7/25/2019 GEOMETRIA DESCRIPTIVA. Conceptos basicos
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Repblica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnologa Antonio Jos de Sucre
Ncleo araca!
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Autores"
Ro#ero $ouglas %&I" '(&)(*)+'
Sanguino $aniel %&I" ',&-++&-..
Tutor"
$aniel artnez
araca!/ Novie#bre de .-',
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Introduccin
0ara la construcci1n de 2iguras planas ! solidas3 es pertinente conocer de
#anera detallada las caractersticas ! aspectos 4ue puedan 2acilitar su correcta
e5ecuci1n para el logro de ob5etivos3 !a sea con 2ines educativos o a nivel
pro2esional& Ade#6s de esto/ ta#bin se puntualizan de2iniciones asociadas a la
topogra2a 4ue buscan a#pliar los conoci#ientos ante las curiosidades del lector&
7n este orden de ideas/ el desarrollo a pro2undidad de este contenido de
#anera detallada ser6 el prop1sito principal de la presente investigaci1n&
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1.- El Espacio
7s el con5unto universo de la geo#etra/ siendo divisible/ ili#itado !
continuo3 en l se encuentran todos los de#6s ele#entos co#o puntos/ rectas
entres otros ! ade#6s se pueden deter#inar cuerpos geo#tricos dentro del
#is#o&
Su s#bolo es"
.&8 Las R!ions dl Espacio
7l Siste#a $idrico co#o base de la 9eo#etra $escriptiva se 2unda#enta
en resolver los proble#as espaciales/ ba5o este siste#a3 el espacio 4ueda dividido
en cuatro partes iguales/ por #edio de dos planos perpendiculares entre s/
lla#ados plano de pro!ecci1n V7RTI%A: ! plano de pro!ecci1n ;
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$e #odo 4ue el espacio debido a estos dos planos 4ueda dividido en
cuatro partes iguales/ cada una de las cuales recibe el no#bre de $I7$R< 1
%UA$RANT7&
Ade#6s de estos dos planos e@isten otros dos/ no #enos i#portantes/ 4ue
dividen los diedros #encionados en dos partes iguales& 7stos planos 2or#an ),
con los planos de pro!ecci1n ! se cortan entre ellos ! a los planos de pro!ecci1n
en la :T& $e este #odo nuestro siste#a 4ueda dividido en oco partes iguales a
las 4ue lla#are#os
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7n ocasiones/ es necesario realizar una tercera vista o pro!ecci1n del
ele#ento 4ue esta#os representando para su total de2inici1n ! co#prensi1n/ esta
pro!ecci1n se realiza sobre un tercer plano de pro!ecci1n deno#inado plano de07RCI:
&
D&8 Rprsntacin d un punto u"icado n las di#rnts r!ions dl
spacio
7l punto es la unidad #6s ele#ental 4ue se puede representar& Un punto
4ueda de2inido por su pro!ecci1n vertical >es decir/ la pro!ecci1n espacial sobre el
0V? ! su pro!ecci1n orizontal >la pro!ecci1n del punto sobre el 0;?& :a
pro!ecci1n vertical se deno#ina co#n#ente con una letra #inscula #6s un
ap1stro2e >aE?/ #ientras 4ue la orizontal se designa con la #is#a letra #inscula
sin ap1stro2e >a?& Un punto puede estar situado en cual4uiera de los ) %uadrantes
! eso deter#inar6 su representaci1n en $idrico& 7n el siguiente gr62ico se
especi2icar6 el punto en los ) cuadrantes&
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7l gr62ico presentado anterior#ente puede interpretarse de la siguiente
2or#a"
'& 7l punto A >representado por aE8a? est6 situado en el 'er %uadrante/ por4ue
su pro!ecci1n vertical est6 por enci#a de la :T ! su pro!ecci1n orizontal por
deba5o ella&
.& 7l punto B >bE8b? tiene a#bas pro!ecciones por enci#a de la :T/ por lo 4ue
se sita en el . %uadrante&
D& % >cE8c? se encuentra en el Der cuadrante/ !a 4ue la pro!ecci1n vertical se
encuentra por deba5o de la :T ! la pro!ecci1n orizontal por enci#a de la #is#a&
)& 0or lti#o/ el punto $ >dE8d? est6 en el ) %uadrante/ lo 4ue es identi2icable
gracias a 4ue a#bas pro!ecciones se encuentran por deba5o de la :T&
D&'8Truco para ntndr la rprsntacin n $ di%nsions.
7s #u! i#portante 2i5arte en la no#enclatura/ por4ue/ co#o ves/ no
representa lo #is#o la pro!ecci1n vertical de un punto sobre la :nea de Tierra
4ue ba5o ella&
0ara 4ue entiendas c1#o 2unciona el siste#a/ te puedes i#aginar 4ue el
0lano ;orizontal del 0ro!ecci1n se abate sobre el Vertical/ usando la :nea de
Tierra co#o e5e de giro& 7n ese caso/ tu plano de traba5o es el 0V&
7s lo 4ue en la perspectiva e representado co#o arcos de circun2erencia
con 2leca&
C5ate en ese caso 4ue/ abatiendo el 0; sobre el 0V/ la pro!ecci1n
orizontal del punto $ >d? 4uedar6 representada en $idrico por deba5o de la :T !/
a su vez/ la pro!ecci1n vertical dE ta#bin
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D&.&8 Cota & Al'a%into
:a posici1n de un punto con respecto a los planos de pro!ecci1n se puede
de2inir atendiendo a estos dos valores"
Cota" 7s la distancia desde el punto asta el plano orizontal de pro!ecci1n >0;?
Ser6 positiva si se encuentra por enci#a del 0;&
Ser6 negativa si se encuentra por deba5o del 0;&
Al'a%into" 7s la distancia desde el punto asta el plano vertical de pro!ecci1n
>0V?&
Ser6 positiva si se encuentra por delante del 0V&
Ser6 negativa si se encuentra por detr6s del 0V&
0or e5e#plo/ un punto situado en el 'er cuadrante tiene tanto la cota co#o
el ale5a#iento positivos& 7n ca#bio/ un punto situado en el ) cuadrante tiene la
cota negativa ! el ale5a#iento positivo&
D&D&8 ()u* pasa cuando la cota o l al'a%into son +,
7n este caso se dar6n con unos puntos singulares en el espacio& Son
puntos contenidos en los planos de pro!ecci1n&
Si la cota es -/ el punto est6 contenido en el 0; Si el ale5a#iento es -/ el punto est6 contenido en el 0V
0or tanto/ si tanto la cota co#o el ale5a#iento son -/ el punto est6 en
a#bos planos 0; ! 0V& Signi2icando esto 4ue el punto pertenece a la :nea de
tierra&
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7l siguiente e5e#plo lo e@plicara 26cil#ente"
7s i#portante observar ! entender 4ue si se trata de pro!ecci1n vertical
>con F? o de pro!ecci1n orizontal >sin F?/ se ace necesario e@plicar lo siguiente"
7l punto 7 tiene ale5a#iento positivo >por4ue se sita por delante del 0V? !
cota -&
C tiene ale5a#iento - ! cota positiva/ por4ue est6 situado por enci#a del
0;&
9 tiene ale5a#iento - ! cota negativa/ por4ue se encuentra por deba5o del
0;&
; tiene ale5a#iento negativo >por4ue est6 situado detr6s del 0V? ! cota -&
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0or lti#o/ el punto J tiene cota ! ale5a#iento igual a -/ por lo 4ue est6
contenido en la :nea de Tierra&
)&8 Al#a"to dl punto Posicin
7l al2abeto del punto es la representaci1n del punto en las distintas
posiciones 4ue puede ocupar en el espacio respecto a los planos de pro!ecci1n !
a los planos bisectores& :os planos bisectores son los 4ue dividen los cuadrantes
en dos diedros iguales& %on los bisectores/ el siste#a 4ueda dividido en oco
octantes/ esta e@plicaci1n ser6 especi2icada en la siguiente gr62ica"
:os puntos contenidos en los planos bisectores e4uidistan de los planos de
pro!ecci1n/ por lo 4ue tendr6n la #is#a cota 4ue ale5a#iento& Si son del #is#o
signo/ las pro!ecciones del punto e4uidistan de la :T3 ! si son de distinto signo/
stas 4uedar6n superpuestas tal co#o lo e@presa la 2igura anterior&
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0ara representar las diecisiete posiciones del punto en el siste#a didrico/
pode#os a!udarnos del es4ue#a de la 2ig& '-/ donde se puede observar
clara#ente los valores de las cotas ! ale5a#ientos del punto& 0or e5e#plo/ elpunto A>a8aG? tiene ale5a#iento positivo >a por deba5o de :T? por estar por delante
del plano vertical ! cota nula >aG en :T? por encontrarse en el orizontal&
Siguiendo este procedi#iento puede representar las de#6s posiciones de
la siguiente 2or#a"
/.1.- Caractr0sticas dl punto.
7l punto se suele utilizar una pe4ueHa cruz >?/ crculo >o?/ cuadrado o
tri6ngulo& 7n relaci1n a otras 2iguras/ suelen representarse con un pe4ueHo
seg#ento perpendicular cuando pertenece a una recta/ se#irrecta o
seg#ento&
A los puntos se les suele no#brar con una letra #a!scula" A/ B/ %/ etc& >alas rectas con letras #insculas/ ! a los 6ngulos con letras griegas?&
:a 2or#a de representar un punto #ediante dos seg#entos 4ue se cortan
>una pe4ueHa cruzK ? presupone 4ue el punto es la intersecci1n& %uando
se representa con un pe4ueHo crculo/ circun2erencia/ u otra 2igura
geo#trica/ presupone 4ue el punto es su centro&
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$ados tres o #6s puntos en el plano o en el espacio >segn
corresponda?/se pueden dividir en con5untos 4ue cu#plan o no con las
siguientes condiciones& %olineales" son a4uellos contenidos en una recta&
%oplanarios" Son los 4ue est6n contenidos en un #is#o plano&
L&8 Rcta
7s a4uella 4ue solo posee una di#ensi1n ! contiene in2initos puntos/
puesto 4ue est6 co#puesta por in2initos seg#entos/ asi#is#o/ suele ser descrita
co#o una sucesi1n continua e inde2inida de puntos en una sola di#ensi1n ! 4ue
no presenta ni un principio ni un 2in&
75e#plo de una recta"
L&'8 Caractr0sticas
:a recta se prolonga inde2inida#ente en a#bos sentidos&
7n geo#etra euclidiana/ la distancia #6s corta entre dos puntos es la lnea
recta&
:a recta puede de2inirse co#o el con5unto de puntos situados a lo largo de
la intersecci1n de dos planos&
L&.8 Posicions d la Rcta
Rcta ori2ontal
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7s una recta paralela al plano orizontal de pro!ecci1n3 por lo tanto/ se
pro!ecta sobre este plano en verdadero ta#aHo3 su pro!ecci1n vertical es
paralela a la lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen igual cota >=Mcte&?/ !
por lo tanto 2or#a un 6ngulo de cero grados con el plano orizontal de pro!ecci1n
>aoM--?&
Rcta Contnida n l Plano ori2ontal d Pro&ccin
7s un caso particular del anterior& Su pro!ecci1n vertical coincide con lalnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen cota igual a cero >=M-?&
Rcta 3rontal
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7s una recta paralela al plano vertical de pro!ecci1n3 por lo tanto/ se
pro!ecta sobre este plano en verdadero ta#aHo3 su pro!ecci1n orizontal es
paralela a la lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen igual vuelo >Mcte&?/ !
por lo tanto 2or#a un 6ngulo de cero grados con el plano vertical de pro!ecci1n
>boM--?&
Rcta Contnida n l Plano Vrtical d Pro&ccin
7s un caso particular del anterior& Su pro!ecci1n orizontal coincide con la
lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen vuelo igual a cero >M-?&
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Rcta Paralla a la L0na d Tirra
7s una recta paralela si#ult6nea#ente a los planos vertical ! orizontal de
pro!ecci1n3 por lo tanto/ es una recta orizontal ! 2rontal/ ! en consecuencia tiene
las propiedades de a#bas3 es decir/ su cota es constante >=Mcte? ! su vuelo
ta#bin >Mcte?& Sus pro!ecciones orizontal ! vertical son paralelas a lnea de
tierra3 est6n en verdadero ta#aHo3 ! 2or#an 6ngulos de cero grados con los
planos vertical ! orizontal de pro!ecci1n >aoMboM--?&
Rcta Contnida n la L0na d Tirra
7s un caso particular del anterior& Sus pro!ecciones est6n contenidas en
lnea de tierra&
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Rcta Vrtical
7s una recta perpendicular al plano orizontal de pro!ecci1n3 por lo tanto/
su pro!ecci1n orizontal es un punto/ ! su pro!ecci1n vertical se observa en
verdadero ta#aHo ! perpendicular a lnea de tierra3 2or#a 6ngulos de noventa
grados con el plano orizontal de pro!ecci1n >aoM*--? ! cero grados con el plano
vertical de pro!ecci1n >boM--?&
Rcta d Punta
7s una recta perpendicular al plano vertical de pro!ecci1n3 por lo tanto/ su
pro!ecci1n vertical es un punto/ ! su pro!ecci1n orizontal se observa en
verdadero ta#aHo ! perpendicular a lnea de tierra3 2or#a 6ngulos de cero grados
con el plano orizontal de pro!ecci1n >aoM--? ! noventa grados con el planovertical de pro!ecci1n >boM*--?&
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Rcta d Pr#il
7s una recta perpendicular a la lnea de tierra >paralela al plano lateral?3 sus
pro!ecciones son perpendiculares a lnea de tierra& Su verdadero ta#aHo/ as
co#o los 6ngulos 4ue 2or#a con los planos principales de pro!ecci1n/ pueden
deter#inarse en una pro!ecci1n lateral de la #is#a&
+&8 Tra2as d una rcta
:a traza o >intersecci1n? es el punto de penetraci1n de una recta en un
plano de pro!ecci1n ta#bin se deno#ina puntos trazas o puntos notables de la
recta&
0ara 4ue un punto >co#o el punto traza? pertenezca a la recta debe tener su
pro!ecci1n sobre la pro!ecci1n de la recta
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4.1- Tra2a Vrtical
Se deter#ina con la intersecci1n de la pro!ecci1n orizontal con la lnea de
tierra encontrando el punto V >VM-? donde corta con la pro!ecci1n vertical&
4.5- Tra2a ori2ontal
Se deter#ina con la intersecci1n de la pro!ecci1n vertical con la lnea de
tierra encontrando el punto ; >;vM-? donde corta con la pro!ecci1n orizontal&
75e#plo"
Se dibu5a una recta dada por dos puntos" A/B&
(&8 An!ulo 6u #or%a una rcta con los planos d pro&ccin
0ara lograr este 6ngulo se puede realizar ba5o . procedi#ientos 4ue son
los siguientes"
(&'8 1r %*todo7 %diant a"ati%into"
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0ara calcular el 6ngulo 4ue una recta R 2or#a con los planos de pro!ecci1n
debe abatirse sobre a#bos planos&
7n el abati#iento sobre el plano orizontal de pro!ecci1n se apreciar6 en
verdadera #agnitud el 6ngulo O 4ue 2or#a con este plano ! abatiendo sobre el
plano vertical de pro!ecci1n se observa el 6ngulo a 4ue la recta R 2or#a con l&
:a siguiente i#agen rele5a el c6lculo de este 6ngulo"
(&.8 58 %*todo7 %diant !iros"
Se to#an . e5es de giro/ el pri#ero 7' vertical ! conteniendo a la traza
vertical de la recta vEr 4ue se giran asta acerla coincidir con el plano vertical de
pro!ecci1n para apreciar en verdadera #agnitud el 6ngulo O 4ue la recta 2or#a
con el plano orizontal de pro!ecci1n& 7l segundo e5e de giro 7. ser6 de punta !
coincidente con la traza orizontal r de la recta R 4ue se girar6 asta acerla
coincidir con el plano orizontal de pro!ecci1n de #odo 4ue se pueda apreciar el
6ngulo P 4ue la recta 2or#a con el plano vertical de pro!ecci1n/ la siguiente
i#agen especi2ica lo antes e@puesto"
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9.- Vrdadro ta%a:o & ;rdadra %a!nitud d la rcta
7s la pro!ecci1n en cual4uiera de los tres planos >orizontal/ vertical o
lateral?/ en donde la recta se ve de la #is#a longitud/ direcci1n ! sentido 4ue en
el espacio& 0ara 4ue esta condici1n se d/ la recta debe estar colocada en el
espacio paralela al plano de pro!ecci1n en el cual se ve en verdadero ta#aHo
>VT?&
%uando una recta es al #enos paralela a uno de los planos de pro!ecci1n/
su distancia se puede ser deter#inada en la pro!ecci1n de la recta del plano al
4ue es paralela&
%uando una recta es oblicua/ su pro!ecci1n sobre los planos se acorta/ por
ende estas pro!ecciones no se encuentran en verdadera #agnitud& 0or ello/
e@isten di2erentes #todos para deter#inar su verdadera distancia en el espacio&
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%onsiste en dibu5ar el tri6ngulo 4ue se genera en el espacio/ resultante de
la intersecci1n de la recta en el espacio con su pro!ecci1n& 7ste tri6ngulo se
dibu5a en cual4uiera de las pro!ecciones 4ue arro5a la recta&
9.1-Mdir distancias d la rcta.
%uando una recta es al #enos paralela a uno de los planos de pro!ecci1n/
la distancia de cual4uier punto ubicada sobre esta/ puede ser deter#inada en la
pro!ecci1n de la recta del plano de pro!ecci1n al 4ue es paralela
%uando una recta es oblicua/ 2i5a#os un seg#ento conocido >co#o AB? !
deter#ina#os su verdadera #agnitud >AvBaQ? sobre el verdadero ta#aHo
#edi#os la distancia 4ue se desea conocer/ esta distancia corresponder6
proporcional#ente a la relaci1n entre la pro!ecci1n ! verdadera #agnitud
75e#plo" edir sobre el seg#ento AB/ desde A una distancia d>A%?&
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Conclusiones
:uego de lo antes desarrollado en esta investigaci1n es i#portante acer
n2asis en lo i#portante 4ue son los siste#as de representaci1n para recrear
ob5etos en un plano bidi#ensional/ utilizado en di2erentes 6#bitos de la
educaci1n/ la ar4uitectura ! asta la ingeniera con la 2inalidad de buscar
soluciones ! a la vez acer aportes pertinentes en sus 6reas de estudio&
%abe agregar 4ue al e5ecutar cual4uier actividad 4ue bus4ue la pro!ecci1n
de 2iguras en un espacio dividido en ) cuadrantes/ es necesario el uso del punto
co#o re2erencia para el trazado de rectas3 estas pueden ocupar distintas
posiciones ! se pueden intersectar unas con otras !a sea de #anera vertical u
orizontal/ ade#6s pueden 2or#ar diversos 6ngulos al unirse con los planos de
pro!ecci1n asta lograr cual4uier cuerpo geo#trico o piezas espec2icas con
diversas vistas/ todo depender6 del estudio 4ue se realice ! el ob5etivo 4ue se
4uiera alcanzar utilizando los ele#entos !a #encionados&
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Referencias Electrnicas
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Consultado el 30 de Septiebre de 201! en "ttps#$$boo%s.google.&o.'e$boo%s
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i/nez. (2011). Sistema Didrico[Libro en Lnea]. Consultado el 30 de Septiebre de
201! en#"ttps#$$boo%s.google.&o.'e$boo%sisbn*+*31,-+!
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5isponible en# 66.u&la.edu.'e$d&i'il$...$7eoetr8a9205es&ripti'a920esusaez.ppt
:ellan. L (2003). Geometra Descriptiva [Libro en Lnea]. Consultado el 2 de
Septiebre de 201! en# "ttps#$$boo%s.google.&o.'e$boo%sisbn*+21!000
https://books.google.co.ve/books?isbn=8429150900https://books.google.co.ve/books?isbn=8429150900