Sistema de coordenadas retangularesSistema de coordenadas cilındricas
Sistema de coordenadas esfericas
Geometria Analıtica: sistemas de coordenadas
Prof. Angelo Aliano Filho
Universidade Tecnologica Federal do Parana
22 de Marco de 2018
Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica
Sistema de coordenadas retangularesSistema de coordenadas cilındricas
Sistema de coordenadas esfericas
Sumario
1 Sistema de coordenadas retangulares
2 Sistema de coordenadas cilındricas
3 Sistema de coordenadas esfericas
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Sistema de coordenadas retangularesSistema de coordenadas cilındricas
Sistema de coordenadas esfericas
Sistema de coordenadas retangulares
O sistema de coordenadas tri-dimensional retangular apresentauma origem O e tres eixos que orientam o sistema, descritos porx, y e z, como a seguir
Figura: Eixos e sistema de coordenadas retangular
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Sistema de coordenadas retangulares
Cada ponto P = (a, b, c) ∈ R3 possui sua representacao nestesistema segundo a figura a seguir:
Figura: Representacao de um ponto em R3
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Sistema de coordenadas retangulares
Figura: Planos coordenados
No plano xy =⇒ z = 0
No plano xz =⇒ y = 0
No plano yz =⇒ x = 0
Alem disto:
No eixo x=⇒ y = 0 ∧ z = 0
No eixo y=⇒ x = 0 ∧ z = 0
No eixo z=⇒ x = 0 ∧ y = 0
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Superfıcies cilındricas no sistema retangular cartesiano
Uma equacao que contem somente duas das tres variaveis x, y ez representa um cilindro. A superfıcie pode ser obtidafazendo-se o grafico da curva no espaco das duas variaveis queaparecem e transladando paralelamente na direcao do eixo davariavel faltante.
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Exemplo
Esboce o grafico em R3 de
x2 + z2 = 1 z = sin y
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Sistema de coordenadas esfericas
Sistema de coordenadas retangulares
0
1
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
xy
z
Figura: Cilindro x2 + z2 = 1
−20
2
0 2 4 6
−1
0
1
xy
z
Figura: Calha senoidal z = sin y
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Sistema de coordenadas retangulares
Exemplo
O que representam as equacoes no R3 dadas por:
z = 3
y = 5
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1 ∧ z = 3
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Sistema de coordenadas esfericas
Sistema de coordenadas retangulares
−20
2
−2 −1 0 1 2
2.5
3
3.5
xy
z
Figura: Plano z = 3
−2
0
24.5 5 5.5 6
−2
0
2
xy
z
Figura: Plano y = 5
0
1−0.5 0 0.5
−2
0
2
xy
z
Figura: Cilindro de raio 1
0
1−0.5 0 0.5
2.5
3
3.5
xy
z
Figura: Circunferencia noespaco
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Sistema de coordenadas retangulares
Formula de distancia entre dois pontos em R3
A distancia entre os pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) edada por
d(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
Exemplo
Determine uma equacao para o lugar geometrico de todos ospontos do espaco que distam 2 unidades do ponto (1,−1, 2).
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Equacao da esfera
Uma esfera de raio r e centro em P0 = (x0, y0, z0) possui aseguinte equacao no sistema cartesiano xyz:
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.
Exemplo
Determine o centro e o raio da esfera de equacao cartesiana
x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 8z + 17 = 0.
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Sistema de coordenadas cilındricas
Representacao
No sistema de coordenadas cilındricas, qualquer ponto possui ascoordenadas (r, θ, z), sendo r a distancia da projecao do pontono plano xy a origem, θ o angulo que esta projecao faz com oeixo x e z a altura do referido ponto.
Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas cilındricas
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Sistema de coordenadas cilındricas
No sistema carteziano retangular, as equacoes na forma x = x0,y = y0 e z = z0, determinam planos paralelos aos eixoscoordenados, como a seguir:
Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas cilındricas
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Sistema de coordenadas cilındricas
No sistema de coordenadas cilındrico, as equacoes na formar = r0, θ = θ0 e z = z0, determinam, respectivamente, umacircunferencia de raio r0, um plano passando pelo eixo z comangulo de θ0 com o eixo x e um plano horizontal de altura z0
Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas cilındricas
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Sistema de coordenadas cilındricas
Conversao de coordenadas
(x, y, z) 7−→ (r, θ, z) use
r =√x2 + y2, θ = arctan
y
x, z = z,
(r, θ, z) 7−→ (x, y, z) use
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
com 0 ≤ θ < 2π e r ≥ 0.
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Sistema de coordenadas cilındricas
Exemplo
Determine as coordenadas retangulares do ponto decoordenadas cilındricas
(r, θ, z) = (4, π/3,−3)
Exemplo
Determine duas maneiras de representar o ponto decoordenadas cartesianas (3,−3, 7) em coordenadas cilındricas.
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Equacoes de superfıcies em coordenadas cilındricas
Escreva as equacoes em R3 a seguir em coordenadas cilındricas.
z =√x2 + y2
x2 + y2 = 1
x2 + y2 + z2 = 1
z = x2 + y2
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Representacao
No sistema de coordenadas esfericas, qualquer ponto possui ascoordenadas (ρ, θ, φ), sendo ρ a distancia do ponto a origem, θ oangulo que a projecao do ponto no plano xy faz com o eixo x eφ o angulo que a projecao do ponto faz com o eixo z.
Figura: Representacao de pontos no sistema de coordenadas esfericas
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Sistema de coordenadas esfericas
Sistema de coordenadas esfericas
A superfıcie ρ = ρ0 consiste de todos os pontos cuja distancia ρe fixa. Isto sera uma esfera de raio ρ0.
Figura: Representacao dos pontos ρ = ρ0
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A superfıcie θ = θ0 e um plano que contem o eixo z e faz umangulo θ0 com o eixo x
Figura: Representacao dos pontos θ = θ0
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Sistema de coordenadas esfericas
A superfıcie φ = φ0 consiste de todos os pontos cujo angulo como eixo z e φ0. Isso e um cone com vertice na origem.
Figura: Representacao dos pontos φ = φ0
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Figura: Coordenadas esfericas
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Sistema de coordenadas esfericas
Conversao de coordenadas entre retangulares e esfericas
(ρ, θ, φ) 7−→ (x, y, z) use
x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ
(x, y, z) 7−→ (ρ, θ, φ) use
ρ =√x2 + y2 + z2, θ = arctan
y
x, φ = arccos
z√x2 + y2 + z2
com 0 ≤ θ < 2π, r ≥ 0 e 0 ≤ φ < π.
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Sistema de coordenadas esfericas
Sistema de coordenadas esfericas
Conversao de coordenadas entre cilındricas e esfericas
(r, θ, z) 7−→ (ρ, θ, φ) use
ρ =√r2 + z2, θ = θ, φ = arctan
r
z
(ρ, θ, φ) 7−→ (r, θ, z) use
r = ρ sinφ, θ = θ, z = ρ cosφ
com 0 ≤ θ < 2π, ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ < π.
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Exemplo
Determine as coordenadas retangulares e cilındricas do ponto(ρ, θ, φ) = (2, 4π/3, π/4)
Exemplo
Determine as coordenadas esfericas do ponto de coordenadasretangulares (4,−4, 4
√6)
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Equacoes de superfıcies em coordenadas esfericas
Escreva as equacoes em R3 a seguir em coordenadas esfericas.
z =√x2 + y2
x2 + y2 = 1
x2 + y2 + z2 = 1
z = x2 + y2
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