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ANALISIS

2o BACHILLERATO ciencias

Francisco Navarro Martınez

Tema 2o - Derivadas

1. Velocidad Media

2. Tasa de Variaion Media de una Funcion en un Intervalo

3. Velocidad Instantanea

4. Derivada de una Funcion en un Punto

5. Funcion Velocidad Instantanea

6. Funcion Derivada

7. Tabla de Derivadas

8. Algebra de Derivadas

9. Regla de la Cadena

10. Derivada de una Funcion Elevada a otra Funcion

11. Definicion de Recta Tangente a una Grafica en un punto

12. Interpretacion Geometrica de la Derivada

13. Recta Tangente y Recta Normal

14. Relacion entre la Continuidad y la Derivabilidad de una Funcion

15. Derivadas Laterales

16. Derivada de una Funcion Definida a Trozos

17. Ejercicios Resueltos

18. Derivadas Sucesivas

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13Vamos a darle una introduccion fısica al concepto de derivada

Velocidad Media

Supongamos que queremos calcular la velocidad media de un movil que sigue una funcion que depende del tiempo quellamaremos e(t) en el intervalo de tiempo [ t1 , t2 ]

t1 t2

e (t1)

e (t)

e (t2)

t2 − t1

e (t2) − e (t1)

Velocidad Media =e(t2) − e(t1)

t2 − t1

Si esta definicion la trasladamos a cualquier funcion, obtenemos el concepto de Tasa de Variacion Media

Tasa de Variacion Media de una Funcion en un Intervalo

Sea f(x) una funcion real de variable real ( f : dominio ⊆ R −→ R ) ; Sean x1 , x2 ∈ R

Llamamos Tasa de Variacion Media del intervalo [ x1 , x2 ] al nof(x2) − f(x1)

x2 − x1

Ejemplo : Calcula la TVM de la funcion f(x) = x2 en el intervalo [ 1 , 3 ]

TVM x2

[1,3] =32 − 12

3 − 1= 4

Ejemplo Fısico : Un coche ha recorrido durante la primera hora 80 Km; a las 2 horas y media 210 y a las cinco

horas 500. Calcula la velocidad media en cada tramo de tiempo

En la primera hora la velocidad media fue80 − 0

1 − 0= 80 Km/h

En la siguiente hora y media la velocidad media fue210 − 80

2 ′ 5 − 1= 86 ′ 67 Km/h

En las siguientes 2 horas y media la velocidad media fue500 − 210

5 − 2 ′ 5= 116 Km/h

14Velocidad Instantanea

Supongamos ahora que queremos calcular la velocidad en un instante determinado t0 de un movil que sigue una funcion e(t)

t0 t

e (t0)

e (t)

e (t)

t − t0

e (t) − e (t0)

Acerco t a t0

Para calcular la velocidad en el instante t0, acercamos la variable t hasta t0 ( tomamos lımt→t0

de la Velocidad Media )

Por tanto, tenemos que Velocidad Instantanea en el instante t0 = lımt→t0

e(t) − e(t0)

t − t0

Si esta definicion la trasladamos a cualquier funcion, obtenemos el concepto de Derivada de una Funcion en un Punto

Derivada de una Funcion en un Punto

Sea f(x) una funcion real de variable real ( f : dominio ⊆ R −→ R ) ; Sea x0 ∈ R

Decimos que f(x) es derivable en el punto de abscisa x0 si existe lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

En ese caso, a dicho lımite se le llama derivada de la funcion f(x) en el punto de abscisa x0 y se nota por f ′(x0)

Equivalentemente ( haciendo h = x − x0 ) , podemos definir f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

Ejemplo : Consideramos la funcion f(x) = x2 .

Calcula la derivada de f(x) en los puntos x = 1 , x = 2 , x = −2 y x = −3

f ′(1) = lımx→1

f(x) − f(1)

x − 1= lım

x→1

x2 − 1

x − 1WIRIS

= 2

f ′(2) = lımx→2

f(x) − f(2)

x − 2= lım

x→2

x2 − 4

x − 2WIRIS

= 4

f ′(−2) = lımx→−2

f(x) − f(−2)

x + 2= lım

x→−2

x2 − 4

x + 2WIRIS

= −4

f ′(−3) = lımx→−3

f(x) − f(−3)

x + 3= lım

x→1

x2 − 9

x + 3WIRIS

= −6

15Ejemplo Fısico : La distancia recorrida por un coche en funcion del tiempo t ( en horas ) viene dada por la funcion

e(t) = 40t2 − 45t ( en Km ) . Calcula la velocidad que llevaba el coche justo a la hora despues de haber salido,

media hora despues y una hora despues

Justo una hora despues de salir la velocidad era e ′(1) = lımt→1

e(t) − e(1)

t − 1WIRIS

= 35 Km/h

Media hora despues ( a la hora y media de salir ) la velocidad era e ′(1′5) = lımt→1′5

e(t) − e(1′5)

t − 1′5WIRIS

= 75 Km/h

Una hora despues ( a la 2 horas de salir ) la velocidad era e ′(2) = lımt→2

e(t) − e(2)

t − 2WIRIS

= 115 Km/h

Funcion Velocidad Instantanea

Se trata ahora de calcular la funcion que nos permita obtener la velocidad en cualquier instante de tiempo. Para ello,hay que utilizar la definicion equivalente de derivada ( la de h ) :

V ( t ) = lımh→0

e ( t + h ) − e ( t )

h

Si esta definicion la generalizamos a cualquier funcion, obtenemos el concepto de funcion derivada

Funcion Derivada

Llamamos D al conjunto de puntos donde la funcion f(x) es derivable

A la funcionf : D −→ R

x #−→ f ′(x)se le llama Derivada de la funcion f(x)

La funcion derivada se nota por f ′(x). Para calcularla, se utiza la definicion equivalente ( la de la h )

Por tanto , f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h

Ejemplo : Consideramos la funcion f(x) = x2 . Calcula la Funcion Derivada de f(x)

f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h= lım

h→0

( x + h )2 − x2

h

WIRIS

= 2x

16Ejemplo Fısico

La distancia recorrida por un coche en funcion del tiempo t ( en horas ) viene dada por la funcion

e(t) = 40t2 − 45t ( en Km ) . Calcula la funcion velocidad que lleva el coche con respecto al tiempo

v(t) = e ′(t) = lımh→0

e(t + h) − e(t)

h

WIRIS

= 80t − 45 en Km/h

Vamos a calcular la derivada de algunas funciones conocidas :

f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h= lım

h→0

( x + h )3 − x3

h

WIRIS

= 3x2

f(x) = x4 ⇒ f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h= lım

h→0

( x + h )4 − x4

h

WIRIS

= 4x3

f(x) = ex ⇒ f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h= lım

h→0

ex+h − ex

h

WIRIS

= ex

f(x) = lnx ⇒ f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h= lım

h→0

ln( x + h ) − lnx

h

WIRIS

=1

x

De esta manera, podemos construir una tabla con la derivada de todas las funciones elementales que conocemos

17TABLA DE DERIVADAS

FUNCION DERIVADA FUNCION DERIVADA

k 0 x 1

xn n · xn−1 [ f(x) ] n n · [ f(x) ] n−1 · f ′(x)

√x

1

2√

x

√

f(x)f ′(x)

2√

f(x)

ex ex ef(x) f ′(x) · ef(x)

ax ax · ln a af(x) af(x) · f ′(x) · ln a

lnx1

xln f(x)

f ′(x)

f(x)

loga x1

x · log aloga f(x)

f ′(x)

f(x) log a

sen x cos x sen f(x) f ′(x) · cos f(x)

cos x − sen x cos f(x) −f ′(x) · sen f(x)

tg x 1 + tg2 x =1

cos2 xtg f(x) 1 + tg2 f(x) =

f ′(x)

cos2 f(x)

cotg x− 1

sen2 xcotg f(x)

− f ′(x)

sen2 f(x)

arc sen x1

√1 − x2

arc sen f(x)f ′(x)

√

1 − f(x)2

arc cos x− 1

√1 − x2

arc cos f(x)− f ′(x)

√

1 − f(x)2

arc tg x1

1 + x2arc tg f(x)

f ′(x)

1 + f(x)2

18Algebra de Derivadas

1) [ f(x) ± g(x) ] ′ = f ′(x) ± g ′(x)

2) [ k · f(x) ] ′ = k · f ′(x)

3) [ f(x) · g(x) ] ′ = f ′(x) · g(x) + g ′(x) · f(x)

4)

[

f(x)

g(x)

]

′

=f ′(x) · g(x) − g ′(x) · f(x)

g2(x)

Regla de la Cadena

Sean f(x) y g(x) 2 funciones que se pueden componer. Se tiene que :

[ ( f o g )(x) ]′

= f ′ [ g(x) ] · g ′(x)

Si tuvieramos 3 funciones f(x) , g(x) y h(x) que se puedieran componer, se tendrıa que:

[ ( f o g o h )(x) ]′

= f ′ [ ( g o h )(x) ] · g ′[ h(x) ] · h ′(x)

Ası, sucesivamente

Derivada de una Funcion Elevada a otra Funcion ( Derivacion Logarıtmica )

Sea h(x) = f(x)g(x) ; Vamos a calcular h ′(x) , tomando logaritmo neperiano en ambos miembros :

ln [ h(x) ] = ln [ f(x)g(x) ] = g(x) · ln [ f(x) ] ; a continuacion, derivamos en ambos miembros :

h ′(x)

h(x)= g ′(x) · ln [ f(x) ] +

[

g(x)

f(x)

]

·f ′(x) ⇒ h ′(x) = h(x) ·

{

g ′(x) · ln [ f(x) ] +

[

g(x)

f(x)

]

· f ′(x)

}

Por tanto, h ′(x) = h(x) ·

{

g ′(x) · ln [ f(x) ] +

[

g(x)

f(x)

]

· f ′(x)

}

Formula que no es preciso aprenderse de memoria, sino que hay que seguir el mismo proceso en cada caso particular

19Ejemplo

Calcula la derivada de la funcion f(x) = xx

f(x) = xx

ln f(x) = ln xx = x · lnx

Derivamos en ambos miembros:

f ′(x)

f(x)= 1 · lnx +

1

x· x = lnx + 1

Despejamos f ′(x):

f ′ (x) = f(x) · ( lnx + 1 ) = xx · ( lnx + 1 )

Solucion : f ′ (x) = xx · ( lnx + 1 )

Definicion de Recta Tangente a una Grafica en un Punto

Sea f(x) una funcion ; sea x0 ∈ R

x0 x1x2x3x4· · · · · · · · ·

f(x0)

rx1rx2

rx3rx4· · ·· · ·

f(x)

rx0

RECT

ATA

NGEN

TE

A toda recta que pase por ( x0 , f(x0) ) y corte a la grafica en cualquier otro punto, la llamamos Recta Secante af(x) en el punto de abscisa x0. Obtenemos una sucesion de rectas secantes rx1

, rx2, rx3

, · · · · · · = { rxn}

Llamamos recta tangente a la grafica de f(x) en el punto de abscisa x0 a la recta lımxn→x0

rxn= rx0

20Interpretacion Geometrica de la Derivada

Sea f(x) una funcion ; sea x0 ∈ R

x0 x

f(x0)

f(x)

rx

x − x0

f(x) − f(x0)

rx0

RECT

ATA

NGEN

TE

Pendiente ( rx ) =f(x) − f(x0)

x − x0

rx0= lım

x→x0

rx ⇒ Pendiente ( rx0) = lım

x→x0

f(x) − f(x0)

x − x0= f ′(x0)

Por tanto, la derivada de f(x) en x0 coincide con la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en elpunto de abscisa x0

Recta Tangente y Recta Normal

Como consecuencia de la interpretacion geometrica de la derivada, tenemos que la recta ( en forma punto pendiente )tangente a la grafica de la funcion f(x) en el punto de abscisa x0 viene dada por :

y − f(x0) = f ′(x0) · ( x − x0 )

Evidentemente, solo es valida cuando f(x) sea derivable en x0

Llamamos recta normal a la grafica de la funcion f(x) en el punto de abscisa x0 a la recta perpendicular a la rectatangente. Teniendo en cuenta que si dos rectas son perpendiculares, la pendiente de una es la opuesta de la inversa de lapendiente de la otra, en forma punto pendiente, esta recta vendra dada por :

y − f(x0) =− 1

f ′(x0)· ( x − x0 )

21Ejemplo

Halla la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal de la curva y = x4 en los puntos de abscisa x0 = 1y x1 = −2

f(x) = x4 f ′(x) = 4x3

x0 = 1 f(1) = 1 f ′ (1) = 4

Recta Tangente ! y − 1 = 4 · ( x − 1 ) ⇒ y = 4x − 3

Recta Normal ! y − 1 = −1

4· ( x − 1 ) ⇒ y = −

1

4x +

5

4

x0 = −1 f(−1) = 1 f ′ (−1) = −4

Recta Tangente ! y + 1 = −4 · ( x + 1 ) ⇒ y = −4x − 3

Recta Normal ! y + 1 =1

4· ( x + 1 ) ⇒ y =

1

4x +

5

4