Aprendizajes esperados:
• Analizan el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia, logarítmica y exponencial.
f(x) = mx + n
m: pendiente
n : coeficiente de posición
Ejemplo:
En la función: f(x) = 5x + 3
Pendiente (m)= 5
Coeficiente de posición (n)= 3
Indica el punto donde la recta intersecta al eje Y
La línea recta: La recta está representada por:
Repaso de las Funciones
Representación gráfica de: f(x) = 5x + 3
Si x = 0,
f(0) = 3
Si x = 1,
f(1) = 8
Si x = -1,
f(-1) = -2...etc.
⇒
⇒
⇒
f(0) = 5 • (0) + 3
f(1) = 5 • (1) + 3
f(-1) = 5 • (-1) + 3
Gráfica de la función
Ejemplo:
1) f(x) = 2x - 1
Pendiente: 2 > 0 La función es CRECIENTE.
-1 1 2 3
3
1
2
4
y=f(x)
x
Coeficiente de posición: -1
La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-1)
⇒
⇒
(0,-1)
f(x)
1 2 3
3
1
2
4
-1 x
y= f(x)
Ejemplo:
1) f(x) = -5x + 4
Pendiente: -5 < 0 La función es DECRECIENTE.
Coeficiente de posición: 4 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,4)
⇒
⇒
(0,4)
Siempre el dominio y el recorrido de las funciones de la formaf(x) = mx + n, es el conjunto IR.
Función Constante
Si m = 0, entonces la función es constante y es de la forma:
x
y
f(x)
La representación gráfica de una función constante es una línea recta, paralela al eje x:
f(x) = c Donde c número real
1 2 3
3
1
2
4
-1
y = f(x)
x
f(x) = 3
Pendiente: 0 La función es CONSTANTE.
Ejemplo:
Coeficiente de posición: 3
La recta intersecta al eje Y en el punto (0,3)
⇒
⇒
f(x)
(0,3)
Función Potencia
Ejemplo: Expresar el área de la cara de un cubo y su volumen en términos de la arista; construir una tabla de valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que puede tomar la variable independiente.
arista (a)
Área = a2
Volumen = a3
⇒ A(a) = a2
⇒ V(a) = a3
Es de la forma: f(x) = axn.
Grafico de A(a) = a2
164
93
42
11
00
1-1
4-2
9-3
Y16
X-4
0123456789
10111213141516
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Función Exponencial
Es de la forma: f(x) = ax con a >0, a ≠ 1 y x Є IR
Definición
Ejemplo1:
f(x) = 2x
f(0) = 20 = 1
f(1) = 21 = 2
f(2) = 22 = 4
f(3) = 23 = 8
f(-1) = 2-1 = 0,5
f(-2) = 2-2 = 0,25…
La gráfica de f(x) = 2x es:
Ejemplo2:
f(x) = (½)x
f(0) = (½)0 = 1
La gráfica de f(x) = (½)x es:
f(1) = (½)1 = ½
f(2) = (½)2 = ¼
f(-1) = (½)-1 = 2
f(-2) = (½)-2 = 4…
Dom (f) = IR
Rec (f) = IR+
Al igual que en la función anterior se tiene que:
Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial
a) Si a > 1,
f(x)= ax es creciente en todo IR
x
y a > 1
1
Ejemplo:
Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora.
Solución:
Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es:
.
Cantidad inicial = 10.000
Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·31 = 30.000
2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·32 = 90.000
3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·33 = 270.000...
Después de x horas = 10.000 · 3x
.
f(x)= 10.000 · 3x
Función LogarítmicaDefinición
La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por:
.
y = loga(x) ay = x
a) Si a > 1, f(x)= loga(x) es creciente para x >0
x
y
x > 0
(Con a y x, distinto de cero, a ≠ 1).
Rec (f) = IR
Dom (f) = IR+
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