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Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 1
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
F(s) f(t)
1. aF1(s) +bF2(s) af1(t) +bf2(t)
2. F(s/a) af(at)
3. F(s a) eatf(t)
4. easF(s) f(t a)u(t a) =
f(t a) t > a0 t < a
5. sF(s) f(0) f(t)
6. s2F(s) sf(0) f(0) f(t)
7. snF(s) sn1f(0)
sn2f(0) f(n1)(0) f(n)(t)
8. F(s) tf(t)
9. F(s) t2f(t)
10. F(n)(s) (1)ntnf(t)
11. F(s)
s t
0
f(u)du
12. F(s)
sn
t0
t0
f(u)du du= t0
(t u)n1(n 1)! f(u)du
13. F(s) G(s) t0
f(u)g(t u)du
Continua en la prxima pgina
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2 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
14.s
F(u)du f(t)
t
15. 1
1 esT T0
esuF(u)du f(t) = f(t+T)
16. F(
s)
s
1t
0
eu2/4tf(u)du
17. 1
sF(1/s) f(t
2)
18. 1
sn+1F(1/s)
0
tuf(u)
(u+ 1)du
19. F(s+ 1/s)
s2 + 1
nk=1
P(k)
Q(k)ekt
20. 1
2
0
u3/2es2/4uF(u)du
0
J0(2
ut)f(u)du
21. F(ln s)
s ln s tn/2
0
un/2Jn(2
ut)f(u)du
22. P(s)
Q(s)
t0
J0(2
u(t u))F(u)du P(s) = Polinomio de grado menor que nQ(s) = (s 1)(s 2) (s n)
Donde1, 2, . . . , n son todas distintas.
23. 1
s1
24. 1
s2 t
25. 1
sn n= 1, 2, 3, . . .
tn1
(n 1)! , 0! = 1
26. 1
sn n > 0
tn1
(n)
Continua en la prxima pgina
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23/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 3
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
27. 1
s a eat
28. 1
(s a)n n= 1, 2, 3,... tn1eat
(n 1)! , 0! = 1
29. 1
(s a)n n > 0 tn1eat
(n)
30. 1
s2 +a2sin at
a
31. s
s2 +a2 cos at
32. 1
(s b)2 +a2ebt sin at
a
33. s b
(s b)2 +a2 ebt cos at
34. 1
s2 a2sinh at
a
35. s
s2 a2 cosh at
36. 1
(s b)2 a2ebt sinh at
a
37. s b
(s b)2 a2 ebt cosh at
38. 1
(s a)(s b) a=b ebteat
ba
39. s
(s a)(s b) a=b 1
a b
aeat bebt
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
24/39
4 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
40. 1
(s2 +a2)21
2a3(sin at at cos at)
41. s
(s2 +a2)2t sin at
2a
42. s2
(s2 +a2)2
sin at+at cos at
2a
43. s3
(s2 +a2)2 cos at 1
2at sin at
44. s2 a2
(s2 +a2)2t cos at
45. 1
(s2 a2)2at cosh at sinh at
2a3
46. s
(s2 a2)2t sinh at
2a
47. s2
(s2 a2)2sinh at+at cosh at
2a
48. s3
(s2 a2)2 cosh at+1
2at sinh at
49. s2 +a2
(s2 a2)2t cosh at
50. 1
(s2 +a2)3(3 a2t2)sin at 3at cos at
8a5
51. s
(s2 +a2)3t sin at at2 cos at
8a3
52. S2
(s2 +a2)3(1 +a2t2)sin at at cos at
83
Continua en la prxima pgina
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25/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 5
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
53. s3
(s2 +a2)3
3t sin at+at2 cos at
8a
54. s4
(s2 +a2)3(3 a2t2)sin at+ 5at cos at
8a
55. s5
(s2 +a2)3(8 a2t2)cos at 7at sin at
8
56. 3s2 a2
(s2 +a2)3t2 sin at
2a
57. s3 3a2s
(s2 +a2)31
2t2 cos at
58. s4 6a2s2 +a4
(s2 +a2)41
6t3 cos at
59. s3 a2s
(s2 +a2)4t3 sin at
24a
60. 1
(s2 a2)3(3 +a2b2) sinh at 3at cosh at
8a5
61. s
(s2 a2)3at2 cosh at t sinh at
8a3
62. s2
(s2 a2)3at cosh at+ (a2t2 1) sinh t
8a3
63. s3
(s2 a2)33t sinh at+at2 cosh at
8a
64. s4
(s2 a2)3(3 +a2l2) sinh at+ 5at cosh at
8a
65. s5
(s2 a2)3(8 +a2t2) cosh at+ 7at sinh at
8
Continua en la prxima pgina
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26/39
6 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
66. 3s2 +a2
(s2 a2)3t2 sinh at
2a
67. s3 + 3a2s
(s2 a2)3t2 cosh at
68. s4 + 6a2s2 +a4
(s2 2)41
6t3 cosh at
69. s3 +a2s
(s2 a2)4t3 sinh at
24a
70. 1
s3 +a3eat/2
3a2
3sin
3at
2 cos
3at
2 +e3at/2
71. s
s3 +a3eat/2
sa
cos
3at
2 +
3sin
3at
2 e3at/2
72. s2
s3 +a31
3(e at+ 2eat/2 cos
3at
2 )
73. 1
s3 a3eat/2
3a2
e3at/2 cos
3at
2
3sin
3at
2
74. s
s3 a3eat/2
3a
3sin
3at
2 cos
3at
2 +e3at/2
75. s2
s3 a31
3
e
at
+ 2eat/2
cos
3at
2
76. 1
s4 + 4a41
4a3(sin at cosh at cos at sinh at)
77. s
s4 +a4sin at sinh at
2a2
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
27/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 7
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
78. s2
s4 + 4a41
2a(sin at cosh at+ cos at sinh at)
79. S3
s4 + 4a4cos at cosh at
80. 1
s4 a41
2a3(sinh at sin at)
81. s
s4 a41
2a2(cosh at cos at)
82. s2
s4 a41
2a(sinh at+ sin at)
83. s3
s4 a41
2(cosh at+ cos at)
84. 1
s+a+
s+b
ebt eat2(b a)
t3
85. 1
s
s+a
erf
at
a
86. 1
s(s a)eaterf
at
a
87. 1
s a+b eat
1
t beb2terfc(b
t)
88. 1
s2 +a2J0(at)
89. 1
s2 a2I0(at)
90.
s2 +a2 sn
s2 +a2 n >1 anJn(at)
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
28/39
8 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
91.
s s2 a2n
s2 a2 n >1 anIn(at)
92. eb(s
s2+a2)
s2 +a2
J0(a
t(t+ 2b))
93. ebs2 +a2
s2 +a2
J0(a
t2 b2) t < b
0 t > b
94. 1
(s2 a2)3/2tJ1(at)
a
95. s
(s2 +a2)3/2 tJ0(at)
96. S2
(s2 +a2)3/2J0(at) atJ1(at)
97. 1
(s2 a2)3/2tI1(at)
a
98. s
(s2 a2)3/2 tI0(at)
99. s2
(s2 a2)3/2I0(at) +atI1(at)
100. 1
s(es 1)= eS
s(1 es)F(t) = n, nt < n + 1, n= 0, 1, 2, . . .
Vea tambin
101. 1
s(es r) = es
s(1 res) F(t) =[t]
k=1rk
Donde[t] = entero ms grande t
102. es 1
s(es r) = 1 ess(1 res)
F(t) = rn, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .
103. ea/s
s
cos2
att
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
29/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 9
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
104. ea/s
s3/2sin2
at
a
105. ea/s
sn+1 n >1 ( t
a)n/2Jn(2
at)
106. eas
s
ea2/4t
t
107. eas a
2
t3ea
2/4t
108. 1 eas
serf(a/2
t)
109. eas
serfc(a/2
t)
110. eas
s(
s+b)eb(bt+a)erfc(b
t+
a
2
t)
111. ea/s
sn+1 n >1 1
ta2n+1
x0
uneu2/4a2tJ2n(2
u)du
112. ln(s+a
s+b)
ebt eatt
113. ln[(s2 +a2)/a2]
2sCi(at)
114. ln[(s+a)/a]
sEi(at)
115. (+ ln s)s
ln t = constante de Euler =.5772156...
116. ln(s2 +a2
s2 +b2)
2(cos t cos bt)t
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
30/39
10 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
117. 2
6s+
(+ ln s)2
sln2 t = constante de Euler =.5772156...
118. ln s
s(ln t+) = constante de Euler =.5772156. . .
119. ln2 s
s(ln t+)2 1
62 = constante de Euler =.5772156 . . .
120. (n+ 1) (n+ 1)ln s
sn+1tn ln t n >1
121. tan1(a/s) sin at
t
122. tan1(a/s)
sSi(at)
123. ea/s
s
erfc(
a/s) e2
at
t
124. es2/4a2erfc(s/2a)
2a
ea2t2
125. es2/4a2erfc(s/2a)
serf(at)
126. easerfc
as
s
1
(t+a)
127. easEi(as) 1
t+a
128. 1
a{cos(as){2 Si(as)}sin(as)Ci(as)}
1
t2 +a2
129. sin(as) {2 Si(as)}+cos(as) Ci(as)
t
t2 +a2
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
31/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 11
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
130. 1
s{cos(as)2 Si(as)
sin(as) Ci(as)} tan
1(t/a)
131. 1
s{sin(as)2 Si(as)
+
cos(as) Ci(as)}1
2ln(
t2 +a2
a2 )
132. [
2 Si(as)]2 +Ci2(as) 1
t ln(
t2 +a2
a2 )
133. 0 N(t) = Funcin Nula
134. 1 (t) = Funcin Delta-Dirac
135. eas (t a)
136. eas
sU(t a) Vea tambin 32.163.
137. sinh sx
s sinh sa
x
a+
2
n=1
(1)nn
sinnx
a cos
nt
a
138. s cosh sa
sinh sx
4
n=1
(1)n2n 1sin
(2n 1)X2a
sin(2n 1)t
2a
139. cosh sx
s sinh as
t
a+
2
n=1
(1)nn
cosnx
a sin
nt
a
140. s cosh sa
cosh sx 1 +
4
n=1
(1)n2n 1cos
(2n 1)x2a
cos(2n 1)t
2a
141. sinh sx
s2 sinh sa
xt
a +
2a
2
n=1
(1)nn2
sinnx
a sin
nt
a
142. sinh sx
s2 cosh sa x+
8a
2
n=1(1)n
(2n 1)2 sin(2n 1)x
2a cos
(2n 1)t2a
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
32/39
12 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
143. cosh sx
s2 sinh sa
t2
2a+
2a
2
n=1
(1)nn2
cosnx
a (1 cosnt
a )
144. cosh sx
s2 cosh sa t+
8a
2
n=1
(1)n(2n 1)2 cos
(2n 1)x2a
sin(2n 1)t
2a
145. cosh sx
s3 cosh sa
1
2(t2 + x2a2) 16a
2
3
n=1
(1)n(2n 1)3 cos
(2n 1)x2a
cos(2n 1)t
2
146. sinh x
s
sinh a
s
2
a2
n=1
(1)nnen22t/a2 sinnxa
147. coshx
s
cosh a
s
a2
n=1
(1)n1(2n 1)e(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x2a
148. sinhx
ss cosh a
s
2
a
n=1
(1)n1e(2n1)22t/4a2 sin(2n 1)x2a
149. coshx
s
s sinh as1
a +
2
a
n=1(1)
n
en22t/a2
cos
nx
a
150. sinh x
ss sinh a
s
x
a+
2
n=1
(1)nn
en22t/a2 sin
nx
a
151. cosh x
s
s cosh a
s 1 +
4
n=1
(1)n2n 1 e
(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x
2a
152. sinh xss2 sinh a
s
xta
+2a2t3
n=1
(1)nn3
(1 en22t/a2)sinnxa
153. coshx
s
s2 cosh a
s
1
2(x2a2) + t 16a
2
3
n=1
(1)n(2n 1)3 e
(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x
2a
154. J0(ix
s)
sJ0(ia
s) 12n=1 e2nt/a2J0(nx/a)xnJ1(n)
Donde1, 2, . . .son races positivas de j0() = 0
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
33/39
Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 13
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
155. J0(ix
s)
s2J0(ia
s)14 (x
2 a2) +t+ 2a2
n=1
eA2nt/a
2
J0(nx/a)3nJ1(n)
Donde1, 2, . . .son races positivas de J0() = 0
156. 1
as2tanh(
as
2)
Onda Triangular
157. 1
stanh(
as
2)
Onda Cuadrada
158. a
a2s2 +2coth(
as
2)
Seno Rectificado de Onda Completa
159. a(a2s2 +2)(1 eas)
Seno Rectificado de Media Onda
160. 1
as2 e
as
s(1 eas)
Onda Diente de sierra
161. eas
s
Escaln Unitario (Heavisides)
U(t
a)
162. eas(1 eas)
s
Pulso Rectangular - Funcin Ventana
Continua en la prxima pgina
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
34/39
14 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)
F(s) f(t)
163. 1
s(1 eas)
Escalera
164. es +e2s
s(1 es)2
F(t) = n2, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .
165. 1 es
s(1 res)
F(t) = rn, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .
166. a(1 +eas)
a2s2 +2
F(t) = sin(t/a) 0ta0 t > a
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
35/39
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N
1
1 01(x) (x) ... (x) y (x)
n n
n nn n
d y d ya a a R
dx dx
Caso 3.
Cuando las races de la ecuacin polinmicas P(r)=0,
algunas de estas races son complejas:
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2, , ,r i r i r i r i
Supongamos que las dems sean reales y distintas.
1 1 2
52
1 1 2 1 3 2
4 2 5
cos cos cos
cos ... n
x x xg
r x r xx
n
y c e x c e x c e x
c e x c e c e
El WRONSKIANO: Determinante.
1 2
1 2
1 2
1 2
...
...
...
. 0
.
.
...
n
n
n
n n n
n
f f ff f f
f f f
f f f
Entonces diremos que las funciones son
linealmente independientes.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
HOMOHENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.
1
1 1 01 ... y 0
n n
n nn n
d y d y dya a a a
dx dx dx
1
1 1 0(r) ... 0n n
n nP a r a r a r a
Como el polinomio es de grado n el polinomio
entonces se puede obtener n races.
Caso 1.
Cuando las races de P(r)=0, son reales y distintas:
1 2 3...
nr r r r
1 2
1 2 ... n
r xr x r x
g ny c e c e c e
Caso 2.
Cuando las races de P(r)=0, alguna de las races son
multiplicidad, consideremos:1 2
...k
r r r r y
donde r es la raz multiplicidad de k, y n-k son las
dems races y distintas
12 1
1 2 3 1... ...k n
r x r xrx rx rx k rx
g k k ny c e c xe c x e c x e c e c e
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO
HOMOHENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTE
1
1 1 01 ... y (x)
n n
n nn n
d y d y dya a a a R
dx dx dx
g p
g
p
Y Y Y
YY
Solucin generalSolucin particular
Segundo miembro de
la .ec .diferencial Races de la ecuacin caracterstica y for
la solucin particular, donde max{k
1.
mp x
1) El # 0 no es raz de la ecuacin
Caracterstica:
mp x
2) El # 0 es raz de la ecuacin caracters
mx p x
2.x
me p x
1) El # no es raz de la ecuacinCaracterstica:
x
me p x
2) El # es raz de la ecuacin
Caracterstica:s x
mx e p x
3.
cos( x)
sen( x)
n
m
P x
Q x
1) El # i no es raz de la ecuacin
Caracterstica:
cos( x) sen( x)k kP x Q x
2) El # i es raz de la ecuacin
Caracterstica:
cos( x) sen( xs
k kx P x Q x
4.
[ cos( x)
sen( x)]
x
n
m
e P x
Q x
1) El # i no es raz de la ecuaci
Caracterstica:
[ cos( x) sen( xx k ke P x Q x
2) El # i es raz de la ecuacin
Caracterstica:
[ cos( x) sen(s xk k
x e P x Q x
7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4
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METODO DE VARIACION DE PARAMETROS
Teorema.
Dado la ecuacin diferencial.
1 0(x) y a (x) y f(x)y a Donde, 2 (x) 1a
coeficiente de y
Y la solucin general:
1 1 2 2(x) (x)gy c y c y
La solucin particular ser la siguiente:
1 1 2 2(x) (x) (x) (x)py c y c y
21
1 2
(x) y (x)(x) (x)
,
fc d
w y y ; 12
1 2
(x) y (x)(x) (x)
,
fc d
w y y
GENERALIZACION DEL TEOREMA ANTERIOR
(n 1)
1 1 0(x) y ... a (x) y a (x) y f(x)n
ny a
Solucin general:
1 1 2 2(x) (x) ... y (x)g n ny c y c y c
Solucin particular:
1 1 2 2(x) (x) (x) (x) ... (x) y (x)p n ny c y c y c
Donde cada c (x)i se calcula de:
1 2
v (x)f(x)(x) (x)
(x),..., (x)
ii
c dw y y
, donde v (x)i
representa el determinante obtenido de
1 2(x),..., (x)w y y mediante el reemplazo de la
columna " "i por la columna:
0
0
1
Para resolver ecuacin diferencial de Euler, se transform
una ecuacin diferencial homognea de coeficientes
contantes:
ln(x)tx e t , adems tdx
edt
De donde. tdy dyedx dt
;
2 2
22 2
td y d y dyedx dt dt
Tambin son ecuaciones diferenciales de Euler de la form
siguiente:
11
1 1
1 0
(ax b) (ax b) ...
( ) y 0
n nn n
n nn n
d y d ya a
dx dx
dya ax b adx
Para resolver:
ln(ax b)t
ax b e t . Adems
tdx e
dt a
tdy dyaedx dt
;
2 2
2 2
2 2
td y d y dya edx dt dt
ECUACIONES DIFERENCILES DE EULER
11
1 1 01 ... y 0
n nn n
n nn n
d y d y dya x a x a x a
dx dx dx
Donde0 1 2
...n
a a a a son constantes:
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BECA BECA BECA
transformada de Laplace
0
( ) . ( ) ( )stL F t e f t d t
Segundo teorema de traslacin
( ) ( ) ( ) 0, .. .. ( ) ( ),L g t G s f t t a y f t g t a t
( ) ( ) ( ) ( )asL F t L u t a g t a e L g t
1 1( ) ( ) ( )as t t aL e G s u t a L G s
transformada inversa de Laplace
1( ) ( )f t L F s 1( ) ( ) ( ) ( )L f t F s f t L F s
Propiedad de transformada de derivadas ( ) ( ) (0)L f t sL f t f
2( ) ( ) (0) (0)L f t s L f t sf f
1
1
0
( ) ( ) (0)n
n n n k k
k
L f t s L f t s f
Linealidad
( ) ( ) ( ) ( )L af t bg t aL f t bL g t
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )L aF s bG s cL F s dL G s
Propiedad de transformada de integrales
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
a
g t f u d u g t f t
0
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t a
a
L f u d u L f t f u d us s
T de L escaln unitario
1( ) ( )as as
e eL u t a L u t a
s s
0
1 1
0
10 ( ) ( ) ( )
1........ ( ) ( ) ( )
t
t
a L f u d u L f t s
L F s L F s d us
Propiedad de cambio de escala
1 1
( ) ( ) ( ); 0ss
k
sL f kt l f t F kkk k
1 1( ) ( ) ( ); 0t ktL F kt kL F s kf kt k
0 0 0 0
1... ( ) ... ( )
t t t t
nL f u du dudu L f t
s
1 10 0 0 0
1( ) ... ( ) ...
t t t t
nL F s L F s du dudu
s
n es la cantidad de integrales en ambas formulas
Primer teorema de traslacin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )at t t aL f t F s L e f t L f t F s a
1 1( ) ( ) ( )at at L F s a e L F s e f t
Propiedades de la derivacin de transformadas
( ) ( )L f t F s
( ) ( 1) ( )n
n n
n
d
L t f t L f tds
1 1( ) ( 1) ( )n
n n
n
dL F s t L F s
ds
FORMULARIO TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Propiedades de la integracin de transformadas
( ) ( )L f t F s
( )
( )s
f tL L f t ds
t
;
1 11( ) ( )s
L F s ds L F st
La integral que aparece se llama convolucin f y g se
representa por f*g; es decir:
0
( ) ( ) ( )
t
f g t f t u g u du
1 1 1( ). ( )L F s G s f g L f L g
Propiedades de la transformada de funciones peridicasSi fes una orden exponencial y es peridica con periodo
T>0 (f(x+T) = f(x)), entonces:
0( ) ( )
( )1
T
st
sT
e f t d t
L f te
Mtodo de Heaviside para transformada inversa de Lap
Sea( )
( )( )
P sF s
Q s donde el grado de ( ) ( )o oP s Q s y
( ) 0Q s entonces ( )Q s tiene n races, entonces:
11
( )( )( ) .
( ) ( )k
na t k
k k
P aP sL F s L e
Q s Q a
Propiedad de adicionales
1)
Si f(t) y f(t) son de orden exponencial, y si f(t) es
continua para todo t>0, entonces:
lim ( ) (0)s
sF s f
Aplicacin de la transformada de L a las ec. Diferenciale
Coef. Cte. 1
1 ( )
0
( ) ( ) (0)n
n n n k k
k
L y t s L f t s y
Coef. Variable. ( ) ( 1) ( )n
n n
ndL t f t L f tds
2) ( )L f t y 1 ( )L f t existe entonces:
0
lim ( ) lim ( )s t
sF s f t
La funcin delta de Dirac o funcin impulso unitario
Funcin delta de Dirac: 0
( ) lim ( ) ( )t U t U t
(Llamada tambin funcin impulso unitario) propiedades
i) 00,
0 0,( )
t t
t tt t
ii) 0( ) 1t t dt
El teorema de Convolucin
Sean f y g funciones continuas por tramos de orden
exponencial.
( ),L f F s ( )L g G s
0
( ) ( ) ( ). ( )
t
L f t u g u du F s G s
iii)0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t
aplicando en la transformada de Laplace , encontramos q
0
1 1( ) lim 1
se
L ts s
0
( ) ( ) .
t
L f t u g u du L f L g
1
0
( ). ( ) ( ) ( )t
L F s G s f t u g u du
00
( ) st
L t t e
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