UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
MATEMÁTICAS
M.Sc. Ing. Boris Adolfo Llanos Torrico 1
GUIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma )x(q
)x(p, donde p(x), q(x) P(x); q(x) 0.
El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos:
)2x,4x(8x2x
4x3)d(
7
y3x2)c(
2
3x
3x2
8)b()3x(
3x
5x)a(
2
Simplificación de expresiones algebraicas Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
(a) 2
2
32
32
5
33
b7
a8
ab3b7
ab3a8
ab21
ba24
(b) y4x2
y10x5
Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:
2
5
)y2x(2
)y2x(5
y4x2
y10x5
(c) 16x
12x7x2
2
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
)4x)(4x(16x
)3x)(4x(12x7x2
2
Luego:
4x
3x
)4x)(4x(
)3x)(4x(
16x
12x7x2
2
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(d) 1xx
1x2
3
Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces:
1x)1xx(
)1xx)(1x(
1xx
1x2
2
2
3
Ejercicios Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas
(1) 4
23
ab20
ba15 (2)
73
54
npm21
pmn7
(3) 85
754
dac11
dca121 (4)
24
b16a8
(5) b24a18
42
(6)
y75x50
y21x14
(7) n48m36
n36m27
(8)
xxy
xx2
(9) b3a3
bab2a 22
(10)
22
22
nmn2m
nm
(11) x2x
6x5x2
2
(12)
22
33
ba
ba
(13) 140x15x5
42x27x32
2
(14)
22 q2pq8p8
q2p4
(15) 223
324
nmnm
nmnm
(16)
x4x4x
x10x3x23
23
(17) 322
423
qp16
qp8 (18)
42
33
nm18
mn12
(19) 22
22
b3ab5a2
b32ab56a16
(20)
bd3d2bc3c2
bdbcadac
(21) xan5amnx10xam5
xan5xam522
22
(22)
3x3
1x2
4
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(23) 22
33
n5mn5m5
nm
(24)
y10xy3yx4
y25yx162
2
(25) yb6ya3
xb4xa2
(26)
232
2
)1x()5x(x
)1x()3x(x
(27) 232
43
)1x()5x(x
)5x()1x(
(28)
224
2
baa
aba
Amplificación de fracciones Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente Ejemplos:
(a) Amplificada por 2, la fracción 4x2
6x2
2)2x(
2)3x(es
2x
3x
(b) Amplificada por 3am la fracción amn6am21
abm24ma15
am3)n2m7(
am3)b8a5(:resulta,
n2m7
b8a52
2
(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción mn3
x8en un cuadrado perfecto, debemos
amplificar por 3mn 22nm9
mnx24
mn3
mn3
mn3
x8
(d) Si en la fracción ba
ba
deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto, debemos
amplificar la fracción por (a + b). 22
2
ba
)ba(
)ba(
)ba(
)ba(
)ba(
Ejercicios: Completa el cuadro
Fracción Amplificada por Fracción Equivalente
(1) ab3
xy2
5x2y3
(2) mn7
ab6
8a2m3n
(3) ba7
b3a2
43
432
ba21
ab9ba3
(4) 3a9
mn17
4a54
amn102
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(5) 7x
4x
28x11x2
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Ejemplos.
Polinomios factores m.c.m.
yx12
xy6
yx9
5
4
2
yx32
yx32
yx3
52
4
22
45
4522
yx36
yx32
2x
2x3x
9x6x
6x5x
2
2
2
)2x(
)1x)(2x(
)3x(
)3x)(2x(2
)1x()3x)(2x( 2
b5a5
ba
a3b3
ba
22
)ab(5)1(
)ab)(ab()1(
)ab(3
)ab()1(
)ab(15
)ab)(ab(53122
)yx(2
yxyx
y6x622
33
)yx(2
yxyx
)yxyx)(yx(2322
22
)yx(6
)yxyx)(yx(2333
22
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Ejercicios. Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios
Polinomios Factores m.c.m.
ba20
ab15
ba5
3
2
2
22
3
3
qp7
pq42
qp21
pq14
6x5x
3x
2x
2
1m
mm2
2
24p10p
8p6p
12p8p
2
2
2
3x7x2
2x3x22
2
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.
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Ejemplos Consideremos los siguientes casos
(a) 5
19x17
5
19x14x3
5
)19x14()x3(
5
19x14
x
3
(b)
x
b23a10
x
b19a17b4a7
x
)b19a17()b4a7(
x
b19a17
x
b4a7
(c)
b3a2
b5a8
b3a2
b2a7
b3a2
b9a5
b3a2
b6a4
b3a2
)b5a8()b2a7()b9a5(
Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2)b3a2(
)b3a2(2
Entonces: 2b3a2
b5a8
b3a2
b2a7
b3a2
b9a5
Ejercicios: Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando proceda
(1) x
7
x
5
x
9 (2)
222 a
9
a
5
a
4
(3) 2x3
4
2x3
x6
(4)
5m2
8m7
5m2
6m5
5m2
m4
(5) 15x2
8x7
15x2
3x2
(6)
4a3a
5a2
4a3a
722
(7) 12mm
mm3
12mm
m122
2
2
2
(8) 4p9
p6p6
4p9
p152
2
2
2
(9) 2a
8a1
2a
a2
(10) 1
2a
9
2a
3a
(11) 5a
71
5a
5a
(12) 1
2a3
3a5
2a3
4a
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(13) m3n2
n15m5
m3n2
n9m7
n2m3
n8m5
(14)
6p7p20
p10p
6p7p20
p12p32
2
2
2
(15) 82
2
8282
2
a10a3
2a3
a10a3
10a
a10a3
aa6
(16)
3b13b4
b3
3b13b4
b2b2424
2
(17) yx
b8a5
xy
b2a3
yx
ba
(18)
3m2m
m27
3m2m
m3m
3m2m
4m2
2
2
2
2
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador) A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común Ejemplos: Consideremos los siguientes casos:
(a) yx10
y3x2
xy15
y4x322
Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:
yx52yx10
yx53xy1522
22
m.c.m. = 2222 yx30yx532
Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores:
22
22
22
22
22
222222
yx30
y9xy14x6
yx30
y9xy6xy8x6
yx30
)y3x2(y3)y4x3(x2
yx30
)y3x2(y3
yx30
)y4x3(x2
yx10
y3x2
xy15
y4x3
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(b) b4a4
a6b
b3a3
ba2
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
)ba(4b4a4
)ba(3b3a3
m.c.m.= )ba(12)ba(43
Luego, amplifiquemos las fracciones:
)ba(12
b7a26
)ba(12
a18b3b4a8
)ba(12
)a2b(3)ba2(4
)ba(12
)a6b(3
)ba(12
)ba2(4
b4a4
a6b
b3a3
ba2
(c) 12mm
20m9
6mm
m61322
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
)4m)(2m)(3m(.m.c.m
)4m)(3m(12mm
)2m)(3m(6mm2
2
Luego, amplificamos las fracciones.
)4m)(2m)(3m(
12m13m3
)4m)(2m)(3m(
40m18m20m9m2452m6m13
)4m)(2m)(3m(
)20m9)(2m()m613)(4m(
)4m)(2m)(3m(
)20m9)(2m(
)4m)(2m)(3m(
)m613)(4m(
)4m)(3m(
20m9
)2m)(3m(
m613
12mm
20m9
6mm
m613
2
22
22
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Factoricemos el numerador, multiplicando y dividiendo por 3 a la vez:
)4m3)(3m(
3
)4m3(39m(3
3
)4m3)(9m3(
3
36)m3(13)m3(
3
212m13m3
22
Obtenemos:
8m6m
4m3
)4m)(2m(
4m3
)4m)(2m)(3m(
)4m3)(3m(
)4m)(2m)(3m(
12m13m3
2
2
Entonces:
8m6m
4m3
12mm
20m9
6mm
m613222
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Ejercicios: Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda
(1) x
3
x2
5
x5
9 (2)
x3
5
x2
7
x
62
(3) m5
1m3
m2
2m
(4)
x12
5x2
x8
6x
(5) 1m
52m
(6) 1a
3a2
7
(7) 1b3
51b
(8) 4c
3c
c9
(9) 2aa
a3
1a
222
(10) 12mm
m7
4m
m2
(11) 24p5p
2
12pp
1p22
(12)
x
y
xy2x
xy2
y2x
x2
(13) 9d
)1d(6
3d
d
3d
1d2
(14)
yx
y
yxy
x
y
x22
2
(15) a2b3
b2a3
b2a3
b3a2
(16)
1m
m
1m
2
1m
42
(17) 3z
3
3z5z2
1z62
(18)
12xx
5x4
xx318
9
24x10x
2222
(19) 3a4a
4a2
3a
1
2aa
5a222
(20)
1m
1
3m2m
11m
3m2m
1m322
(21) 8p2p
6
6p5p
1p
12pp
17p222
(22)
2d5d3
1
2dd6
7
1dd2
d3222
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Multiplicación de fracciones algebraicas En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible Ejemplo:
(a) yw7
xz6
w
z2
y7
x3
(b) x2
y10x15
y4x9
xy2x322
2
Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.
2
5
x2
)y2x3(5
)y2x3)(y2x3(
)y2x3(x
(c) 7m7
21m7
m8m2m
mm
9m
6m5m223
3
2
2
Factoricemos y simplifiquemos
4m
1
)1m)(1m(7
)3m(7
)2m)(4m(m
)1m)(1m(m
)3m)(3m(
)2m)(3m(
)1m(7
)3m(7
)8m2m(m
)1m(m
)3m)(3m(
)2m)(3m(22
2
Entonces:
4m
1
7m7
21m7
m8m2m
mm
9m
6m5m223
3
2
2
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Ejercicios Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas
(1) 4
3
3
4
ab7
yx5
ba3
xy2 (2)
2x19
)ba(17
x2
)ba(3
(3) w
z
6x
5x
3x
2x
(4)
315
87
54
43
yx
yx
yx
yx
(5)
52
432
543
32
yx
ba
ba
yx (6)
332
52
32
243
nm
dc
cd
nm
(7) y5x20
b14a21
b10a15
y3x12
(8)
x
yx
y42x42
y7x7
yx
y2x222
(9) 8a6a
ab
ab
4a3a2
5
2
2
(10)
18a11a
10a7a
15a8a
18a9a2
2
2
2
(11) 15z2z
21z10z
14z9z
16z10z2
2
2
2
(12)
6mm
12mm
24m10m
16m6m2
2
2
2
(13)
x2x
12x7x
16x8x
12x7x
9x6x
9x2
2
2
2
2
2
(14)
y30x30
y3x3
y5x5
yxyx
yxy2x
yxy2x
yx
yx 22
22
22
33
22
(15) 2a9a4
8a17a2
9a9a2
6a7a22
2
2
2
(16)
22
22
22
22
b10ab9a2
b6ab7a2
b12ab11a2
b12aba
(17) 2222
33
y2xy2x2
y6x6
yx
yx
(18)
y15x15
y7xy7x7
yx
y5xy10x5 22
33
22
(19) 10b3b
5b4b
14b9b
21b10b
15b2b
16b10b
1b2b
12b8b2
2
2
2
2
2
2
2
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División de fracciones algebraicas Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor Ejemplos:
(a) x3
y4
x9
y20
y5
x3
y20
x9:
y5
x3 2
2
3
3
2
(b) y12x6
y45x15
y15x5
y4x2
y45x15
y12x6:
y15x5
y4x2
Factoricemos y simplifiquemos
11
1
)y2x(6
)y3x(15
)y3x(5
)y2x(2
(c) yx
y2x2
1
yx
y2x2
yx:yx
2222
Al factorizar y simplificar resulta:
2)yx(2yx
)yx(2
1
)yx)(yx(
(d) 98a14
1
12a6
14a5a98a14:
12a6
14a5a 22
Factoricemos y simplifiquemos
84
1
)7a(14
1
)2a(6
)2a)(7a(
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Ejercicios: Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas
(1) 3
2
3
3
b9
ab14:
b18
a35 (2)
523
986
1064
785
cba
cba:
cba
cba
(3) 3
3
43
23
x
y9:
bxya54
yxab24 (4)
32
2
33
22
yb
ax3:
yab
bxa
(5) yx21x14
a:
a
xy9x6233
2
(6)
1a2a
aa:
aa
aa2
23
2
3
(7) 2m3m
3m2m:
8m2m
16m8m2
2
2
2
(8)
14c5c
7c8c:
10c7c
5c6c2
2
2
2
(9) 9x6x
3x4x:
18x3x
24x10x2
2
2
2
(10)
28m3m
32m4m:
21m4m
48m14m2
2
2
2
(11) 6p5p4
4p8p3:
3p7p4
2pp32
2
2
2
(12)
1a6a8
1aa12:
5a8a4
1a5a62
2
2
2
(13) 20mm
16m6m:
4m5m
2m3m2
2
2
2
(14)
22
22
22
33
yxy2x
yx:
yxy2x
yx
(15) 22
22
22
44
yxy2x
yx:
yxy2x
yx
(16)
1x
1x:
1x
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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
MATEMÁTICAS
M.Sc. Ing. Boris Adolfo Llanos Torrico 15
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplos
(a) 4
a3
2
a
5
a2
Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones
40
)a1516(a
40
a15a16
40
a35a28
8
a3
5
a2
4
a3
2
a
5
a2 222
(b) x
4
16
x5
2
x3 2
En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición
4
x11
4
x5x6
4
x51x32
4
x5
2
x3
x
4
16
x5
2
x3 2
(c)
4
5
y15x10
y12x8:
y9x4
y3x222
Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible.
y3x2
y3x2:
y9x4
y3x2
4
5
)y3x2(5
)y3x2(4:
y9x4
y3x22222
Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :
y3x2
1
y3x2
y3x2
)y3x2)(y3x2(
y3x2
(d) 22
22
22 yxyx
yx
y2x2
y6x6:
yxy2x
y3x3
Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos.
22
22
2 yxyx
yx
)yx(6
)yx(2
)yx(
)yx(3
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