Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Puntos de
corte con los ejes Consideramos la funcin f(x) =x 3 -2x 2 -x+2 Con
el eje OX Resolvemos la ecuacin x 3 -2x 2 -x+2=0 { x=-1 x=1 x=2
Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY Calculamos f(0)
f(0)=2 Punto de corte (0,2)
Diapositiva 3
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras
axiales: Funciones pares Consideramos la funcin f(x) = x 4 -2x 2 La
funcin es simtrica respecto del eje Y. x=0 d d Una funcin que
presenta este tipo de simetra se denomina funcin par. Por tanto,
f(-x) = (-x) 4 -2(-x) 2 = x 4 -2x 2 = f(x) -x x
Diapositiva 4
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Simetras
centrales: Funciones impares Consideramos la funcin f(x) = x 3 -x
La funcin es simtrica respecto del origen de coordenadas. Una
funcin que presenta este tipo de simetra se denomina funcin impar.
Por tanto, f(-x) = (-x) 3 -(-x) = -x 3 +x = -f(x) -x x d d
Diapositiva 5
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas Se llama funcin polinmica a las funciones f(x) = a n x n
+ a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son
nmeros reales, n es un nmero natural, y a n 0. En este caso se dice
que tenemos una funcin polinmica de grado n. Las funciones f(x) = x
n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x
3 Dominio Recorrido
Diapositiva 6
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se
llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b):
ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0f(x) = ax + b, a <
0 Dominio: R Recorrido: R Una funcin lineal queda determinada
cuando se conocen las imgenes de dos valores distintos de la
variable independiente. Recorrido: R
Diapositiva 7
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
cuadrticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a 0,
b, c R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a: Son
parbolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0:
Recorrido = ( , 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = 2 a = 1 a = 0,5
Diapositiva 8
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin
grfica de funciones cuadrticas f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 es una
parbola V V a > 0 a < 0
Diapositiva 9
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato a > 0
convexa ramas hacia arriba mnimo en el vrtice a < 0 cncava ramas
hacia abajo mximo en el vrtice Coordenadas del vrtice: (b/(2a),
f(b/(2a)) Eje de simetra: x = b/(2a) Funciones polinmicas de
segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (I) Grficas de funciones:
monotona y curvatura
Diapositiva 10
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de segundo grado: f(x) = ax 2 + bx + c (II) b 2 4ac <
0 no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) b 2 4ac
> 0 corta al eje OX en dos puntos b 2 4ac = 0 corta al eje OX en
un punto Grficas de funciones: monotona y curvatura
Diapositiva 11
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Representacin
grfica de algunas funciones polinmicas Grado 3 Grado 4 Grado 5
Grado 6
Diapositiva 12
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (I) a >
0 a < 0 Tipo 1: punto de inflexin cncavoconvexo Sin mximos ni
mnimos relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OX en
un solo punto y al eje OY en un solo punto. Tipo 2: punto de
inflexin convexocncavo I I
Diapositiva 13
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a >
0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un
mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un
solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M
M
Diapositiva 14
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
polinmicas de tercer grado: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (II) a >
0 a < 0 Tipo 3: Mximomnimo Tipo 4: Mnimomximo Con un mximo y un
mnimo relativos y un solo punto de inflexin. Cortan al eje OY en un
solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 1 punto. I I m m M
M
Diapositiva 15
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 1 1 Funciones
racionales Una funcin racional es una funcin cociente de dos
funciones polinmicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x)
son dos polinomios. Dominio: conjunto de todos los nmeros reales
excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el
dominio hay que resolver la ecuacin Q(x) = 0. x - 1 ++ x + 1 f(x) +
+ + Las asntotas de la funcin f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de
signo en su dominio.
Diapositiva 16
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de algunas funciones Es una hiprbola Dom (f) = R - {0} Rec(f) = R -
{0} Dom (f) = [0, + ) Rec(f) = [0, + )
Diapositiva 17
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Dom (f)
= R Rec(f) = R Grficas de algunas funciones irracionales
Diapositiva 18
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN VALOR
ABSOLUTO Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a
cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2.
Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada
intervalo. 3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que
en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la
funcin. 4. Representamos la funcin resultante.
Diapositiva 19
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE UNA
FUNCIN VALOR ABSOLUTO
Diapositiva 20
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Funcin
valor absoluto - x si x 0 x si x >0 X Y Dom (f) = R Rec (f) =
[0, + )
Diapositiva 21
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 132-2 Final
Funcin parte entera y = [ x ] X Y Dom (f) = R Rec (f) = {..., -3,
-2, -1, 0, 1, 2,....}
Diapositiva 22
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
exponenciales Una funcin exponencial es una funcin de la forma f(x)
= a x, siendo x la variable y a un nmero real. Dominio: R.
Recorrido: (0, ) Las grficas de todas las funciones exponenciales
pasan por el punto (0, 1). 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x)
= e x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 x = (1/2) x
Diapositiva 23
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funciones
logartmicas Una funcin logartmica es una funcin de la forma f(x) =
log a x, siendo x la variable y a un nmero real mayor que 0 y
distinto de 1. Dominio: (0, ). Recorrido: R Las grficas de todas
las funciones logartmicas pasan por el punto (1, 0). Es inversa de
la exponencial: sus grficas son simtrica respecto y = x. 0 < a
< 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x
Diapositiva 24
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
logartmica con la base mayor que 1
Diapositiva 25
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
logartmica con la base comprendida entre 0 y 1
Diapositiva 26
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato 0 1 2 3
10,1510,3010,451111,1510,3511,45 Funcin peridica perodo = T x x + T
Una funcin f(x) es peridica de perodo T si existe un nmero real T
0, llamado perodo, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su
dominio.
Diapositiva 27
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin mantisa
La funcin mantisa hace corresponder a cada nmero el mismo nmero
menos su parte entera. f(x) = x [x] La funcin mantisa, f(x) = x
[x], es peridica de periodo 1.
Diapositiva 28
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato ALGUNAS
GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS: Las funciones seno, coseno y
tangente son peridicas, de manera que el periodo de las funciones
seno y coseno es 2 y el de la funcin tangente es . Las funciones
seno y coseno estn definidas para todo el conjunto de los nmeros
reales. Ambas son funciones continuas (no as la funcin tangente).
Las funciones seno y coseno estn acotadas, ya que sus valores estn
contenidos en el intervalo [-1,1]. La funcin tangente no est
acotada. Las funciones seno y tangente son simtricas respecto al
origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(- x)=-tan x. En cambio, la
funcin coseno es simtrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.
Propiedades de las funciones trigonomtricas
Diapositiva 29
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin seno y
= 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin seno: Su dominio que es R. Su
recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una
funcin impar: sen ( x ) = sen x.
Diapositiva 30
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN SENO
Diapositiva 31
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN SENO
Diapositiva 32
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin coseno
y = 1 y = 1 3 Propiedades de la funcin coseno: Su dominio es R. Su
recorrido es el intervalo [1, 1]. Es peridica de perodo 2 . Es una
funcin par: cos ( x ) = cos x. y = cos x y = sen x
Diapositiva 33
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COSENO
Diapositiva 34
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN SENO
Diapositiva 35
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin
tangente Propiedades de la funcin tangente: Su dominio es R k k Z
Su recorrido es toda la recta real. Es peridica de perodo . Las
recta x = k k Z son asntotas verticales. Es una funcin impar: tan (
x ) = tan x.
Diapositiva 36
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN TANGENTE
Diapositiva 37
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato CARACTERSTICAS
DE LA FUNCIN TANGENTE
Diapositiva 38
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN
COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio es toda x n. Su
imagen es el conjunto de todos los nmeros reales. No corta al eje
OY. Corta al eje OX en x = /2n. Las asntotas son x = n. Su periodo
es .
Diapositiva 39
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COTANGENTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Dominio: R {x = k,
k Z } Imagen: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar] Periodo:
Corta al eje OX en x = (k+1)/2, k Z No corta al eje OY Las asntotas
son x = k/2, k Z
Diapositiva 40
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato FUNCIN SECANTE
CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R {(2k+1)/2, k Z } Su
imagen es (- , 1] U [1, + ) Corta al eje OY en el punto (0,1). No
corta al eje OX Puntos mximos: ((2k+1), -1) k Z Puntos mnimos: (
(2k,, 1). k Z Las asntotas son x =( 2k+1)/2, k Z Su periodo es
2.
Diapositiva 41
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN SECANTE
Diapositiva 42
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato GRFICA DE LA
FUNCIN COSECANTE CARACTERSTICAS DE LA GRFICA : Su dominio: R { (k,
k Z } Su imagen es (- ,1] U [1, + ) No corta ni al eje OY ni al OX
Puntos mximos: ((2k+1)/2, -1) k Z Puntos mnimos: ((2k-1)/2,, 1). k
Z Las asntotas son x = k, k Z Su periodo es 2.
Diapositiva 43
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco
seno Propiedades de la funcin arco seno: Su dominio es [1, 1]. Su
recorrido es el intervalo ]. La funcin sen x es inyectiva en /2, /2
En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arcsen x. Las grficas de
ambas funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = sen x
y = arcsen x 1 y = x 1 0 1 1
Diapositiva 44
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Funcin arco
tangente Propiedades de la funcin arco tangente Su dominio: R. Su
recorrido es el intervalo ]. La funcin tan x es inyectiva en , En
ese intervalo tendr inversa: f(x) = arctan x. Las grficas de ambas
funciones son simtricas respecto a la recta y = x. y = tan x y =
arctan x y = x 0
Diapositiva 45
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas
bsicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una
grfica que se represente por medio de una frmula o ecuacin.
Diapositiva 46
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable
dependiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o,y o )
entonces la funcin y =f(x)+a pasa por el punto (x o, y o +a). La
grfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la
arriba (abajo) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x)+2 Trasladamos la grfica de y
= f(x), 2 unidades hacia arriba
Diapositiva 47
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable
independiente Si la funcin y =f(x) pasa por el punto (x o, y o )
entonces la funcin y =f(x+a) pasa por el punto (x o - a, y o ). La
grfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la
izquierda (derecha) la grfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(x+2) Trasladamos la grfica de y
= f(x) 2 unidades a la izquierda
Diapositiva 48
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable
dependiente Grfica de y = f(x) Grfica de y = 2f(x) Se dilata la
grfica verticalmente al doble Si y = f(x) pasa por (x o,y o )
entonces y = af(x) pasa por (x o, ay o ). Por ello para a>1 esta
transformacin dilata verticalmente la grfica, y para 0 < a <
1 la contrae verticalmente
Diapositiva 49
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la grfica de y = f(x), la grfica
de g(x) = - f(x) es simtrica respecto al eje de abcisas, ya que los
puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simtricos respecto a
este eje Grfica de y = f(x) Grfica de y = - f(x) Se simetriza la
grfica respecto al eje OX
Diapositiva 50
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable
independiente Si la funcin y = f(x) pasa por el punto (x o,y o )
entonces y = f(ax) pasa por el punto (x o /a, y o ). Si a > 1 la
grfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la grfica se
dilata horizontalmente Grfica de y = f(x) Grfica de y = f(2x) Se
contrae la grfica horizontalmente a la mitad
Diapositiva 51
Funciones elementales Matemticas 1. Bachillerato Final Grficas
de f(x) y de f(-x) Las grficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son
simtricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x))
y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simtricos respecto a este eje Grfica
de y = f(x) Grfica de y = f(-x) Se simetriza la grfica respecto al
eje OY