51
FÍSICA I
52
Bibliografía
Bueche, Frederick J. Física General. 3ª edición Ed. McGraw Hill, México 1999.
Bueche, Frederick J. Fundamentos de Física. 2ª edición Ed. Económica l, México 1981.
H.E. White. Física Moderna. Uthea. Tr Juan José Díaz de Noriega y Selles. México. 1981.
Mosqueira, Salvador. Física Elemental. Ed Patria. México. 1981.
Sears. Francis W. Física General, 5ª edición Ed Aguilar. España 1977.
Stollberg, Robert. Física fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural, S.A. México 1979.
Tippens, Paul E. Física conceptos y aplicaciones. McGraw Hill. 5ª Ed. México
53
UNIDAD I
INTRODUCCION A LA FÍSICA
54
1. Importancia de la Física
Cuántas veces te has preguntado ¿Para qué necesito estudiar Física?, yo creo que muchas
ocasiones, pero si nos damos cuenta esta rama de la ciencia está presente en todos los aspectos
de nuestra vida: al conectar la televisión, al hablar por teléfono, al abrir el refrigerador, al
prender un automóvil, etc. Cuando escuchamos hablar en la televisión acerca de
contaminación, ozono, telefonía celular, viajes espaciales, rayos láser, energía nuclear, aviones
supersónicos, etc., ¿Comprendemos cómo es su funcionamiento?, ¿Cómo se construyeron?.
Realmente es difícil. Precisamente temas como los anteriores son estudiados por diversas
ramas de la física.
1.1 La física como una ciencia
A través del tiempo, el hombre ha tratado de explicar los fenómenos que acontecen en el
mundo que lo rodea, gracias a su afán por descubrir e inventar, ha logrado el desarrollo
científico y tecnológico que actualmente existe. El término física proviene del vocablo griego
physiké que significa “naturaleza”. Cabe mencionar que esta es una ciencia experimental, ya
que sus leyes y principios se fundan en la experiencia adquirida al reproducir los fenómenos
naturales.
La física es definida como la ciencia que estudia la materia, la energía y las relaciones
existentes entre ellas.
1.1.1 Observación de fenómenos físicos
El desarrollo que ha logrado la física ha sido gracias al afán de múltiples investigadores que
han inventado y perfeccionado los aparatos que dominaron cada época; así como han realizado
investigaciones nuevas para derrocar viejos conocimientos y creencias, a fin de dar una
explicación real y completa de los fenómenos universales.
55
Te invito a observar el mundo que nos rodea y reflexionar para que tu mismo descubras su
importancia en una forma razonable y convincente. Te ayudaré un poco con otra pregunta.
¿Qué necesitas para vivir?
1) Alimentación ¿Cómo se preparan los alimentos?
2) Casa. ¿Qué instalaciones hay en tu casa?
3) Vestido Qué se utilizo para elaborarlo ó producirlo?
4) Higiene y salud ¿Qué se utilizó para elaborarlo?
5. Comunicación ¿Cómo se logra establecer?
56
En el quehacer de la investigación, uno de los métodos mas utilizados en la observación de
fenómenos es el método científico.
El método científico es definido como un conjunto de reglas o normas que nos indican un
procedimiento que nos permite realizar una investigación.
Pasos del método científico
a) Observación: Es la detección y percepción del fenómeno a través de los sentidos.
b) Experimentación: Es la realización práctica y/o repetición del fenómeno en cuestión.
• Definición del problema: define las características generales del fenómeno.
• Hipótesis de trabajo: es una suposición por parte del investigador de lo que él cree
que va a suceder.
• Diseño del experimento: son las características y las condiciones bajo las cuales se
llevará a cabo el experimento.
• Realización del experimento: Es simplemente llevar a la práctica el experimento.
• Resultados: en este paso nosotros obtenemos datos, los cuales se organizan, y se
describen estadísticas por analizar, en fin, todos los resultados derivados del
experimento.
Análisis de resultados: En esta sección se analizan los resultados para
posteriormente interpretarlos y así explicar el fenómeno en cuestión.
Obtención de conclusiones: Aquí se obtienen una serie de conclusiones las
cuales son resultado del análisis de los resultados.
Elaboración del informe: Esta es la parte final de cualquier experimento y en el
informe está vertida toda la información referente al desarrollo y fundamento
del experimento, así como las conclusiones finales y la bibliografía utilizada.
Reglas del Método Científico
• Analizar el problema a estudiar para determinar qué es lo que se quiere, formulando las
hipótesis de trabajo para dar forma y dirección al problema que se está investigando.
• Recopilación de hechos
• Clasificar y tabular los datos para encontrar similitudes, secuencias y correlaciones
57
• Formular conclusiones por medio de procesos lógicos y razonamiento
• Probar y verificar conclusiones.
Las reglas del método científico son una guía valiosa para el investigador, pero no constituyen
una receta que se deba seguir a pie de la letra; ayudan de manera efectiva a resolver
problemas, pero su aplicación indiscriminada no conduce a la resolución de problemas ni a la
formulación de nuevas leyes.
1.1.2 Antecedentes históricos
La física es la ciencia experimental que trata los objetos materiales y sus
propiedades, y trata de ofrecer una respuesta a la pregunta de ¿cuál es la
estructura del mundo en que vivimos?
Los pensadores griegos fueron los primeros en reflexionar sobre esta
cuestión, proponiendo diversas soluciones: el agua (Tales de Mileto), los
cuatro elementos (tierra, aire, agua y fuego; Empédocles) o los átomos
(Demócrito, Leucipo y Epicuro). Otros centraron sus especulaciones en problemas más
concretos, como la óptica (Euclides) o la estática e hidrostática
(Arquímedes). No obstante, en sus inicios, esta ciencia contó con la gran
presencia de Aristóteles, cuyos conocimientos se mantuvieron vigentes
hasta que personajes como Kepler, Copérnico, y Galileo Galilei iniciaron
la revolución que terminaría en el siglo XVII con el surgimiento de la
llamada física clásica.
Durante el siglo XVII se asistió a la formulación de la teoría relativa al
magnetismo terrestre (W. Gilbert (1544-1603), al establecimiento de las bases
de la dinámica y a la formulación de las leyes de la caída de
los cuerpos (Galileo Galilei 1564-1642). Isaac Newton
(1642-1727), fue quien estableció el concepto de masa y formuló la teoría
de la gravitación universal (en su obra Philosophia Naturalis Principia
Mathematica, en 1682). También creó el formalismo necesario para el
58
tratamiento matemático de dicha teoría (cálculo de fluxiones) y demostró la validez de las
leyes del movimiento de los planetas, obtenidas empíricamente por Kepler (1571-1630).
Huygens (1629-1695) dedujo el teorema de la energía cinética y aplicó los estudios de Galilei
sobre el péndulo a la regulación de los relojes. Por otra parte, los trabajos de Gassendi (1592-
1655) y Boyle (1627-1691) sacaron del olvido los pensamientos materialistas y permitieron
crear una nueva teoría atómica en lo que corresponde a la materia, y el establecimiento de la
existencia tanto del vacío como de la atmósfera. Torricelli, 1608-1847,
Pascal, 1623-1662, y Von Guerricke, 1602-1686). Al mismo tiempo, el
desarrollo de la estática y de la dinámica recibió un significativo empuje por
parte de Stevin (1548-1620), al igual que la óptica (Huygens, Descartes,
1596-1650, y Snell, 1591-1626).
Fahrenheit (1686-1736) desarrolló la teoría del calor, y junto con Celsius (1701-1744) definió
la temperatura, logrando establecer escalas para su medición. La
termodinámica experimentó también un desarrollo sorprendente con la
formulación, en 1824 por Carnot (1796-1832), del llamado segundo principio
de la termodinámica y del primer principio en 1842, por Mayer (1814-1878).
A este proceso contribuyó asimismo. Rudolf Emanuel Clausius (1822-1888),
al definir el concepto de entropía. Finalmente, Boltzmann (1844-1906) daría fin a este proceso
con la enunciación de la mecánica estadística.
Durante el siglo XVIII se produjo un fértil progreso de la mecánica clásica, como continuación
de los trabajos de Newton. Por otra parte, la electricidad, que hasta ese
período no había dejado de ser más que una simple curiosidad científica,
experimentó un considerable impulso, gracias a los trabajos realizados por
Coulomb (1736-1806), que ya a inicios del siglo XX serían consumados por
Oersted (1777-1851), Ohm (1787-1854), Ampere (1775-1836) y Faraday
(1791-1867). Finalmente, la ratificación de la teoría ondulatoria de la luz por parte de Young
(1773-1829) y Fresnel (1788-1827) permitió a Maxwell (1831-1879) consolidar en 1865 dos
disciplinas hasta entonces diferentes, la electricidad y el magnetismo, mediante la formulación
de una teoría electromagnética de la luz que sería corroborada prácticamente y de forma
experimental en 1887, por Hertz (1857-1894).
59
Hacia fines del siglo XIX la física sentía haber logrado un campo de
completitud definitiva con la integración de la mecánica y la termodinámica en la mecánica
estadística, y de la electricidad y la óptica a través de la teoría consolidada de las ondas
electromagnéticas. Sin embargo, ciertos fenómenos, como el carácter corpuscular de la
electricidad, el carácter negativo de la carga electrónica, la identificación de los electrones y
los rayos catódicos, y el establecimiento de la carga del electrón, forzaron a los físicos a
replantearse muchas de las concepciones clásicas dando lugar esto al surgimiento de la
llamada física moderna.
La física moderna se inició con la hipótesis de los cuantos de Planck (1858-
1947), a la que siguieron la determinación de la naturaleza de los rayos X, por
Von Laue (1879-1960), el estudio de la radiactividad natural
por Curie, y el efecto fotoeléctrico explicado por Albert
Einstein (1879-1955), gracias a la enunciación de la hipótesis
de la existencia de los cuantos de luz llamados fotones y
confirmado experimentalmente, en 1925, por los trabajos de Compton (1892-
1962). Así pues, la nueva física quedó formalizada a través de las teorías de la relatividad
especial (1905) y general (1915) enunciadas por Einstein, así como por el desarrollo de la
llamada mecánica cuántica Broglie(1892-1986), dualidad onda-corpúsculo;
Schrödinger, (1887-1961) Dirac, (1902-1984), aplicación del concepto de
probabilidad a la onda asociada a un corpúsculo y Heisemberg, (1901-1976),
formulación del principio de incertidumbre y del modelo atómico de Bohr
(1885-1962). En 1934 se descubre la presencia de la radiactividad artificial
(Joliot-Curie) y cuatro años después, la fisión nuclear (Meitner y Hahn, (1879-
1968) y Strassmann, (1902-1980), con lo que cambió por completo la
perspectiva de la relación entre la masa y la energía, así como la de la estructura de la propia
masa, de la que hasta entonces sólo se conocían tres componentes fundamentales: el electrón
(1879), el protón (1910) y el neutrón (1932). Se abría así la búsqueda de los componentes
elementales de la materia.
1.1.3 Concepto y clasificación de la física
60
1.1.4 Conceptos fundamentales
a) Fenómeno: Todo cambio que ocurre en la naturaleza.
Fenómeno Físico: Es el cambio que no altera la naturaleza o estructura interna de la
materia, o lo hace en forma aparente.
Física: Es la ciencia que estudia la materia, la energía, sus propiedades y su interrelación para la explicación precisa de los fenómenos de la naturaleza.
Física Clásica (Macrocosmos)
Acústica Termología
Mecánica
Electromagnetismo
Óptica
Física Moderna (Microcosmos)
Física de las Partículas fundamentales
Física del Estado Sólido
Física Atómica
Física del plasma
Física Nuclear Relatividad
Física Cuántica
61
Ejemplos:
desplazamientos
estados de agregación de la materia
cambios de fase, etc.
b) Materia y sus propiedades
1.2 Operaciones fundamentales para la solución de problemas
Abordar este tema, es de gran importancia, porque de la realización de una operación
matemática depende el éxito o fracaso en la solución de un problema de física.
Materia: es todo lo que ocupa un lugar en el espacio y tiene inercia.
Gases: Adoptan la forma y el volumen del recipiente que los contiene.
Líquidos: Adoptan la forma del recipiente que los contiene y su volumen es propio.
Sólidos: Presentan forma y volumen propio.
62
Los números reales se representan por medio de la recta numérica y en ella podemos observar
la presencia de números positivos y negativos y en cada uno de ellos encontraremos los
números enteros y racionales.
Las operaciones básicas son:
Adición Sustracción Multiplicación División Potencia
Operaciones básicas con números enteros.
Adición y sustracción. Es la suma algebraica entre dos o más números reales
Las operaciones de adición y sustracción pueden ser:
Entre números de igual signo. Para realizar este tipo de operaciones se realiza la suma o la
resta y al resultado se le pone el signo que tenga el número mayor.
Ejemplo: 3 - 80 = - 77 59 + 102 +76 = 237 65 + 43 + 1002 = 1110
Entre números de diferente signo. Para efectuar operaciones como: (-8) + (5) solo hay que
hacer una resta entre los valores absolutos y al resultado escribir el signo del numero mayor
(en valor absoluto).
Ejemplos: 5 + (-7) = -2 -6 + 11 = 5
La adición y sustracción de mas de tres números. En este caso se aconseja sumar primero los
positivos, después los negativos y finalmente realizar la suma o resta según sea el caso sin
olvidar la regla de los signos.
Ejemplo:
0-4 -6 -3 -2 -5 -7 -1 1 84 2 5 6 3 7
0-4 -6 -3 -2 -5 -7 -1 1 84 2 5 6 3 7
(-3) + (-4) = -7
63
Adición: (-7) + 8 + (-9) + 10 + (-11) + (-13) + 15 = 33 + (-40) = -7
Sustracción 15 - (-2) - (-7) - 16 - (-3) - 5 - (-9) = 36 - (-21) = 57
Multiplicación. Para efectuar la multiplicación de números enteros se siguen los siguientes
pasos:
• Se multiplican el valor absoluto de los factores.
• Si los factores tienen el mismo signo, el producto es positivo
• Si los factores tienen diferente signo, el producto es negativo.
Ejemplo:
(8) (4) = 32. (-6) (-4) = 24 (7) (-3) = -21 (-5) (6) = -30
(-5) (-4) (-2) = (40) (-20) = -80 (6) (-4) (-3) = (-24)(-3) = 72
División.
La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir dado el producto encontrar el
otro factor.
Regla de la división.
“Cuando el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, al cociente no le escribimos signo. Si
el dividendo y el divisor tienen diferente signo, al cociente le escribiremos signo negativo”
Ejemplos.
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes operaciones anotando el procedimiento.
( ) =−−− 259 [ ]=−−− )8(514
428 = 2
2
4 −=−4
3
12 −=−
35
15 =−−
54
20 =
Cociente Dividendo
Divisor
64
Potencia
La potencia es el producto de varios factores iguales. Por ejemplo:
Multiplicación de potencias.
Si multiplicas 2 3 x 2 4 lo que tendrías que hacer es:
2 3 x 2 4 = (2 x 2 x 2) (2 x 2 x 2 x 2) = 2 7
Es fácil notar, que lo único que se tiene que hacer es, sumar los exponentes
=− 5
198
=−
+−)2418(
)615( =
+−−
)48(
)514( 2
[ ] =+
+++)55(
20)7(31081 2
[ ]=−−
5
)8(14 2
8 3 = 8 x 8 x 8 = 512 512 es la tercera potencia de 8
6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 7776 es la quinta potencia de 6
65
Ejemplo:
Para elevar una potencia a una potencia
Si se desea calcular (2 2) 3 = (2 2) (2 2) (2 2) = 2 6 la forma de efectuar esta operación es
multiplicando los exponentes.
Fracciones. (Números racionales)
La fracción es una expresión matemática integrada por 2 partes.
Numerador. Es el número que indica cuántas unidades fraccionarias contiene la fracción, por
ejemplo en 3/12 el número 3 indica que se ha tomado 3 veces 1/12.
Denominador. Es el número que indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad.
Recordemos como resolver operaciones de:
Adición Sustracción Multiplicación División Potencia
Adición y Sustracción:
Y
X Numerador Denominador
Ejemplos. (5 3) 4 = (5 3) (5 3) (5 3) (5 3) = 5 12
(2 5) 6 = (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) = 2 30
(7 9) 6 = (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) = 7 54
5 3 x 5 2 = 5 3 + 2 = 5 5
3 4 x 3 8 = 3 4 + 8 = 3 12
66
Este tipo de operación requiere del común denominador. Una forma sencilla de obtener el
común denominador consiste en multiplicar los denominadores de todas las fracciones que
Integran la adicción y/o la sustracción. ¿Qué hay que hacer con el?
El común denominador (210) se divide
entre el denominador de la primera
fracción (10).
El cociente obtenido (21) se multiplica por
el numerador de la misma fracción (4).
Se escribe el producto (84),
Después el signo de operación (+) o (-)
según sea el caso
Posteriormente: Se repite el proceso con
las siguientes fracciones.
Finalmente se realiza la suma algebraica del numerador, se divide entre el
denominador obteniéndose resultado esperado
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes fracciones
Multiplicación
Esta operación es sencilla, como podrá observarse en el siguiente ejemplo
?32
73
104 =−+
=−+210
1409084
8285.0210174 =
2110210=
( )( ) 84421 =
igual
=+4
1
2
1.1
=+6
5
10
3.2
=+10
9
3
8.8=+
3
6
12
9.3
=−+3
2
10
4
2
11.9=++
5
2
7
3
9
7.4
=+−5
8
4
7
2
14.10=−
6
1
5
2.5
=−11
2
4
3.6
=−3
4
2
9.7
15.080
12
108
43
10
4
8
3 ===
x
x
67
• Se multiplica (numerador x numerador) y (denominador x denominador)
• Finalmente resuelves la división.
Ejercicio: Resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicando la regla de los signos
División
La división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, dado el producto encontrar el
otro factor.
Ejemplo:
.
Para resolver la división, se invierte una de las fracciones y se resuelve como la
multiplicación, como podrás observar en el siguiente ejemplo.
=
4
5
8
9.1
=
8
3
4
15.2
=
−
7
3
14
7.3
=
− 6
8
6
4.4
=
−
−5
3
12
7.5
÷
74
53
:
7453
formasiguienteladeescribirpuedese
05.120
21
45
73
4
7
5
3===
x
x
68
Ejercicio: La división es tan fácil como la multiplicación y para comprobarlo resuelve las
siguientes divisiones.
Potencia
En esta operación, tanto el numerador como el denominador deben elevarse a la potencia.
Ejemplos
=
÷
5
8
5
9.1
=
÷
5
12
4
30.2
=
÷
8
6
15
45.3
=
÷
2
3
7
2.4
=
÷
24
5
16
27.5
4
1
22
11
2
1
2
12
22 ===
x
x
( )( )
( )( ) 5.016
8
44
222
4
2
4
2
4
2
4
22
3
6
66
36
26
31
21
31
21
======
x
xx
( )
( ) 222.036
8
66
8
6
8
6
8
6
8
6
82
1
244
2
4
2
4
22
21
212
1
======
x
69
Ejercicio. Resuelve cada uno de los siguientes problemas
1.2.1 Matemáticas descriptivas
a) Notación científica
Dentro del quehacer científico y cotidiano nos encontramos con frecuencia con números muy
pequeños o muy grandes y es difícil trabajar con ellos por la cantidad de ceros que contienen,
por ejemplo:
Un mecánico al medir el espesor de una delgada hoja metálica puede encontrar el valor de
0.0053 cm. De modo similar, un ingeniero puede determinar un área de 1, 200, 000 m2 para la
pista de un aeropuerto.
En estos casos la notación científica o notación exponencial en base 10 es una herramienta
útil, ya que busca facilitar la solución de operaciones matemáticas, sin vernos obligados a
utilizar el gran número de ceros al realizar nuestros cálculos.
Para escribir los números en forma científica, partiremos de una clasificación muy simple, por
un lado tenemos los números mayores que la unidad, y por otro los números menores que la
unidad.
=
3
5
2.1
=
2
4
1.2
=
31
3
6
5
9.3
=
31
3
6
5
9.4
=
6
21
61
5
9.5
=
8
21
82
7
3.6
70
La potencia con base diez se utiliza para expresar los números grandes o pequeños y para
desplazar el punto decimal sin vernos obligados a utilizar un gran número de ceros al efectuar
nuestros cálculos.
Cuando dichas cantidades se expresan como potencias de 10 decimos que están expresadas en
notación científica y cuando no están expresadas como potencias de 10 decimos que se
expresan en notación decimal.
científicaNotaciónxEjemplo 6105.1:
decimalNotación0000015.0
La nomenclatura que utilizaremos para denominar a cada uno de los componentes de una
expresión en notación científica es la siguiente:
Para transcribir un número de notación decimal a científica nos basaremos en las siguientes
reglas:
Exponente
Base 10
Coeficiente 5106 x
Regla 1: Para cantidades mayores que 1 (# > 1)
Tendrán exponente positivo para la potencia de base 10
Se procede a contar el # de lugares que deberá recorrerse el punto
decimal a la izquierda. Este número será el exponente positivo de 10.
Ejemplo 24 000. = 2.4 x 10 + 4
El exponente es de signo positivo y es 4 porque el punto decimal se
recorrió 4 (veces) lugares hacia la izquierda.
Regla 2: Para cantidades menores que 1 (# < 1)
Tendrán exponente negativo para la potencia de base 10
Se procede a contar el # de lugares que deberá recorrerse el punto
decimal a la derecha. Este número será el exponente negativo de 10.
Ejemplo .000 0006 = 6. x 10 -7
El exponente es de signo negativo y es –7 porque el punto decimal se
71
Para realizar la operación inversa, es decir teniendo los números en notación científica
transcribirlos a notación decimal procedemos de la siguiente forma:
Observamos cual es el signo del exponente dependiendo de esto sabremos hacia donde se
recorrerá el punto decimal; es decir, si el signo del exponente es negativo el número es menor
que 1 y debemos recorrer el punto hacia la izquierda y si es positivo el número es mayor que 1
y debemos recorrer el punto hacia la derecha.
5.7 x 103 = 5 7 0 0 3.64 x 10-4= 0 .0 0 0 3 6 4
Expresa cada una de las siguientes cantidades en notación científica
Notación decimal Notación científica
250 000 000 000 000 000
Cuando el signo del exponente sea positivo (+), esto significa que el
número expresado es mayor que 1 y cuando el signo del exponente sea
negativo (-) quiere decir que el número es menor que 1.
72
000. 000 305
0. 001 000
007 000 000 000
10. 000 000
2 500
8 000 000 000
450 000
986 600 000 000
0.000 000 000 000 000 000 008
Expresa cada una de las siguientes cantidades en notación decimal.
Notación científica Notación decimal
400 x 10 4
61 x 10 6
356 x 10 8
9 x 10 9
45 x 10 -8
56.9 x 10 3
2310 x 10 -3
150 x 10 -5
75 x 10 -12
4 x 10-20
Operaciones Fundamentales Con Notación Científica
Operación Coeficientes Base 10 Exponentes Resultado
73
Adición
exponentes iguales
( 9 x 105 )+( 3 x 105 )
Se suman
9 + 3
Se conserva
10
Se conservan
5 12 x 105
Sustracción
exponentes iguales
( 9 x 105 )-( 3 x 105 )
Se restan
9 – 3
Se conserva
10
Se conservan
5 6 x 105
Multiplicación
exponentes pueden
ser diferentes
( 9 x 105 )( 3 x 105 )
Se multiplican
9 x 3
Se conserva
10
Se suman
5 + 5
27 x 1010
División
exponentes pueden
ser diferentes
( 9 x 107 )/( 3 x 105 )
Se multiplican
9 / 3
Se conserva
10
Se restan
7 - 5 3 x 102
Potencia
exponentes pueden
ser diferentes
( 9 x 105 )2
Se eleva a la
potencia
9 2
Se conserva
10
Se multiplican
5 x 2
81 x 1010
Raíz
exponentes pueden
ser diferentes
4109x
Se extrae la
raíz
9
Se conserva
10
Se dividen
4 / 2 3 x 102
Adición (o suma) Y Sustracción (o resta)
Para sumar o restar los números escritos en notación científica, seguiremos los siguientes
pasos:
74
Los coeficientes se suman o se restan.
La base o potencia de 10 se mantiene, es decir queda tal y como antes. Los exponentes quedan
del mismo modo, es decir, el mismo número y el mismo signo.
Multiplicación
En notación científica podemos realizar multiplicaciones entre los números aunque los
exponentes de las potencias de 10 no sean iguales, y para realizar estas operaciones
procederemos de la siguiente forma:
• Los coeficientes se multiplican
• La base o potencia de 10 queda igual
• Los exponentes se suman
Para el caso de la multiplicación, específicamente para el
segundo ejercicio debemos tener mucho cuidado, ya que las
confusiones con los signos son muy comunes. Hay que
tomar en cuenta las leyes de los signos para poder hacer una suma de exponentes y así obtener
el exponente con su signo correcto como lo vemos a continuación:
9 + (-5)= 9 – 5= 4
División
Para realizar la división en notación científica procederemos como sigue:
• Se dividen los coeficientes
Leyes de los signos
( + ) (+) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - )
( - ) ( - ) = ( + ) ( - ) ( + ) = ( - )
(3 x 10 7 ) + (8 x 10 7) = 11 x 10 7
(2.5 x 10 – 6) + (3.5 x 10- 6) = 6 x 10 - 6
(5 x 104) – (2 x 104) = 3 x 10 4
Ejemplos
(2 x 104) (4 x 103)= 8 x 104 + 3= 8 x 107
(3 x 109) (2 x 10-5)= 6 x 109 +(-5) = 6 x 104
(2 x 103) (5 x 1011)= 10 x 103+11= 10 x 1014
75
• La baso o potencia de 10 queda igual
• Los exponentes se restan; el exponente del numerador menos el del denominador.
Ejemplos:
Potenciación
La operación de potenciación en notación científica se realiza de la siguiente manera:
• EL coeficiente de la expresión se eleva a la potencia indicada
• La potencia de 10 pasa de la misma manera
• Los exponentes se multiplican, el de la potencia de diez por el que se indica fuera del
paréntesis.
Ejemplos:
( 3 x 10 2 )3 = 27 x 10 ( 2 ) ( 3 ) = 27 x 10 6
( 4 x 10 – 3 ) 2 = 16 x 10 ( - 3 ) ( 2 ) = 16 x 10 – 6
Para reafirmar lo anterior recordemos que un número elevado a una potencia se describe como
sigue:
Por ejemplo:
3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
La Raíz.
La operación de la raíz cuadrada en notación científica se realiza de la siguiente manera:
• Al coeficiente de la expresión se le extrae la raíz correspondiente
• La potencia de 10 pasa de la misma manera
( ) 936363
6
103103103103
109xxx
x
x === +−−−
2242
4
104104102
108xx
x
x == −
76
• El exponente se divide entre el índice de la raíz, así si es una raíz cuadrada el
exponente de la base 10 será dividido entre 2 que corresponde a su índice y si se trata
de una raíz cúbica entonces el exponente de la base 10 será dividido entre 3, el cociente
de esta división corresponderá al exponente de la base 10.
Ejemplo:
Ejercicio
Convierta las siguientes cantidades a notación decimal o notación científica según
corresponda, realizando en cada caso las operaciones que se indican.
Problema Solución
(5.5 x 104) (4.3 x10-2)
( 7 x 10 – 5 )2
( 4 x 10 5 )+(3 x 10 5 )
(5 x 10 4) 5
( 25 x 10 9 )+(7 x 10 9 )
4104 x
( ) 21241081x
b) Leyes de los exponentes
Las leyes de los exponentes son muy usadas en la física ya que la mayoría de las veces nos
encontramos con números o muy grandes o muy pequeños en los cuales requerimos de hacer
3266 10410161016 xxx ==
428
8 103109109 −−
− == xxx
19
12
1045
10900−x
x
12
4
1042
10168
x
x −
77
algunas operaciones y que al momento de ponerlos en forma exponencial se facilitan mas.
Antes de ver estas leyes veremos algunas definiciones esenciales.
Exponente de un número: Es el resultado de la multiplicación de un número por sí mismo o
sea este nos indica el número de veces que será multiplicado por el mismo.
Un exponente es una forma abreviada de escribir un producto de un número por el mismo las
veces indicadas. Por ejemplo:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 = 52
En la expresión del exponente de un número consideramos dos partes:
1.- La base: es el número que se va a multiplicar por el mismo.
2.- El exponente: es el número que indica las veces que la base se va multiplicar por si misma.
A continuación veremos las leyes de los exponentes en las diferentes operaciones
fundamentales.
1.- Para la multiplicación (los exponentes se suman)
mnmn aaa +=+
2.- Cuando el exponente es igual a cero, (el resultado siempre es uno sin importaer el valor de
la base)
010 ≠= aquemientrasa
3.- Cuando tenemos una raiz a cualquier potencia.
mm aa1
=
4.- Para la division.(al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador)
cac
a
ab
b −=
5.- Cuando el exponente es negativo.
78
aa
pp 1=−
6.- Cuando existe una raiz de un numero elvado a cierta potencia.
abqqa b =
7.- Cuando se elva una potencia a otra.
( ) fefe dd =
8.- Cuando se estan multiplicando dos numeros y estos son elvados a una potencia.
( ) zzz yxxy =
9.- Raiz de una division.
a
a
a
y
x
y
x =
2. Unidades y sistemas de medición
En nuestra vida diaria generalmente usamos expresiones como las siguientes: hace frió, está
cerca, no ha llovido mucho, que resistente, espérame un momento para referirnos a alguna
propiedad o característica de las cosas que nos rodean y tener una idea del valor de esa
cualidad. Esta clase de información nos sirve para ponernos de acuerdo, pero en muchas
ocasiones no resulta ser suficiente. Imagínate que vas a comprarte un par de tenis y
simplemente pides unos de tamaño mediano, te los llevas y luego descubres que no te entra el
pie, o imagina que deseas reponer un vidrio de la ventana de tu casa, es evidente que para no
estar adivinando, necesitas saber de que tamaño es. En estos ejemplos la propiedad que se
busca debe especificarse con precisión, es decir, hay que pasar de lo cualitativo a lo
cuantitativo y esto se consigue midiendo.
2.1 Conceptos de magnitud.
Magnitud: Es el tamaño de un objeto. Una magnitud es todo lo que puede ser medido.
79
Magnitud Fundamental: Son las unidades que se seleccionan de manera arbitraria y no se
definen en función de otras magnitudes. Es decir se consideran dimensionalmente
independientes. En el sistema internacional de medidas existen siete unidades fundamentales:
el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, la candela, el kelvin y el mol.
Magnitud derivada: Están formadas por la combinación de unidades fundamentales. Las
unidades derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas. Varias
de estas unidades derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades fundamentales.
Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien
nombres de unidades fundamentales, o bien nombres especiales de otras unidades derivadas,
se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales,
con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Entre
ellas se encuentran el m2, m/s, m/s2, m3,ft/s, km/hr, rad/seg, etc.
Medida: Es la expresión comparativa de la longitud, área o volumen, etcétera de un objeto. Es
lo que sirve para medir. Es la acción de medir. Es la cantidad que cabe exactamente un cierto
número de veces en cada una de otras dos o más de la misma especie que se comparan entre sí.
Medición: Es la comparación de una magnitud con otra de la misma especie llamada unidad.
La medición es la técnica por medio de la cual se le asigna un número a una propiedad física,
resultado de la comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual
se ha adoptado como unidad.
2.1.1 Escalar y vectorial
Magnitud escalar: Es aquella que solo presenta magnitud o tamaño y queda definida
correctamente por medio de un número abstracto y una unidad. Por ejemplo:
18 metros, 5 segundos, 3 Kilogramos, 26° Kelvin, 25 litros, 400 m2 , etcétera
80
Magnitud vectorial: No sólo requieren para su definición de la magnitud o tamaño que se
expresa con un número abstracto y una unidad, además debe indicarse la posición por medio
de la dirección y sentido. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de una flecha.
Ejemplo:
a) Unidades de medición
Las unidades de medición se clasifican en dos partes: las unidades fundamentales y las
unidades derivadas.
Entre las unidades fundamentales tenemos
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud Metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica Ampere A Temperatura Kelvin K Cantidad de sustancia Mol Mol Intensidad luminosa Candela Cd
A continuación se citan algunas de las unidades derivadas más comunes
Magnitud Nombre Símbolo Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2
De acuerdo a la gráfica se tiene la
siguiente información:
Magnitud. Es la medida del vector
5 Newton.
Dirección.- 45° al este.
Sentido. Lo indica la punta de la
flecha y es la orientación de la
magnitud vectorial
5 Newton
θ = 45° E W
N
S
81
Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1 Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3 Velocidad angular radián por segundo rad/s Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2 Frecuencia hertz Hz Fuerza newton N Presión pascal Pa Energía, Trabajo joule J Potencia watt W Carga eléctrica coulomb C Potencial eléctrico volt V Resistencia eléctrica ohm Ω Capacidad eléctrica farad F Flujo magnético weber Wb Inducción magnética tesla T Inductancia henry H
2.2 Sistemas de Unidades
Al hablar del día o la noche para referirse al tiempo, el hombre primitivo hablaba de tantas
soles o lunas para indicar ciertos acontecimientos. La necesidad para referirse a lapsos
menores entre la salida de la luna o el sol lo llevo a la observación de cómo se desplaza la
sombra proyectada en el suelo de una roca al pasar el tiempo, y coloco piedras en los lugares
donde realizaba un trabajo, de esta forma el hombre construye el primer reloj para medir el
tiempo.
Para medir la masa de un cuerpo, colocaba en sus manos dos objetos con la idea de saber cual
era mayor, un día se le ocurrió la idea de equilibrar una tabla con una roca y colocar los
objetos, uno en cada extremo de la tabla, y el que mas bajara seria de mayor masa, Así el
hombre tuvo su primera balanza.
La longitud de media con las partes del cuerpo, usando sus medidas, por ejemplo: los ingleses
usaban el pie, los romanos el paso, los egipcios usaron la brazada (igual a la medida de un
82
hombre con los brazos extendidos), también se usaba la medida del codo hasta el extremo del
dedo medio, la palma de la mano o cuarta, y así aparecieron muchas medidas en el mundo.
A partir de esta historia podemos deducir que la unidad de medida es la magnitud que se usa
como medio de comparación para hacer una medición
La existencia de una gran cantidad de unidades creaba dificultades en las relaciones
internacionales de comercio y en el intercambio de resultados de investigaciones científicas,
etcétera como consecuencia los científicos de los diversos países intentaron establecer
unidades comunes, válidas en todos ellos.
Durante la revolución francesa se creo el sistema métrico decimal, según sus autores, debería
servir en todos los tiempos, para todos los pueblos y para todos los países, su característica
principal es que las distintas unidades de una misma magnitud se relacionan entre sí como
exponentes enteros de 10.
Y sus unidades fundamentales son el metro, el kilogramo-peso y el litro, para definirlas se
usaron datos de carácter general como las dimensiones de la tierra o la densidad del agua, su
ventaja principal es la división decimal que presenta y que da lugar a los múltiplos y
submúltiplos de la unidad.
Prefijos Utilizados En El Sistema Internacional De Medidas
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
1 x 1018 exa E
1 x 10-1 deci D
1 x 1015 penta P 1 x 10-2 centi C
1 x 1012 tera T
1 x 10-3 mili m
83
1 x 109 giga G 1 x 10-6 micro u
1 x 106 mega M
1 x 10-9 nano n
1 x 103 kilo k 1 x 10-12 pico p
1 x 102 hecto h
1 x 10-15 femto f
Desde mediados del siglo XIX, el sistema métrico comenzó a difundirse ampliamente, fue
legalizado en todos los países y constituye la base de las unidades que sirven para la medición
de diversas magnitudes en la Física y en otras ciencias.
El sistema de unidades es el conjunto de unidades debidamente relacionadas entre sí que nos
permiten realizar mediciones.
2.2.1 Sistemas de Unidades (MKS, cgs, técnico, inglés) Además del sistema internacional de medidas (MKS o Giorgi) existen otros sistemas de
unidades entre los que pueden mencionarse: el sistema sexagesimal, el técnico terrestre y el
sistema ingles, como los mas comunes, como podrá apreciarse en la tabla, cada uno de ellos
utiliza diferentes unidades de medida para cada uno de los factores.
Magnitud Sistema M.K.S. Sistema c.g,s. Técnico terrestre Sistema Ingles
Longitud Metro m Centímetro cm Metro m Pie ft.
Masa Kilogramo Kg Gramo g u.t.m Slug
Tiempo Segundo s Segundo s Segundo s Segundo s
Fuerza Newton N Dina D Kilo pound Lb. (Fuerza)
Trabajo Joule J Ergio erg Kpm Lb-ft
Energía Joule J Ergio erg Kpm Lb-ft
velocidad m/s cm/s m/s ft/s
aceleración m/s2 cm/s2 m/s2 ft/s2
2.2.2 Equivalencias y Conversión de unidades
Las equivalencias expresan la misma medida en unidades diferentes, por ejemplo: si deseamos
medir tu estatura, lo podemos hacer usando el metro como unidad de medida, pero también
podemos usar centímetros o la unidad de longitud inglesa que son los pies.
84
Las equivalencias te permiten convertir las unidades de una medida en otra que sea de la
misma especie.
Conversiones.
Para realizar una conversión de una unidad a otra se realizan los siguientes pasos:
a) Se escriben dos paréntesis y dentro del primer paréntesis se escribe la cantidad que
queremos convertir y se divide entre la unidad.
b) Se investiga la equivalencia entre las unidades que tenemos y a las que deseamos obtener.
c) Con la equivalencia se construye el factor de conversión, para lo cual debes acomodar en
el segundo paréntesis procurando escribir la parte de la equivalencia que porta la unidad
1 pie (ft) = 0.3048 m
1 Yarda (yd) = 3 pie (ft)
1 pulgada (in) = 2.54 cm
1 milla = 1 609 metros
1 metro (m) = 100 centímetro (cm)
1metro (m) = 0.102 Kilopound (Kp)
1 Km = 1 000 metros
Equivalencias entre unidades de longitud
1 libra m = 454 g 1slug = 14.594 Kg
1 libra = 16 onzas = 28 g
1 libra m = 0.454 Kg
1 tonelada = 1 000 Kilogramos
1 Kg. = 0. 102 unidad técnica de masa
1 Kg = 1 000 gramos
Equivalencias entre unidades de masa
1 hr. = 60 minutos = 3600 segundos
Equivalencias entre unidades de tiempo
85
que se desea cancelar en la posición contraria a la que se encuentra escrita en el primer
paréntesis.
d) Finalmente se realizan las operaciones indicadas para obtener el resultado.
Se multiplica el numerador por el numerador
Se multiplica el denominador por el denominador
Se resuelve la división.
Ejemplo: convertir 5km a millas
En este caso se acomodo la equivalencia poniendo las unidades de millas la parte que
corresponde al numerador (arriba) ya que esas son las unidades que nosotros deseamos, y se
puso a las unidades km en el denominador (abajo), así al realizar las operaciones las unidades
de km quedaran dividiéndose por si mismas y automáticamente se cancelaran quedando
únicamente las millas.
Ejercicio: Realice las siguientes conversiones siguiendo la metodología antes explicada.
1) Convertir 198 km a millas.
2) 23 yardas a metros.
3) 300 millas a metros y a kilómetros
4) 20 000 gramos a libras.
( )( )( )( ) millas
millas
km
millakm
km
millakm107.3
609.1
5
609.11
15
609.1
1
1
5==
=
1milla=1.609km
86
5) 217 libras a kilogramos.
6) 1 245 987 segundos a horas.
7) 2 100 pies a centímetros y a metros.
8) 1187 kilogramos a slug y a gramos
9) 100 ft a metros
2.2.3. Errores y causas de error.
Error: Cuando hacemos mediciones de magnitudes con distintos instrumentos de medición y
comparamos el valor de la medida realizada nos damos cuenta de que siempre existirá una
diferencia en dicha medición y a esta diferencia se le llama error o error en la medición.
Debido a esto no existe una medición exacta y lo que tenemos que hacer es que el error sea
mínimo. Para esto existen diferentas técnicas que nos permiten obtener resultados más
satisfactorios.
Causas de error en las mediciones: Los errores en las mediciones son debidos a diferentes
causas que son las siguientes:
a) Defecto en el instrumento. Este
se detecta al hacer lecturas de una
misma magnitud con diferentes
instrumentos de la misma marca y
rango.
87
Como ya se menciono, cuando realizamos mediciones nos damos cuenta de que estas tienen
diferente valor, por ejemplo: suponiendo que estamos midiendo la misma temperatura en un
mismo lugar y a la misma hora, la misma distancia diferente personas, el mismo tiempo etc.,
es difícil que en todas las mediciones obtengamos un valor idéntico, para esto a continuación
veremos algunos conceptos y técnicas para reducir la magnitud del error.
2.- Errores circunstanciales.
Estos se presentan debido a
las condiciones en que se
presenta el instrumento.
(temperatura, presión,
humedad.)
a) Errores estocásticos. Son
muy pequeños y no se
presentan comúnmente.
b) Errores aleatorios. Resultan
de factores inciertos y pueden
ser positivos y negativos.
c) Error en la escala. Se detecta
en el rango de precisión
utilizado por el instrumento.
88
Valor promedio de las mediciones. Es el que se obtiene a partir de la sumatoria de las distintas
mediciones realizadas.
Matemáticamente
n
xxxxx n......321 +++=
Donde:
.
.
realizadamedicionx
medicionesdenumeron
medicioneslasdepromediovalorx
n ===
Error absoluto o desviación absoluta. Es la diferencia que existe entre el valor promedio y
cada medición.
Matemáticamente
xxE nA −=
Donde
.medidovalorx
absolutoerrorE
n
A
==
.promediovalorx =
Error relativo. Es la división entre el error absoluto y el valor promedio.
Matemáticamente
x
EE A
R =
Desviación media. Es el margen de error que hay en el valor promedio.
Matemáticamente
n
absolutoerrordevaloresdeDm
∑=
89
Error porcentual. Es el producto del valor relativo multiplicado por 100, esto para obtenerlo
en por ciento.
Matemáticamente
( )( )100RP EE =
Ejemplo
Cinco alumnos de un grupo miden individualmente la longitud de la cancha de básquetbol de
su escuela. Obteniendo los siguientes resultados:
12.34m, 12.31m, 12.29m, 12.32m, 12.31m. Encontrar:
a) El valor promedio de las mediciones.
b) El error absoluto.
c) La desviación media.
d) El error relativo.
e) El error porcentual.
a) n
xxxxx n......321 +++=
5
31.1232.1229.1231.1234.12 ++++=x = 61.57/5 = 12.314m.
Aquí nos damos cuenta de que el valor promedio tiene tres dígitos después del punto decimal y
cuando el número de dígitos después del punto decimal es mayor a el que tienen los datos
obtenidos en la medición se procede a redondear el valor promedio hasta que sus decimales
sean iguales a el de los datos. Si el último número es igual a cinco o mayor el número anterior
aumenta una unidad y en caso de que sea menor a cinco el número anterior queda igual.
Para nuestro ejemplo es: 12.314 m y al redondear queda de la siguiente manera 12.31m.
ya que el ultimo digito es menor que cinco.
b) xxE nA −=
EA1 = 12.34 - 12.31= 0.03m
EA 2= 12.31 - 12.31= 0.00m
90
EA3 = 12.29 - 12.31= -0.02m
EA 4= 12.32 - 12.31= 0.01m
EA 5= 12.31 - 12.31= 0.00m
c) n
absolutoerrordevaloresdeDm
∑= , En este caso todos los valores de error
absoluto se toman como positivos.
Dm. = 0.06m / 5 = 0.012m
Para este caso también se redondea la cantidad ya que el número de dígitos después del punto
decimal es mayor al de los datos principales.
Por lo tanto: Dm. = 0.01m
De donde concluiríamos que la longitud de la cancha de básquetbol se reportaría de la
siguiente manera:
12.31m ± 0.01m.
Esto indica que al realizar otra medición el valor estaría entre 12.30m y 12.32m.
d) x
EE A
R = En este caso todos los valores de error absoluto se toman como
positivos.
ER1 =0.03 / 12.31=0.002437
ER2 =0.00 / 12.31=0.000000
ER3 =0.02 / 12.31=0.001624
ER4 =0.01 / 12.31=0.000812
ER5 =0.00 / 12.31=0.000000
e) ( )( )100RP EE =
EP1 =0.002437(100) =0.2437%
EP2 =0.000000(100) =0.0000%
EP3 =0.001624(100) =0.1624%
EP4 =0.000812(100) =0.0812%
91
EP5 =0.000000(100) =0.0000%
Ejercicios
1. En una alberca se tomaron 10 temperaturas en diferentes áreas de esta, obteniendo los
siguientes datos: 25.1°C, 25.3°C, 24.9°C, 25.2°C, 25.4°C, 25.2°C, 25.1°C, 25.5°C,
24.8°C, 25.3°C.
Encontrar:
a) El valor promedio de las mediciones.
b) El error absoluto.
c) La desviación media.
d) El error relativo.
e) El error porcentual.
2. 6 personas tomaron el tiempo que tarda en caer una pelota que es arrojada desde un edificio
obteniendo los siguientes tiempos: 20.58 seg, 20.34 seg, 19.59 seg, 21.08 seg, 20.17 seg,
21.16 seg.
Encontrar:
a) El valor promedio de las mediciones.
b) El error absoluto.
c) La desviación media.
d) El error relativo.
e) El error porcentual.
2.3. Álgebra vectorial.
En física el álgebra vectorial se utiliza para solucionar ejercicios donde las magnitudes tienen
una dirección y un sentido, a continuación veremos algunos conceptos básicos de esta área.
92
2.3.1. Conceptos básicos.
Vector. Los vectores representan fuerzas, aceleraciones, velocidades y todo lo que tenga
dirección, magnitud y sentido. Los vectores son representados por una flecha.
Todo vector tiene un punto de origen.
Magnitud. Es la que expresa el valor del vector y se representa a escala. Por ejemplo: Un avión
que va a 500km/hr. Hacia el noreste. Su magnitud son los 500km./hr.
Dirección. Señala la línea en la cual actúa el vector y esta puede ser vertical, horizontal o
diagonal. Para el ejemplo anterior la dirección del avión es una línea diagonal.
Sentido. Este es señalado por la punta de la flecha e indica hacia donde se dirige el vector, ya
se a hacia arriba, hacia abajo, izquierda o derecha y este se señala con el signo (+) o (-) según
se señale.
2.3.2. Componentes, resultante, ángulo director.
Componentes de un vector. Todo vector esta constituido por sus componentes, que son
aquellos que lo sustituyen en su descomposición (sistema de vectores equivalentes).
Descomposición. Cuando el numero de vectores equivalentes es mayor al vector
descompuesto.
X Punto de origen
Magnitud . - 500km / hr. Dirección.- inclinación del vector según el ángulo con respecto al este. Sentido.- al noreste.
S
O E
N
Punto de origen
Vector
θ
93
Cuando un vector A se encuentra en un plano bidimensional tiene dos componentes, uno en el
eje de las X (Ax) y otro en el eje de las Y (Ay).
Resultante de un vector. La resultante de un vector es aquel vector que sutituye o realiza la
misma accion de varios vectores sobre el punto de aplicación, aquí se lleva a cabo la
composicion.
Composicion. cuando el número de vectores equivalentes es mayor al vector resultante.
Angulo director. Es aquel que nos indica el grado de inclinacion del vector con respecto al eje
X, existen diferentes formas de simbolizarlo ( ),.........,,, etcσαθ .
El valor del angulo se puede encontrar por los metodos analiticos o graficos
V1
V2
VR
Punto de origen
Para encontrar el vector resultante
se utilizan los:
Métodos gráficos (del triangulo, del
paralelogramo, polígono.)
Métodos analíticos (triangulo,
componentes).
Para encontrar los valores de las
componentes del vector utilizamos
las siguientes formulas:
θθ AsenAyAAx == ;cos
Ay
Ax
Vector A
θ
94
Autoevaluación
Instrucciones: Realiza cada una de las siguientes operaciones matemáticas.
4 +6 +8 – 3 +7 =
Punto de origen
Vector A
θ Angulo director del vector A
95
9 + 6 +87 – 65 –90 =
(7) (5) (4) =
(-9) (-12) =
(24) (-5) =
(6) (-3) (-15) =
60 / - 4 =
–90 / -3 =
7 4 =
3 3 x 3 5 =
2 4 x 2 6 x 2 3 x 2 5 =
(4 4 ) 5 =
(6 6 ) 2 =
(4 4 ) 5 (6 6 ) 2 =
Instrucciones: Resuelve las siguientes operaciones fraccionarias.
=+5
4
5
2.1 =
−÷
− 8
2
8
13.9
96
Instrucciones: Resuelve correctamente cada uno de los siguientes problemas.
1.-Escribe la notación científica ó decimal según sea el caso.
=+6
5
10
2.2
=−+3
2
10
6
12
5.3
=−+3
2
10
6
12
5.4
=
−
3
3
10
8.5
=
− 7
2
5
6.6
=
−
−3
4
16
8.7
=
÷
5
4
2
5.8
=
−÷
−2
3
7
2.10
=
3
6
5.11
=
2
5
1.12
=
31
3
6
2
4.13
=
31
3
6
4
8.14
=
6
21
61
5
6.15
=
6
21
31
3
9.16
97
Notación Científica Notación decimal
2000 x 10 5
3.5 x 10 -4
5.8 x 10 3
6 x 10 4 56 000 000.
00.007603
549 000 0.001
Desarrolla las siguientes operaciones:
(2 x 10 4)(5 x 10 8) =
(5x 10 4) 2 =
(4 x 10 6) + (3 x 10 6) =
(40 x 10 4) / (8 x 10 2) =
Instrucciones: Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y contesta en forma breve
y correcta.
¿Que estudia la física?
98
Menciona cinco de los primeros pensadores griegos que trataron de encontrar respuestas a
los fenómenos naturales.
¿Qué científicos son considerados los precursores de la física clásica?
Menciona 10 científicos del siglo XVII?
¿En que siglo la mecánica clásica experimentó un gran desarrollo y con que
descubrimientos?
¿En que siglo nace la física moderna?
¿Quiénes son los científicos mas destacados de la física moderna y cuales fueron sus
descubrimientos?
99
Instrucciones: Relaciona ambas columnas y escribe sobre la línea las letras que proporcionen
la respuesta correcta
Instrucciones: Contesta en forma breve y correcta cada una de las siguientes preguntas.
¿Qué importancia tiene para ti estudiar física?
____Estudia el movimiento y estado de los
cuerpos
____Estudia el movimiento considerando
espacio y tiempo.
____Estudia los cambios de los movimientos
producidos por una o mas fuerzas equilibradas.
____Estudia el movimiento en relación a las
fuerzas que lo producen.
____Estudia las causas del equilibrio en los
sistemas de fuerzas.
____Estudia las leyes y los fenómenos de la luz.
____Trata la formación y propagación del
sonido.
____Estudia las acciones y reacciones de las
corrientes electromagnéticas.
____Trata las relaciones entre lo la mecánica y
el calor.
____Esta integrada por varias áreas de estudio
como la física relativista, cuántica, etc.
AC. Acústica ES. Estática DI. Dinámica. CI. Cinemática TE. Termodinámica ME. Mecánica FI. Física moderna. OP. Óptica EL. Electromagnetismo
100
¿Qué es la materia?
¿En que de diferencian los tres estados fundamentales en que se encuentra la materia?
¿Qué diferencia existe entre un fenómeno físico y un fenómeno químico?
Cita 5 ejemplos de fenómeno físico.
Instrucciones: Complementa cada una de las siguientes aseveraciones, escribiendo en cada
caso la palabra correcta.
101
Medición Medida Magnitud Unidad
módulo dirección sentido segundo
Masa Unidad derivada Unidad escalar Unidad vectorial
Newton Joule Ohm Hertz
Flecha Watt Volt Kilogramo
Longitud metro Tiempo Temperatura
Unidad
fundamental
Intensidad
luminosa
Intensidad de
corriente eléctrica
Cantidad de
sustancia
La ___________es la cantidad que cabe exactamente cierto numero de veces en otra de la
misma especie para ser comparadas entre si.
La técnica mediante la cual se le asigna un numero a una propiedad física es : __________
Se de denomina _____________a todo lo que puede ser medido.
La __________ se usa como medio de comparación para hacer una medición.
De acuerdo a su origen las unidades se dividen en:______________ que se seleccionan de
manera arbitraria y __________________ que se expresan a partir de las unidades
fundamentales.
Las magnitudes fundamentales son: 1.___________,2. ____________
3.______________; 4,___________ 5. ___________, 6, ___________
Son ejemplos de unidades derivadas ______________, __________
_________, __________, ___________, ____________, __________
Es la magnitud que solo presenta tamaño:______________________
Las magnitudes vectoriales se caracterizan por tener:____________,
______________ y _____________ y son representadas por medio de una _______________
Instrucciones: Escribe sobre la línea del lado izquierdo una F si el enunciado es falso y una V
si es verdadero.
____El sistema métrico decimal fue el primer sistema de unidades.
102
____El sistema de unidades no es un conjunto de unidades relacionadas que permiten realizar
mediciones.
____El metro es la unidad de longitud que pertenece al sistema técnico.
____El segundo es la unidad de tiempo que permanece en todos los sistemas
____La unidad de medida de masa inglesa es la unidad técnica de masa.
La unidad de fuerza del sistema cgs es la Dina.
____El Joule es una unidad que se utiliza para el trabajo y la energía.
____La unidad de velocidad es una unidad derivada.
____El pie es una unidad inglesa
____los sistemas de unidades facilitaron el comercio exterior.
____los sistemas de unidades mas comunes son el MKS, cgs, técnico e ingles
Instrucciones: Realiza las siguientes conversiones:
8 Kp = _____________Newton 1 N = .102 Kp
60 u.t.m. = _________ Kg. 1 Kg. = .102 u.t.m.
30 ft = ______________ m 1 ft = .3048 m
40 Km/h = __________m/s 1 Km = 1000 m 1 h = 3600 s
103
UNIDAD II. MECANICA
104
Introducción a la mecánica
Un fenómeno fundamental que observamos a nuestro alrededor es el movimiento, la
experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influido por los
cuerpos que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos. Hay varias reglas
generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa
cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que
los sustenta, se denominan mecánica
La mecánica como la comprendemos hoy en día es el resultado principalmente del
genio de Sir Isaac Newton, que produjo la gran síntesis denominada principios de
Newton. Sin embargo, muchas personas más han contribuido a su avance. Algunos
de los nombres más ilustres son Arquímedes, Galileo, Kepler, Descartes, Huygens,
Hamilton, Mach y Einstein
La mecánica se ocupa de los efectos de las fuerzas sobre los objetos materiales es
decir el movimiento y estado de los cuerpos. La mecánica esta integrada por dos
partes, la cinemática que se enfoca en el estudio de la descripción del movimiento de
los cuerpos sin atender las causas que producen dicho movimiento ¿Cómo se
mueve? y la dinámica que se centra su estudio en las causas que producen el
movimiento de los cuerpos. ¿Por qué se mueve?, La estática que estudia el equilibrio
de los cuerpos forma parte de la dinámica
En esta parte del curso trataremos el estudio de la mecánica clásica o mecánica
newtoniana, en cada uno de los puntos desarrollaremos los conceptos físicos,
básicos para describir los fenómenos mecánicos.
105
1. Movimiento Todo lo que nos rodea es materia en movimiento, desde los microsistemas hasta los macrosistemas, los electrones se desplazan en orbitas
alrededor del núcleo, la vibración de las partículas de un sólido, el deslizamiento molecular de los líquidos, el desplazamiento caótico de las
moléculas gaseosas, la caída del agua de una cascada, los movimientos de rotación y traslación planetarios y satelitales, cada movimiento
presenta diferente rapidez, trayectoria y periodicidad.
El movimiento se define como el cambio de posición de un móvil en un tiempo
determinado con respecto a un marco o sistema de referencia, considerar que el
móvil es toda partícula material que se mueve nos permite
simplificar su descripción gráfica y matemática. Un
marco o sistema de referencia esta integrado por
uno o mas ejes sobre las cuales se registra el
movimiento de los cuerpos y puede ser
unidimensional (en un eje) como el movimiento
rectilíneo de un móvil, bidimensional (en un plano)
como el movimiento de un proyectil o tridimensional
(en el espacio) como el de la broca de un taladro al perforar la madera
1.1 Conceptos Básicos.
1.1.1 Movimientos
La rama de la mecánica que estudia la descripción matemática del movimiento de los cuerpos
sin considerar las causas que lo producen y despreciando la fricción del aire es la cinemática.
Los tipos de movimiento de acuerdo a su trayectoria curva o rectilínea se clasifican de la
siguiente forma:
El
movimiento de caída libre y tiro vertical, forman parte del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
Movimiento
Movimiento. Unidimensional
Movimiento Bidimensional
1. Mov. Rectilíneo Uniforme
2. Mov. Rectilíneo
Uniformemente
3. Tiro Horizontal
4. Tiro Parabólico
106
1.1.2 Desplazamiento
Con frecuencia utilizamos de forma equivocadamente los conceptos de distancia y el
desplazamiento como términos iguales, sin embargo la distancia es la medida
(escalar) de la longitud de la trayectoria recorrida por un móvil, y esta puede ser
rectilínea o curvilínea.
En la figura observamos que el desplazamiento
presenta una longitud menor que la longitud
de la distancia cuando la trayectoria recorrida
por un móvil es curvilínea. El desplazamiento y
la distancia son equivalentes cuando se tiene
una trayectoria rectilínea.
El desplazamiento es una magnitud vectorial (presenta magnitud, sentido y
dirección) independiente de la trayectoria descrita por el móvil, y se define
como la medida de la longitud de la recta que une su posición inicial y final de manera que si después de un recorrido el móvil retorna a la
posición inicial tendrá un desplazamiento igual a cero, por ejemplo: un automóvil recorre 2km. al sur, 3km. al este, 2km. al norte y
finalmente 3 km. al oeste.
La distancia o longitud recorrida por el automóvil fue de 10 km. (magnitud escalar), y su desplazamiento es cero porque finalizo su
recorrido en el punto donde inicio.
1.1.3 Trayectoria
Línea descrita en el espacio por un punto en movimiento con respecto a un sistema
de referencia. La trayectoria pueden ser rectilínea o curvilínea, su longitud
corresponde a la distancia recorrida por el móvil.
1.1.4 Tiempo
Concepto fundamental de la física que traduce en términos objetivos las percepciones
subjetivas de antes y después, permitiendo establecer el orden con que se verifica
una sucesión de fenómenos. En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad
de medida del intervalo de tiempo es el segundo.
Posición inicial
Posición final
desplazamiento
distancia
♦
♦
y
x
107
1.1.5 Posición
La posición esta determinada por las coordenadas de un punto con respecto a un
marco o sistema de referencia. El sistema de
referencia que se utiliza esta integrado por un par
de ejes interceptados en un punto llamado origen
y perpendiculares entre si conocido como sistema
de coordenadas rectangulares o coordenadas
cartesianas. La posición P (X , Y) queda
expresada por la magnitud de la abscisa (eje x) y
la ordenada (eje y). Para localizar una posicion A (5 , 3) en la grafica, se traza una
perpendicular sobre el eje de las x en la magnitud 5 de su escala, posteriormente se
traza otra perpendicular al eje y en la
magnitud 3 de la escala, el punto
donde se interceptan las dos rectas
trazadas indica la posición del punto
A.
Utilizando el vector de posicion graficado en un plano formado
por cuadrantes numerados en sentido contrario al de la
manecillas del reloj, las coordenadas pueden tener signo
positivo o negativo dependiendo del cuadreante en el que se
localicen .
En el cuadrante I, la abscisa y la ordenada son positivas. A (5,
3), en el cuadrante II la abcisa es negativa y la ordenada es
positiva. B (-3, 4), en el cuadrante III tanto la abscisa como la
ordenada son negativas. C (-2, -2) y en el cuadrante IV la abscisa es positiva mientras que la ordenada es negativa D (4, -3)
La posición del mòvil queda representada por medio de
las coordenadas polares, por ejemplo 70 km, θ = 45 0
con respecto a la horizontal, la posición está
determinada por la magnitud del vector y su orientción
con respecto a un sistema de referencia.
45 0
d = 70 km
1 2 3 4 5 6 7
4 3 2 1 0
♦
♦
♦
A ( 5 , 3 )
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
4 3 2 1 0 -1 -2 -3
♦
♦
♦
A (5, 3)
♦
♦
♦
♦
♦
♦ ♦
♦ ♦ B (-3, 4)
C (-2, -2) D (4, -3)
Cuadrante IV
Cuadrante III
Cuadrante II Cuadrante I
108
t
dv =
Velocidad y rapidez
Con frecuencia, la velocidad y rapidez se emplean como conceptos iguales, no
obstante existe una diferencia entre ellas determinada por el empleo de una distancia
o un desplazamiento, de modo que:
La velocidad de un móvil es el desplazamiento del móvil en la unidad de tiempo. La
velocidad es una magnitud vectorial que además del módulo tiene la dirección y
sentido de su desplazamiento. Matemáticamente:
La rapidez es una magnitud escalar de la velocidad y se define como la distancia
recorrida por el móvil en la unidad de tiempo.
Las unidades de rapidez y velocidad son unidades congruentes, al igual que las
unidades de distancia y desplazamiento
Matemáticamente Cuando el móvil describe una trayectoria curvilínea, la velocidad y la rapidez pueden ser iguales en su
magnitud pero diferentes en la dirección
Cuando la trayectoria seguida por el móvil es rectilínea la velocidad
es igual a la rapidez.
Problemas resueltos
Sistema En donde :
Factor
Magnitud que
representa MKS cgs Ingles
v Velocidad m/s cm/s ft/s
d desplazamiento m cm ft
t tiempo s s s
t
DR =
109
Ejemplo 1
Determina la velocidad de un ciclista que recorrió 5000 metros en un tiempo de 250
segundos.
Ejemplo 2
¿Qué distancia recorrerá la luz en 30 segundos? (recuerda que la velocidad de la luz
=300,000,000 m/s).
Ejemplo 3
Determina el tiempo requerido para que un barco que se desplaza a razón de 120
km/h llegue a un puerto localizado a 6 km. al Este de su posición.
Problemas propuestos.
Datos ?=v
md 0005=
segt 250=
Fórmula
t
dv =
Sustitución
s
mv
250
0005=
Resultado
s
mv 20=
Datos ( ) (s
md 30000000300=
smd ?=
segt 30=
Fórmula
t
dv =
Sustitución ( )( )ss
md 30000000300=
Despeje tvd =
Resultado md 0000000009=
Datos
sm
hkmv 33.33120 ==
mkmd 00066 ==
?=t mkm
mkm
sm
s
h
km
m
h
km
00061
10006
33.336003
1
1
1000120
=
=
Conversiones
Fórmula
t
dv =
Sustitución
smm
t33.33
0006=
Resultado
segt 180=
Despeje
v
dt =
110
1 ¿Qué distancia recorre un auto que viaja a una velocidad constante de 80 km/hr en un tiempo
de 0.6 hr? (Solución 48 km)
2 Un barco se localiza a 500km del puerto y se desplaza hacia él a una velocidad de 60km/hr
¿Cuánto tiempo tienen los pasajeros de ese barco para estar listos a abordar el barco?
(Solución 8.33hr)
3 ¿Cuál es la velocidad de un león que recorre una distancia de 500m en un tiempo de 1
minuto? (Solución 8.33m/s)
1.2 Movimiento unidimensional
Los movimientos unidimensionales son movimientos proyectados por cuerpos que describen
trayectorias rectilíneas y pueden ser uniforme o uniformemente acelerados.
1.2.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
111
Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales describiendo una trayectoria
recta se tiene el movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo un auto recorre 5m por cada
segundo que transcurre manteniendo constante su velocidad, se puede predecir la distancia
recorrida en diferentes intervalos de tiempo, o el tiempo que tardará en llegar a su destino.
En la figura observamos las posiciones del móvil con respecto al tiempo, los desplazamientos
son iguales a lo largo de la trayectoria, al graficar desplazamiento vs tiempo y unir las
posiciones, obtendremos una línea recta, cuya pendiente (m) es igual a la magnitud de la
velocidad (m = v)
Matemáticamente la ecuación de la pendiente
de una recta es:
12
12
XX
YYm
−−= En donde X, Y son la abcisa y
ordenada respectivamente de dos posiciones
de la recta, adaptando la formula a la
información de la grafica, la ecuación queda
de la siguiente forma:
12
12
tt
ddvm
−−==
Consideremos los puntos A (1, 5) y C (3,
15) en donde: t1 = 1 seg., t2 = 3 seg y d1 = 5
m, d2 = 15 m . Sustituyendo en la formula
para determinar el valor de la velocidad tenemos:
Si graficamos velocidad vs tiempo, obtendremos la
1 s 2 s 3 s 4 s 0 s
0 m 20 15 10 5 m
20 15 10 1 5 0
1 2 3 4
♦
♦
♦
A (1, 5)
♦ ♦
♦ ♦
♦
♦ ♦
♦
♦
D (4, 20)
C (3, 15)
t (s)
B (2, 10)
d (m)
sm
ss
mmvm 5
13515 =
−−==
112
información correspondiente al desplazamiento logrado por el móvil a velocidad constante en
determinado tiempo, como podrá apreciarse en la grafica el área sombreada equivale a la
magnitud del desplazamiento. Para este ejemplo tenemos:
Velocidad promedio
Un evento común ocurre cuando un móvil se desplaza a diferentes velocidades, por ejemplo:
un automóvil registra una velocidad de 36 m/s, después de un tiempo su velocidad disminuye
a 20 m/s y posteriormente la reduce hasta 4 m/s, la magnitud de la velocidad quedará
establecida por la velocidad media o promedio (v m), equivalente a la suma de las velocidades
dividida entre el numero de velocidades
svelocidadedenúmero
vvvvvm
.......4321 ++++=
Considerando la información del ejemplo tendríamos una velocidad promedio de:
sms
ms
ms
mvm 20
3
420361 =
++=
1.2.2 movimiento uniformemente acelerado
5 0
1 2 3 4 ♦ ♦
♦
♦ t ( s )
♦
♦
v ( m / s )
♦
♦
♦
♦
♦
♦
A D C B
( )
( )
md
sssmd
ttvd
entodesplazamiárea
f
15
145
0
=
−=
−=
=
113
Diariamente percibimos en nuestro entorno que la mayoría de los cuerpos que se mueven
presentan la tendencia hacia los cambios de velocidad. Por ejemplo: un automovilista que
parte del reposo al inicia su recorrido aumentando gradualmente la velocidad y la reduce
hasta detenerse para esperar la luz verde del semáforo, incrementándola de nuevo al transitar
por el camino recto. Tenemos entonces que cuando el automovilista aumento su velocidad
tuvo una aceleración positiva y al disminuirla una aceleración negativa o desaceleración, en
conclusión: La aceleración es la variación o cambio de la velocidad con respecto al tiempo
transcurrido.
Matemáticamente es igual a:
En donde.
Para verificar las unidades de
medición correspondientes a
la aceleración, basta con
sustituir en la fórmula la
unidad de velocidad y la
unidad de tiempo.
Cuando el móvil mantiene constante su velocidad a lo largo de la trayectoria entonces se
tiene una aceleración igual a cero. Al no tener cambios de velocidad no experimenta
aceleración alguna
La velocidad inicial es igual a cero, si el móvil parte del reposo (V i = 0)
Cuando el móvil experimenta cambios de velocidad iguales en tiempos iguales se tiene el
movimiento uniformemente acelerado (MUA), si además sigue una trayectoria recta el
movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Sistema Factor Magnitud
MKS CGS Ingles
a Aceleración m / s2 cm / s2 ft / s2
fv Velocidad final m / s cm / s ft / s
iv Velocidad inicial m / s cm / s ft / s
t Tiempo s s s
( )t
vva if −
= Transponiendo términos para la velocidad final Tenemos:
atvv if +=
2s
m
ss
m
t
va ==∆=
114
Observamos en la figura que la longitud de tramo recorrido por el automóvil esta aumentando
a medida que transcurre el tiempo, y es consecuencia del incremento de velocidad que
experimenta en la unidad de tiempo, el automóvil registra un aumento en la velocidad de 5
m/s en cada segundo y por lo tanto su aceleración es de 5 m/s2
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1
Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/hr en un
tiempo de 20 seg. ¿Cuál es su aceleración?
t = 1 t = 2 s t = 3 t = 0
0 m / s v =15 m / v = 10 m / v = 5 m /
d = 12.5 d = 7.5 d = 2.5
Datos
s
m
h
kmvi 2590 ==
segt 20=
?=a
sm
s
h
km
m
h
km
sm
s
h
km
m
h
km
33.86003
1
1
100030
256003
1
1
100090
=
=
Conversiones
Fórmula
t
vva if −
=
Sustitución
ss
ms
ma
20
2533.8 −=
El signo negativo se debe a una reducción de velocidad.
2835.0s
ma −=
Resultado
s
m
h
kmv f 33.830 ==
115
Ejemplo 2
Un corredor desarrolla una velocidad de 5 m/s y al acercarse a la recta
final acelera uniformemente a razón de 1.5 m/s2 durante 40 segundos
¿Con que velocidad cruza la meta?
Problemas propuestos
1. Determina la aceleración de una partícula que se desplaza a razón de 25 m/s
modificando su velocidad a 45 m/s en un intervalo de 15 seg. (Solución: 1.33 m / s2)
2. Determina la aceleración de un motociclista que reduce su velocidad de 60 km/h a
20 km/h en un tiempo de 30 seg. (Solución: - 0. 37 m / s2 )
3. ¿Con qué velocidad se desplaza un móvil que parte del reposo y acelera a razón de
2.5 m/s2 durante 300 segundos? (Solución: 750 m / s)
Datos
smvi 5=
smv f ?=
segt 40=
25.1s
ma =
Fórmula
t
vva if −
=
Sustitución
( )( )ss
ms
mv f 405.15 2+=
Despeje
atvv if +=
Resultado
smv f 65=
116
Deducción de las formulas aplicadas al movimiento uniformemente acelerado
Despejando “d” Fórmula 1
v = d / t
Despejando Vf Fórmula 4
Vf = Vi + a t
)(2
)(t
ViatVid
++=
Agrupando términos comunes:
)(2
2t
atVid
+=
Simplificando
)(22
2t
atVid
+=
2))((
2attVid +=
Fórmula 5
D E S P E J A N D O t
Fórmula 2
2if vv
v+
=
Sustituyendo v en “d”
Fórmula 3
t
vva if −
=
Despejando “t”
a
VVt if −
=
Igualando t = t
if
if
VV
d
a
VV
+=
− 2
transponiendo términos y despejando la 2
fV
adVV if 222 += Fórmula 6
Sustituyendo Vf en “d”
ViVf
dt
+= 2
d = v x t
tvv
d if •
+=
2
117
El diagrama de flujo muestra la secuencia de operaciones matemáticas que parten de las
formulas 1, 2 y 3 para obtener las formulas 4, 5 y 6 aplicables al movimiento rectilíneo
uniformemente y uniformemente acelerado. En resumen tenemos las siguientes formulas:
1) t
dv =
2) 2
if vvv
+=
3) t
vva if −
=
4) atvv if +=
5) advv if 222 +=
6) 2
2attvd i +=
1
Datos
233.0
10
15
?
sma
smv
smv
d
i
f
=
=
=
=
Formula para d =?
advv if 222 +=
Despeje
a
vvd if
2
22 −=
Sustitución
( ) ( )( ) m
sm
sm
sm
sm
sm
sm
d 39.89166.0
100225
33.02
1015
2
2
2
2
2
2
22
=−
=−
=
Para conocer las variables de velocidad, aceleración, desplazamiento o tiempo, se
aplica la formula (o una forma alterna) de acuerdo a la situación representada por
el problema y a la información que se tenga.
Problemas resueltos
Ejemplo 1
¿Cuál será el deslazamiento de una motocicleta que acelera uniformemente de 10
m/s a 15 m/s en lapso de 15 seg?
2
Ejemplo 2
Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/hr en un
tiempo de 20 seg. ¿Cuál es su aceleración? ¿Qué distancia recorrió en ese tiempo?
Caída libre y tiro vertical
La caída libre es el movimiento vertical de los cuerpos que llegan a la superficie
terrestre, experimentando en forma ínfima los efectos de la fricción del aire.
Con base a las demostración realizada por el científico Galileo Galilei “En ausencia de
la fricción del aire, Todos los cuerpos caen con la misma aceleración “si dejamos
caer desde una altura y al mismo tiempo varios objetos de diferente tamaño, todos
llegaran al suelo simultáneamente”.
La caída libre de un cuerpo se produce por la acción y el efecto de la fuerza de
gravedad, es decir este movimiento vertical dirigido hacia el centro de la tierra
incrementa su velocidad 9.8 m/s por cada segundo que transcurre con una
aceleración equivalente a la gravitacional (valor redondeado = 9.8 m/s2 dirigido
hacia el centro terrestre)
Fórmulas para obtener d=?
2))((
2attVd i +=
Sustitución
2
)20)(0835.()20)(25(
22s
m
sm sd
−+=
mmd 167500 −=
md 333=
Datos
s
m
h
kmVo 2590 ==
s
m
h
kmV f 33.830 ==
segt 20= ?=a ?=d
Fórmulas
t
VVa of −
=
Sustitución
sa s
msm
20
2533.8 −=
2835.0sma −=
Nota: El signo negativo se debe a una reducción de velocidad.
3
Este movimiento es un ejemplo claro de aplicación del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, y en la solución de sus problemas se utilizan las formulas
del MRUA adaptadas a los cambios que se observan en el siguiente cuadro.
Problema resuelto
Desde un edificio de 30 m de altura se deja caer un objeto: Calcular:
a) la velocidad de impacto.
b) el tiempo que tarde en llegar al suelo.
Formulas de MRUA Cambios Formulas de Caída libre atvv if +=
advv if 222 +=
2
2attvd i +=
tgvv if +=
hgvv if 222 +=
2
2tgtvh i +=
ga =
hd =
Datos
?
?
30
81.9
0
2
===
==
=
f
i
v
t
mhs
mga
v
Fórmula ghvv if 222 +=
ghv f 22 =
Sustitución y operaciones
)30)(81.9(2 2
2 mvs
mf =
2
2
6.5882
sm
fv =
2
2
6.588sm
fv =
sm
fv 26.24=
a. Para calcular la velocidad de impacto
Resultado
sm
fv 26.24=
Fórmula
tgvv if +=
Sustitución
281.9
026.24
sm
sm
t−=
b. Para calcular el tiempo total de vuelo
Despeje
g
vvt if −
=
Resultado
st 51.2=
4
Tiro vertical Este movimiento corresponde a un lanzamiento verticalmente dirigido hacia arriba, en el cual
el objeto experimenta una desaceleración (g = - 9.8 m /s2 ) ya que a medida que va subiendo
reduce su velocidad a razón de 9.8 m/s hasta detenerse (velocidad igual a cero), logrando en
este punto su altura máxima, posteriormente inicia el regreso aumentando su velocidad a
razón de 9.8 m/s hasta llegar de con la misma velocidad de lanzamiento. El tiempo que
tardo en alcanzar la altura máxima es igual al tiempo que tarda en regresar al punto de
partida.
El tiro vertical al comportarse como la caída libre implica el uso de sus formulas para
conocer el valor de las diferentes variables: altura máxima, tiempo total de vuelo, posición y
velocidad en determinado instante.
Por ejemplo tenemos la altura máxima en un punto donde la velocidad final es cero, par calcular su valor utilizaríamos la formula:
Con respecto al valor del tiempo total de vuelo, determinemos primero el tiempo (t↑ ) que tarda en lograr la máxima altura (donde v = 0) por
medio de la formula:
Para obtener el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo que tarda en subir. t ↑↓ = 2 t↑
Problema resuelto
Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con velocidad de 20m/s
Calcular:
a) la altura máxima
Eliminando la velocidad final y despejando la altura tenemos: g
vh i
2
2
−= hgvv if 222 +=
↑+= tgvv ifEliminando la velocidad final y despejando el tiempo tenemos: g
vt i−=↑
g
vh i
2
2
−=
( )( )28.92
20 2
sm
sm
h−
−=
mh 40.20=
2
2
2
6.19
400
sm
sm
h−
−=
Resultado Operaciones
Sustitución Formula
5
b) el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
c) el tiempo total del vuelo
d) La velocidad y posición a los 3 seg. de haber sido lanzado.
Analizando la trayectoria con toda la información obtenida. Tenemos que a los 3
seg. El móvil ya esta de regreso, por lo tanto la gravedad es de 9.8 m/s2 positiva,
tenemos un una situación de caída libre en donde el móvil utilizo 2.04 seg en
alcanzar la altura máxima y 0.96 seg. En llegar hasta la posición que
determinaremos
h max
v = 0
V = 20 m/s
g
vt i−=↑
Resultado Sustitución Formula
28.9
20
sm
sm
t−
−=↑ st 04.2=↑
ssstttT 08.404.204.2 =+=+= ↓↑
1. Para determinar la velocidad
tgv f =
Resultado Sustitución Formula
( )ss
mv f 96.08.92
= mv f 408.9=
2. Para determinar la posición
Resultado Sustitución Formula
2
2tgtvh i += ( )
( ) ( )2
96.08.996.00
22 s
sm
ssmh += mh 51.4=
6
1.3 Movimientos mixtos
Los movimientos mixtos se presentan en dos dimensiones, una dimensión es
horizontal o sobre el eje “X” y la otra dimensión es vertical o sobre el eje “Y”, este
tipo de movimiento es observable en la salida del agua de una manguera, al
encestar un balón de básquetbol, el lanzamiento de un proyectil.
El movimiento recibe el nombre de tiro parabólico y corresponde al lanzamiento
horizontal y oblicuo de un objeto que describe una trayectoria curva como resultado
de la combinación de un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical
uniformemente variado.
Tiro Parabólico horizontal
Es el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente al espacio desde una
determinada altura ( )MAXY
El tiro horizontal describe una trayectoria curva que muestra:
Desplazamiento horizontal con velocidad constante a lo largo de la trayectoria.
Equivalente a la velocidad de lanzamiento
Desplazamiento vertical que parte del reposo e incrementa su velocidad a razón de
9.8 m / s por cada segundo que transcurre por acción de la fuerza de gravedad
considerada como única al despreciar la fricción del aire.
El análisis comparativo de este movimiento con el de caída libre indica que si
lanzamos simultáneamente dos objetos desde la misma altura, uno en forma
horizontal con una velocidad determinada, por ejemplo: 5m/s y el otro verticalmente
hacia abajo en caída libre, llegaran al suelo en forma simultánea y con la misma
velocidad.
7
La figura muestra la descripción gráfica de la trayectoria del movimiento parabólico
la posición del objeto esta en función del tiempo y queda representada por las
coordenadas X. Y,
Para calcular la posición:
X = vi t , Y = ½ g t 2
En este ejemplo particular tenemos que durante el primer segundo el móvil ha descendido
4.9m y horizontalmente 5 m, al cabo de dos segundos la posición es 19.6 m por debajo del la
posición de lanzamiento y 10 m horizontalmente de el, al desplazamiento horizontal se le
conoce como alcance y se representa con la letra X, la altura se representa por “Y” y se
mide desde el nivel de referencia hasta el punto de lanzamiento
La velocidad del móvil en un instante t ,
Se determina por el método del
paralelogramo, considerando por un lado
la velocidad horizontal o vx que se
mantiene uniforme a lo largo de la
trayectoria y en forma separada el
movimiento vertical o vy que se
comporta como una caída libre.
t = 0 seg.
X = 5
X = 10 m/s
Y = 19.6
Y = 4.6
t = 2 seg.
t = 1 seg.
Alcance
Altura máxima Vf VY
VX
8
Para facilitar la solución de problemas consideremos que ambos desplazamientos
son independientes entre si, y por lo tanto las determinaciones matemáticas de las
componentes verticales y horizontales de la velocidad y la posición en cualquier
instante deben realizarse por separado. Utilizando las siguientes fórmulas del
movimiento uniformemente acelerado. Con base en lo anterior:
La componente horizontal de la velocidad en cualquier instante es uniforme:
vi = vix = viy
Y la componente vertical se puede determinar en cualquiera de las fórmulas:
vfy = g t o vfy2 = 2 g y
Para calcular la velocidad resultante se puede utilizar el teorema de pitágoras
222FYFXR VVV += y la dirección queda definida por
FX
FY
V
Vtan =θ
Problema resuelto
Se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad de 15 m/s desde una altura de
10 m. Calcular:
a) el tiempo que tarda en llegar al suelo
b) el alcance
Resultado Sustitución Formula
2
2tgY =
g
Yt
2=( )
28.9
102
sm
mt = 204.2 st = st 428.1=
Operaciones Despeje
Resultado Sustitución Formula
tvX ix= ( )ssmX 428.115
= mX 42.21=
9
c) la velocidad de impacto
Tiro parabólico oblicuo
Es el lanzamiento de un proyectil a una velocidad inicial que forma un ángulo
de elevación con respecto a la horizontal y describe una trayectoria curva.
Este movimiento presenta su mayor altura y alcance cuando su angulo de elevacion
es de 45°
1. La magnitud de la velocidad horizontal: smvvv fxixi 15===
2. La magnitud de la velocidad vertical: ( ) ( ) sms
smtgvfy 14428.18.9 2 ===
3. Aplicamos el teorema de Pitágoras
222fyfxR VVV +=
( ) ( ) 222 1415 sm
smVR +=
2
2
2
22 196225s
ms
mVR +=
sm
smVR 25.20421 2
2==
4. Para obtener la dirección de la
velocidad final aplicaremos la
933.0/15
/14 111 −−− === tansm
smtan
V
Vtan
fx
fyθ
043=θ
Solución: La velocidad final o de impacto es 20.05 m/s, a
Alcance
Altura máxima Vf VY
VX
Vf VY
VX
Vf
VY
VX
VY
VX
Vi
VX
θθθθ θθθθ
10
Observamos en la gráfica la trayectoria descrita por un proyectil en tres momentos.
1. El desplazamiento horizontal en que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria.
2. El desplazamiento vertical presenta las mismas características del tiro vertical hacia
arriba:
El proyectil inicia su desplazamiento hacia arriba reduciendo su velocidad a razón de 9.8
m/s debido a la fuerza de la gravedad. En estas condiciones tenemos una desaceleración ,
razón por la que la gravedad será negativa
Hasta llegar a un punto donde se detiene, (vy = O m/s) en este punto se tiene la altura
máxima.
Posterior mente inicia el regreso aumentando su velocidad a razón de 9.8 m/s por cada
segundo que transcurre
Tenemos entonces que al igual que el tiro vertical dirigido hacia arriba, en el tiro
oblicuo la velocidad de lanzamiento es igual a la velocidad de regreso al punto de
origen, y el tiempo que tarda en subir es igual al tiempo que tarda en regresar.
La solución de problemas de trayectorias requiere como punto de partida la velocidad inicial
y su ángulo de elevación. Con esta información se procede de la siguiente forma:
1. Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical
2. Se determina el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, este tiempo corresponde a
la mitad del tiempo total de vuelo. Esta magnitud nos permitirá saber si un objeto esta antes
o después de la altura máxima para definir el signo de la gravedad
θcosiix vv = θseniiy vv =
g
Yt
2=g
vt i−=↑
11
3. Se determina el tiempo total de vuelo multiplicando por dos el tiempo que tardo en
alcanzar la máxima altura
4. La posición del proyectil en un tiempo al cabo de un tiempo de haber sido lanzado es:
5. La velocidad al cabo de un tiempo de haber sido lanzada se obtiene por el método de las
componentes.
Problema resuelto
Un proyectil es lanzado con una velocidad de 40 m/s con un ángulo de elevación de 30°.
Calcular:
a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto
b) La altura máxima
c) El tiempo total de vuelo
d) El alcance
Solución:
a) Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical
Vix = Vi Cos θ Viy = Viy Sen θ V ix = (40 m/s) (Cos 30°) Viy = (40 m/s) (Sen 30°)
YgVV iyfy 222 += tgVV iyfy +=
a. La magnitud de la velocidad horizontal: fxix vv =
b. La magnitud de la velocidad vertical:
c. Aplicamos el teorema de Pitágoras 222fyfxR VVV +=
d. Para obtener la dirección de la
velocidad final aplicaremos la fx
fy
V
Vtan 1−=θ
2
2tgtVX ix +=
2
2tgtVY iy +=
12
V ix = (40 m/s) (0.8660) Viy = (40 m/s) (0.5)
Vix = 34.64 m/s Viy = 20 m/s
En el punto más alto de la trayectoria, la componente vertical de la velocidad es
igual a cero, Se calcula el tiempo que tarda el móvil en llegar hasta ese punto; sin
olvidar que:
g = - 9.81 m/s2
Para calcular la altura máxima:
Problema propuesto
Un balón es lanzado con una velocidad de 25 m/s con un ángulo de elevación de 60°.
Calcular:
e) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto
f) La altura máxima
g) El tiempo total de vuelo
Y max = Viy.t + ½ g.t2
Y max = (20 m/s) (2.04s) + ½ (-9.8 m/s2)
(2.04)2
Y max = 40.08 m – 22.4 m
tseg
tsm
sm
tg
V
gtV
gtVV
iy
iy
iyfy
=
=−−
=−
=−
+=
04.2
/8.9
/202
θθθθ
g = -9.8 2
Y max
Vfy = 0
Vi
13
Repulsión
h) El alcance
2. Fuerza
Alguna vez te has preguntado ¿Qué ocasiona el movimiento de las aspas de un
papalote para sacar agua de un pozo? ¿Por qué cuando tratamos de unir dos imanes
por el mismo polo no podemos? ¿Qué hace que cuando frotamos
un globo en nuestro cabello se quede pegado
en la pared? ¿Qué ocurre cuando acercamos
un imán a un clavo? ¿Por qué las hojas de los
árboles caen? ¿Cómo un mecánico puede apretar un tormillo con
una llave? Sabemos que el papalote se mueve de acuerdo a la
fuerza recibida por el aire, los imanes no se pueden unir debido a
la fuerza magnética de repulsión que existe entre ellos, el globo se puede quedar
pegado sobre la pared en virtud a una fuerza eléctrica entre cargas opuestas, el
clavo se pega al imán por la acción de la fuerza magnética, las hojas caen al suelo
por la fuerza de gravedad que ejerce la tierra, el tornillo se puede apretar debido a
la fuerza que el mecánico aplica sobre la llave.
Cotidianamente asociamos la palabra fuerza con la realización de algún esfuerzo
físico para lograr un fin determinado, se puede
decir que para mover un objeto de masa o
dimensiones muy grandes se requiere de una
fuerza mayor que para mover uno de masa o
dimensiones pequeñas, generalmente
calificamos de hombre fuerte al que logra
mover objetos pesados y débil al que no lo
hace ya que carece de energía, resistencia, potencia y dinamismo entre otras
cosas. Sin embargo, la definición de fuerza desde el punto de vista de la física puede
ser de varias formas de acuerdo a las condiciones que se presenten.
14
2.1 Conceptos Básicos
2.1.1 Fuerzas y su clasificación
La fuerza la podemos definir como la acción que puede modificar el estado de
reposo o de movimiento de un cuerpo es decir:
Si la fuerza es capaz de producir en un cuerpo la deformación la llamamos fuerza estática y si
puede originar el movimiento, modificar su trayectoria o velocidad se denomina fuerza
dinámica. Por ejemplo:
La fuerza es la proyección de la energía capaz de producir o cambiar el movimiento de un cuerpo y en algunos
casos deformarlo.
Del reposo al Del movimiento al reposo
movimiento o deformación.
Fuerza estática
Fuerza dinámica
15
Las fuerzas debido a su naturaleza y de acuerdo a como actúan sobre un cuerpo las
podemos clasificar desde dos puntos de vista: fuerzas de campo y fuerzas de
contacto.
Fuerzas de contacto.
Se presentan cuando se establece el contacto físico con el
cuerpo sobre el cual actúan. En este tipo de fuerza se puede
observar a simple vista cual es el punto de aplicación.
Fuerzas de campo.
Una de las fuerzas mas conocidas por todos nosotros es la que
ejerce nuestro planeta es decir la fuerza gravitacional, de igual
forma existe la fuerza magnética y la fuerza eléctrica que se
ejercen a distancia o a través del espacio.
Escribe en la parte inferior de cada figura que tipo de fuerza esta siendo aplicada
16
2.2 Leyes de Newton
2.2.1 Mecánica
1ª Ley de Newton (Ley de la inercia)
“Esta ley afirma que un cuerpo se mantiene en estado de reposo o de movimiento
rectilíneo uniforme mientras no reciba la acción de una fuerza neta externa”.
En otras palabras, esta ley dice que cada cuerpo tiene
una tendencia natural de mantener la cantidad de
movimiento que tiene.
Un ejemplo característico de esta ley es el hecho de
viajar en automóvil; en el momento de frenar, somos
impulsados al frente en este caso solamente el automóvil
fue el que recibió la fuerza del freno para detenerse y
aunque los pasajeros no la recibieron ellos tratan de
seguir el movimiento.
Isaac Newton (1642-1747)
De igual manera cuando el carro esta parado y de repente lo arrancamos, pareciera
que el conductor y cualquier otra cosa u objeto dentro del carro fueran empujados
hacia atrás, ya que debido a su inercia, los cuerpos en reposo tratan de mantener
esa posición.
Para detener un cuerpo que está en movimiento, para moverlo si está en reposo, o
para modificar su dirección, sentido o magnitud de la velocidad es necesario la
aplicación de una fuerza.
2ª Ley de Newton (Proporcionalidad entre fuerza y aceleración)
Considerando la fuerza como un agente de cambio en la velocidad de un cuerpo es
claro suponer que existe una relación estrecha con la masa y la aceleración del
17
cuerpo sobre el cual se ejerce. Newton estableció la relación entre la fuerza, la masa
y la aceleración y su conclusión fue la segunda ley de Newton.
Esta ley se refiere a los cambios en la velocidad que experimenta un cuerpo cuando
recibe una fuerza, pero, hay que aclarar que al cambio en la velocidad de un cuerpo
en un tiempo determinado se le conoce como aceleración. Mientras mayor sea la
fuerza aplicada mayor será la aceleración producida. El enunciado más común de la
segunda ley del movimiento de Newton se expresa como sigue:
“Toda fuerza resultante aplicada a un cuerpo le produce una aceleración en la
misma dirección en que actúa dicha fuerza. La magnitud de esa aceleración es
directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente
proporcional a la masa del cuerpo”
La expresión matemática de esta ley es:
m
Fa =
Despejando F, tendremos: amF •=
En la siguiente figura, observamos dos automóviles, uno está en reposo y el otro en
movimiento con una velocidad constante de 40 km/h. El que está en reposo se
encuentra bajo la acción de dos fuerzas, la de gravedad que lo empuja hacia abajo y
la fuerza del camino que lo empuja hacia arriba. Las dos fuerzas son iguales y
opuestas, el carro está en equilibrio.
Mientras tanto en el otro vehículo están actuando además de las mismas dos
fuerzas del carro en reposo, otras dos, una debida a la fuerza que le proporciona el
Donde: a = aceleración
(m/s2)
F = Fuerza aplicada
18
motor que provoca el movimiento hacia delante, mientras que otra fuerza, la de
fricción se opone a este movimiento, ya que la velocidad es constante (40 km/h),
suponemos que estas últimas dos fuerzas son iguales y opuestas.
Concluimos que los dos automóviles, tanto el que está en reposo como el que está en
movimiento se encuentran en equilibrio. Si el conductor cambia la fuerza del motor, el
automóvil se acelerará o se desacelerará.
3ª Ley de Newton (Ley de acción y reacción)
Cuando estamos parados sobre el piso ejercemos una fuerza hacia abajo debida a
la fuerza de gravedad, de igual modo, el piso ejerce una fuerza hacia arriba. La
magnitud de ambas fuerzas es igual, aunque su sentido es contrario. La fuerza
ejercida por nuestro cuerpo contra el piso se llama acción, y la que el piso ejerce
contra nuestro cuerpo se llama reacción.
Otro ejemplo es cuando disparamos una escopeta, los
gases en expansión hacen que el proyectil salga del cañón
(acción), pero como resultado surge una reacción en
sentido contrario y la escopeta golpetea hacia atrás en el
normal
Peso
normal
Peso
Fricción
19
¿Las unidades pertenecen a un mismo
sistema?______
¿Las unidades pertenecen a un mismo
sistema?______
26
?
80
s
fta
m
NF
Datos
=
==
hombro de quien realiza la maniobra, al patear un balón de fut-bol (acción)
sentimos el efecto que el golpe produce en nuestro pie (reacción), a estos efectos
se le conoce como la tercera ley de Newton que establece:
“A toda fuerza llamada acción, se opone otra de la misma magnitud llamada
reacción, con la misma dirección pero en sentido contrario”
Aplicaciones de las leyes de Newton
Problemas resueltos
1. ¿Qué fuerza debe aplicarse sobre un carrito que tiene una masa de 20 Kg. para
comunicarle una aceleración de 2 m/s².
Datos Fórmula Despeje Sustitución
Resultado
)()( amF = --------
=2
2)20(s
mKgF
240
s
mKgF =
2. ¿Cuál deberá ser la masa de una persona sobre una bicicleta que al aplicarle una
fuerza de 80N. Se le comunica una aceleración de 6 ft /seg².
Con la unidad fuerza no hay problema ya que el Newton pertenece al sistema
22
20
?
s
ma
kgm
F
=
==
F a
20
MKS, pero la unidad de aceleracion es ft/seg² y corresponde al sistema ingles por lo tanto
será necesario realizar la conversión de ft/seg² a m/seg², te sugiero que la realices en la
misma tabla de datos.
( )( )( )( ) 2222
8288.11
8288.1
11
3048.6
1
3048.
1
6s
mseg
m
ftseg
mft
ft
m
seg
fta ==
=
=
Fórmula Despeje: Sustitución, operación
amF =
3. Determina la aceleración de un carrito de 45 N de peso accionado por una fuerza de 60 N
con una dirección de 30°.
Kgms
mN
m
744.43²
8288.1
80
=
=
El desplazamiento del carrito es
horizontal por lo que será
necesario encontrar la
componente horizontal de la
fuerza ya que el movimiento y
la aceleración deben tener la
misma dirección.
Fx = F Cos θ
Fx = 60 N Cos 30°
Fx = 60 N (.8660)
Como no tenemos la masa habrá
que determinarla a partir del peso
(45N), para eso usaremos la
siguiente fórmula:
Peso = masa por gravedad
W = m x g
Despejando m tenemos:
m = w / g
Sustituyendo la información
²8.9
45
s
mN
m =
realizando operaciones:
amF =
ma
F =
30°
¡Se ve difícil! ¡Pero es
fácil!
Npeso 45=
NF 60= a
21
?
59.4
96.51
===
a
kgm
NF
Datos
x amF
Formula
x =
m
Fa
Despeje
x=
2318.11
59.4
96.51
sma
kg
Na
nSustitucio
=
=
Problemas propuestos
1. Determina la fuerza experimentada por un bloque de 12 Kg. de masa que se desplaza a
razón de 2 m/s². (solución 24N)
2. Un carro de supermercado se mueve a razón de 2.5 m/s² considerando que su masa es de
6.5 Lbm ¿Cuál es la fuerza? (solución 7.377N)
3. ¿Que fuerza en newton recibe un cuerpo de 670 utm que lleva una aceleración de 7ft/seg²?
(solución 14010.8N)
4. ¿Cuál será la masa de un cuerpo que al experimentar una fuerza de 50 N le produce una
aceleración de 3m/s²? (solución 16.66kg)
5. Determina la masa de una caja de madera que debe de ser impulsada por una fuerza de
150N para que desarrolle una aceleración de 3 ft/seg². (solución 164.04kg)
6.- ¿Cuál será la aceleración que desarrollara un material de 16 Kg al ser sometido a una
fuerza de 45 N? (solución 2.8125 m/s2)
22
2.2.2 Gravitacional
Todos los cuerpos por el hecho de poseer una masa experimentan una atracción mutua a la
cual se le llama gravitación. El origen de esta fuerza fue fundado en el siglo XVII por Isaac
Newton, y a esta ley manifestada por Newton se le dio el calificativo de la ley de la
gravitación universal, la cual enuncia:
“La fuerza de atracción experimentada por dos cuerpos cualesquiera dotados de masa es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que los separa”
Matemáticamente
2
21
d
mmGF =
donde:
mgravedaddecentrosentreciadisd
kgmasam
kg
NmXuniversalngravitacioladeteconsG
NfuerzaF
→=→=
→=
→=
tan
1067.6tan2
211-
Problemas resueltos
1. Determinar la fuerza de atracción de dos cuerpos cuyas masas son de 11kg y 35kg
respectivamente si se encuentran separados una distancia de 0.6m.
2
21
d
mmGF
Formula
=
2
211-
2
1
1067.6
6.0
35
11
?
kg
NmXG
md
kgm
kgm
F
Datos
=
===
=
( ) ( )
( )
NXF
m
NmXF
m
kgkgkg
NmX
F
nSustitucio
8-
2
28-
2
2
211-
1013319.7
36.
1056795.2
6.0
35111067.6
=
=
=
23
2. ¿Cuál será la masa de una mesa si la fuerza gravitacional con que se atrae con un sillón de
25kg es de 42X10-11 N y la distancia de separación entre ellos es de 3.5m?
3. Estática.
Rama de la física que estudia a los cuerpos sobre los cuales se aplican fuerzas cuyas
resultantes son nulas, de manera que permanecen en estado de reposo o en
movimiento sin que exista una aceleración.
Da un vistazo a tu alrededor ¿Qué ves? ¡Sí! Son cuerpos en movimiento y también
se aprecian cuerpos en reposo.
Alguna vez te has preguntado ¿Por qué están en reposo? ¿Qué los mantiene en esa
posición? ¿Cuáles son las condiciones de equilibrio? Estas y otras interrogantes son
el objeto de estudio de la estatica
Comenta con tus compañeros la lectura y escribe tu propio concepto de estática.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
________________
3.1. Sistemas de fuerzas.
Cuando a un cuerpo se le aplican varias fuerzas a la vez, a este conjunto de fuerzas se le
llama sistema de fuerzas ósea que un sistema de fuerzas es el conjunto de fuerzas que actúan
sobre un cuerpo rígido (no deformable) con el fin de establecer las condiciones de reposo o
movimiento.
221
d
mmGF
Formula
=
2
211-
2
1
11-
1067.6
5.3
25
?
1042
kg
NmXG
md
kgm
m
NXF
Datos
=
===
=
( ) ( )
( )
kgm
kg
NmX
NmXm
kgkg
NmX
mNXm
nSustitucio
0854.3
106675.1
10145.5
251067.6
5.31042
1
29-
29-
1
2
211-
211-
1
=
=
=
12
2
212
mGm
dF
mmGdF
Despeje
=
=
24
Sistema de fuerzas
Coplanares.
Son todas aquellas fuerzas que
A continuación veremos la división de los diferentes sistemas de fuerzas.
3.1.1. Coplanares y no Coplanares.
Colineales No colineales Paralelas No paralelas
Concurrentes No Concurrentes
Coplanares
No coplanares
Sistema de Fuerzas
Colineales No colineales Paralelas No paralelas
Concurrentes No Concurrentes
Y 1 2 3
Y X Z
No Coplanares.
Son todas aquellas fuerzas que
actúan en diferente plano.
25
3.1.2. Concurrentes, paralelas y colineales.
Sistema de fuerzas paralelas.
Fuerza paralela: Son fuerzas con
líneas de acción que sé intersectan en
el infinito. Este sistema puede
mantener el equilibrio de un cuerpo o
comunicarle un movimiento rotacional.
En este caso los sistemas de fuerzas paralelas son rectas de acción paralelas a un
mismo vector.
Las fuerzas paralelas Se ejercen en un mismo plano de acción pero con puntos de
aplicación diferente.
Sistema de fuerzas Colineales.
Son fuerzas que se ejercen sobre una misma línea de acción.
Sistema de fuerzas concurrentes.
Sus líneas de acción se intersectan en un punto común formando uno o más
ángulos. En este tipo de sistema es cuando se están aplicando varias fuerzas a un
cuerpo y estas fuerzas se reducen en una sola que tendría el mismo efecto que
todas las fuerzas aplicadas en dicho cuerpo o partícula, ósea que es donde sacamos
una fuerza resultante que es uno de los principales estudios de la estática.
Ejemplos:
26
A los sistemas de fuerzas concurrentes también se les llama sistemas de fuerzas
angulares ya que se forman ángulos entre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Las fuerzas al ser magnitudes vectoriales presentan una propiedad debido a su
dirección lo que permite realizar la adición de las fuerzas utilizando métodos gráficos
y analíticos, operación conocida como “composición de fuerzas” que consiste en
encontrar una fuerza que sustituye a todas las del sistema (fuerza resultante).
Nota: en todos los métodos los ángulos se miden desde el eje positivo de X.
Adición de fuerzas
Métodos gráficos
En estos métodos la magnitud del vector se indica a escala por la longitud de un
segmento de recta. La dirección se marca por medio de una punta de flecha al
extremo del segmento.
Método grafico del triángulo y del polígono.
Pasos a seguir para encontrar la resultante:
1.- Escoge una escala y determina la longitud de las flechas que correspondan a
cada vector.
Método del triángulo y polígono I. Método gráfico Método del paralelogramo Métodos de Composición De fuerzas II. Método Método del triángulo Analítico Método de las
27
2.- Traza a escala la flecha que represente la magnitud y dirección del primer
vector.
3.- Traza la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida con el
extremo del primer vector.
4.- Continúe el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el extremo
del vector anterior, hasta que todos los vectores hayan sido dibujados.
5.- Traza el vector resultante partiendo del origen que coincide con el origen del
primer vector y terminando en el extremo que coincide con el extremo del último
vector.
Mida con regla y transportador la longitud y los ángulos que forma el vector
resultante para determinar magnitud y dirección.
Nota: la diferencia entre estos dos métodos es que el del triangulo solo se utiliza
cuando están actuando solamente dos fuerzas en el cuerpo y el del paralelogramo
cuando actúan tres o mas fuerzas. A continuación veremos algunos ejemplos de
estos dos métodos.
Método del triángulo (dos fuerzas)
Ejemplos
Tenemos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo. Determinar la fuerza resultante si
F1 = 5N a 30° y F2 = 3N a 0°.
F1 = 5N a 30° F2 = 3N a 0° FR =?
1.- Elegimos la Escala 1 cm. = 1 N por ser la mas adecuada ya que en nuestro
cuaderno de apuntes seria la mejor para representar las fuerzas.
Por lo tanto: F1 = 5cm.
F2 = 3cm.
5cm. 30°
3cm 5cm.
3.- Trazamos F2 a 0°
2.-trazamos F1 a
30°
28
4.- En este caso ya no existen mas vectores por lo tanto este cuarto punto se
omite
5.- se traza el vector resultante:
Para este caso la línea resultante mide 7.5cm por lo tanto y de acuerdo a la escala
la fuerza resultante es de 7.5N y el ángulo de esta se calcula utilizando un
transportador tomando el valor de este ángulo con respecto a el eje x. Y la medida
obtenida es θ = 28°. Por lo tanto FR = 7.5N a 28°
Método del polígono (más de 2 fuerzas)
Ejemplo 2
Sobre un cuerpo actúan 5 fuerzas:
F1 = 3N a 45º.
F2 = 2N a 90º.
F3 = 6N a 10º
F4 = 1.5N a 220º
F5 = 6N a 330º
1. Elegimos la Escala 1 cm. = 1 N por ser la mas adecuada ya que en nuestro
cuaderno de apuntes seria la mejor para representar las fuerzas.
Por lo tanto: F1 = 3cm., F2 = 2cm., F3 = 6cm., F4 = 1.5cm., F5 = 6cm.
2. trazamos F1 a 45°
5cm
3c
θ 30°
3cm 45°
3cm 45°
2cm
3.- trazamos F2 a 90°
29
4. Continuamos trazando las siguientes líneas.
5. Se traza el vector resultante
Para este caso la línea resultante mide 12.5cm por lo tanto y de acuerdo a la escala
la fuerza resultante es de 12.5N y el ángulo de esta se calcula utilizando un
transportador tomando el valor de este ángulo con respecto a el eje x. Y la medida
obtenida es θ = 5°.
3cm 45°
2cm
6cm 1.5c
9cm
3cm 45°
2cm
6cm 1.5c
9cm
30
Método del paralelogramo
Consiste en trazar 2 vectores a escala de forma que sus orígenes coincidan en un
origen común.
Los dos vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo.
Los otros dos lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores y de igual
longitud.
La resultante se obtiene dibujando la diagonal del paralelogramo a partir del origen
común de las dos flechas que representan los vectores.
Ejemplo
F2 =
F1
F1 + F2 = FR Donde: F1
=3N, θ = 40°
F2
F1 =3 N
FR
F2 =
FR = 7.5N Y θ =
31
A, B, C. = Ángulos Internos.
a, b, c. = los lados del triangulo
¿Como obtengo la fuerza
resultante.?
b² = a² + c² - 2ac(cos B)
esta formula es la que se utiliza
para
Adición de fuerzas.
Métodos analíticos.
En estos métodos ya no se utilizan escalas se utilizan formulas para encontrar la
resultante de cada sistema de fuerzas. Aquí el resultado es mas exacto que en los
métodos gráficos.
Método del triangulo. (Solo dos fuerzas)
Pasos a seguir para encontrar la resultante y su ángulo por este método.
1.- se realiza un paralelogramo con las dos fuerzas.
2.- al realizar el paralelogramo se forman dos triángulos y se elige uno de
preferencia el de la parte inferior del paralelogramo.
3.- en el triangulo obtenido tenemos tres ángulos internos de los cuales tenemos
que encontrar el ángulo B ya que se necesita en la formula (ley de los cósenos) para
obtener la resultante, ver la siguiente figura:
4.- Después que se encontró el ángulo interno B se procede a sustituir valores en la
formula antes mencionada para encontrar el valor de la resultante.
a
c
b
C
A
B
32
senC
c
senB
b
senA
a ==
5.- Ya encontrada la resultante se procede a encontrar su ángulo que se obtiene por
medio de la ley de los senos:
Aquí el ángulo que siempre se pretende encontrar es el A ya que es el complemento
de el ángulo de la resultante.
Ejemplo
Dos fuerzas actúan sobre un cuerpo, como lo indica la siguiente figura. Determina la
fuerza resultante y su ángulo.
1.- se traza el paralelogramo.
2. Triangulo elegido.
F2 = 30N a
F1= 50N a 15°
Sección
M
30N a
40°
50N a
FR =
33
Comparando con el triangulo visto en el tercer paso nos damos cuenta que:
a = 30N, c = 50N, b = FR.
En este caso y para poder sustituir en la formula nos damos cuenta que nos falta
determinar el ángulo B. Este se determina completando ángulos.
Ampliando la sección M obtenemos la siguiente figura y completamos ángulos.
4.- Se sustituyen valores en la primer formula:
b² = a² + c² - 2ac (cos B)
b² = (30) ² + (50) ² – 2(30)(50)(cos 155º)
b² = 900 + 2500 – (3000)(-0.9063)
b² = 3400 + 2718.9
b² = 6118.9
b = √6118.9
5.- encontrar el ángulo de la resultante.
senC
c
senB
b
senA
a ==
90º 15
º 75º
40º
50º
En esta parte nos damos cuanta
que:
b = FR =
34
En esta parte nos damos cuenta de que la formula es una igualdad de tres partes,
aquí solo elegiremos dos de ellas y para esto tenemos que saber cuales.
La primera que vamos a elegir es la que tenga la incógnita y como estamos
buscando el ángulo de la resultante nuestra incógnita es el ángulo (A) ya que es
complementario del ángulo de dicha resultante (el ángulo se suma con el ángulo de
la primera fuerza que en este caso es de 15º para completar el ángulo de la
resultante).
La segunda parte a elegir será la que tenga todos sus datos conocidos (el
numerador y el denominador conocidos y en este caso es la segunda parte de la
igualdad ya que conocemos b que es FR y conocemos el ángulo B que es 155º).
senB
b
senA
a =
Para esto hay que hacer un despeje ya que lo que queremos es el ángulo A.
Primero invertimos las dos igualdades.
b
senB
a
senA=
Y procedemos a hacer el despeje.
( )( )
b
asenBsenA =
( )( )
=b
asenBsenarcA
Y hacemos la sustitución.
( )( )
=22.78
304226.0senarcA
( ) 032.91620.0 == senarcA
Y el ángulo de la resultante es:
θR = 15° + A = 15° + 9.32º =
35
Método de las componentes. (mas de dos fuerzas).
Primero veremos cuales son las componentes de una fuerza.
Toda fuerza cuenta con dos componentes una que es Fx que es paralela a el eje X y
otra que es Fy la cual es paralela a el eje Y.
La forma de obtener la fuerza y sus componentes esta basada en el teorema de
Pitágoras y es de la siguiente manera: 222 FyFxF +=
θcosFFx =
θFsenFy = Fx
Fy1tan−=θ
Este método al igual que los que ya se vieron anteriormente también tiene sus
pasos a seguir y son los siguientes.
1.- primeramente se hace una tabla de tres columnas y el numero de renglones
depende de el numero de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En la primer columna
se anotan las fuerzas que nos dan como dato en el ejercicio, en la segunda columna
se calculan las Fx de cada una de las fuerzas de acuerdo a la formula ya propuesta
anteriormente y en la tercer columna se calculan las Fy de cada fuerza también con
su respectiva formula.
F
θ
Fy
36
2.- ya que están calculadas todas las componentes X y Y procedemos a sumar todas
las componentes X y todas las componentes Y para obtener la sumatoria de cada
una.
3.- después se calcula la RF con la formula 222 FyFxFR Σ+Σ=
4.- por ultimo se calcula el ángulo de dicha resultante con la formula Fy
Fx
ΣΣ= −1tanθ
Ejercicios resueltos
Calcular la fuerza resultante y su ángulo del siguiente sistema de fuerzas.
FUERZAS Fx = F cos θθθθ Fy = F sen θθθθ
F1 = 50N Fx = 48.29N Fy = 12.94N
F2 = 30N Fx = 22.98N Fy = 19.28N
F3 = 80N Fx = -51.42N Fy = 61.28N
∑Fx = 19.85N ∑Fy = 93.5N
( ) ( ) 22222222 27.913625.874202.3945.9385.19 NNNFyFxFR =+=+=Σ+Σ=
NNFR 58.9526.9136 2 ==
( ) 0111 01.787103.485.19
5.93 ===ΣΣ= −−− tg
N
Ntg
Fx
Fytgθ
F3 = 80N a F2 = 30N a 40°
F1= 50N a
37
Problemas propuestos
1. Resuelve por el método analítico y por el método grafico cada uno de los
ejercicios:
a) F1 = 9N, θ1 =30°
F2 = 15N, θ2 =45°
(Solución FR = 23.79N, θR = 39.380)
b) F1 = 10N, θ1 =0°
F2 = 5N, θ2 =90°
(Solución FR = 11.18N, θR = 26.560)
c) F1 = 4N, θ1 =90°
F2 = 6N, θ2 =180°
F3 = 10N, θ3 =270°
F4 = 12N, θ4 =0°
(Solución FR = 8.48N, θR = 3150)
d) F1 = 8N, θ1 =20°
F2 = 15N, θ2 =45°
F3 = 1N, θ3 =135°
F4 = 6N, θ4 =200°
F5 = 2N, θ3 =250°
F6 = 9N, θ4 =300°
(Solución FR = 15.74N, θR = 8.430)
38
Diagrama de cuerpo libre
Llamamos diagrama de cuerpo libre a la representación gráfica de la acción de las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en determinada situación, esto nos permite
hacer un análisis de las fuerzas que son datos conocidos y que están actuando
formando un sistema de fuerzas, así como también no permite calcular las que no
conocemos.
A continuación se describen brevemente los pasos a seguir para realizar un
diagrama de cuerpo libre.
a) Realizar un esquema con una representación clara del problema a resolver
Construir el diagrama de cuerpo libre, sustituyendo por medio de fuerzas (vectores),
cualquier efecto que reciba el cuerpo, estos efectos pueden ser los provocados por:
el contacto con otros cuerpos, la fuerza de la gravedad.
Indicar la a magnitud, la dirección y el sentido de cada fuerza representada en el
esquema. Debemos usar símbolos para representarlas.
Hacer un sistema de coordenadas usando ejes rectangulares y colocar el cuerpo en
equilibrio en el origen del eje de coordenadas. A este punto en donde concurren
todas las fuerzas se le llama puntaje.
Problemas resueltos
1. Dos personas sostienen una piñata cuyo peso es de 178 N, formando un ángulo
de 120° con las dos cuerdas, como vemos en la figura. Calcular la fuerza aplicada
por cada niño.
Diagrama de cuerpo libre:
1200
W = 178N
39
Despejando F1
0086.086.0 21 =+−=Σ FFFx
086.086.0 21 =− FF
21
21 86.0
86.0
FF
FF
=
==
Como podemos ver el diagrama de cuerpo libre nos representa de una manera
práctica las características de las fuerzas que están interactuando para mantener en
equilibrio un cuerpo.
Como el cuerpo esta en equilibrio:
0
0
=Σ=Σ
y
x
F
F
Fuerzas θcosFFx = θsenFFy =
F1 =? 01 30cosFFx = 0
1 30senFFx =
F2 =? 02 150cosFFx = 0
2 150senFFx =
F3 = 178 N ( )( ) 0270cos178 0 == NFx ( )( ) NsenNFx 178270178 0 −==
NFFFcomoNF
NFF
ecuacionlaenFdosustituyen
NFF
NFFFy
178178
1785.05.0
1785.05.0
01785.05.0
1212
22
1
21
21
=∴===+
=+
=−+=Σ
F3 = 178N
F2 F1
Diagrama de cuerpo
1200
40
2. Un contrapeso de 5000N se encuentra suspendido por dos cables instalados en
las paredes del interior de un taller. Encontrar el valor de las fuerzas que ejercen
cada un de los cables representadas en la siguiente figura
250 450
F2
w = 5000N
F1
F3 =
F2 F1
Diagrama de cuerpo
250 450
41
( )( )21
21
21
21
78.090.0
7071.0
07071.090.0
007071.090.0
FF
FF
FF
FFFx
=∴
=
=−=+−=Σ
( )
( )( ) 52.38239.490178.0
9.4901027.1
5000
5000027.1
50007071.032.0
50007071.078.42.0
50007071.042.0
050007071.042.0
1
2
2
22
22
1
21
21
==∴
==
==+
=+
=+
=−+=Σ
NF
NN
F
NF
NFF
NFF
ecuacionlaenFdosustituyen
NFF
NFFFy
Como el cuerpo esta en equilibrio:
0
0
=Σ=Σ
y
x
F
F
Fuerzas θcosFFx = θsenFFy =
F1 =? 01 25cosFFx = 0
1 25senFFx =
F2 =? 02 135cosFFx = 0
2 135senFFx =
F3 = 5000
N
( )( ) 0270cos5000 0 == NFx ( )( ) NsenNFx 50002705000 0 −==
Problemas propuestos
1. Encontrar la fuerza en cada uno de los cables que sostiene un costal de box como
se indica en el siguiente esquema. (solución F1= 400N, F2= 565.6N)
450
F2
w =400N
F1
42
2. Una caja de herramienta de 100 Kg de masa es sostenida por dos trabajadores
desde lo alto de dos edificios como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la
magnitud de las fuerzas de tensión ejercidas por cada una de las cuerdas? (solución
F1= 993.6N, F2= 680.55N)
200
F2
m=100kg
F1
500
43
Autoevaluación
Instrucciones: Lee con atención cada uno de los enunciados y escribe dentro del
paréntesis el numero que proporcione la respuesta correcta
( ) Tiro vertical, ( ) Velocidad, ( ) Cinemática, ( ) Aceleración, ( )
Movimiento rectilíneo, ( ) Móvil, ( ) Caída Libre , ( ) 9.81 m/s2, ( )
Movimiento, ( )Trayectoria
( ) Tiro parabólico, ( ) Tiro Horizontal, ( ) Desplazamiento.
1. Distancia medida en línea recta desde la posición inicial a la posición final
2. Cualquier cuerpo u objeto que se mueve
3. Es el incremento de la velocidad por unidad de tiempo
4. Es la distancia recorrida en un tiempo determinado
5.Cambio de posición de un móvil con respecto a un plano de referencia
6. Movimiento descrito en línea recta
7. Es el movimiento de un cuerpo que es soltado en la vecindad de la tierra
8. Es el valor de la fuerza de gravedad
9. Movimiento en sentido vertical
10. Es el movimiento de un proyectil lanzado libremente desde una altura con un
ángulo de inclinación.
11. Es el movimiento que en su trayectoria describe una parábola
12. Estudia el movimiento sin importar las causas que lo producen
Instrucciones. Realiza una descripción gráfica de cada uno de los siguientes
movimientos.
Caída libre
Tiro vertical
Tiro horizontal
Tiro parabólico
44
Instrucciones: Resuelve en forma correcta cada uno de los siguientes problemas.
1. Un móvil se desplaza a 30 km./h y después de recorrer 200 km. su velocidad es
90 km./h. Calcular: la aceleración, El tiempo que tarda en recorrer los 200 km.
2. Un tren se desplaza con una velocidad inicial de 15 m/s y está bajo una
aceleración constante de 3 m/s2. ¿Qué distancia recorrerá en 40 seg? ¿Cuál será su
velocidad final?
3. Se deja caer libremente una maceta desde el segundo piso localizada a una altura
de 2 m; calcular:
El tiempo que tarda en llegar al suelo
La velocidad con que llega al suelo
Que posición y velocidad tiene a los 5 segundos de haber caído.
4. Desde lo alto de una montaña se deja caer libremente una piedra que tarda 150
seg. en llegar al suelo. Calcular: La altura con respecto al suelo y La velocidad del
impacto
5. ¿De que altura se debe soltar un cuerpo para que llegue al suelo con una
velocidad de 25 m/s? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Cuanto tarda en
descender 20 m y cuál es la velocidad que alcanza?.
6. Se lanza un balón verticalmente hacia arriba a una velocidad de 10 m/s. Calcular:
La altura máxima
EL tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto
El tiempo total de vuelo
La posición y velocidad a los dos segundos de haber sido lanzado
7. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba y tarda en regresar 6 seg.
Calcular:
45
El tiempo que tardó en alcanzar la altura máxima
La altura máxima
La velocidad del lanzamiento
8. Un esquiador vuela horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una
altura de 120 m. Calcular:
El tiempo que tarda en llegar al suelo
El alcance
La velocidad con que llega al suelo
9 Un jugador de fut-bol patea una pelota y la lanza con una velocidad de 19 m/s y
con un ángulo de inclinación de 38°. Calcular:
La altura máxima que alcanza el balón
EL alcance horizontal
El tiempo total de vuelo
Instrucciones: Complete las aseveraciones siguientes y diga de que se trata cada
enunciado.
______ Ley de Newton:
“A toda _________ llamada __________, se opone otra de la misma __________
llamada ____________, con la misma __________ pero en sentido contrario”
______ Ley de Newton:
“Esta ley afirma que un cuerpo se mantiene en estado de ________ o de
___________ ___________ ____________ mientras no reciba la acción de una
__________ neta externa”.
_____ Ley de Newton:
“Toda _________ resultante aplicada a un cuerpo le produce una ____________ en
la misma dirección en que actúa dicha ___________. La magnitud de esa
____________es _________________ proporcional a la magnitud de la _________
aplicada e _________________ proporcional a la _________ del cuerpo”
46
Instrucciones: Lee con atención cada uno de los siguientes enunciados y escribe
sobre la línea del lado izquierdo la letra que proporcione la respuesta correcta.
A. Fuerza resultante B. Fuerzas concurrentes C. Componentes
Rectangulares D. Fuerzas colineales E. Estática F. Composición de
fuerzas G.- Fuerza equilibraste H.- Fuerza
______ Parte de la física que trata el estudio de las condiciones por medio de las
cuales pueden permanecer en reposo.
______ Es toda manifestación de energía capaz de producir un movimiento
modificarlo.
______ Son fuerzas que se ejercen en una misma dirección.
______ Fuerzas que se unen en un punto común formando uno o más ángulos.
______ Es el vector capaz de producir los mismos efectos que todos los datos.
______ Vector capaz de compensar la acción de todos los vectores, actuando
simultáneamente.
______ Son dos fuerzas concurrentes y rectangulares capaces de sustituir una
fuerza dada.
Instrucciones: Determinar la fuerza resultante y equilibraste en los siguientes
sistemas por el método analítico.
1) F1 = 9N, θ1 =30°
F2 = 15N, θ2 =45°
2) F1 = 10N, θ1 =0°
F2 = 5N, θ2 =90°
47
3) F1 = 4N, θ1 =90°
F2 = 6N, θ2 =180°
F3 = 10N, θ3 =270°
F4 = 12N, θ4 =0°
4) F1 = 8N, θ1 =20°
F2 = 15N, θ2 =45°
F3 = 1N, θ3 =135°
F4 = 6N, θ4 =200°
F5 = 2N, θ3 =250°
F6 = 9N, θ4 =300°
48
UNIDAD III
TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA
Objetivo particular
Al término de la unidad el alumno:
Identificara las causas y efectos del movimiento, observando la transformación mediante el
trabajo de las diferentes formas de energía mecánica atendiendo la ley de la conservación.
49
1. Trabajo
El trabajo es un concepto que forma parte de la vida diaria , generalmente lo relacionamos
con las actividades desarrolladas dentro y fuera de la casa, por
ejemplo: el empleado de una maquiladora realiza trabajo al ensamblar
piezas, el señor de un taller mecánico al reparar un motor, un ingeniero
al diseñar un puente; en realidad existen diversas formas de trabajo,
cada persona tiene un concepto propio de él , y lo valora de acuerdo a
la realización de la actividad producida .
1.1 Concepto De Trabajo.
Físicamente el trabajo se conceptualiza en forma técnica con la finalidad de cuantificarlo,
desde este punto de vista, se realiza trabajo cuando movemos una caja, bajamos la escalera,
estiramos un auto , levantamos un mueble, movemos el ratón de la computadora. Los
ejemplos anteriores tienen 2 características comunes, en todos se emplea una fuerza que
produce el movimiento de un objeto desplazándolo una longitud determinada. El trabajo se
realiza cuando se aplica fuerza a un objeto para moverlo en su misma dirección.
El trabajo se define como el producto de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la
medida del desplazamiento .
El ejemplo mas simple de trabajo se presenta cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la
misma dirección , en ese caso tenemos
el trabajo máximo realizado por la
fuerza y se determina aplicando la
siguiente expresión :
En la figura, se observa el trabajo realizado por una fuerza horizontal aplicada por el niño
para impulsar su bicicleta una distancia determinado en la dirección de la fuerza.
desplazamiento
Fuerza
dFW =
50
Cuando se levanta un objeto hasta una determinada altura en contra de la fuerza
gravitacional, como se muestra en la imagen. Se aplica una fuerza opuesta al peso del objeto
para trasladarla hasta una altura ( h ) determinada , Este trabajo se puede calcular con la
siguiente expresión:
Si la fuerza y el desplazamiento no tienen la misma dirección, el trabajo se determina
multiplicando la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y el
desplazamiento
En donde :
S I S T E M A S FACTOR
M . K . S C . G . S TECNICO INGLES
W = Trabajo
Joule
( J )
Ergio
( Erg )
Kilopondimetro
( Kpm )
Libra. Pie
( Lb ft )
F cos θ = componente
de la fuerza en la
Newton
( N )
Dina
( D )
Kilopondio
( Kp )
Libra
fuerza
dFW θcos=
Matemáticamente :
dFW =
El peso del objeto es igual a la fuerza y por lo
tanto tenemos : hpesoW =
Considerando que el peso del objeto es igual
a su masa por la gravedad, tenemos que :
hgmW =
F
h
θ
F
F cos θ
d
51
dirección del
desplazamiento
( LbF )
d = distancia Metro
( m )
Centímetro
( cm )
Metro
( m )
Pie
( ft )
Cuando mas de una fuerza actúa sobre el objeto, se determina el trabajo realizado
por cada una de las fuerzas y finalmente se realiza la suma algebraica.. o bien se
determina la fuerza resultante y posteriormente se calcula el trabajo producido por
ella o su componente, en ambos casos el resultado es el mismo.
El trabajo es positivo cuando la fuerza o su componente y el desplazamiento tienen
igual sentido , y negativo si
presentan sentidos opuestos,
En la figura se observa el objeto
sometido
a dos
fuerzas en sentido contrario y un desplazamiento en la
dirección de F, entonces el trabajo producido por F es
positivo, y el trabajo producido por la fricción es negativo,
porque se opone al movimiento
F
Fricción
d
F
h
Peso = m
FR
θ
d
F1
F2
d
dFW θcos11 =Matemáticamente : dFW θcos22 =
dFW RR =
21 WWWR +=
52
Cuando levantamos el objeto en contra de la fuerza gravitacional, como se muestra
en la figura, el trabajo realizado por la fuerza de tensión es positivo, porque tiene el
misma sentido del movimiento, pero el trabajo realizado por la fuerza de gravedad
es negativo, ya que la gravedad es una fuerza opuesta al movimiento
1.2 Unidades de medición El trabajo es una magnitud escalar ya que sólo presenta módulo (carece de
dirección y sentido), sus unidades son producto de la combinación de las unidades
fundamentales de la fuerza y el desplazamiento , por lo tanto son derivadas.:
• 1 Joule = N . m
Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 Newton que al aplicarse a un objeto lo
desplaza 1 metro en su misma dirección.
• 1 Ergio = D . cm
Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 Dina que al aplicarse a un objeto lo
desplaza 1 centímetro en su misma dirección.
• 1 Libra fuerza. pie = LbF ft
Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 libra fuerza que al aplicarse a un objeto lo
desplaza 1 pie en su misma dirección.
• 1 KilopondImetro = Kp . m
Es el trabajo realizado por una fuerza de 1 kilopondio que al aplicarse a un
objeto lo desplaza 1 metro en su misma dirección.
Resulta útil en el momento de realizar una conversión, conocer la equivalencia entre las
diferentes unidades del trabajo:
ftLbmKpErgXJoule 735.0102.01011 7 ===
selecciona los términos con las unidades, por ejemplo, si tenemos una medida en
kilopondímetro y necesitamos convertirla a Joules, armaremos la equivalencia tomando
Joules y kpm de manera que tendremos 1 Joule = 0.102 kpm , lass equivalencias extraídas
de la igualdad anterior son las siguientes :
1 Joule = 1 000 000 Erg 1 000 000 Erg = 0.102 kpm
1 Joule = 0.102 kpm 1 000 000 Erg = 0.735 LbF ft
1 Joule = 0.735 LbF ft 0.102 kpm = 0.735 LbF ft
53
2.3. Modelo grafico
El trabajo se obtiene graficando la fuerza
vs posición, considerando que la fuerza es
constante , y el desplazamiento se
proyecta sobre el eje horizontal, se
obtiene en la grafica la figura geométrica
de un rectángulo .
El área del rectángulo ( A = L X L )
representa el trabajo realizado
Aplicaciones
Ejemplo 1:
¿ Que trabajo realiza una persona al levantar una barra de 196 N de peso (Fuerza) hasta una
altura de 1.75 m.
Datos: Fórmula Sustitución Resultado
F = 196 N W = F d W = (196 N) (1.75m) W = 343 Joules
d = 1.75m
W = ?
Ejemplo 2:
¿ Cuál es la magnitud del trabajo realizado al desplazar un bloque 3 metros sobre una
superficie horizontal aplicándole una fuerza de 25 N a 45°?. ( desprecie la fuerza de fricción)
45°
d
F
d
d (m)
F ( N
W = F . ∆ d
∆ d
F
54
componente horizontal
Ejemplo 3: Determina el trabajo realizado por 2 hombres al aplicar fuerzas de 100 N a 30° y 150 N a
0° respectivamente, para desplazar un motor , 2 m sobre una superficie horizontal (
desprecie la fricción. )
Solución: Tenemos la acción conjunta de dos fuerzas, por lo tanto se determina previamente
la componente horizontal de la fuerza resultante
Ejercicios:
1.- ¿Qué trabajo realiza una persona de 600 N de peso, al escalar una montaña de 500 m de
altura ? ( Solución: 300 000 J )
W =?
F1 = 100 N a 30°
F2 = 150 N a 0°
d = 2m
NewtonF
NNF
NNF
CosNCosNF
CosFCosFF
xFxFF
x
x
x
x
x
x
236
)150()60.86(
)1)(150()8660.0)(100(
)0)(150()30)(100(2211
21
=Σ+=Σ
+=Σ°+°=Σ
+=Σ+=Σ
θθ
dFW XΣ=
( ) ( )mNW 2236=JoulesW 473=
Fórmula
Datos:
Datos
W = ?
F = 25 N
θ = 45°
d = 3 m
Sustitución
W = ( 25 N ) ( cos 45° ) (3 m )
W = ( 25 N ) ( 0.7071 ) (3 m )
W = 53 Joules
Fórmula
W = F cos θ d
55
2.- Se aplica una fuerza de 5 N sobre un caja para desplazarlo 10 m sobre una superficie
horizontal ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado? ( Solución: 50 J )
3.- ¿Qué fuerza se debe aplicar sobre un automóvil para desplazarlo horizontalmente una
distancia de 15 m, realizando un trabajo de 2940 Joules? ( Solución: 196 N )
4.- Un deslizador de hielo es impulsado por un hombre con una fuerza de 100 N a 45 ° .
¿Cuánto trabajo ha realizado al desplazarlo una distancia de 100 m ? ( Solución: 7 071 J )
5.- ¿Qué trabajo se realizara para desplazar 200 metros una pieza de mármol , empleando
una fuerza de 2000 N a 60 °.? ( Solución: 200 000 J )
6.- De acuerdo a la siguiente figura:
A. ¿Cuál es el trabajo efectuado por una fuerza de 108 N que forman un ángulo de 38 °
con la horizontal? ( solución: 2 127. 63 J )
B. ¿ Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 50 N a 330 °? ( solución: 1 082 ..53J
)
C. ¿ Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de fricción de 46 N? ( solución: -1 150 J
)
D. ¿ Cuál es el trabajo resultante? ( solución: 2 060 . 16 J )
Fr
F = 108 N, θ=38°
F = 50 N, θ=330° d = 2.5 m
56
2 Energía
La energía es uno de los conceptos mas importante ya que
todos los fenómenos que ocurren a nuestro alrededor están
acompañados de variación y transformaciones de energía
desde la forma mas común, que es el calor, hasta las que se
pueden producir a partir del mismo calor, como la energía
luminosa, eléctrica, mecánica, magnética, química, etc.
2.1 Concepto y clasificación
Etimológicamente la palabra energía proviene de la unión de las raíces griegas en y ergon
que significan trabajo, con base a lo anterior se puede decir que la energía es sinónima de
trabajo y por lo tanto todo cuerpo capaz de realizar un trabajo posee energía, o bien todo
cuerpo que tiene energía puede realizar un trabajo
Representa por medio de dibujos o recortes cada una de las energías que aparecen en los
cuadros
Mecánica Calorífica
Química Nuclear Radiante
Eléctrica
Eólica Luminosa Magnética
57
2.2 Energía mecánica.
La energía mecánica es la energía que posee la materia , esta integrada por la energía cinética
y la energía potencial
2.2.1 Energía Cinética y potencial
Energía cinética
La materia que esta en movimiento posee energía cinética. Por ejemplo un automovil en
movimiento, el vuelo de un halcón, la caída de las hojas de los arboles, las corrientes de
aire. la rotacion de la tierra, el giro de las manecillas del reloj, la traslacion del satelite, el
movimiento de un balón de fut bol, el tren de la montaña rusa, en conclusión en todo cuerpo
que se mueve esta presente la energía cinética.
Energía:
Capacidad que
posee la materia
para realizar un
trabajo
Energía Cinética :
Capacidad que posee
la materia
para realizar un trabajo
en virtud del movimiento .
Energía Potencial :
Capacidad que posee
la materia
para realizar un trabajo
en virtud de la posición
58
La expresión matemática para determinar la magnitud de la energía cinética se dedujo de la
segunda ley de Newton, y las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado matemáticamente :
En donde :
S I S T E M A S
FACTOR M . K . S C . G . S TECNICO INGLES
Ek = Energía Cinética Joule (J) Erg. Kpm Lb ft
m = masa Kilogramo ( Kg) gramo ( g) u.t.m. slug
v = velocidad m /seg. cm / seg. m /seg. Pie / seg.
Aplicaciones
Ejemplo 1:
¿ Cuál es la energía cinética de un mazo de 5 Kg. que se desplaza a razón de 25 m / s ?
Datos
Ek = ?
m = 5 Kg.
V = 25 m/s
Fórmula.
2
2
1vmEk =
Sustituyendo
2)/25()5(2
1smKgEk =
)/²625()5(2
1 2smKgEk =
JoulesmNE
s
mKgE
k
k
15621562
²
²3125
2
1
==
=
22
1 22 vm
EómvE KK ==
59
Ejemplo 2
¿ A que velocidad se desplaza una camioneta de 1452 Kg. y 529254 joules de energía ?
Formula Despeje Sustitución y desarrollo
2
2
1vmEk =
2
2vmEk =
22 vmEk =
22v
m
Ek =
m
Ev k2
=
Kg
Jv
1452
)529254(2=
Kg
Jv
1452
)508,058,1=
Kg
Jv 729=
segmv 27=
Datos:
v =?
m =1452 Kg.
Ek = 529254 Joules
60
Ejemplo 3:
Determina la masa de una bala que se desplaza a razón de 230 m/s con una energía de 529
joules
Formula Despeje Sustitución
+
Datos:
m = ?
v = 230 m/s
Ek = 529
Joules
2
2
1vmEk =
2
2vmEk =
22 vmEk =
mv
Ek =²
2
²
2
v
Em k=
Kgm 02.0=
( )²²52900
)1058
smJ
m =
)²/230()529(2sm
Jm=
61
Ejercicios:
1.- ¿Cuál será la energía cinética de un proyectil de 0.007 Kg. al desplazarse a razón de 400
m/s ? ¿ Qué trabajo realizará ? ( solución: 560 J , 560 J )
2.- Determine la energía cinética de una bala de 0.002 Kg de masa que se desplaza a razón
de 2160 Km./ hr. ¿Cuál será su trabajo? ( solución: 360 J , 360 J )
3.- Determine la masa de un balón que se desplaza a razón de 10 m/s y tiene una energía
cinética de 25 Joules ( solución: 0.5 Kg )
4.- ¿Determine la velocidad de un automóvil de 1200 Kg. y 375 000 J de energía.
( solución: 25 m/s)
62
Energía Potencial
El tipo de energía almacenada en los cuerpos en reposo debido a su posición,
estructura o configuración (un resorte comprimido) con respecto al medio que
lo rodea se llama energía potencial.
Los cuerpos guardan un potencial de energía con respecto a un punto en un
mismo sistema. Supongamos que un agente externo actúa sobre una piedra de
masa “m” para elevarla desde el suelo hasta una altura “h”, la fuerza realizada
por el agente es igual al peso W: así tenemos que Ep = Trabajo = W h = m g h
Aplicaciones
Ejemplo 1:
Calcular la energía potencial en Joules de un hombre de 63 580 gr. que se encuentra en la
escalera de un camión de mantenimiento eléctrico, con una altura de 1050 cm sobre el suelo.
S I S T E M A S
FACTOR
M . K . S C . G . S TECNICO INGLES
Ek = Energía Potencial Joule (J) Erg. Kpm Lb ft
m = masa Kilogramo (Kg.) gramo (g) u.t.m. slug
h = Altura m cm m Pie
Datos:
Ep=?
m = 63 580
Fórmula:
Ep = m g h
Sustitución y Resultado:
Ep = (63 580 gr)(981cm/s²)(1050 cm)
Ep = 6.55X10¹º Erg
JErgX
JouleErgX
ErgX
JouleErgX6550
1011055.6
1011
11055.6
7
10
7
10
=
•=
63
Ejemplo 2:
¿A que altura se encuentra un libro de 200 gr. si tiene una energía potencial de 30 joules?
Solución:
Se requiere convertir la masa de gramos a kilogramos para poder efectuar las operaciones
Procedemos a resolver para la altura
Ejercicios:
1. ¿Cuál es la energía potencial de un cuerpo de 5 Kg. localizado a 2 m del suelo?
¿Qué trabajo realizará al caer? ( solución: 98 J , 98 J )
2. ¿Cuál será la masa de una lámpara que se encuentra a 5 m de altura con respecto a
suelo y tiene una energía potencial de 490 Joules? ( solución: 10 Kg )
3. ¿ A que altura se encuentra una antena de 10 Kg y 490 Joules de energía?
Datos:
h = ?
m = 200 gr = 0.2
Kg
Ep = 30 joules
g = 9.81 m/s²
Fórmula: Ep = m g h Despeje:
hgm
Ep
hgmEp
=
=
Sustitución, operaciones y
( )
mh
sKgm
joulesh
smKg
joulesh
29.15
²962.1
30
²81.9)2.0(
30
=
=
=
Resultado:
KgKg
gr
Kggrm 2.0
1000
200
1000
1
1
200 =
=
=
h
64
(solución: 5 m )
Energía Total
La energía total es la suma de la energía cinética y potencial de un cuerpo, como las fuerzas
son conservativas la energía total es constante. Matemáticamente :
Cuando el objeto adquiere movimiento vertical dirigido hacia
abajo ( caída libre ), su energía potencial disminuye a medida
que lo atrae la fuerza de gravedad y aumenta su energía
cinética, si el cuerpo es arrojado hacia arriba, a medida que
pierde velocidad su energía cinética disminuye y la potencial aumenta al ganar altura, Con
base a lo anterior se tiene que la suma de las energía cinética y potencial permanece
constante debido su intercambio .
Ejercicio:
Determine la energía total de un avión de 2000 Kg. que de desplaza horizontalmente a
razón de 50 m/s, y 1000 m de altura . ( solución: 22 100 000 J )
pkt EEE +=
hgmvmEt += ²21
65
Ley de la conservación de da energía
“ La energía no se crea ni se destruye solo se transforma “
De acuerdo a la ley de la conservación de la energía todos los cuerpos interactúan con el
medio externo o sus alrededores intercambiando energía. Por ejemplo, la electricidad es una
forma de proyección de la energía que puede producir calor, luz, trabajo, etc. Lo cual
observamos a través de los aparatos que tenemos en la casa, como planchas, focos,
abanicos, etc. Con base a la ley de la conservación de la energía se deducen las siguientes
ecuaciones:
Ejemplo 1:
¿Que fuerza se requiere para detener una masa de 7 Kg que se desplaza a razón de 15 m/s en
un espacio de 3 m ?.
Ejercicios:
1. Un bloque de 2Kg cae desde una altura de 4m a partir del suelo y choca con un
poste que al ser impactado se hunde 5 cm ¿Cuál fue la fuerza aplicada a el poste? (
solución: 1 568 N )
despejando F
F d = ½ m v²
d
mvF
²21
=
Datos:
F = ?
m = 7 Kg
Fórmula:
KEW =
Sustitución, operación y resultado:
m
smKgF
3
)²/15)(7(21
=
m
smKgF
3
)²/225)(7(21
=
F= 262.5 N
pEW = pK EE =KEW =
66
2. Una caja de municiones de 20 Kg cae desde un avión localizado a una altura de 150
m ¿Cuál será su velocidad de impacto? ( solución: 54.2 m/s )
3.- Potencia
. A través del tiempo, el hombre continuamente ha buscado la forma de realizar el
trabajo en menos tiempo , Con tal propósito se han diseñado herramientas y
maquinas que además de facilitar, por ejemplo, dos personas deberán trasladar 100
Kg. material de la ferretería hasta un edificio en construcción que se encuentra a 7
m de distancia, una de ellas lo lleva estirando y la otra utiliza una camioneta para
desplazarlo , El trabajo realizado por las dos personas es igual ya que movieron la
misma cantidad de material, la misma distancia, pero en diferentes tiempos le
conoce como potencia mecánica a el trabajo realizado en la unidad de tiempo.
ACTOR
S I S T E M A S
M . K . S INGLES
= Potencia W Hp
= trabajo J LbF.-ft
t = tiempo s s
La unidad de medida de potencia en el sistema MKS es el watt y se define como la potencia
desarrollada por el trabajo de 1 joule en un segundo de tiempo. ( 1 watt = Joule / seg ) y en
el sistema ingles el caballo de fuerza ( hp = horse power ) equivalente a l trabajo realizado de
1 libra fuerza pie en un segundo ( hp = lbF ft / s )
Además de estas unidades existen otras como el caballo de vapor y el kilopondmetro / seg
Equivalencias
.
Matemáticamente:
P = W / t
1 Watt = 10 000 000 erg./seg. = 0.102 Kpm/s = 1.36X10-3 CV = 1.34X10-3
En donde :
67
Aplicaciones
Ejemplo 1
¿Qué potencia debe tener una bomba hidráulica para elevar 10000 Kg de agua hasta una
altura de 2.5 m en un tiempo de1 minuto.?
Ejercicios:
1.- ¿ Qué potencia tiene una máquina que desarrolla 95 joules de trabajo en un minuto ?
( solución: 1.58 watt )
2.- ¿ Que trabajo desarrollará un motor en 0.5 hrs. considerando que tiene una potencia de
4Hp.? ( solución: 7200 LbF ft )
3.- ¿ Qué potencia se requiere para que al aplicar una fuerza de 12 N a un mueble se
desplace 1.5m en 3 segundos ? ( solución: 6 watt )
4.- ¿ Cuál es la potencia de un automóvil de 1200 Kg. que se desplaza a razón de 220 Km.
/ hr.? ( solución: 622.4 watt )
tW
P =
t
EP p=
t
mghP =
seg
msmKgP
60)5.2²)(/8.9)(10000(=
WattP 3.4083=
Datos :
P = ?
m = 10 000 Kg
h = 2.5 m
Fórmula: Sustitución, operaciones y
resultado
68
Autoevaluación
Trabajo
1.-Escribe el concepto físico de trabajo
2.-¿ Qué dirección debe tener la fuerza con respecto al desplazamiento para la
realización del trabajo ?
3.-¿En que unidad se mide el trabajo y como de define?
4.- Explica lo que significa trabajo positivo y trabajo negativo
Resuelve los siguientes problemas
1.-¿ Qué trabajo se realizara para mover una caja fuerte de 250 N de peso. hasta
una altura de 6m con respecto al suelo ? ( solución: 1500 J )
2.-Determina el trabajo requerido para levantar un escritorio de 100 Kg. hasta una
altura de 180 cm ( solución: 180 J )
69
3.-¿ Que trabajo se realiza al desplazar 25 m horizontalmente un balón con una
fuerza de 90 Newton ? ( solución: 2 250 J )
Energía
1.-¿Qué es la energía ?
2.-¿Qué tipos de energía mecánica existen?
3.-¿Qué es la energía cinética?
4.-¿Qué factores relaciona la energía cinética?
5.-¿En que unidad se mide la energía cinética y como se define?
6.-Para calcular la energía cinética en joules ¿En qué unidad debe medirse la masa y
la velocidad?
6.-¿Qué es la energía potencial?
70
7.-¿En qué unidad se mide la energía potencial en el sistema MKS?
8.-Conociendo la masa, velocidad y la altura ¿Se puede calcular la energía cinética y
la energía potencial de un cuerpo?
9.-¿Qué diferencia existe entre la energía cinética y la energía potencial?
10.-¿Qué establece la ley de la conservación de la energía?
11.-¿Cuál es la fórmula de la ley de la conservación de la energía?
Resuelve los siguientes problemas
1.-¿Cuál es la energía cinética que posee un halcón de 9 kg de masa que se
desplaza a razón de 5.6 m/s ? ( solución: 141.12 J )
71
2.-¿Cuál es la masa de un venado que se desplaza con una velocidad de 16 m/s al
portar una energía cinética de 17 280 Joules ? ( solución: 135 Kg. )
3.-¿Qué energía potencial posee un cuerpo de 95 kg que se localiza a 15m de altura
? ( solución: 13 965 J )
Energía total y ley de la conservación de la energía
1. ¿ Que es la energía total ?
2. ¿ Qué establece la ley de la conservación de la energía ?
3. Escribe la formula de la ley de la conservación de la energía.
72
Resuelve los siguientes problemas
1. Un avión deja caer una caja de 50 Kg. y lleva una velocidad de 40 m/s ,
cuando se encuentra a la altura de 80 m
A. ¿ Cuál es la energía cinética ? ( sln: 40 000 J )
B. ¿ Que energía potencial tiene en el momento de ser lanzada ? (sln: 39
200 J )
C. ¿ Cual es su energía total ( sln: 79 200 J )
2. Un halcón de 3 Kg. se desplaza a una velocidad de 15m/s cuando se
encuantra a 60m de altura.
A. ¿ Cual es su energía cinética ? ( solución: 337. 5 J )
B. ¿ Qué energía potencial tiene ? ( solución: 1 764 J )
C. ¿ Cual es la energía total ? ( solución: 2 101.5 J )
3. Superman se localiza a 40 m de altura y desplazándose a una velocudad de
20 m/s, considerando que la masa del superhéroe es de 80 Kg. determina :
A. La energía cinética ( solución: 16 000 J )
B. La energía potencial ( solución: 31 360 J )
C. La energía total ( solución: 47 360. 5 J )
73
4. Un objeto volador no identificado de 3000 kg se visualiza a 50m de altura y
desplazándose a una velocidad de 200 m/s. Determine :
A. La energía cinética. ( solución: 60 000 000. J )
B. La energía potencial ( solución: 1 470 000 J )
C. La energía total. ( solución: 61 470 000 J )
5. ¿ Qué energía potencial tiene un alumno de 60 Kg. de masa que se localiza
en un edificio a 3m de altura ? ( solución: 1 674 J )
¿ Que energía cinética desarrollara al caer ? ( solución: 1 674. J )
¿ Con qué velocidad llegará al suelo ? ( solución: 7.66 m/s )
¿ Qué trabajo podrá realizar al caer ? ( solución: 1 674. J )
74
Potencia
1.-¿Qué es la potencia ?
2.- ¿ Qué factores relaciona la potencia ?
3.- Escribe el concepto matemático de la potencia
4.- Escribe la unidad de medida de potencia en el sistema MKS y su definición
5.-Anota otras unidades de medida para la potencia
6.- Escribe las equivalencias entre las diferentes unidades de la potencia
7.- Obedeciendo la ley de la conservación de la energía ¿ Qué otras formulas
podríamos utilizar para determinar la potencia ?
75
Resuelve los siguientes problemas
1.- Un estudiante empuja un escritorio con una fuerza horizontal de 120 Newton y
lo mueve una distancia de 4 metros a través del piso, en un tiempo de 5 segundos.
Calcular:
A. El trabajo realizado ( solución: 480. J )
B. La potencia desarrollada ( solución: 96 watt )
2. Se requiere de una fuerza de 800 Newton para empujar un auto en un
estacionamiento. Dos personas empujan el auto una distancia de 40 metros en un
tiempo de 10 segundos. Calcular:
A. El trabajo realizado ( solución: 3 200 J )
B. La potencia desarrollada ( solución: 320 watt )
3. ¿ Qué potencia debe tener una bomba hidráulica para elevar 10 000 Kg. de agua
hasta una altura de 2.5 metros en 5 minuto ?. ( solución: 816.6 J )
76
4. Un motor eléctrico sube un elevador de 12 000 N de peso una altura de 9 metros
en un tiempo de 15 segundos.
A. ¿ Cuál es el trabajo realizado por el motor ? ( solución: 108 000 J )
B. ¿ Cuál es la potencia desarrollada ? ( solución: 7 200 watt )
5. Un alpinista carga una mochila de 12 Kg. mientras sube una montaña. Al cabo
de 5.4 minutos, el alpinista se encuentra a una altura de 20 metros sobre su punto
de partida.
A. ¿ Cuánto trabajo ha realizado el alpinista sobre su mochila ? ( solución: 2352 J)
B. Determina la potencia total desarrollada durante 5.4 minutos. ( solución: 7. 25
watt)
6. Una grúa levanta un objeto de 6 Kg., a una altura de 1.5 metros
77
A. ¿ Qué potencia desarrolla el motor si levanta el objeto en 8 segundos ? ( sln: 11
watt )
B. ¿ Qué potencia desarrolla el motor si levanta el objeto en 22 segundos ? ( sln: 4
watt )
7. Un elevador de 2400 Kg. sube 20 metros de altura en 1 minuto a velocidad
constante
A. ¿ Que trabajo realiza el motor ? ( solución: 470 400 J )
B. ¿ Cual es la potencia del motor en watts ? ( solución: 7 840 watt )
C. ¿ Cual es la potencia en hp ? ( solución: 10.5 hp )
8. Un motor produce una fuerza de 450 N sobre la banda de un transportador y lo
mueve con una rapidez constante de 5.5 m/s. ¿ Cuál es la potencia del motor ? (
solución: 2 475 watt )
78
9. ¿ Cuál es la potencia de un automóvil de 1500 Kg. que se desplaza a razón de 70
m/s en 5 minutos ? ( solución: 12 250 watt )
10. ¿ Cuál es la potencia de una motocicleta de 250 Kg que se desarrolla una
velocidad de 20 m/s en un tiempo de 10 segundos ?. ( solución: 5 000 watt )
79
Bibliografía
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Bueche, Frederick J. Fundamentos de Física. 2ª edición Ed. Económica l, México
1981.
H.E. White. Física Moderna. Uthea. Tr Juan José Díaz de Noriega y Selles. México.
1981.
Mosqueira, Salvador. Física Elemental. Ed Patria. México. 1981.
Sears. Francis W. Física General, 5ª edición Ed Aguilar. España 1977.
Stollberg, Robert. Física fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural, S.A.
México 1979.
Tippens, Paul E. Física conceptos y aplicaciones. McGraw Hill. 5ª Ed. México