Geometría de Proporción

Prof: Isaías Correa M.

Geometría de Proporción I

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Identificar triángulos congruentes y semejantes.

• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.

• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.

• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.

1. Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definición

1.2 Triángulos Congruentes

3.1 Definición

3.2 Triángulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes

3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homólogos

3.4 Razón entre áreas y perímetros

3.5 Postulados de semejanza

4.1 División Interior

4.2 División Exterior

4.3 División Armónica

4. División de un segmento

4.4 Sección áurea o Divina

1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

A

C

B D

F

E

1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

5

3

5

3

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

1212

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo:

El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4 Área = 4

3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definición

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G

F

J

I

H

A

E

D

C

B

1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y

2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

A

E

D

C

B

G

F

J

I

H

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.

3.2 Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k

5

3

15

94

12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homólogo a DE

BC es homólogo a EF

AC es homólogo a DF ABDE

BCEF

ACDF

13

= = = = k

P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 5 10

= 36

= 48

= 12

Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).

= k

PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hC

hR

Además, =hC

hR

2,4

4,8=

1

2= k

Recuerda: Teorema de Euclides

hC = a · bc

• Entre los PerímetrosEntre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros

Ejemplo: Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC

PPQR

=12

24

=1

2

= k

• Entre las ÁreasEntre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:

Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k 5

10= 1

2

AABC

APQR

= 6

24

=1

4

= k2

3.5 Postulados de semejanza

1° Postulado AA.

• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

ABDF

BCFE

ACDE

= = = kAdemás

Δ ABC ~ Δ DFE por AA

2° Postulado LLL.

• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

Δ ABC ~ Δ FDE por LLL

A B

C

E

F

D

ABFD

BCDE

ACFE

12

= = = = k

Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

3° Postulado LAL.

• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Δ ABC ~ Δ FED por LAL

Además BAC=DFE y CBA=FED

BCED

412

515

13

= = = kACFD

=

Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

4 10

Q

R

P

6

Solución:

10QR

46

= 60 = 4∙QR 15 = QR

Es decir:

ABPR

10QR

46

= =

Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:

ABPR

CBQR

ACPQ

= = = k Con k razón de semejanza

4º Postulado: LLA>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.

Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>

B

C

D E

FEjemplo:

A

Razón de semejanza: 1 : 2

4. División de un segmento4.1 División interior

CA B

Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB

= m n

Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

QA B

45

AQQB

= 35

Solución:

AQ45

= 35

AQ =3∙45

5

AQ = 27

27

Por lo tanto, AB mide 72

4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD

= m n

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

ADBD

= 52

20BD

= 52 BD =

20∙2

5

BD = 8

BA D812

20Solución:

4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

Ejemplo:

m

ACCB

= = nADBD

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12

Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:

4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX

= AX BX

ó (AX)2 = AB∙BX

En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?

5

OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ

Solución:

(AP)2 = (AP + 5)∙5

(AP)2 = 5∙AP + 25

(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0

5

PA B

(AP)2 = AB∙PB

Geometría de Geometría de Proporción IIProporción II

APRENDIZAJES ESPERADOS:APRENDIZAJES ESPERADOS:

• Conocer el teorema de Apolonio.

• Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides.

• Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.

Segmentos proporcionales

Contenidos

2. Teorema de Euclides

1. Teorema de Apolonio

3. Teorema de Thales

Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz)

b

u

a

v

=

b

vu

a

D

Este teorema es válido para cualquier triángulo.

En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción:

D

9

5

10

Solución:

Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene:

9

AD

10

5

= AD = 9

2

Ejemplo:

En la figura, determinar el valor de AD.

2. Teorema de Euclides

Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:

Además, se cumple que:

∙hc2 = p q

a2 = c q ∙

b2 = c p ∙

hc = a·b c

T. De la Bendición

T. De la Derecha

T. De la Izquierda

T. De la Altura

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:

Ejemplo:

Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición)

CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)

CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)

CD = 4 3∙

CD = 2 3

Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que:

AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)

(Aplicando raíz)

AC = 2 7

AC2 = 7 4 ∙

2 7

2 3

C

D

F

E

A

B

L1

L2

L3

3. Teorema de Thales

Sean L1 // L2 // L3, entonces:

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:

ABBC

DEEF

= BCAC

EFDF

= ABAC

DEDF

=

a) Forma de Escalera:

b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:

Sean L1 // L2, entonces:

A

O

C

DB

L1

L2

OAAB

OCCD

= OAOB

OCOD

=

OAAC

OBBD

= OCAC

ODBD

=

ABOB

CDOD

=

OAOB

ACBD

= OCOD

ACBD

=

Sean L1 // L2, entonces:

L1

L2

A

C

B

O

D

AOOD

BOOC

= ABCD

AOOD

= ABCD

BOOC

=

c) Forma de Reloj de Arena:

Ejemplos:

1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.

A

O

C

DB

L1

L2

5

7

36

Solución:

Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»:

OAAC

OBBD

= 5 AC

1236

= AC = 15

2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y.

Solución:Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales:

L1

L2

A

C

B

O

D

x + y

2y

2x

ABCD

AOOD

= x+y 2x

2yOD

= 4xyx+y

OD =

Ahora a estudiar….