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Análisis y Simulacion de un SistemaMasa-Resorte-Amortiguador con Perturbación

Christian Leonardo Juiza Farfan Cod:1802069 , Juan David Gutierrez Quijano Cod:1802025 , Julian EnriqueBolaño Rodriguez Cod:1801884

Abstract—.In practice we develop the ability to model a givensystem, identifying its state equations and by representing statevariables, use a properly simulation software Matlab, to developdrivers, we can offer an answer desired control from designparameters, and this will help us to implement it in real life.

I. INTRODUCTION

EN la práctica desarrollamos la habilidad para modelarun sistema dado, identificando sus ecuaciones de estado

y representándolas mediante variables de estado, utilizar deuna manera adecuada el software de simulación Matlab, parapoder desarrollar controladores, que nos puedan ofrecer unarespuesta de control deseada a partir de unos parámetros dediseño, y que esto nos sirva para poder ponerlo en práctica enla vida real.

II. OBJETIVOS

• Reforzar los conceptos adquiridos de control en espaciode estados.

• Modelar un sistema mediante las formas canónicas con-trolable y observable de la representación de estados.

• Simular el sistema en espacio de estados usando MAT-LAB.

• Diseñar observadores de estados.• Diseñar servosistemas.

III. MARCO TEÓRICO

El lugar geométrico de raíces y la respuesta en frecuenciason métodos convencionales donde pueden ser utilizadoscuando el sistema tiene una sola entrada y una sola salida yestán basados en la función de transferencia. Los métodosanteriormente mencionados no se pueden usar en el diseñode sistemas de control variante en el tiempo y/o no lineal.

El control moderno puede tener múltiples salidas y múltiplesentradas, siendo más adecuados el análisis por espacio deestados, el cual está basado en la descripción del sistema entermino de ecuaciones diferenciales de primer orden que sepueden adecuar en forma matricial.

Por espacio de estados se puede diseñar un sistema decontrol con respecto a los índices de desempeño, y esrealizable para cualquier clase de entrada con opción deincluir condiciones iniciales de diseño, sin necesidad de seruna entrada específica.

• ESTADO

Es un conjunto de variables de estado, donde el conocimientode las variables y la entrada del sistema, determinan elcomportamiento del sistema para un tiempo t.

• VARIABLES DE ESTADO

Son aquellas que conforman el conjunto de variables quedeterminan el estado del sistema dinámico, para describirsu comportamiento se necesita un numero n de variables demanera que el estado futuro del sistema quede determinadodando la entrada y el estado inicial del sistema.

• VECTOR DE ESTADO

Si se necesitan n variables de estado para describir elcomportamiento de un sistema, esas variables se puedenconsiderar como los componentes del vector, el cual seconoce como vector de estado, el cual determina el estadodel sistema para cualquier tiempo conociendo el estado y laentrada.

• ESPACIO DE ESTADOS

Es el espacio de n dimensiones donde sus ejes coordenadosestán formados pero el eje Xn, se puede representar por unpunto dentro del espacio de estado. Figura 1

Figura 11. Representacion de Estados

Las ecuaciones de estado estan dadas por:

˙x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

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Figura 22. Ley de Control

• OBSERVADORES DE ESTADO

Cuando no se puede medir todos los estados se puede realizarun observador de estados para prever dichos estados y de estemodo solo medir la salida. Se puede decir que un observadores una copia de la planta, donde un termino adicional comparala salida actual con la salida estimada del sistema. Figura 3.

Figura 33. Observador de estado

• SERVOSISTEMA

Es un sistema de control realimentado en donde la salidapuede ser posición, velocidad o aceleración, con el uso delos servosistemas se puede lograr una operación automáticade maquinas o herramientas. Figura 4.

Figura 44. Servosistema

IV. PROCEDIMIENTO

Figure 1. sistema masa resorte

1) Modelo Matemático:

mx′′ = U − FB − FK

FB = Bx’

FK = K(x− p)

El modelo matematico del sistema esta dado por :

mx′′ +Bx′ + k(x− p) = U (1)

Representacion de estados

X ′ = Ax+Bu

Y = Cx+Du

Variables de estado

x1 = x (2)

x2 = x1′ = x′

y = x1

Mx2′ +Bx2 +Kx1−Kp = U

x2′ = −Kx1

M− Bx2

M+

U

M+

Kp

M(3)

Figure 2. Diagrama De Bloques

3

2) Matriz de estados::

[0 1− k

m − bm

][XV

] + [01m

]u+ [0km

]P

Y = [ 1 0 ][XV

]

Con:

m = 1, k = 20, b = 10

3) Controlabilidad:

AB = [0 1−20 −10 ][

01] = [

1−10 ]

[B :: AB] = [0 11 −10 ]

det = −1 6= 0

El sistema es controlable

4) Forma Canonica Controlable:

[X

V] = [

0 1−20 −10 ][

XV

] + [01]u

[ 1 0 ][XV

]

5) Observabilidad:

CTA = [ 1 0 ]T [0 1−20 −10 ] = [ 1 −10 ]

[CCA

] = [1 01 −10 ]

det = −10 6= 0

El sistema es observable

6) Forma Canonica Observable:

[X

V] = [

0 −201 −10 ][

XV

] + [10]u

[ 0 1 ][XV

]

A. Metodos Retro de Estados

1) Metodo de Akerman: El programa utilizado para hallarla solución por el método de Akerman es el siguiente,donde las variables k, b, m son las constantes del resorte,amortiguador y masa respectivamente, y las variables ts y sitason las variables del tiempo de establecimiento y de factorde amortiguamiento para el control

clc syms SA=[0 1;(-k/m) (-b/m)]B=[0;1/m]E=[0;k/m]C=[1 0]Ts=1;e=0.5;Wn=4/(e*Ts);Pd=[1 2*e*Wn Wn^2];Mc=[Bc Ac*Bc];Mci=Mc^-1;i=eye(2)Ol=(Ac^2+Pd(2)*Ac+Pd(3)*i)Ki=[0 1]*Mci*OlKi=[44 -2]

Obtenemos como resultado nuestras constates del control.2) Metodo de Igualacion: El programa utilizado para

hallar la solución por el método de Igualación es el siguiente,donde al igual que en el método de Akerman, las variablesk, b, m son las constantes del resorte, amortiguador y masarespectivamente, y las variables ts y sita son las variables deltiempo de establecimiento y de factor de amortiguamientopara el control:

clcsyms S K1 K2m=1;k=20;b=10;Ts=1;e=0.5;Wn=4/(e*Ts);Pd=[1 2*e*Wn Wn^2]A=[0 1;(-k/m) (-b/m)];B=[0;1/m];E=[0;k/m];C=[1 0];K=[K1 K2];SI=[S 0;0 S];pd=det(SI-Ac+Bc*K)Pol=coeffs(pd,S)K1=solve(Pol(1)==Pd(3),K1)K2=solve(Pol(2)==Pd(2),K2)Ki=[44 -2]

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3) Metodo de Matriz de Pesos: El programa utilizado parahallar la solución por el método de Igualación es el siguiente,donde al igual que en los dos métodos anteriores, las variablesk, b, m son las constantes del resorte, amortiguador y masarespectivamente, y las variables ts y sita son las variables deltiempo de establecimiento y de factor de amortiguamientopara el control:

clcsyms S K1 K2 Kim=1;k=20;b=10;A=[0 1;(-k/m) (-b/m)]B=[0;1/m]E=[0;k/m]C=[1 0]Ts=1;e=0.5;Wn=4/(e*Ts);Pd=[1 2*e*Wn Wn^2]SI=[S 0;0 S];pd=det(SI-Ac);Pol=coeffs(pd,S);a1=Pol(2) a2=Pol(1)a11=Pd(2) a12=Pd(3)K=[a12-a2 a11-a1]Ki=[44 -2]

B. Observador

1) Ackerman: El programa utilizado para hallar elobservador por el método de Akerman es el siguiente, dondese observa que es similar al metodo en Ackerman pararealimentacion de estados:

m=1k=20b=10syms s k1 k2 l1 l2ts=1/10;sita=0.5;wn=4/(sita*ts);A=[0 1;1-k/m -b/m];B=[0;1/m];C=[1 0];L=[l1; l2];Mo=[C;C*A];det(Mo);O=A-L*C;pd=det(s-O);pol=coeffs(pd,s);pde=[1 2*sita*wn wn^2];I=eye(2)phi=A^2+pde(2)*A+pde(1)*I;L=phi*inv(Mo)*[0;1]

2) Igualacion: El programa utilizado para hallar elobservador por el método de Igualacion es el siguiente, dondese observa que es similar al metodo por Igualacion pararealimentacion de estados:

clcsyms S L1 L2A=[0 1;(-k/m) (-b/m)]B=[0;1/m]E=[0;k/m]C=[1 0]L=[L1;L2]Ts=1;e=0.5;Tso=Ts/10;Wn=4/(e*Tso);Pd=[1 2*e*Wn Wn^2];SI=[S 0;0 S];pd=det(SI-(A-L*C))Pol=coeffs(pd,S)L1=solve(Pol(2)==Pd(2),L1)L2=solve(Pol(1)==Pd(3),L2)L2=eval(L2)Ke=[70;5680]

3) Matriz de Transformacion: El programa utilizadopara hallar el observador por el método de Matriz deTransformacion es el siguiente, donde se observa quees similar al metodo por Matriz de Transformacion pararealimentacion de estados: Figura

m=1k=20b=10syms s k1 k2 l1 l2ts=1/10;sita=0.5;wn=4/(sita*ts);A=[0 1;1-k/m -b/m];B=[0;1/m];C=[1 0];L=[l1;l2];si=[s 0;0 s];Mo=[C;C*A];det(Mo);pd=det((si-A));pol=coeffs(pd,s);pde=[1 2*sita*wn wn^2];W=[pol(2) 1;1 0];T=Mo*W;K=inv(T)*[pde(1)-pol(1);pde(2)-pol(2)];vpa(K)

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C. Servosistema

El programa utilizado para hallar el servosistema por elmétodo de Akerman es el siguiente, donde se observa quees similar los metodos de retro de estados y de observador,teniendo en cuenta estos y complementandolos. Figura

clcsyms S K1 K2 Kim=1;k=20;b=10;Ts=1;e=0.5;Wn=4/(e*Ts);Pd=[1 (10*Wn+2*Wn*e) (20*Wn^2*e + Wn^2) 10*Wn^3]A=[0 1;(-k/m) (-b/m)];B=[0;1/m];E=[0;k/m];C=[1 0];K=[K1 K2];SI=[S 0 0;0 S 0;0 0 S];p=(A-B*K);l=B*Ki;A1=[p l;-C 0];pd=det(SI-A1);Pol=coeffs(pd,S)K1=solve(Pol(2)==Pd(3),K1)K2=solve(Pol(3)==Pd(2),K2)Ki=solve(Pol(1)==Pd(4),Ki)Tso=Ts/10;Wn=4/(e*Tso);Pdo=[1 2*e*Wn Wn^2];SI=[S 0;0 S];pdo=det(SI-(A-L*C))Pol=coeffs(pdo,S)L1=solve(Pol(2)==Pdo(2),L1)L2=solve(Pol(1)==Pdo(3),L2)L2=eval(L2)Ke=[L1;L2]K=[K1 K2]K=[684 78];Ki=5120;Ke=[70;5680]

V. SIMULACIONES

A. Realimentación de Estados

Imagen con las constantes de la realimentación de estadospara una respuesta subamortiguada

Como podemos ver Por los tre metodos da las mismasconstates K=[44 -2 ]

1) Diagrama de la simulación en Retro de Estados

:

2) Señal en la salida: En la figura se observa un tiempo de establecimiento en 1s respuesta subamortiguada sita=0.5.

Figura 12

En la figura se observa un tiempo de establecimientoen 1 s respuesta Criticamente amortiguada sita=1.

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3) Retro de Estados en X: En la figura se observa el comportamiento de los dos estadospresentes. Figura 13.

Figura 13.

B. Observador

Imagen con las constantes del observador

1) Diagrama de la simulacion para el observador

:

2) Respuesta en Y: Debido a que las constantes por los tres métodos emplea-dos son las mismas ante cualquier condición de diseño, larespuesta en simulación es la misma para Akerman, Igualacióny Matriz de Transformación. En la grafica se observa que lasalida Y para el sistema y para el observador son iguales.Figura 14.

Figura 14

3) Respuesta en X: En la grafica se observa que la salida X perteneciente a losestados en el sistema y en el observador. Figura 15.

Figura 15

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C. Servosistema

1) Diagrama del Servosistema:

2) Salida servosistema: Respuesta subamortiguada Servo-sistema Completo sita = 0.5 Ts = 1 s

Figura 16.

VI. CONCLUSIONES

• Un mismo sistema puede tener diversas representacionesde estado, algunas de ellas pueden ser efectivas para determi-nar parámetros de control de una manera más óptima; Todasellas deben poseer una salida

común cuando son sometidas a entradas comunes.• Es muy importante analizar los sistemas en lazo abierto,

pues de esta manera podremos observar parámetros de granimportancia como la estabilidad y el error; Luego conocerdichos parámetros podremos

realizar el diseño de control adecuado, evitando problemascomo el sobredimensionamiento de algunos valores con losque ya se cuenta.

• Los métodos utilizados para la determinación de lasconstantes de realimentación, las contantes del observador ylas constantes del servosistema están ligados en gran medidaal uso de recursos de máquina,

entregando con gran precisión de manera teórica los valoresque cumplen con los parámetros requeridos y de esta maneraasegurar el comportamiento deseado del sistema.

VII. BIBLIOGRAFÍA

[1] K.Ogata, Sistemas de control en tiempo Discreto.