FASCICULO DE BIOINGENIZRIA
FUNCIONES
DIEGO BARPd3ONA PERA
DICIEMBRE, 1984
PRESENTACION
~l presente fascículo forma p,arte de una coleccibn de textos breves,
escritos por miembros del Area de Ingenierla Biomedica de la Univer-
sidad Autdnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa o por autores invita -
dos.
La finalidad de estos Fascículos de Bioingeniería es principalmente
difundir y exponer algunas ideas comunes a la Ingenierla, la Biolo-
gla y la Medicina, que nos han resultado de interés y que puedan -- ser de utilidad en las labores docentes y de investigacibn.
El conocimiento de la realidad exige un enfoque multidisciplinario,
que en la Universidad Autbnoma Metropolitana ha ido encontrando un
ambiente propicio de desarrol.lo. Aunque algunos de los temas tra-
tados en estos fascículos pueden catalogarse sin dificultad en al-
guno de los casilleros cldsicos en los que se han dividido la ciencia
y la tQcnica, otros estardn lejanos de aceptar tal clasificacibn.
La experiencia en el Area de Ingenierfa Biomédica es que, en general,
en el proceso de conocer y transformar el mundo que nos rodea, debe-
mos desentrañar, describir y utilizar mGltiples relaciones del objeto
de nuestra atencibn, empleando para ello instrumentos e infomaci6n
que solamente adquieren pleno sentido al verse aplicados en forma - creativa a un determinado terna o propbsito.
Como todo lo que nace, estos fascículos adquirirdn forma y funci6n
a traves del tiempo. Entonces, en su contenido individual y en su
conjunto, mostrarán por lo menos la manera en que entendemos la por
cien de la realidad que hemos escogido investigar para beneficio - propio y de nuestros semejantes.
-
1Jonwnos a la consideraci6n dl> la comunidad universitaria y del pGbli -
co en general este aporte del Area de Ingenierza Biomedica, con la -
esperanza de que favorezca el intercambio de ideas y de que, a traves
del mismo, incremente el conocimiento de los temas que aquf se traten.
Agradeceremos toda critica o sugerencia que ayude a mejorarlos.
OBJETIVOS DEL FASCICULO
Con estas notas se pretende recordarle al estudiante el concepto de
funci6n con todas sus implicaciones y,propiedades a un nivel senci-
llo.
Estos apuntes es un producto de la experiencia del autor en las cla -
ses de Matemdticas I, I1 y 1I:I en la Divisidn de Ciencias Bioldgicas
y de la Salud, impartidas entre los años 1979 y 1 9 8 2 y el tratamien-
to en su presentaci6n es de una forma no tradicional y muy accesible.
Los temas que se tratan son 1.0s de funciones, relaciones, funciones
inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, Dominio, Imdgen y Codominio,
asl como funcian inversa y el. algebra de funciones. Se requiere un
conocimiento de Algebra a nivel preparatoria y Geometrfa Analftica
en un nivel bdsico.
Cualquier sugerencia es bienvenida y se tomard en cuenta para futu-
ras ediciones.
FUNCIONES
DEFINICION. Sean A, B dos co,njuntos arbitrarios.
Definimos como el PRODUCTO CARTESIANO de A y B , deno-
tado por A x B , a.1 con junto:
Ejemplo:
Se puede observar que en general A x B # BxA
DEFINICION. Sean A y B conjuntos
entonces
un conjunto R se llama una Relación entre A y B
ssi R C A x B
Ejemplo 1. A , = { 1 , 2 )
R1 = {(l,a) , (Ii,b)) R2 = {(l,a) , (:?,b) , (2,~)) son ejemplos de relaciones entre A y B
2.
i.;jelnplo L. A = 11,2,3,4,51
B = (1,3,5,71
interpretaremos graficamente el producto de IL y B
B
3 . - Si A = [ O , l ]
B = [ 2 , 3 ]
I
1 1 -
4.- Para hacer mds sencilla la representaci6n supondremos en
adelante (salvo que se indique lo contrario) que tanto A
como B son conjuntos infinitos y que sus elementos se ha-
llen sobre un trazo dado,, es decir
3.
A continuaci6n daremos algunos ejemplos de relaciones usando la
notacidn de conjuntos.
a)
I A 1
Supongamos que M tiene como coordenadas (0,l) la recta que pasa
por M y N tiene como ecuaci6n.
y - l = 1-3/4 lo que nos dd x-o 0-1
x+4y = 4 I con x,y E [0,1]
4.
Y = - 3/4 lo q u e n o s db X 1
3x-4y = o con x,y E: [0.11
por l o t a n t o R queda determinado por
I- 3
R1 = {(x,y) [-2,2] x [ - 3 , 3 ] / x2+y2 - 1)
5 .
P
V” N
U -- M
1 2 3
A = [0 ,31
B = [ 0 , 2 ] intervalos
u = ( 0 , l ) P = ( 0 , 2 )
V = ( 0 , 1 . 5 ) N = ( 3 , 1 . 5 )
M = ( 3 , l )
la recta que pasa por O y 1% tiene por ecuaci6n
Y = - = > x -3y = 0 = > y - - 1 - X x 3 3
la recta que pasa por N y :P tiene por ecuacidn
X = 1 2 - 6y
Consideremos la relaci6n R entre A y B tales que los puntos
de R estdn en el segmento PN o en el segmento OM . - -
6.
Elijamos un punto arbitrario de A, digamos x. = 2
Levantemos por x = 2 una recta paralela a B , al cortar esta
recta al segmento OM determina sobre B el punto que determina -
remos a continuación.
El segmento OM tiene por ecuación -
como x = 2 tenemoslpor una simple sustitución que 2 y = 3. En
forma anbloga, la recta corta al segmento NP cuya ecuaci6n es -
en el punto que calculamos
x = 2 12-2 _, 5 y = - T - " " 3
por lo tanto los puntos
7 .
Si observarnos el ejemplo (b) y consideramos el punto 1 E A en - tonces el Gnico p u n t o y EB tal que ( 1 , y ) E R1 es y = O .
Sin embargo si elegimos como x = . 5 vemos que existen una in-
finidad de y E €3 tal que (.5, y ) t l R, basta con resolver la - desigualdad
( . 5 ) 2 + Y 2 - < 1.
para encontrar tantos puntos como desearamos.
Nos interesan las relaciones que satisfagan las siguientes condi -
cienes :
Dado un punto arbitrario x 5 A, al trazar la paralela al conjun -
to B, corte en uno y solo un punto a la gráfica de la relación.
A las relaciones que satisfagan esta condición las llamaremos --
FUNCIONES.
Definiremos a continuacien dte una manera m%s formal este concepto.
DEFINICION. Sean A, B conjuntos, R una relación entre
A y B. Entonces R es una FUNCION ENTRE A
y B (o bien es una FUNCION DE A a B)
S S í
dado cualquier elemento x E A, existe un Gni
co elemento y E B tal que (x,y) E R
OBSERVACION (1) Para los alumnos que manejan los cuantificado-
8 .
res podemos escribir esta definici6n de la
siguiente manera
RcAxB es una función de A a B
s s i
‘d
(2) Otra forma de definir función es la siguiente:
RcAxB es una función de A a B
SS1
Ejemplos
a) B
1
A
RcAxB no es funci6n
RICAxB no es funci6n
9 .
H
DEFINICION:
NOTACION
R CAxB no es función 2
R3CAxB es función
R4CAxB es funcidn
A
Sea F C A x B , F funcidn
=>
A se llama DOMINIO DE F
B se llama CODOMINIO DE F
i) F C A x B , función, entonces escribiremos
F:A -+b B
ii) Si ( x , y ) E F escribiremos
10.
Ejemplo 1) A = {1,2,3}
B = {a,b,c,d,e)
F : A " t B
F ( 1 ) = a
F ( 2 ) = a
F ( 3 ) = e es una funci6n
Ejemplo 2 ) Si A = { x & I N / x es par}
B = I N
no podemos como en el ejemplo anterior indicar uno por uno que
pasa con cada x E A , necesitamos alguna "formula" que nos lo
diga, pues A tiene "demasiados" elementos.
Por ejemplo
f : A " c B
f (n) = 2n - 1 2
Si quieremos calcular f(6) nos basta con sustituir n por 6,
es decir
f ( 6 ) = 2-(6)2 - 1 f ( 6 ) = 71
es decir (6,71) E f
DEFINICION f : A - B funci6n
y = f ( x )
11.
entonces
f (x) se llama IMAGEN DE x BAJO f
Ejemplos : f :IR+ IR 2 1
3 f ( x ) = x + - x - 2
i) la imagen de 3 bajo f es
f ( 3 ) = (3) + 7 3-2 2 1
f ( 3 ) = 8
es decir (3,8) E f
ii) la imagen de . S bajo f es
f(.5) = ( . 5 ) + 7 0.5 - 2 2 1
="".2=" 1 5 1 4 30 1 2
1 1 es decir ( 2 I - 1 2 ) E f
veamos la grdfica de f
2 1 3 f ( x ) = y = x + - x - 2
Campletando cuadrados en
el segundo miembro de la ecug
ci6n tenemos
12.
2 1 1 y = x + - x - - - 2
2 1 1 73 y = ( x + - x - t - ) " 3 36 36
3 36 + 36
73 = (x + - ) ( Y +x) 6 1 2
e s una pardbola
1 73 60 ' 36
- - ) q u e se abre hacia arriba con centro ( - --
I A + A
T (x ) =x se ll.ama funci6n I D E N T I D A D su qrgfica e s :
13.
3 )
4 )
h : A - B h(a)=b b fijo
Se llama Funci6n CONSTANTE y su grdfica es
I y raf (h) I
B
i : A - B A c E
i (x) =x
se llama funcidn INCLUSION y SU urdf ica es
OBSERVACION Si k : A - B y=k (x)
a su representaci6n grdfica la denotaremos por graf (k)
14.
XA : B - (.3,1} 1 si x E A
O si x E A
se llama función CARACTERISTICA DE A, su grdfica
' t I ! I !
!
Consideremos ahora la siguiente funcidn 1 2
f : [-1,ll - C [ O , 2 ]
f ( x ) = x 2
A = [-1,1]
B = [0,2]
+A- podemos calcular la imagen dle cualquier punto de A
f ( - .5) = . 2 5
15.
consideremos el conjunto B,
elijamos un punto arbitrario y € B y tracemos una llnea parale
la al conjunto A, podemos observar que la llnea puede cortar a
la gr6fica en 1, 2 6 ningdn punto.
Por ejemplo si tomamos primero y = O
corta en x = O a la grdf ica (O , O ) E f
Si tomamos ahora y = 1
corta a la gráfica en 2 puntos, M y N,
por lo tanto (1,l) , (-1,l) E: f, lo que es lo mismo que f (1) =
f (-1) = 1 a continuaci6n consideremos y = 1.5
la recta no corta a la grbfica, lo que significa que
si x e A f(x) # 1.5
Consideremos otro ejemplo: sen : [0,271]- [-1,1]
Si tomamos cualquier punto de B(-1,l) y trazamos una paralela
a A, corta a la grdfica en. dos puntos, es decir
16. veamos el caso mds general
t
E 1 1 I
: E l
f : A - B
funci6n
prestemos atención en el
conjunto B1 C B .
podemos observar que B1 posee la siguiente propiedad.
"dado cualquier y E B , existe al menos un elemento x1 E A
tal que
Sin embargo el conjunto (B-E 1 ) R posee la propiedad siguiente
"dado cualquier y & ( B - B 1 ) , no existe ningGn elemento XE A tal
dicho de otra manera
dado cualquier x E A se tiene que f ( x ) ,E! (B-B1)
De lo anterior se puede deducir que el codominio de un conjunto
contiene un subconjunto con una propiedad importante, dicho sub -
conjunto se le llamar5 IMAGEN DE f y se denotará Im (f).
Daremos a continuaci6n una definición más formal de Imagen.
DEFINICION : f : A 13 función
entonces
Im (f) = (:€(x) / x E A}
17.
OBSERVACION: Se puede escribir tambiBn como
Ejemplos:
1) f : I R - l P n
f (x) = x >!
ya que x 2 - > O tenemos que
f ( x ) 2 o . .. Im ( f ) = [ O , a]
Note que Im ( f ) C IR f
es decir Im ( f ) c Codom (f) +
2) f : IR- ( 0 ) {l,-ll
f ( x ) = Jx-l x
si x < O tenemos 1 x I > O
1x1 = - x > o
por lo tanto
si x > O tenemos I x I = x
18.
Im (f) = {-l , : l}
Note que Im (f) = Codom (f)
En general se dice:
"Sea f (x) = y una funcibn"
por ejemplo f (x) = 2 X - 1 g(x) = x
h(x) = x
2
u(x) = - 2x x- 5
Si no deseamos cometer errores es necesario conocer bien el domk
nio y codominio (Si A, B _C m f: A -f B diremos que f es
una FUNCION REAL DE VARIABLE REAL).
19.
El objetivo de estas notas son las funciones reales de variable
real, y para no tener problemas se recomienda, siempre que nos
den f ( x ) = y suponer que Codom (f) = IR .
Sin embargo en el Dom (f) no se puede hacer lo mismo.
Consideremos la "funci6n real de variable real siguiente"
f (x) = Jx-l
si suponemos que dom(f) = IR nos vemos tentados a preguntar
¿cud1 es la imágen de - 3 ? .
sin embargo 2i $ IR
en cambio si Dom (f) = [ S , 4 se tiene que, x E [ 5 , "1 es
decir x - > 5 se tiene que
f ( x ) E IR
mbs facil a6n serla tomar
Dom ( f ) = (1)
la pregunta que corresponde hacer ahora es ¿Cud1 es el m6s grande
subconjunto A de IR que podemos considerar para Dominio de f?
necesitamos que dx--T E IR
lo cual es equivalente a que x - 1 ' 0 -
X ' O -
20
o bien x E [1 ,"I
y vemos que cualquier otro subconjunto de IR que contenga
propiamente a A no nos sirve.
A este conjunto (el ''mas grande posible") lo llamaremos "DOMINIO
M I M O DE DEFINICION DE f "
Ejemplos:
1 ) f ( x ) = x - :t 2
Dom (f) = IR
Codom ( f ) = :R
f : I R + IR 2 f ( x ) ' = x - :1
Dom (9) = IR - ( - 1 , l )
Codom (9) = IR
21.
g : IR - (-1, 1) -+ IR
Jx7 1- 3) t(x) = - x- 3 ,- -
t(x) t IR <=> - x- 3 Jx+l IR
es decir, los puntos deben satisfacer dos condiciones:'
(I) x - > - 1 (11) x # 3
"1 1
I 3
En cada uno de estos ejemplos veamos cual es la imagen
(1') f : IR -+ IR 2 f (x) = x
2 2 .
supongamos
y F Im (f)
el hecho de que y pertenezca a la Imagen de f implica que
debe haber al menos un x F. IR tal que
entonces x = y 1
lo cual nos dice que y E IM (f)<=> y - > o
la tgcnica usada es suponer un punto en la imagen y ver que res
tricciones hay que imponerle.
-
( 2 ’ ) g : IR - (-1, 1) -+
sea y 6 Im (9)
por lo tanto existe X E IR -(1 -1) tal que
2 3 .
como y* + 1 2 1 no hay restricciones sobre y salvo el hecho
de que
vemos otro ejemplo
f (x) = - 3x- 5 2x- 1
sea
f (x) E IR <=>2x-17~0<=> x#l/2
Dom (f) = 33 - {1/2}
y E: IM (f) y x E- IR - {1/2} tal que
3x-5 Y = =
y(2x-1) = 3x-5
x = y-5 2y- 3
vemos que 2y-3#0 => y#3/2
. * . Im (f) = IR -- {3/2}
podemos preguntar por ejemplo ¿qué elemento del dominio de f
va a parar al 8
ie y=8 x=?
x = y-5 = > x := - = 3/13 8-5 2y-3 16-3
x = 3/13
2 4 .
”
3 3- 1 3 3 5 comprobemos f(n) = 2 . - -
1 3 3 1
3 f(D) = 8
f ( ) no existe sin embargo 3
LA PRE-IMAGEN DE y BAJO f
OBSERVACION: f : A -+ B
si y EIm(f) => f ( Y ) # 0
si y g I m ( f ) => f ( y ) = O
-1
-1
Ejemplos
1 ) f : J R = > I R
f (x) = x
f (O) = { o ; o F Im(f)
f ( 4 ) = {-2,2) 4 c Im(f)
2
-1
-1
25.
note que
X A -1 ( 1 ) = A
X A (O) = B-A -1
t : m + m
t(x) = 5
Estudiaremos a continuaci6n la:; funciones inyectivas, sobreyec -
tivas y biyectivas.
x x,x x x x X 1 , 2 3 4 5 6 7
A FIG. 1
FIG. 2
26.
En la figura 1 se puede observar que si trazamos una recta Parale
la, al eje A por algtin punto de B, corta a la curva en ningun - punto (y,) 6 en un punto (y1 ,y4) o en mds puntos (Y2'Y3) -- mientras que en l a figura i? la paralela corta a lo mds en un pun-
to a la curva
tenemos
DEFINICION:
f : A +. B se llama
FUNCION INYECTIVA (O UNO A UNO)
ssi
OBSERVACION: Si utilizamos los conceptos ya estudiados vemos - que la definici6n anterior es equivalente a
2 7 .
Observemos ahora otras 2 grdficas de funciones
I A FIG. 3
En la figura 3 hay puntots de B que no tienen preimagen, como Y2
En la figura 4 todos los puntos de B tienen preimagen
tenemos que Im (h) Codom (h)
Im(t) = Codom(t)
la grdfica de la figura 4 corresponde a una funci6n sobreyecti - va, que se puede abreviar: "sobre".
28.
DEFINICION: f : A -'B se llama función
SOBREYECTIVA
ssi
Im(f) = Codom (f) = B
OBSERVACION: La definici6n anterior es equivalente a
y'B = > f-l (y) # @
Una función que sea inyectiva y sobreyectiva se llama biyectiva
Inyectiva significa que la preimagen de un punto tiene A LO MAS
UN ELEMENTO.
Sobreyectiva significa que la preimagen de un punto tiene A LO
MENOS UN ELEMENTO.
Por lo tanto Biyectiva significa que la preimagen de un punto
tiene exactamente un elemento.
las dos grdficas corresponden a funciones biyectivas.
29.
c
Ejemplos
I : IR -+ IR funci6n identidad
x
es biyectiva
h : I R + IR
h(x) = x
no es biyectiva
no es inyectiva
no es sobreyectiva
2
30.
! I
t ( x ) = - 2x x-5
s i es b i y e c t i v a
u : [l,..) + IR
no es biyectiva
si es inyectiva
A
31.
Si a una función inyectiva se le cambia el codominio por la imagen
se transforma e n una función biyectiva.
Veamos un ejemplo interesante y conocido.
I no es inyectiva ni sobreyectiva. Si restringimos el codominio
a la imagen.
Im(sen) = [-lI11
s e n : IR -+ [ - 1 1 1 ] es ahora sobre pero no
biyectiva.
Para efectos posteriores,, restrinjamos - el dominio 1 donde sea ill
yectiva, podemos escoger entre - 3;; -
seleccionemos r 1
r 7 sea
su gráfica es
3 2 .
7" ! ! I I t
I I- 1
y ahora la función es biyectiva
A veces (como lo hicimos) se hace necesario restrinqir el dominio
de una función para que sea inyectiva.
Para que sea sobreyectiva basta restringir el codominio a su ima -
gen.
Ejemplo 2 f ( x ) = x
f : IR *JR
no es inyectiva
ni sobreyectiva
33.
f l : IR [O, " , I
es sobre pero no es
i n y e c t i v a
es b i y e c t i v a
DEFINICION: f : A + B f unc idn
es BIYECTIVA
s s i
(I) f i n y e c t i v a
(11) f s o b r e y e c t i v a
3 4 .
OBSERVACION: f : A + B biyectiva
Si
‘d
DEFINICION: S e a n f : A + B y g : B + C
x + f ( x ) x + g ( x )
dos funciones.
Entonces
g o f : A -f C se llama la composición de f y g y estS definida
Por gof(x) = g(f(x) 1
Ejemplo : f : l R - + l R
f ( x ) = x 2
g : l R -+ IR
g ( x ) = 2x + 1
Note también que, en este ejemplo, se puede definir
f o g : IR -+ m fog(x) = .f(2x +1) = (2X+1l2 = 4x2 + 4x + 1
lo cual nos muestra que e:n general f o g # g o f
35.
f : I R - + I R
f ( x ) = x
+ f : I R - 7 IR
g ( x ) = x + 1
gof : IR+ -+ IR -
c j o f ( x ) = g ( f (x)) = g( J x ) = d'? + 1
En este caso no tiene sentido la composición f o g ya que'
f o g ( x ) = f ( g ( x ) ) = f(x + 1 ) = JXTT
y como -5 Dom g
f : IR+ -* IR
f (x) = x
por l o tanto g o f no e x i s t e
luego f o g no existe tampoco
OBSERVACION : Sean f: .A -+ B I g : C - t D
x -+ f (x) x + g ( x )
d o s funciones reales de variable rea l .
36.
Sin embargo, bajo ciertas restricciones se puede efectuar la com -
posición, restringiendo 1'3s dominios.
Veamos uno de l o s ejemplos anteriores, el nhero 2
f : IR++ IR
f (x) = \ x
g : I R + I R
y ( x ) = x + 1
como se observó f g no tiene sentido, ya que
Im(g) = IR $ IR+ = Dom(f)
consideremos un subconjunto (el mayor) de Im(g) que sea tambign
subconjunto de Dom(f). Este es claramente
Dom(f) n Im(g) = IR+ IR = IR +
Al restringir el codominio de g a IR' se nos plantea el siguiente
problema respecto al dominio de g:
g : IR + IR y queremos que g: ? + IR+
es decir g ( x ) ~ O = > x + l > O = x > - 1 .-
por lo tanto si tomamos a C x E IR / X - > -1 = [-I, M
como nuevo dominio de g, se tiene
g : [ - 1 , m ) -+ IR+
f : IR+ -+ IR ya que Im(f) = IR
f o g : [ - 1 , - ) + IR+
+
37.
f . y ( s ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + l ) = ,/X"+ .
y la composición tiene sen-tido.
Planteado en una forma gen'eral , se t iene que si f : A + B y
g:C -& D son funciones reales de v a r i a b l e r e a l t a l e s que
I m ( f ) Q- Corn(g), es dec i r b # C
se considera B ' = B n C
y se restr inge e l dominio de f de l a s i g u i e n t e manera
s e t i e n e
f : A ' + B' g:C -f D
podemos efec tuar l a composición g f : A ' -& D
Ejemplo: + + f : IR -f IR g : I R - { O :I " IR - ( O } , .-
f (x) = v'x g(x) = l/x
I m f = I R t.
Dom g = IF. - { O }
I R + / T ( I R - { O } ) = IR+- { O }
i x j f ( x ) F m - { O ) IR+ - { O )
:. g o f : m+ - { O ) + IR+ - { O }
g o f : IR+ - { G I ~f IR+ - { O }
+
g o f (x) = g ( f ( x ) ) = g( JX-i = 1 / J x
la composición fog
D E F I N I C I O N : f : P. '- E
g : B ' A
Función biyectiva
g se llama FUNCION INVERSA de f , y se demuestra por g=f -1
si f o g = I.
.B g o f = IA
Ejemplo: 1) f : 1R -+ IR , g : IR + IR
f ( x ) = 2x +1 g ( x ) = - x-1 2
- - >
g = f -1
2 ) Consideremos f ( x ) = sen x ; f:JR + [-1,11
como sen no es biyectiva, pero si sobreyectiva, no podemos de-
finir su función inversa, sin embargo, si restringimos su domi -
nio como se hizo en l a página 2 8 , tenemos
39.
- ”%. 71 ”
2 2 + [-1,1] es biyectiva
sen r- claramente, la funcidn sen y 2 no son iguales
sin embargo, por abuso de lenguaje, denotaremos a ambas por
sen : 7~ + [-1,13 y sen : -+ 2
entonces sen : ’ir 2 1 -+ [-1,1] es biyectiva, su función -1 L J
inversa sen se denota por arcsen y
4 0 .
ALGEBRA DE FUNCIONES
DEFINICION:
f : A + l R
g : c + l R funciones reales de variable real
sea K = A n C
se define entonces
(ii)
(iii)
OBSERVACION: Estas cuatro operaciones entre funciones es lo que
se conoce como el A l g e b r a de Funciones.
41.
Ejemplos:
1) f : IR +lR
f (x ) = 2x + 1
g : I R + B
g(x) = x
-> - ( f + g ) = (x+l)
2
2
2 ( f - g ) (x) = 2x+1 - x
( f g ) (x) = x2 (2x+1)
-:IR - t o 1 +lR f g
f 2x+1 - ( x ) = - 9 2
X
f (x) = J-x-1 -
g : ( - a,+ 11 -+ IR
f + g : 11) -+ IR
(f + g ) ( x ) == 0
42.
BIBLIOGRAFIA
1. Cárdenas H., Algebra Superior, Ed. Trillas, 1974
2. Ceder, O., Cálculo, F E I, 1971.
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