Análisis de sistemas en el espacio de estados
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
Introducción
• Las técnicas clásicas de análisis de sistemas tienen problemas a la hora de abordar el estudio de sistemas complejos con múltiples entradas y salidas.
• Análisis en el espacio de estados:– Descripción interna del sistema en base a ecuaciones
diferenciales.
– Formulación matricial compacta.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
Descripción de sistemas en el espacio de estados
Un sistema de orden n con p entradas y q salidas se representa mediante 2 ecuaciones matriciales:
– Ecuación de estado: x' = Ax + Bu
donde x es el vector de estado (nx1), A es la matriz del sistema (nxn), u es el vector de entrada o de control (px1), y B es una matriz (nxp).
– Ecuación de salida: y = Cx + Du
donde y es el vector de salida (qx1), y C y D son matrices (qxn y qxp).
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Las ecuaciones de estado contienen información suficiente para conocer la evolución temporal del sistema a partir de un estado inicial y una señal de entrada.
• La matriz de transición de estado es aquella que satisface la ecuación de estado homogénea x´(t)=Ax(t):
)()()(,)0()()( 00 txtttxxttx
)()(
tAdt
td
• O también puede definirse como:
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Obtención de la matriz de transición de estado
– Aplicando transformada de Laplace a la ecuación de estado homogénea:
)}({)}´({ tAxLtxL
)()0()( sAxxssX )0()()( 1 xAsIsX
)0(}){()( 11 xAsILtx
}){()( 11 AsILt
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
– Asumiendo una solución de tipo exponencial:
)0()( xetx At
donde
...!3
1
!2
1 3322 tAtAAtIeAt
...!3
1
!2
1)( 3322 tAtAAtIt
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ecuación de estado
– Para el caso no homogéneo se tiene:
)}()({)}´({ tButAxLtxL
)}(){()0(}){()( 1111 sBUAsILxAsILtx
t
dButxttx0
)()()0()()(
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ecuaciones de estado y función de transferencia
– Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado se tiene:
)()()0()()( 11 sBUAsIxAsIsX
)()( sCXsY
– Asumiendo condiciones iniciales nulas
BAsICsX
sYsG 1)(
)(
)()(
que es la función de transferencia matricial del sistema.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
– La dinámica del sistema viene dada por las raíces de la ecuación característica:
0 AsI
que son los valores propios de la matriz A.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ejemplo:
– Sea el sistema SE1 caracterizado por las ecuaciones de estado:
)(1
0
32
10
2
1
'
2
1 tux
x
x
x
– La matriz de transición de estado puede obtenerse a partir de la serie exponencial (exp(At)=I+At+(1/2)A^2 t^2+...), que para t=1 proporciona los siguientes resultados:
,2917.00833.0
0417.04167.0,
13333.1
6667.01,
5.11
5.00,
22
11,
10
01
,...0949.04627.0
2314.05993.0,
1075.04754.0
2377.06056.0,
0569.0425.0
2125.05806.0,
2333.06.0
3.06667.0
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
– Tomando como condiciones iniciales x(0)=[1;1], la respuesta no forzada (u(t)=0) para t=1seg. puede obtenerse a partir de la matriz de transición de estado como
5623.0
833.0
1
1
0972.04651.0
2325.06004.0
1
1)1(
)1(
)1(
2
1 x
x
– La respuesta temporal es la que se muestra en la figura.
– Los autovalores de la matriz A son
0230 2 ssAsI
2;1 21
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
Controlabilidad y observabilidad
• Un sistema es controlable si dado un estado inicial x0 y un tiempo inicial t0, para cualquier estado final x1 existe una señal de control físicamente realizable que puede guiar al sistema desde el estado inicial al final en un tiempo finito.
– La controlabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de controlabilidad
rango[B|AB| ... |An-1B]= n
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Se dice que un sistema es de estado completo observable si cada estado x(t0 ) puede determinarse a partir de la observación de la salida en un intervalo de tiempo finito.
– La observabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de observabilidad
rango [C* |A*C* | ... |(A* )n-1C* ]= n
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
Estabilidad en el espacio de estados
• Estabilidad de Liapunov.
– Para un sistema x'=f(x,t), un punto singular o estado de equilibrio xe f(xe ,t) = 0 t es estable en el sentido de Liapunov si para toda región esférica S1 en torno a xe es posible encontrar otra S2 tal que cualquier trayectoria de estado que se inicie dentro de S1 se mantiene dentro de S2 cuando t tiende a infinito. Si además, la trayectoria tiende a xe cuando el tiempo crece, el estado es asintóticamente estable.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ejemplo.
– Trayectorias en el espacio de estados para el sistema SE1, considerando la respuesta no forzada desde el estado inicial (1,1): origen asintóticamente estable.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Teorema de Liapunov.
– Sea x'=f(x,t) donde f(0,t)=0 para todo t. Si existe una función escalar V(x,t) con primeras derivadas parciales continuas que verifica:
1. V(x,t) es definida positiva.
2. V'(x,t) es definida negativa.
– entonces el estado de equilibrio en el origen es uniforme y asintóticamente estable. Si además, V(x,t)-> cuando x->, el origen es asintóticamente estable de forma completa.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ejemplo.
– Definiendo para el sistema SE1 V(x)=x12+0.5x2
2, se tiene (para u(t)=0):
1. V(x) es definida positiva.
2. V'(x)=2x1x1’+x2x2’=2x1x2-2x1x2-3x22=-3x2
2 es definida negativa.
3. Como V(x)-> cuando x->, entonces el estado de equilibrio en el origen es asintóticamente estable de forma completa.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Estabilidad en sistemas lineales invariantes en el tiempo.
– En sistemas del tipo x’=Ax (A matriz de coeficientes constantes), el origen es asintóticamente estable si todos los autovalores de A tienen parte real negativa.
– Alternativamente, puede tomarse como función de Liapunov la forma cuadrática hermítica V(x)=x*Px, donde P es hermítica y definida positiva.
• V(x) definida positiva, V'(x)=x'*Px+x*Px'=x*(A*P+PA)x=-x*Qx.
• Tomando Q definida positiva, si se puede encontrar P definida positiva, el origen será asintóticamente estable.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Ejemplo.
– Para el sistema SE1, en el caso no forzado tenemos:
• Tomando Q=I, definida positiva.
• A partir de Q=-(A*P+PA) se obtiene P como:
12/54/1
4/112/19P
• Como P es definida positiva, el origen del espacio de estados es asintóticamente estable para SE1.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
Representaciones en el espacio de estados
• La representación de un sistema en el espacio de estados no es única.
– Pueden obtenerse diferentes expresiones aplicando transformaciones lineales al vector de estado.
• Forma canónica controlable.
• Forma canónica observable.
• Forma canónica de Jordan
– Los autovalores permanecen invariantes.
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Sea el sistema dado por la función de transferencia
Y(s)/U(s)=(b0sn+b1sn-1+...+bn-1s+bn)/(sn+a1sn-1+...+an-1s+an)
• Forma canónica controlable:u
1
.
.
.
0
0 + [x]
a-...a-a-a-
1...000
. ...
. ...
. ...
0...100
0...010 = [x]
12-n1-nn
'
ub + [x] ba-b ... ba-b ba-b
=y 001101-n1-n0nn
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Forma canónica observable:
u
ba-b
.
.
.
ba-b
a-b + [x]
a-1...00
.. ..
.. ..
.. ..
a-0...01
a-0...00 =[x]
011
01-n1-n
nbn
1
1-n
n 0
'
ub + [x] 1 0 ... 0 0
=y 0
Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua
• Forma canónica de Jordan:
u
1
.
.
.
1
1 + [x]
p 0
.
.
.
p
0 p = [x]
n
2
1
'
ub + [x] c ... c c
=y 0n21
Top Related