8/16/2019 Integ Linea Plano Espacio
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Problemas Propuestos
Calcular la integral de línea de los siguientes ejercicios
1. Calcular la integral
( )C
x y ds−∫ , donde C es la circunferencia
2 2 x y ax+ =
2. Calcular la integral
C
dsds
x y−∫ , donde C es el segmento de recta
12
2 y x= −
desde el
punto
(0, 2) A − hasta
(4,0) B
.
3. Calcular
2 2
C x y ds+∫
, donde C es la circunferencia
2 2 x y ax+ =
4. Calcular
4 4
3 3
C x y ds+∫
, donde C es el arco del astroide
2 2 2
3 3 3 x y a+ =
5. CalcularC
y ds∫ , donde C es el arco de la lemniscata
2 2 2 2 2( ) ( ) x y a x y+ = −
6. Calcular
2
C y ds∫
, donde C es el primer arco de la cicloide
( ) ( ) , ( ) (1 cos ) x t a t sen t y t a t = − = −
7. Calcular la integral
2 2 4C
dsds
x y+ +∫ , donde C es un segmento de recta ue une los
puntos
(0, 0) (1, 2)yO A= =
!. Calcular el "alor de la integral
l
dsds
x y+
∫ donde
l es el rom#o con "$rtices
(1, 0) A =,
(0,1) , ( 1,0) , (0, 1) B C D= − −
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%. Calcular la integral L
xyzds∫ , donde & es la intersecci'n de las superficies
22 2 2 2 2 2,
4
R x y z R x y+ + = + =
, situado en el primer octante.
10. CalcularC
xzdx xdy yzdz + −∫ a lo largo de la cur"a
1 2 3C C C C = ∪ ∪
, donde1C
es un
arco de circunferencia con centro en
(0,0,0)
ue parte en
(0,0,1)
termina
(1,0,0)
,2C
es
un segmento de recta ue parte de
(1,0,0)
hasta
(0,1,0)
3C
tam#i$n es un segmento de
recta ue parte en
(0,1,0)
termina en
(0,1,1)
.
11. Calcular
.dr ∫ l
Ñsi
( , , ) ( , , ) F x y z xy yz xz =
l
es la intersecci'n de las superficies
2 2 1 1y x y x y z + = + + =recorrida en sentido antihorario "ista desde la parte superior
de z
.
12. Calcular
( *)d+ (+ *)d (+ )d*+ + + + +∫ l
Ñ donde
l
es la cur"a de intersecci'n del
cilindro
2 2 2 x y y+ =
con el plano
y z =.
13. allar la masa total del alam#re cua forma es la de la cur"a
y x=
, con1 1 x− ≤ ≤
, si la
densidad de cada punto - de $l es igual al "alor a#soluto del producto de las coordenadas
del punto.
14. allar la masa de un fragmento de la lnea
ln y x=comprendido entre los puntos cuas
a#scisas son1 2, x x
si la densidad de la lnea en cada punto es igual al cuadrado de la
a#scisa del punto
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15. allar la masa del arco de lnea
( ) cos , ( ) ,t t t x t e t y t e sen t z e= = =desde el punto
correspondiente a0t =
, hasta el punto cualuiera si la densidad del arco es
in"ersamente proporcional al cuadrado del radio polar (
2 2 2
r x y z = + + ).
16. allar el centro de masa de una pie*a de alam#re de densidad constante enrollada en la
forma de la h$lice
( ) (4 cos , 4 , 3 ) , /0, r t t sen t t t π = ∈
17. allar el centro de masa (centro de gra"edad) de la primera semiespira de la h$lice
( ) cos , ( ) , t x t a t y t asen t z be= = =, considerando la densidad constante.
1!. n o#eto recorre una elipse
2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =en sentido antihorario se encuentra
sometido a la fuer*a
( , ) ( , )2 2
y x F x y = −
. allar el tra#ao reali*ado.
1%. Calcular el tra#ao ue reali*a el campo de fuer*as
2 2( , , ) ( 2 , 3 , 2 4 ) F x y z x y z x y z xz y= − + + + −al mo"er una partcula alrededor de la
cur"a cerrada
22 1 , 2
4
x y z + = =
en sentido antihorario.
20.Calcular el tra#ao ue reali*a la fuer*a
2 24 2( 1) 4( , , ) ( , , )
( , ) ( , ) ( , )
xy x y xyz F x y z
A x y A x y A x y
− −= −
,
donde
2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 ( 1) A x y x y y x y= + − + − + − para mo"er una partcula alrededor de
la circunferencia
2 2
2 0 , 0 x y x z + − = =.