5

CN=CB+r2=5

Luego

2

2 5 5 10

1 2

p CA AB CB

CA r r CB

p

ABC

ABC

= + += + + +

= + =

Respuesta

El perímetro del triángulo ABC es 10 cm.

Pregunta N.º 38

En la figura, halle AB, dado que (AE)(AC)=128.

A) 8,0

A

B

E C

D

B) 6,4C) 7,2D) 7,5E) 8,4

Habilidades


23

Solución

Tema

Razonamiento geométrico

Referencias

En todo triángulo rectángulo se cumple:

A H C

B

AB2=AH×AC

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo


Dato: (AE)(AC)=128 (I)Piden AB=x.Trazamos BH en el triángulo ABE (isósceles).

90–90–

90–

HA a a E

D

C

B

x

Del gráfico AE=2a, en (I), 2a×(AC)=128→ a×(AC)=64Luego en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos la referenciaAB2=AH×AC ↓ ↓x2 = a×(AC)=64 → x=8

∴ AB=8

Pregunta N.º 39

En la figura, se tiene que Q es el punto medio

de BC, MP//AC y AQ // FP. Si AB=6 cm y

mMPF=13

m(MPF )MAF, halle MQ.

A

B

Q

P

C

M

F

A) 2 cm B) 3/2 cm C) 1 cmD) 2/3 cm E) 3 cm

Solución

Tema


Referencias y/o Contexto

Considere lo siguiente:

a

aaM

A

B

C

CM: Mediana relativa a la hipotenusa

b

b

a

aR S

M P

N

RS: base media y RS // MP

Habilidades


24


Datos:AB=6 m; Q es punto medio (BQ=QC=a); mBAF=3α; m =α.Piden MQ.Como MP // AC y AQ // FP (dato), entoncesmMAF=α y mMAB=2α

Dado que AMB es triángulo rectángulo, aprove-chamos la referencia, trazando la mediana MR; además, RQ es base media (RQ // AC).

A C

Q

B

R

3

3 3 2

Mx

2

a

aP

F

Como RQ // AC, entonces, mRQA=mQAC=α. F i n a l m e n t e , e n e l t r i á n g u l o R M Q , mQRM=α=mRQM; por tanto, RMQ es isósceles y MQ=3.

Respuesta

MQ=3 cm.

Pregunta N.º 40

En la figura, el radio de una rueda es el triple del radio de la otra. Si la longitud de la correa de transmisión de ambas ruedas mide M, halle la longitud del radio menor.

A) 3

14 12 3M

π +

B) 3

8 12 3M

π +

C) 3

12 8 3M

π +

D) 3

14 14 3M

π +

E) 3

8 14 3M

π +

Solución

Tema


Referencias

Considere los siguiente:

NM

rr

r

R

ABR–r

R+r

C

Rr2

Por ejemplo, si R=3r, tenemos

30º

=60º 4r

2r 3

2r

A

C B

y por lo tanto

CB=MN r= 2 3

Habilidades


25


Dato:

Radios de las ruedas: r y 3r

Longitud de la correa=

mAMB+BC+mCND+DA=M (*)

N

60º60º

240º

120ºr

O2

O1

3r

2r 3

2r 3

A

BM

C

D

Aplicando la referencia tenemos:

como 240º<>23

(360º) y 120º<>13

(360º):

• mAMB r r = [ ]=23

2 3 4π π( )

• mCND rr

= [ ]=13

223

π π( )

Reemplazando en (*) obtenemos

4π π

r rr

r M+ + + =2 323

2 3

→ r M14 12 3

3π+

=

∴ rM=

+3

14 12 3π

Respuesta

La longitud del radio menor es 3

14 12 3M

π+.

Conocimientos


26

Conocimientos

MATEMÁTICA

Pregunta N.º 41

Dos números naturales difieren en cuatro unidades. Si el producto de su mínimo común múltiplo con su máximo común divisor es 96, halle la suma de dichos números.

A) 24 B) 20 C) 36

D) 18 E) 22

Solución

Tema

MCD y MCM


Si A y B son dos números naturales, tal que se

cumple que

MCD A B d

A d pB d q

;( )= →==

PESI

Además,

MCM(A; B)=d×p×q

Entonces, para dichos números A y B se tiene

MCD(A; B)×MCM(A; B)=d×d×q×p= d p d qA B

× × ×

∴ MCD(A; B)×MCM(A; B)=A×B


Sean a y b los números con a > b

Por dato

• a – b=4

• MCM MCDa b a ba b

; ;( ) ( )=×

96

Entonces, debemos encontrar dos números

naturales a y b tal que cumplan lo siguiente:

a – b=4 y a×b=96

↓ ↓ ↓ ↓ 12 8 12 8 (único caso)

∴ a+b=20

Por lo tanto, la suma de dichos números es 20.

Respuesta

La suma de dichos números es 20.

Pregunta N.º 42

En un plano existen n puntos, en el que no hay

más de dos que sean colineales y con los cuales

se forman segmentos, tal que el número de estos

es igual a 5n. Halle el valor de n.

A) 9 B) 10 C) 8

D) 11 E) 15

Solución

Tema

Análisis combinatorio


Si de un conjunto de n objetos se quiere formar

grupos de r en r (r ≤ n), se utiliza la combinación,

cuya expresión matemática es la siguiente:

Cn

n r rrn =

−( ) ×!! !

Conocimientos


27


En el plano, tenemos n puntos donde no existe más de dos que sean colineales; entonces, al graficar se tendrá lo siguinte:

P1 P2P3

P4 P5

P6 PnP7

Pn–1

Donde: P1; P2; ...; Pn son los puntos.Se puede observar que, para formar los segmentos, es necesario escoger 2 puntos cualesquiera. (Nº de segmentos)=Cn

2=5n (dato)

nn

n!! !−( ) ×

=2 2

5

n n n

nn

−( ) × −( )×−( ) ×

=2 1

2 25

!

!

n – 1=10

n=11

Por lo tanto, existen 11 puntos.

Respuesta

El valor de n es 11.

Pregunta N.º 43

El producto de dos números es 64 y la suma de sus raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media armónica de dichos números.

A) 64/5 B) 23/5 C) 42/5D) 47/5 E) 32/5

Solución

Tema

Promedios


Un promedio es un valor representativo para un conjunto de datos.

Los promedios más importantes son: Media Aritmética (MA); Media Geométrica (MG); Media Armónica (MH) en particular, para 2 datos a y b se cumple:

MAa b= +

2MH

a b

aba b

=+

++

21 1

2MG ab=


Sean a y b los númerosPor condición del problema tenemos

• a×b=64 (I)

• a b+ =6 (II)

Elevando al cuadrado la expresión (II)

a b+( ) =2 26

a b ab+ + =2 3664

a+b+16=36

a+b=20 (III)

Como queremos calcular la MH de a y b tenemos

MHa b

a b= × ×

+= × =2 2 64

20325

De II

De II

Respuesta

La media Armónica de dichos números es 32/5.

Pregunta N.º 44

En un salón de 50 alumnos, la mitad de los hombres aprobó Matemática, los 2/3 de los hombres aprobaron Literatura y 1/7 de los hombres aprobó Historia. ¿Cuántas mujeres hay?

A) 6 B) 8 C) 7D) 4 E) 9

Conocimientos


28

Solución

Tema

Divisibilidad


Si al dividir un número natural A entre otro natural B la división resulta exacta, entonces, A debe se

múltiplo de B (A=Bo).

Ejemplos

• Si N17

=(entero) → N=7o

• Si M12

=(entero) → M= 12o


SeaV: número de varone del salónM: número de mujeres de salón

Donde:• V+M=50

• cantidad de varones que aprobaron Matem ticaá

= 1

2V =(entero)

→ V=2o.

• cantidad de varones que aprobaron Literatura

= 2

3V =(entero)

→ V=3o.

• cantidad de varones que aprobaron Historia

= 1

7V =(entero)

→ V=7o.

Como V=

2o

7o3o

MCMo o

=( )=2 3 7 42, ,

Entonces, V K V= = ( ) < → =↓

( )

42 42 50 42

1

o

nica opci nú ó

.

Finalmente, tenemos que V+M=50

42+M=50

M=8

Por lo tanto, en el salón hay 8 mujeres.

Respuesta

Hay 8 mujeres.

Pregunta N.º 45

Halle el rango de la función f(x)=– x2+2x,

sabiendo que su dominio es igual al conjuntos

de los números reales.

A) (– ∞; 0] B) (– ∞; 1) C) (– ∞; ∞)D) [0; ∞) E) (– ∞; 1]

Solución

Tema

Funciones


Cálculo del rango de una función.Propiedades de desigualdades.


Se tiene la función f(x)=– x2+2x; x ∈ R.

Completamos el cuadrado.

f(x)=– (x2 – 2x+1)+1

f(x)=– (x –1)2+1

Como x es un número real, entonces (x – 1)2 ≥ 0

Conocimientos


29

Luego – (x – 1)2 ≤ 0

Sumamos 1 en ambos miembros.

− −( ) + ≤( )

xf x

1 1 12

f(x) ≤ 1

∴ Ran(f)=⟨– ∞; 1]

Respuesta

El rango de la función es ⟨– ∞; 1].

Pregunta N.º 46

Sea a un número real positivo diferente de 1. Halle el valor de y que satisface el sistema de ecuaciones ax+y=16, ax – 2y=1/4.

A) loga6 B) loga64 C) loga4D) loga16 E) loga8

Solución

Tema

Sistema de ecuaciones exponenciales.


Leyes de exponentes.Definición de logaritmo.


De la segunda ecuación obtenemos

a

aa

ax

yx

y

2

214 4

= ↔ =

Reemplazamos en la primera ecuación tenemos

ax · ay=16

→ =a

ay

y2

416⋅

→ a3y=64

Extraemos la raíz cúbica y obtenemos ay=4

Tomamos logaritmo en base a y obtenemos

y=loga4

Respuesta

El valor de y es loga4.

Pregunta N.º 47

Dada la ecuación 212

712

62

x x+ − + = − , halle la

suma de sus soluciones.

A) –1 B) – 2 C) − 34

D) 34

E) − 114

Solución

Tema

Valor absoluto


Factorización.Teoremas sobre ecuaciones con valor absoluto.


Factorizando la ecuación obtenemos

2

12

712

6 02

x x+ − + + =

212

x +

x + 12

– 3

– 2

→ + −

+ −

=212

312

2 0x x

→ + = ∨ + =x x

12

32

12

2

Conocimientos


30

→ + = ∨ + = − ∨ + =x x x

12

32

12

32

12

2

∨ + = −x

12

2

→ = ∨ = − ∨ = ∨ = −x x x x1 2

32

52

son las soluciones.

→ − −{ }CS= 2;

52

132

; ;

Respuesta

La suma de las soluciones es – 2.

Pregunta N.º 48

Si x e y son números enteros positivos que

satisfacen las ecuaciones x y

xx

x y+ +

+=

66 5

2 y

xy – x – y=9, halle el valor de 13x+9y.

A) 105 B) 104 C) 103D) 102 E) 106

Solución

Tema

Sistema de ecuaciones no lineales.


Resolución de ecuaciones irracionales y cua-dráticas.


El sistema de ecuaciones no lineales es

x yx

xx y

xy x y

+ ++

= ( )

− − = ( )

66 5

2

9

I

II

En la ecuación (I) observamos la adición de dos números recíprocos no negativos cuya suma es 5/2; luego, uno de ellos es 2 y el otro 1/2 o viceversa. Entonces, tenemos dos casos.

Primer caso

x yx

+ =6

2 ; con x e y enteros positivos.

→ + = → =x y

xy x

64 23

Analizamos la ecuación (II).

xy – x – y=9 → xy – x – y+1=10

→ (x –1)(y –1)=10, con x, y en Z+.

Como y=23x → (x –1)(23x –1)=10.

Puede observarse que ningún entero positivo ve-rifica esta ecuación; por lo tanto, no hay solución entera positiva.

Segundo caso

x yx

+ =6

12

; con x e y enteros postivos.

→ + = → =x y

xx y

614

2

Reemplazamos la ecuación (II).

xy – x – y=9 → 2y2 – 2y – y=9;

→ 2y2 – 3y – 9=0

→ (2y+3)(y – 3)=0

→ 2y+3=0 ∨ y – 3=0

Como y ∈ Z+, entonces, y=3.

En consecuencia, x=2(3)=6.

Luego

13x+9y=13(6)+9(3)=105

Respuesta

El valor de 13x+9y es 105.

Conocimientos


31

Pregunta N.º 49

En la figura, BD=BC y la medida del arco AC es igual a 5x. Halle el valor de x.

D

A CB20º

A) 20º B) 8º C) 10ºD) 16º E) 12º

Solución

Tema

Circunferencia


Si en un problema se tiene una circunferencia, debemos tener en cuenta los teoremas que se cumplen como la relación entre las medidas de los arcos y ángulos asociados.

Ángulo inscritoSe cumple:

x=2α

x

Para nuestro problema también debemos tener en cuenta lo siguiente

A C

Ba a

Se cumple:

TABC es isósceles y α=θ


D

A CB20º40º

5x20º

Piden x

Del gráfico tenemos:

• Como BD=BC

→ TBDC es isósceles

y mCDB=mDCB=20º

• Por ángulo exterior en el TDBC:

→ mDBA=40º

• Por ángulo inscrito:

mAD=2(40º)

→ 5x=80º

∴ x=16º

Respuesta

El valor de x es 16º.

Pregunta N.º 50

En la figura, se tiene una esfera inscrita en el cono de revolución cuyo volumen es 81π cm3 y BO=OC. Halle el radio r de la esfera.

A C

E

B

O

r

A) 3 cm B) 3 cm C) 6 cmD) 3 3 cm E) 4 cm

Conocimientos


32

Solución

Tema

Cono circular recto: cálculo del volumen

Referencias

Para calcular el radio de la esfera inscrita se utlizará, el dato del volumen en función de r.


A C

E

B

O

r

O'

r

• Según dato, el volumen del cono es 81π cm3.

V = ( ) ( )13

2π O C O B' ' (I)

• En el t BO'C: 3θ=90º → θ=30º

Entonces, tOO'C es notable de 30º y 60º =2r (II) O'C=r 3 (III)

Reemplazando (II) y (III) en (I) obtenemos

8113

3 33 2π πcm = ( ) ( )r r

∴ r=3 cm

Respuesta

El radio de la esfera inscrita es 3 cm.

Pregunta N.º 51

Halle la ecuación de la mediatriz del segmento

determinado por la intersección de la recta

2x+y – 6=0 con los ejes coordenados.

A) – 2x+y – 6=0

B) – x+2y – 12=0

C) 2x – 4+9=0

D) 2x+4y – 15=0

E) – 2x+4y+9=0

Solución

Tema

Geometría analítica: ecuación de la recta


Recordemos que la recta mediatriz() L

D( )

contiene al punto medio de un segmento y es

perpendicular. Se hallará un punto de paso y la

pendiente de dicha recta mediatriz.


Y

X53º/2

53º/2

3 (3; 0)

(0; 6)

6 P (3/2; 3)

L D

L

• Hallamos los puntos de intersección entre la

recta L y los ejes.

Sea L

: 2x+y – 6=0

Conocimientos


33

Si x=0 → y=6

y=0 → x=3

Luego, los puntos de intersección son (0; 6) y

(3; 0)

• P: punto medio

→ P=32

3;

Luego:

L

D y x: − = −

312

32

L

D y x:4 12 2 3− = −

∴ L

D x y:2 4 9 0− + =

Respuesta

La ecuación de la mediatriz es 2x+4y+9=0.

Pregunta N.º 52

En la figura, OABC es un cuadrado cuyo

lado mide 10 m. Si AC y BP son arcos de

circunferencias de centro O, halle el área de la

región sombreada.

A

C

B

PO

A) 60 m2 B) 45 m2 C) 65 m2

D) 50 m2 E) 55 m2

Solución

Tema

Área de regiones circulares


Para calcular el área de un sector circular es preciso conocer la medida del ángulo y el radio de dicho sector.

O

A

B

R

R

α: medida del ángulo del sector R: radio del sector

AAOB

= πα360

2

º·R

La fórmula compara la medida del ángulo del sector con 360º (razón).


A

C

B

PO

1010

10 2

10 2

45º

S2

S1

10

C PO

S2

A BS1

45º

B

CO

S1=A ABCO – A AOC=102 – π 104

2( )

S2=A BOP – A BOC= π 10 28

102

2 2( )−

( )

∴ A(región ABPC)=S1+S2=10

250

22( )

= m

Respuesta

El área de la región sombreada es 50 m2.

Conocimientos


34

Pregunta N.º 53

En la figura, =15 cm. Halle HM.

MB

HA C30º

A) 452

cm B) 454

cm C) 45 cm

D) 15 3 cm E) 45 3

2cm

Solución

Tema

Triángulos rectángulos notables


En todo triángulo rectángulo notable de 30º y 60º, la razón de sus lados es como 2; 1 y 3 .

30º

60º2a

a 3

a


MB

H

A

C30º

30ºx

15

315

• En el triángulo

ABH notable (30º y 60º)

→ BH=15 3

• En el triángulo

BHM notable (30º y 60º)

→ x = 15 32

3·

∴ x = 452

Respuesta

Longitud de HM es igual a 452

.

Pregunta N.º 54

Las longitudes de los lados de un triángulo son

tres números enteros consecutivos, y el ángulo

mayor es el doble del ángulo menor α. Halle la

razón del lado mayor al lado menor.

A) 2cscα B) 2cosα C) senα

3

D) cosα E) cos2α

Solución

Tema

Resolución de triángulos oblicuángulos


• Teorema de senos

b a

c

a b csen sen senα θ β

= =

Conocimientos


35

• Identidades trigonométricas del ángulo

doble.

sen2α=2senα·cosα


Dato

n � 1 n

n+1

2

Aplicando el teorema de senos tenemos

n n− = +1 1

2sen senα α

n n− = +1 1

2sen sen ·cosα α α

Despejando obtenemos

nn

+−

=11

2cos α

Respuesta

La razón del lado mayor con el lado menor es

2cosα.

Pregunta N.º 55

Si sec 2x=n · tgx y n≠2, halle sen cos

sen cos

3 3

3x x

x x

−

−( )

A) nn

+−

32

B) nn

−−

12

C) nn

+−

12

D) nn

−−

32

E) nn

+−

22

Solución

Tema

Identidades trigonométricas fundamentales


Diferencia de cubos: a3 – b3=(a – b)(a2+ab+b2)

Binomio al cuadrado: (a – b)2=a2 – 2ab+b2

Identidad recíproca: seccos

θθ

= 1

Identidad por cociente: tansencos

θ θθ

=

Identidad pitagórica: sen2θ+cos2θ=1


Dato: sec2x=ntanx → 12cos

sencosx

nxx

=

→ sen cosx xn

= 1

Piden Ex x

x x= −

−( )sen cos

sen cos

3 3

3

Ex x x x x x

x x= −( ) + +( )

−( )sen cos sen cos sen cos

sen cos

2 2

3

Ex x

x x= +

−( )1

2sen cos

sen cos → E x x

x x= +

−1

1 2sen cossen cos

Reemplazando

E n

n

=+

−

11

12

→ Enn

= +−

12

Respuesta

∴ sen cos

sen cos

3 3

3x x

x x

−

−( ) es igual a

nn

+−

12

.