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Leccin 1 - Problemas
Problemas
CAPTULO 2 FUNCIONES VECTORIALESLeccin 2.2. Curvas en R n
Una aplicacin F : I R n , donde I es un subconjunto de R se llama una funcin vectorial. Puesto n que para cada t I, F( t ) R , entonces
F( t ) = ( f 1 ( t ), f 2 ( t ), ..., f n ( t ) )
Las funciones f i : I R, i = 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes. Ejemplos: 1. F( t ) = P + tA, t R, P y A vectores fijos de R es una funcin vectorial que representa una recta en R n . 2. F( t ) = ( cos t, sent ), t R es una funcin vectorial que representa una circunferencia de 2 centro cero y radio uno en R . 3. F( t ) = ( t, t 2 ), t R es una funcin vectorial que representa una parbola La imagen F( I ) es un subconjunto de R n y determina una curva en l. Es claro que que una curva n en R puede estr determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo: ( t ) = t, t 2 , t 0 y ( t ) = t 2 , t 4 , definen la misma curva en en R 2 . No obstante, aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la funcin que la define. Operacines algebraicas: Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales: 1. ( F + G )( t ) = F( t ) + G( t ), t I, F y G funciones vectoriales.n
(
)
(
)
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 2 of 7 2. ( u.F )( t ) = u( t ).F( t ), t I, F una funcin vectorial y u : I R. 3. F, G ( t ) = F( t ), G( t ) , t I.
4. ( F G )( t ) = F( t ) G( t ), t I, F y G funciones vectoriales con valores en R 3 . 5. (F u )( t ) = F( u( t ) ), t I, F una funcin vectorial y u : I R. Continuidad de funciones vectoriales Definicin(2.2.1): Sea F : I R una funcin vectorial. Decimos que F es continua en a I, si para toda secuencia t n I, tal que t n a, se cumple que F( t n ) F( a ).n
{ }
De la Definicin (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en a si y slo si las funciones componentes de F son continuas en a. Adems:
t k a
lim F( t k ) = ( lim f 1 ( t k ), ..., lim f n ( t k ) ).t k a t k a
(2.2.1)
Derivabilidad de funciones vectoriales La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones de variable y valor real. As:
F ( a ) = lim
ta
F ( t + a ) F( a ) t
(2.2.2)
Cmo se indica en la figura, el vector F ( a ) es el vector direccin de la recta tangente a la curva definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento de una particula en el espacio R n a medida que el tiempo t transcurre, entonces F ( a ) mide la velocidad del desplazamiento.
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Figura No. 1 Es muy fcil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que
F ( a ) = ( f 1 ( a ), ..., f n ( a ) )
( 2.2.3 )
La derivacin de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades: 1. ( F + G ) = F + G . 2. ( u.F ) = u .F + u.F , con u : R R. 3. F, G
=
F,G
+
F, G
.
4. ( F G ) = F G + F G . 5. ( F u ) = u .F ( u ), con u : R R. Como consecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguiente Teorema (2.2.1): Sea F una funcin vectorial definida en algn intervalo I. Si F( t ) para todo t, entonces = c,
F( t ), F ( t )
= 0.
El Teorema nos dice que el vector posicin de la curva y su vecror tangente son perpendiculares para
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 4 of 7 todo valor t. Si pensamos que es una partcula que se mueve a lo largo de la curva que describe la imagen de una funcin vectorial F, entonces F( t ) es el vector que mide la posicin de la partcula, F ( t ) ser el vector velocidad y F ( t ) ser el vector aceleracin. Es costumbre nombrar, entonces, F ( t ) = V( t ), vector velocidad y F ( t ) = A( t ), vector aceleracin. Adems denotaremos v( t ) = V( t ) que representa la rapidez de la partcula, as mismo denotaremos a( t ) = F (t ) .
Integracin La integracin de funciones vectoriales la definimos as:
F( t )dt = a
b
(
b a
f 1 ( t )dt, ...,
b a
f n ( t )dt . ( 2.2.4 )
)
Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos ac los teoremas fundamentales del c lculo que enunciaremos sin demostracin pues sta sigue los mismos pasos que la que conocemos en los primeros cursos de clculo. Teorema (2.2.2) (Primer Teorema Fundamental del Clculo). Sea F : a, b R continua y sea c a, b . Entonces la funcinn
G( x ) =
F( t )dtc
x
cumple que G ( x ) = F( x ). Teorema (2.2.3) (Segundo Teorema Fundamental del Clculo). Supongamos que F es continua en ( a, b ). Entonces para cada c, x ( a, b ) tenemos que
F( x ) = F( c ) +
F ( t )dt. c
x
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 5 of 7 El Plano Osculador. Sea F : [a, b] R una aplicacin derivable y supongamos que F ( t ) 0. Entonces el vector3
T( t ) =
F (t) F (t)
(2.3.1)
es el vector tangente unitario de la curva en el punto F( t ). Si adems suponemos que la funcin T( t ) es derivable y T ( t ) 0, entonces podemos definir el vector normal unitario a la curva en el punto F( t ), as:
N( t ) =
T (t) T (t)
.
(2.3.2)
Puesto que T( t ) es unitario, entonces as:
T( t ), N( t )
= 0. Este par de vectores definen un plano,
P( t ) = {X( t ) = F( t ) + sT( t ) + rN( t ), r, s R}.
Figura No. 2
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Este plano es conocido como el plano osculador a la curva en el punto F( t ). La caracterstica de este plano consiste en que es el plano que mejor aproxima a la curva en el punto F( t ). Esto quiere decir que si tomamos tres puntos distintos de la curva que puedan determinar un plano y hacemos que esos tres puntos se aproximen a F( t ) entonces esos planos se aproximan al plano P( t ). Es fcil ver que los vectores velocidad V( t ) = F ( t ) y aceleracin A( t ) = F ( t ) del punto F( t ) se encuentran en el plano osculador. En efecto, un clculo sencillo nos muestra que
A( t ) = v ( t )T( t ) + F ( t )
T ( t ) N( t ),
en donde v( t ) =
F ( t ) .
La componente v ( t ) se llama la componente tangencial de la aceleracin y F ( t ) componente normal.
T ( t ) la
A manera de ejemplo, consideremos la curva F( t ) =( cos t, sent, t ), t R. Esta curva representa una hlice ascendente como se indica en la figura
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Page 7 of 7 Figura No. 3 Observamos que
F ( t )
=
22 2
T(t) (t) F (t)F
=1 2
= T( t ) =
(
sin t, cos t, 1 )
T(t) T(t)
= N( t ) =
(
cos t, sin t, 0 )
Por lo tanto v ( t ) = 0 y la aceleracin ser
A( t ) = N ( t ) =
(
cos t, sin t, 0 ).
Esto es, la aceleracin permanece en el plano X;Y y en la direccin opuesta a la proyeccin, sobre el plano X;Y, del movimiento F( t ). Esto nos dice que la aceleracin es centrpeta.
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