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TEORIA DE EXPONENTES. PRODUCTOS
NOTABLES Y FACTORIZACION
xa
a es labase
x es el exponente
(a+b)2 =a2 +2ab+b2
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MOTIVACION EXPONENTES
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tieneun diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más
pequeño es Plutn !on un diámetro aproximado de
" #00 000 m$ %&uántos plutones !aben en Júpiter'
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(n año lu) es igual a * 4+1 000 000 000 000 m$ -sta !antidad tambi.n se expresa as/
9461 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10× × × × × × × × × × × ×
-l produ!to 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10,× × × × × × × × × × × se abreia !omo 1210
lo !ual se lee 10 a la 12, en ello el número 10 se llama base y el número 12 se
llama exponente, y ambas !osas orman lo que se llama una potencia$ -l
exponente indi!a el número de e!es que la base a!túa !omo a!tor en el
produ!to que se abreia$
xa
3os t.rminos que orman una poten!ia son estos x
a
a es la
base
x es el exponente
MOTIVACION
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Leyes de los exponenes!
( )
1$
2$
"$ 5
4$ , 0
m n m n
nm mn
n n n
n n
n
a a a
a a
ab a b
a a bb b
+=
==
= ≠
0
#$ , 0
1+$ , 0
6$ 1, 0
mm n
n
nn
aa a
a
a aa
a a
−
−
= ≠
= ≠
= ≠
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( )
( )
−−
− −= = = =
1 22 1 2
1 2 2 14
6 6 # 2#
# 6 6#
( ) ( ) ( )= = = = −
−− −" " + +"2 2
1 1 1 1
1 x x x x
÷ = = = = = ÷ ÷
÷ ÷
2
2 2
2 2
1 1 4 4 1+
" " " *"44
− − + − + − −
− −
= = ÷ ÷ ÷ ÷
1 1 1" 17" 172" + 4
" " 217" + 4
*"
"
a b c a b c
a b c
−= 10 " 16 " * 2"a b c
E"e#plo $
− ÷
1 22
4
6
#
E"e#plo % ( ) −
−"
2 x
E"e#plo &
− ÷
2"
4
E"e#plo '− −
− −
" 17 " 1 2
1 " + 4
*
"
a b c
a b c
E"e#plos
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Leyes de los ()d*+)les
3os radi!ales se rigen por las leyes de los
exponentes, porque
m m nn
a a=
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )− − −
= − = − = −
1 " 1 "1 "1 " 1 " 1 "" 1 1 1z z z
( ) −= − = −1 * 1 *1
1 z z
( ) + +
= × = × = × = × = × × ×
1 12 11 2
# " # " # 2 " 2 2 1 2 1 1 22 22 " 2 " 2 " 2 " 2 2 " "
( )= × × × =1 222 " 2 " 12 +
( ) ( ) ×
= = = = = == = = =
2"2 "2 "" 2 " 2
"
" " " " 1"
8 8 2 2 2 4
+4 4 4 4 4
E"e#plo , " +4
E"e#plo - 8+4
E"e#plo −
−" 1 "
z
E"e#plos
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( ) ( )( )
( ) ( )( )
− − − − × × × × ÷= = ÷× ×
1 "2 2
" " + 4 " " + 4
"2 2
" 4 " 4
2 10 2 10 2 10 2 10
2 10 2 10
( )−
− −
×= = × = × = ÷×
1 "12 10
1 "+ 18 2 +
+ 8
2 102 10 2 10 0$000004
2 10
( ) ( )= = = × = × =1 "2 " " "" "" 24 24 2 " 2 " 2 "
( )
( )
= = = = ÷
1 "1 " ++ 1 " 2 2
1 "" 1 ""
88 8 2
26 26 "26
aa a a
b b bb
x x x x
y y y y
E"e#plo /+
""
8
26
a
b
x
y
E"e#plo 0( ) ( )
( )
2
"2
0$008 0$00+4
80000
E"e#plo $1 " #6+
E"e#plos
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E"e#plo $$ Si =1 ,2a =2 ,2 2a =" ,2 2 2a =4 ,2 2 2 2a
Sol2+*3n 9tese que
−
= =2 1
1 2 21 2 2 ,a
( )( )−
= = = =2
2 2
2 11 2
1 2 " 2 22 2 2 2 2 2 2a
( )( )−
= = = = ÷
"
" "
2 11 21 2
1 2 6 2 2" 2 2 2 2 2 2 2 2a
( )( )− = = = = ÷ ÷ ÷
4
4 4
1 2 1# 2 11 21 2
1 22 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a
-nton!es
−
=
2 1
22
n
n
na
E"e#plos
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APLICACION
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tieneun diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más
pequeño es Plutn !on un diámetro aproximado de
" #00 000 m$ %&uántos plutones !aben en Júpiter'
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Sol2+*3n Sea el olumen de Júpiter y sea el olumen de Plutn,enton!es
J V P V
3 33 33 8 8
3 6 6
4 3 1.4288 10 1.4288 10
4 3 3.5 10 3.5 10
J
P
V R R
V r r
π
π
× = = = = ÷ ÷ ÷ ÷
× 3
8 246 4
6 18
10 100.0680315 0.0680315 0.0680315 10 6.80315 10
10 10
≈ × = × = × = × ÷
:s/ que, !aben aproximadamente +8,0"1 plutones en Júpiter$
APLICACION
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MOTIVACION PRODUCTOS NOTABLES Unas niñas muy precoces,
al cuadrado se elevaron. Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaron
con eso se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me dias sin miedo y sin compasi!n
"#u$ntas eran al principio
de este cuento %uuet!n&
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(a+b)2=
Para calcular el área del cuadrado que se muestra, multiplicamos
las longitudes de sus lados
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
a
ba
b
a2
ab
ab
b2
CUADRADO DE UNA SUMA
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2 +2ab +b2
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(a-b)2
=
En la siguiente igura queremos encontrar el área del cuadrado cu!olado mide a-b. "l área delcuadro de lado a le restamos la suma de
las áreas de los rectángulos con lados a ! b ! sumamos el área del
cuadro de lado b.
a
a- b
(a-b)2
b2
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a-b)2=a2-2ab+b2
b
a2
-2ab +b2
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a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
#ueremos encontrar el área de la parte som$reada delcuadro que se muestra.
a
a- b
PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA
(a+b) (a-b)=a2-b2
b
a- b
b
a(a-b)b(a-b)
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(a+b)(a+c)=
Para encontra el área del rectángulo de la igura, sumamos el área
del cuadrado de lado a más el área de los rectángulos con lado a,b% a, c ! b, c, respecti&amente.
a
a
PRODUCTO DE (a+b) (a+c)=a2+a(b+c)+bc
b
c
a2
ab
ac
bc
a2
+ab+ac+bc= a2+a(b+c)+bc
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1$$ BINOMIO AL CUADRADO. ;rinomio &uadrado Pere!to5
< a=b52 > a2 = 2ab =b2
< a ? b52 > a2 ?2ab =b2
1%. SUMA POR DIFERENCIA @ieren!ia de &uadrados 5
< a=b5a?b5 > a2 ? b2
1&. BINOMIO AL CUBO
< a=b5" > a" = "a2 b ="ab2 =b" orma desarrollada
< a ? b5" > a" ? "a2 b ="ab2 ? b"
< a=b5" > a" = b" ="aba =b5 orma semidesarrollada
< a ? b5" > a" ? b" ? "aba ? b5
1'. BINOMIO POR TRINOMIO Suma o @ieren!ia de !ubos 5
< a=b5 a2 ? ab =b2 5 > a" =b"
< a ? b5 a2 =ab =b25 > a" ? b"
PRODUCTOS NOTABLES - I
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1,. BINOMIO CON UN TERMINO COMUN
< x=b5x=d5 > x2 = b=d5x = bd
1-. PRODUCTO DE BINOMIOS
< ax=b5!x=d5 > a!x2 = ad=b!5x =bd
1. TRINOMIO AL CUADRADO
< a=b=!52 > a2=b2=!2=2ab=2a!=2b! orma desarrollada
< a=b=!52 > a2=b2=!2=2ab=a!=b!5 orma semidesarrollada
1/. TRINOMIO AL CUBO
< a=b=!5" > a"=b"=!"="a2b = "a2!="b2a="b2!="!2a="!2b=+ab!
< a=b=!5" > a"=b"=!"="a=b5a=!5b=!5
PRODUCTOS NOTABLES - II
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FACTORIZACION - I
'actorizar un polinomio es el primer m(todo
para obtener las ra)ces
o ceros de la expresi!n. *ara factorizar se
comienza con una rela
que te permite desarrollar la destreza, paraaplicarla a e%ercicios de
mayor dificultad
Operación necesaria para re-escribir una expresiónalgebraica como producto de factores simples
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FACTORIZACION - II
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FACTORIZACION- III
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EJEMPLOS