Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela Ingeniería en Electrónica
Curso: Métodos Numéricos
Método de Bairstow
Profesor:Ing. Marvin Hernández C
II Semestre 2008
Agenda
INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS
INTRODUCCION
El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson.
Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:
)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf
Método de Bairstow
El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson
)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf
Se basa en…
Por lo general en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general
nnn xaxaxaaxf ...)( 2
210
Puede dividirse entre un factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.
21
11
iiii
nnn
nn
sbrbab
rbab
ab
2ni
Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:
21
11
iiii
nnn
nn
scrcbc
rcbc
bc
2ni
Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:
021
132
bscrc
bscrc
Para mejorar los valores iniciales de r y s, en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:
%100
%100
,
,
s
s
y
r
r
sa
ra
Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:
2
42 srrx
Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale
Tenemos que f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2
Obtenemos como solución tres valores de raíces
x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278
Tabla de Valores
Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:
x1= 1.999 x2= 0.4357 x3 = 3,278
Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)Tenemos que
f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25
Averiguando R y S después de 4 iteraciones se obtiene que:
εa,r =55.23% εa,r =824.1 %
x1=0.5 y x2=-1
Quedando como cociente el polinomio:f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5
Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones:
x3=1+0.499i x4=1-0.499i
Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz:
x5= 2
Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)b) Utilizando:
para determinar los valores de b.Con
32 704.33.1697.2134.9)( xxxxf
nnn
nn
rbab
ab
11 nnn
nn
rcbc
bc
11
5.0
2
s
r
34.997.213.16704.3)( 23 xxxxf
226.0892.85.0334.2234.9
334.2704.35.0892.8297.21
892.8704.323.16
704.3
0
1
2
3
b
b
b
b
3346.2704.35.0484.12334.2
484.1704.32892.8
704.3
1
2
3
c
c
c
Reacomodando la ecuación:
Obteniendo el y el :
Resolviendo el sistema:
r s
334.2334.2484.1132
sr
bscrc
226.0484.1334.2021
sr
bscrc
5752.1
9047.0
s
r
0752.25752.15.0
0953.19047.02
s
r
Asi podemos obtener el % de error
100*, rr
E ra
100*, s
sE sa
%9.75,saE%6.82, raE
Aplicado a una segunda iteración:
05.2
179.0
r
r
08.1
042.0
s
s
Aplicado a una tercera iteración:
096.1
0165.0
s
s
103.2
053.0
r
r
Iteración r Δr s Δs
1 1.0953 -0.9047 -2.0752 -1.5752
2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042
3 2.103 -0.053 -1.096 -0.0165
Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs
Asi las raíces son:
29.22
4
1
2
1
x
srrx
14956.1
29.2
3
2
x
x
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