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Funcion exponencial

Las funciones exponenciales son de la forma f (x) = ax con a > 0

Las funciones exponenciales estan definidas en todo R y sus valores sonsiempre positivos. Son crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1.Entre ellas destaca f (x) = ex = exp(x).

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Proposicion

Sean a, b > 0 y x , y ∈ R Se verifican las siguientes propiedades:

1 a0 = 1

2 ax+y = axay

3 (ab)x = axbx

4 (ax)y = axy

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Funcion Logarıtmica

Las funciones logarıtmicas f (x) = loga(x) son las funciones inversas delas funciones exponenciales y entre ellas destaca la funcion logarıtmica debase e o logaritmo neperiano,ln(x) = loge(x)

y = loga(x) ⇔ ay = x

Graficamente:

Nota Las funciones logarıtmicas solo estan definidas para numerosestrictamente positivos (su dominio es (0,+∞)) y toman todos losvalores (su imagen es R). Son crecientes para a > 1 y decrecientes paraa < 1.

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Las funciones logarıtmicas solo estan definidas para numerosestrictamente positivos (su dominio es (0,+∞)) y toman todos losvalores (su imagen es R). Son crecientes para a > 1 y decrecientes paraa < 1.

Proposicion

Sean a, b > 0 y x , y ∈ R, se verifican las siguientes propiedades:

1 loga1 = 0

2 loga(xy) = loga x + loga y

3 loga

(x

y

)= loga x − loga y

4 loga(xn) = n loga x

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Funciones trigonometricas.

sen(α) =cateto opuesto

hipotenusa=

a

c

cos (α) =cateto contiguo

hipotenusa=

b

c

tg(α) =cateto opuesto

cateto contiguo=

a

b

Formulas fundamentales

1) sen2 α + cos 2α = 1 2) 1 + tg2 α =1

cos 2α

3) tgα =senα

cos α4) cotgα =

1

tgα

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Para extender estas funciones al conjunto de los numeros realesconsideramos la circunferencia de centro el origen y radio 1.

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Tanto la funcion sen(x) como cos(x) tienen por dominio todo R y porimagen el intervalo [−1, 1].

El seno es una funcion impar mientras que el coseno es par. Sidesplazamos sus graficas a izquierda y derecha podemos superponer unasobre la otra.

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Medida de ciertos angulos y sus senos y cosenosGrados Radianes Seno Coseno

0 0 0 1

30 π6

12

√3

2

45 π4

√2

2

√2

2

60 π3

√3

212

90 π2 1 0

180 π 0 −1270 3π

2 −1 0360 2π 0 1

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La funcion tangente se define de forma natural como el cociente entreseno y coseno:

tan x =sen x

cos x

La funcion tangente es periodica de periodo π y no esta definida en lospuntos donde se anula el coseno, que son de la forma x = π

2 ± kπ conk = 0, 1, 2, . . ..

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• La inversa de la funcion seno es la funcion arcoseno,f (x) = arc sen x .Su dominio es el intervalo [−1, 1] y su imagen [−π/2, π/2]:

arc sen x = y ⇔ sen y = x

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• La inversa de la funcion coseno es la funcion arcocoseno,f (x) = arc cos x .Su dominio es el intervalo [−1, 1] y su imagen [0, π]

arc cos x = y ⇔ cos y = x

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• La inversa de la funcion tangente es la funcion arcotangente,f (x) = arctan x

Su dominio es R y su imagen [−π2,π

2]:

arctan x = y ⇔ tan y = x

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1.3 Continuidad de funciones de una variable

Definicion

Sea f : [a, b] ⊆ R−→R, x0 ∈ [a, b]. f es continua en x0 si

lımx→x0

f (x) = f (x0)

donde el lımite de f (x) cuando x tiende a x0 es f (x0) si∀ε > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.

f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en ael lımite por la derecha es f (a) y en b el lımite por la izquierda es f (b).♣

Nota Una funcion es discontinua en un punto si no es continua en elpunto pero es continua en un entorno del punto

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Nota Las funciones elementales que hemos visto en la seccion anteriorson continuas en sus dominios.

Nota El producto de un numero por una funcion continua, la suma defunciones continuas, el producto de funciones continuas y la composicionde funciones continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cocientede funciones continuas solo es una funcion continua en los puntos en losque no se anula el denominador.

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Proposicion

(Teoremas clasicos) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] entonces

(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existec ∈ (a, b) con f (c) = 0.

(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b]con c1 < c2 y f (c1) 6= f (c2), f alcanza cualquier valor entre f (c1) yf (c2).

(Teorema de Weierstrass) f tiene un maximo y un mınimo absolutoen algun punto de [a, b].

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1.4 Derivada de funciones de una variable

Definicion

Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ (a, b).La derivada de f en x0

f ′(x0) = lım4x→0

f (x0 +4x)− f (x0)

4x= lım

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.

f es derivable en x0 si este lımite existe.f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntosdel conjunto. ♣

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Nota (Interpretacion geometrica de la derivada) La tasa media devariacion entre los puntos P y Q corresponde a la pendiente de la rectaque corta a la grafica y = f (x) en estos puntos. Cuando 4x tiende acero, el punto Q se mueve sobre la grafica acercandose a P y lapendiente de la recta secante se aproxima a la pendiente de la rectatangente, de forma que la derivada de la funcion en x0 es la pendiente dela recta tangente a la grafica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)).

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Nota La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variabledependiente cuando se produce un cambio en la variable independiente ycuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio queexperimenta la variable dependiente. Si la derivada es positiva a unaumento de la variable independiente le corresponde un aumento de lavariable dependiente y si es negativa a un aumento de la variableindependiente le corresponde una disminucion de la variable dependiente.

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Definicion

Sean f : [a, b] ⊆ R−→R.Si f es derivable en (a, b) la funcion derivada de f asocia a cada x suderivada

f ′ : x ∈ (a, b)−→ f ′(x) ∈ R. ♣

Nota

Las distintas notaciones que se usan para la funcion derivada de unafuncion y = f (x) son:

y ′ o f ′(x), cuyo valor en un punto x0 se escribe como y ′(x0) o f ′(x0);

dy

dxo

df

dx, cuyo valor en un punto x0 se escribe como

dy

dx

∣∣∣∣x0

odf

dx

∣∣∣∣x0

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Para obtener el valor de la derivada de una funcion en un punto sin tenerque aplicar la definicion, que a veces es bastante complicado, se puedencombinar las reglas de derivacion y las derivadas de las funcioneselementales.

Proposicion

(Reglas de derivacion) Sean f , g : [a, b] ⊆ R−→R derivables enx ∈ (a, b).

1 Regla del multiplo constante (k ∈ R): (kf )′(x) = kf ′(x).

2 Regla de la suma: (f + g)′ (x) = f ′(x) + g ′(x).

3 Regla del producto: (f · g)′ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).

4 Regla del cociente:

(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)

g 2(x)siempre y

cuando g(x) 6= 0. ♣

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Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x)

xa axa−1 x > 0 a ∈ R

ex ex x ∈ R

ln x1

xx > 0

sen x cos x x ∈ R

cos x − sen x x ∈ R

tan x 1 + tan2 x x 6= π2 ± nπ (n ∈ N)

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Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x)

k 0 x ∈ R k ∈ R

ax ax ln a x ∈ R a > 0

loga x1

x ln ax > 0 a > 0

arc sen x1√

1− x2−1 ≤ x ≤ 1

arc cos x−1√

1− x2−1 ≤ x ≤ 1

arctan x1

1 + x2x ∈ R

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Proposicion

(Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆ R−→R, g : [c , d) ⊆ R−→R.Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c , d)entonces g ◦ f es derivable en x0

(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0))f ′(x0) ♣

Nota

(Interpretacion economica) Si y = y(x) y a su vez x = x(t) se tiene quey = y(t) y

dy

dt

∣∣∣∣t

=dy

dx

∣∣∣∣x(t)

dx

dt

∣∣∣∣t

de forma que la tasa de variacion de y con respecto a t es producto de latasa de variacion de y con respecto a x por la tasa de variacion de x conrespecto a t.

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Proposicion

(funcion inversa) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua e inyectiva en [a, b].Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) 6= 0 entonces f −1 es derivableen y0 = f (x0) con

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0). ♣

Proposicion

Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ (a, b).Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0.

Nota El recıproco no es cierto, ya que f puede ser continua en x0 sin queexista su derivada.

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Proposicion

Sea f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces

f es creciente en (a, b) si y solo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).

f es decreciente en (a, b) si y solo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣

Proposicion

(Teoremas clasicos) f : [a, b] ⊆ R−→R continua en [a, b] y derivable en(a, b)

(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.

(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe

c ∈ (a, b) con f ′(c) = f (b)−f (a)b−a .

(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b)con f ′(c1) 6= f ′(c2)la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c1) y f ′(c2). ♣

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1.5 Extremos de funciones de una variable

Definicion

Sean f : [a, b] ⊆ R−→R y x0 ∈ [a, b].

x0 es un maximo absoluto si f (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ [a, b]

x0 es un mınimo absoluto si f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ [a, b]

En ambos casos decimos que x0 es un optimo global o extremoabsoluto (estricto si las desigualdades son estrictas para x 6= x0).

x0 es un maximo local si existe δ > 0 tal quef (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]

x0 es un mınimo local si existe δ > 0 tal quef (x0) ≥ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ [a, b]

En ambos casos decimos que x0 es un optimo local o extremorelativo (estricto si las desigualdades son estrictas para x 6= x0). ♣

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Proposicion

(condicion necesaria de optimo local) Sea f : [a, b] ⊆ R−→R derivableen (a, b).Si f tiene un extremo relativo en x0 ∈ (a, b) entonces f ′(x0) = 0. ♣

Nota Un punto en el que la derivada es cero recibe el nombre de puntocrıtico.

Nota En un punto crıtico la recta tangente a la curva y = f (x) esparalela al eje X .

Nota Si la funcion es derivable en un extremo relativo, este siempre esun punto crıtico, pero no todo punto crıtico es un extremo relativo (unpunto crıtico puede ser un maximo relativo, un mınimo relativo o ningunade las dos cosas).

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Proposicion

(condicion suficiente de optimo local) Sean f : [a, b] ⊆ R−→R dos vecesderivable en (a, b) y x0 ∈ (a, b) un punto crıtico de f .

Si f ′′(x0) > 0 x0 es un mınimo relativo estricto.

Si f ′′(x0) < 0 x0 es un maximo relativo estricto.

Si f ′′(x0) = 0 no podemos afirmar nada. ♣

Nota

Si f es n veces derivable en (a, b) con f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 yf (n)(x0) 6= 0 se tiene:

Si n es par y{f (n)(x0) > 0 f tiene un mınimo relativo estricto en x0

f (n)(x0) < 0 f tiene un maximo relativo estricto en x0

Si n es impar f no tiene ni un maximo ni un mınimo.

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Ejemplo

Calcular los optimos de la funcion f (x) = xx2+1 :

En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada es cero(puntos crıticos):

f ′(x) =1− x2

(1 + x2)2 = 0 =⇒ 1− x2 = 0 =⇒{

x = 1x = −1

A continuacion calculamos su derivada segunda y estudiamos que tipo depuntos son

f ′′(x) =2x(−3 + x2

)(1 + x2)3 =⇒

{f ′′(1) = − 1

2 < 0 maximof ′′(−1) = 1

2 > 0 mınimo

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Como f (1) = 12 y f (−1) = − 1

2 tenemos que el punto (1, 12 ) es un maximo

relativo y que el punto (−1,− 12 ) es un mınimo relativo. Al observar su

grafica, vemos que son un maximo y un mınimo absolutos y que, portanto, el valor maximo de la funcion es 1

2 y su valor mınimo − 12 . ♣

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Ejemplo

Estudio de los optimos de la funcion f (x) =9 + 12x + 7x2 + x3

1 + x2:

En primer lugar determinamos los puntos crıticos:

f ′(x) =(2 + x)2

(3− 4x + x2

)(1 + x2)2 = 0 =⇒

x = 3x = 1x = −2

A continuacion calculamos su derivada segunda y estudiamos que tipo depuntos son

f ′′(x) =2(−2− 33x + 6x2 + 11x3

)(1 + x2)3 =⇒

f ′′(3) = 12 < 0 mınimo

f ′′(1) = − 92 < 0 maximo

f ′′(−2) = 0

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Como f (3) = 272 y f (1) = 29

2 tenemos que el punto (3, 272 ) es un mınimo

relativo y el punto (1, 292 ) un maximo relativo (graficamente vemos que

no son optimos absolutos). En x = 2, como la segunda derivada en escero, no podemos afirmar nada y tenemos que calcular la terceraderivada. Se puede comprobar que f ′′′(−2) = 6

5 y que, por tanto, notiene ni un maximo ni un mınimo.

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1.6 Concavidad y convexidad

Definicion

Sea f : I ⊆ R−→R con I un intervalo.f es convexa en I si el segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))esta por encima de la grafica de la funcion entre estos dos puntos∀a, b ∈ I con a < b.

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Definicion

f es concava en I si el segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))esta por debajo de la grafica de la funcion entre estos dos puntos∀a, b ∈ I con a < b.

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Proposicion

Sea f : [a, b] ⊆ R−→R dos veces derivable en (a, b).

f es convexa en (a, b) si y solo si f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).

f es concava en (a, b) si y solo si f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣

Definicion

Sean f : D ⊆ R−→R y x0 ∈ D.f tiene un punto de inflexion en x0 si en x0 cambia de concava aconvexa o viceversa. ♣

Proposicion

Sea f : [a, b] ⊆ R−→R derivable en (a, b).Si f tiene un punto de inflexion en x0 ∈ (a, b) y existe f ′′(x0) entoncesf ′′(x0) = 0. ♣

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Proposicion

Sea f : [a, b] ⊆ R−→R dos veces derivable en (a, b) y x0 ∈ (a, b) conf ′′(x0) = 0.Si existe f ′′′(x0) y es distinta de cero entonces f tiene un punto deinflexion en x0. ♣

NotaSi x0 es un punto de inflexion no tiene por que ser f ′(x0) = 0.

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