METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 1
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METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para encontrar la solucin de la Ecuacion diferencial de orden n definida por
Donde los son constantes y f(x) es un funcin diferente de la funcin
constante cero. Se deben realizar dos procesos.
1) Buscar la solucin de la Ecuacion diferencial homognea o complementaria,
denotada por
2) Encontrar una solucin particular de la ecuacin diferencial dada , denotada
por
Siendo la solucin general de la ecuacin diferencial de la forma: .
Ahora, la funcin f(x) puede ser cualquiera de las siguientes funciones:
a) Una funcin constante, es decir f(x) = K
ejemplo : f(x) = 3 ; f(x) = 7 ; f(x) = 1
b) una funcin polinomial, es decir
c) una funcin exponencial,
d) funciones senos o cosenos
e) o una combinacin finita de sumas y productos de estas funciones, es decir
; ; (
) entre otras.
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Para determinar la forma de la solucin particular se debe identificar el tipo de
funcin como esta definida f(x) en la ecuacin diferencial que se desea
desarrollar y tomar tienen en cuanta las siguientes casos.
CASI. 1 CUANDO LA EXPRESION f(x) TIENE LA FORMA DE UN POLINOMIO.
Al resolver la ecuacin diferencial
Si f(x) tiene la forma de un polinomio de grado n, la solucin particular tiene la
forma tiene la forma de un polinomio del mismo grado .
EJEMPLO. SOLUCIONAR LA SIGUIENTE ECUACION DIFERENCIAL
,
Se encuentra primero la solucin de la ecuacin homognea, es decir
Cuya ecuacin caracterstica es: la cual tiene como races los
nmeros , siendo la solucin de la ecuacin:
Ahora, buscamos la solucin particular. Para ello se debe tener presente que
como la funcin , la forma -
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solucin
particular tantas veces como lo indique la ecuacin diferencial, luego
realizamos una sustitucin en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solucin particular, as
Luego,
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De donde
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial dada es:
NOTA. Si en la ecuacin diferencial carece del termino correspondiente a la
variable dependiente ( ) y la forma de f(x) es de una funcin polinomica ,
la solucin particular toma la forma donde P(x) es un polinomio del
mismo grado que f(x).
Ejemplo.
1) ,
Se encuentra primero la solucin de la ecuacin homognea, es decir
Cuya ecuacin caracterstica es: la cual tiene como races los
nmeros , siendo la solucin de la ecuacin:
Ahora, buscamos la solucin particular. Para ello se debe tener presente que
como la funcin y que la ecuacin diferencial no contiene el
termino correspondiente a la variable dependiente y. luego la forma de la
solucin particular es
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solucin
particular tantas veces como lo indique la ecuacin diferencial, luego
realizamos una sustitucin en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solucin particular, as
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Luego,
De donde
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial dada es:
Caso II. Cuando f(x) tiene forma exponencial
Al resolver la ecuacin diferencial
Si f(x) tiene la forma , la solucin particular tiene la forma
.
EJEMPLO. Resolver la ecuacin diferencial
,
Se encuentra primero la solucin de la ecuacin homognea, es decir
Cuya ecuacin caracterstica es: la cual tiene como races los
nmeros , siendo la solucin de la ecuacin:
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Ahora, buscamos la solucin particular. Para ello se debe tener presente que
como la funcin , la forma
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solucin
particular tantas veces como lo indique la ecuacin diferencial, luego
realizamos una sustitucin en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solucin particular, as
Luego,
De donde
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial dada es:
NOTA. Si en al analizar la forma de de f(x) se encuentre que esta funcin
corresponde a la expresin correspondiente a una de las soluciones formadas
por las races de la ecuacin caracterstica, la solucin particular toma la forma
.
EJEMPLO.
,
Se encuentra primero la solucin de la ecuacin homognea, es decir
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Cuya ecuacin caracterstica es: la cual tiene como races los
nmeros , siendo la solucin de la ecuacin:
Ahora, buscamos la solucin particular. Para ello se debe tener presente que
como la funcin ,pero corresponde a una parte de la solucin complementaria, entonces la forma de la solucin particular es
Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solucin
particular tantas veces como lo indique la ecuacin diferencial, luego
realizamos una sustitucin en la E.D dada y encontramos las Constantes de la
solucin particular, as
Luego,
De donde
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial dada es:
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CASO III. CUANDO LA FUNCION f(x) TIENE LA FORMA DE UNA
FUNCION SENO , COSENO A UNA COMBINACION DE AMBAS
Al resolver la ecuacin diferencial
Si f(x) tiene la forma
, la solucin particular tiene la forma
Ejemplo.
Buscamos la solucin de la ecuacin diferencial homognea, cuya ecuacin caracterstica es
Lo que nos indica que la solucin de la ecuacin homognea es de la forma.
Ahora, para determinar la solucin particular, observamos que la funcin f(x)
es una de funcin trigonomtrica, lo que nos indica que se deben tener en
cuenta dos soluciones particulares a saber:
Reemplazando en la ecuacin diferencial.
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La solucin de la ecuacin diferencial es:
CASI IV. CUANDO f(x) ESTA FORMADA PR UN PRODUCTO DE LAS
FUNCIONES DEFINIDAS EN LCASOS I , II, III.
La solucin particular se determina de acuerdo a los siguientes casos
Si la funcin f(x) esta definida por Tomar como solucin particular la
funcin definida por
Producto de una funcin
polinomica por una exponencial
Producto de una funcin
exponencial y una trigonomtrica
Producto de una funcin
polinomica por una trigonomtrica
Producto de las tres funciones ( )
Ejemplo. Solucionar la ecuacin diferencial
Busquemos primero la solucin de la ecuacin diferencial homognea, para ello
se tiene que el polinomio caracterstico es de donde
o con lo que las races son: siendo la solucin complementaria
Ahora, como la funcin , es decir, el producto de una funcin polinomica de grado uno y una exponencial, la solucin complementaria toma
la forma
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Con lo que se tiene que:
Reemplazando en la ecuacin diferencial se tiene que:
(
)
Con lo que la solucin general de la ecuacin diferencial es:
(
)
EJEMPLO. SOLUCIONAR LA ECUACION DIFERENCIAL
Encontramos la solucin de la ecuacin homognea
Cuyas races son , con lo que la solucin complementaria es
Ahora, como f(x) es el producto de una funcin exponencial y una
trigonomtrica se tiene que la solucin particular es:
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Reemplazando en la ecuacin diferencial
( ( ) )
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial es:
Cuando la funcin f(x) esta formada por una suma de m trminos del tipo de
funciones descritas anteriormente, se aplica el principio de superposicin, el
cual nos indica que la solucin particular esta formada por la suma de las
soluciones particulares que corresponden a los diferentes
trminos de la funcin f(x).es decir :
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EJEMPLO. Encontrar la solucin de la ecuacin diferencial
Solucionamos la homognea.
Cuyas races son: siendo la solucin
Ahora, como la funcin f(x) esta formada por una combinacin de funciones
trigonomtricas del mismo ngulo y un producto de una funcin polinomica y
una exponencial, se deben buscar dos soluciones particulares.
Una solucin particular para la ecuacin
Reemplazando en la ecuacin diferencial
{
Resolviendo el sistema se tiene que
De donde
Y otra solucin particular para la ecuacin
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Siendo la solucin particular
Reemplazando en la ecuacin diferencial
( ) ( )
( ) ( )
Eliminando trminos semejantes se llega a
Siendo
Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial es
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ACTIVIDAD . RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
DIFERENCIALES
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)