Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a ladefinicin Epsiln-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Nota: los teoremas se presentan sin demostracin, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vnculocorrespondiente.
Teorema de irnitel:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonceslim k = k
Teorema de lmite2:Para cualquier nmero dado a,lim x = a
> a
Teorema de lmite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonceslim(mx +b) = a + bx-92
Teorema de lmite4:Si lim f (x) = L y hm g(x) = M, entonces
(1) lim [f(x) g(x)], L r .x>a
(ll) li m>a [
f (x) g(x)] =- Lx
X)1 L(JI) 1 im =
x->a g(x)
(IV) lim [cf(x)] = kL, k es una constante
e 0 4-
-a ,5
Teorema (le Irnite5:Si li
-->amf(x) = L y n es un entero p ositiv.o, entonces
im [f(x)rl-->a
= [hm f (x)];sa x
Teorema de lmite6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonceslim f(x) = f (a)
x-->
Teorema de lmite7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entoncesli rn q(x) = q (a ))1--)a
Teorema de lrnite8:Si limf(x) = L y n es un entero positivo, entonces
x--->a
lim Vf(x) = f(x) j=x->a
411. osG
3x2 - 8x -1617. lim'44 2X2 - 9x + 4
41 54.1irri;e-13 5x - 1 16. lim
4x2 -92 2x + 3
x + 2
x
10.1im + 1 -11 x-90
1 1.1im 2x3 X3 + 85x2 - 2x -3 12. lim
"43 4x3 -13x2 + 4x 3 '1-43 x4 - 16
15.1imx--91
2c38. hm 8X --*-2 x + 2
Procedimiento para calcular lmites -Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el, lmite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquierpolinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que nosrefiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuandocalculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a unafuncn racional y la propiedad 4 (111) tambin.
Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es posiblecalcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la fdtrnula de la funcin de tal modoque, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la divisin por cero: plograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, laconjugada, etc.
Ejercicios resueltosEvalu los, siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
,cada paso:- - -
1.1im 77x-43
2. lil-r+15(3x - 7). _ .
3. lim-42 (x2
+ 2x -1)
e 'o .Cr - 6 o 0 4 -r2-170'
SolucionesSolucin
De acuerdo con el Te...oren-1.a fe 1lin], 77 = 77
Solucin:1(x) = 3x -7: tiene la forma mx + b; por lo que aplicamos el Teorema de lmite3
lim (3x - 7) = 3(5) 7 = 15 - 7;x-45
lim.C.3.7,7 7) = 8.
Solucin:J(x) = x2 + 2x -1: funcin polinomial'
(2) = 2 2 + 2(2) -1 = 7;
por lo tanto, segn el Teorema de limite6:
lim(x $ 4-.27: 1) 7.
Solucin:
lim 8x + 1 x +3
lizas x + 3[8x+1] 151, (8x +1) /8(1) + 1
lim(x + 3) AI 1+3
(x2 - 2x + 4)= lim (x2 - 2x +4) = (-2) 2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4;
x-->
f(x) = 4x -5x-1' 3 e
dornf , y f es una funcin racional
4(3) - 5 7 15(3) -1 14 2-
por lo tanto, aplicando el Teorema de 1itnite7, se concluye que
11211 y =1.3 X - 2
Solucin:Aplicando consecutivamente las propiedades TL8, TL7 y T13, se obtiene:ene:
Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente ellmite aplicando el TL1:
hm.x .--->-3/ 24x2 9 . m
= h(2x - (2x + 3)
= h m (2x 3) -= 2[-x-}--312 2
3 = -3 - 3;2x + 3 (2x 3)
Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7 12u,es se obtendra la forma indetrninda
`0/0; as obstante; Niego che factorizar 5/`'-simplificar la expresin se obtiene fcilmente ellmite aplicando el TL7 o el TL4(III):
3x2 -8x -16hm = limx-44 2x.2 - 9x + 4 '44
6 16
x2 - + 4
(3x +4) = litn 3x + 4 3(4) +4
12+4(2x -1) A-"I 2x -1 = 2(4) -1 8 -1
Solucin:Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la formaindeterminada 0/0;por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer usodel TL6:
3 8, t:x += iimx 2
;1- 3 +hm 12.
--2
9. Solucin:
3rx---F1-14(x+1)3 + 3 2F7-1+1
4(x+1) 2 + 1571-
1
'5V(x+1) 2 +.3jx+1+1y_
I 11 in...
-.57.7 + -
12. Solucin:3
+ ,J5lim x limx--) .-2 x4 - 16 x-4-2
2 - 2x + 4)
(x - 2)(212 + 4) = x11-1122 (x 2)(x2 + 4x2 - 2x + 4
v-40
0*,
011)
0O
0
40e0e011
e
-c1-
N1N111
1
5
1
o 4 40. -(2x + x + = lim 2x2 + x + 1(4x2 - x+1) x-3 4x2 x +1'
No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; noobstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominadorpor laconjugada de la expresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, sepuede aplicar el TL para hallar el lmite:
+ -lux} 1
.im
- -4- 2 -= limx--)o lim+ 2 + x-5 x +2 + 2 -15 . 1 11zi--3om - 1Al-4mo Ix"7-"4. 2' 4. ,fi .1-672* 4, ig
1 i m;4-
Solucin:Luego de la transformacin de la expresin se aplican los TL7 y TL8:
Vx +1-1 = limhm x->0 x->a
hm 3 2,\117-71 1 1
x-30 x (0+1)2 /0+1 +1
1 ir.0-72
4") V.01,''DZtSSolucin:
El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada 0/0; noobstante, una vez factorizando y simplificando, la expresin queda expedita para hallarel lmite mediante los IL7 y TU: , o
la 2x -5x2 - 2x- 3 lim
x-43 4 x3 * 13x2 + 4x - 3 .13
lim 2X3 5x2 - 2x -3 2(3)2 +3+1.x->3 -13x2 + 4x- 3 4(3) 2 - 3+
limX +8 (-2) 2 2(-2) + 4 4 + 4 + 4 12=
x-->-2 x4 -16 (-2 2)((-2)2 + 4) -4(8) 32
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