Integracion de sistemas de ecuaciones
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Contenido
Integracion de sistemas de primer orden Modelos matematicos de sistemas Integracion de sistemas de ecuaciones lineales
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INTEGRACION DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
3
Modelo de simulacion de un sistema continuo de primer orden
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0 0,dx
f x u b u a xdt
El diagrama de simulacion representa la dinamica del sistema continuo como una conexion de bloques algebraicos e integradores
Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden
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La ecuacion de diferencias del integrador discreto depende del integrador seleccionado para aproximar el integrador continuo
Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden
10
Integrator de Euler explicito
Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden
11
Integrator de Euler implicito
Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden
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Integrator Trapezoidal
MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS
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Modelos matematicos de sistemas
Algunas veces los modelos matematicos tienen la forma
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),,,,(
),,,,(
),,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyytfdt
dy
yyytfdt
dy
yyytfdt
dy
1 1
2 2
(0)
(0)
(0)n n
y b
y b
y b
Modelos matematicos de sistemas
Otras veces los modelos matematicos tienen la forma
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1
1 11( )
n n
n nn n
d y d y dya a a y u t
dt dt dt
nn
n
bdt
ydb
dt
dyby
)0( ..., ,)0( ,)0(1
1
21
Modelos matematicos de sistemas Sin embargo, siempre es posible convertir un sistema
de orden n en n ecuaciones de primer orden
191
1
2
2
3
2
1
n
n
n dt
ydy
dt
ydy
dt
dyy
yy
12
23
1
1
nn
nn n
dyy
dtdy
ydt
dyy
dtdy
a y a y u tdt
Ejemplo de un sistema de segundo orden Sistema de segundo orden original
Sistema de primer orden equivalente
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0)0(,1)0(,02
2
dt
dyyy
dt
yd
0)0(,
1)0(,
vydt
dv
yvdt
dy
Ejercicio
Convertir el modelo de segundo orden
a un sistema de ecuaciones de primer orden
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3 6 1
(0) 1; (0) 4
x x x
x x
EJEMPLOS EN MATLAB
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Ejemplo 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones desde t = 0 hasta t = 1 con un paso de integracion de 0.5
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60y
40y
y30y104dt
dy
y50dt
dy
2
1
212
11
)(
)(
..
.
Funcion del integrador por el metodo de Euler
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Solucion del sistema de ecuaciones
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function f = example(t,y)% dy1/dt = f1 = -0.5 y1% dy2/dt = f2 = 4 - 0.1*y1 - 0.3*y2% let y(1) = y1, y(2) = y2% tspan = [0 1]% initial conditions y0 = [4, 6]f1 = -0.5*y(1);f2 = 4 - 0.1*y(1) - 0.3*y(2);f = [f1, f2]';
>> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.5);
>> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.2);
(h = 0.5)
(h = 0.2)
Ejemplo 2: Caso no lineal
Resolver la ecuacion del pendulo dado por el siguiente sistema de ecuaciones en t = [0, 15]
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122
22
21
2
1
2
2
yy30ydt
dy30
dt
yd
dt
dy
ydt
dy
dt
dy
dt
dyy
yy let
ydt
dy30
dt
yd
sin.sin.
sin.
Ejemplo 2: El pendulo
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function f = pendulum(t,y)% nonlinear pendulum d^2y/dt^2 + 0.3dy/dt = -sin(y)% convert to two first-order ODEs% dy1/dt = f1 = y2% dy2/dt = f2 = -0.1*y2 - sin(y1)% let y(1) = y1, y(2) = y2% tspan = [0 15]% initial conditions y0 = [pi/2, 0]f1 = y(2);f2 = -0.3*y(2) - sin(y(1));f = [f1, f2]';
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» [t,y1]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/100);» [t,y2]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/200);» [t,y3]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/500);» [t,y4]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/1000);» H=plot(t1,y1(:,1),t2,y2(:,1),t3,y3(:,1),t4,y4(:,1))
n = 100n = 200n = 500n = 1000
Nonlinear Pendulum
Ejercicio: Paracaidista
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Segunda ley de NewtonF = ma = Fdown - Fup
= mg - cdv2 (gravedad menos resistencia del aire)
Paracaidista: un sistema de segundo orden Velocidad y posicion de la caida de un paracaidista
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00v0x
vm
cg
dt
dv
vdt
dx
2d
)()(
tm
gc
c
mtx
tm
gc
c
gmtv
d
d
d
d
coshln)(
tanh)(
Solucion exacta
Ejercicio: Paracaidista
1. Hallar la solucion aproximada
2. Comparar la solucion verdadera con la aproximada
3. Implementar un modelo en simulink del sistema.
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INTEGRACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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Ecuaciones de estado de sistemas lineales Problema: Dadas las ecuaciones de estado
lineales
Encontrar el modelo de simulacion aproximado
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Modelo aproximado: Euler explicito
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Modelo aproximado: Euler implicito
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Mas calculo que en el caso explicito porque es necesario invertir la matriz (I – TA)
Modelo aproximado: Trapezoidal
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Mas calculo que en el caso Euler implicito
Ejercicios
Estudiar del documento de Klee
Ejercicio 3.5.3
Ejercicio 3.6.1
Caso de estudio – Ascenso vertical de un buzo
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Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback
Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class
Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.
University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.
School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
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