Intercambio (a)Ferromagnetismo
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Spin-statistics theorem El estado de un sistema de partículas idénticas de espín entero no cambia cuando dos
partículas son intercambiadas: tienen estados Fierz
Pauli
psimétricos. Las partículas con estados
simétricos se llaman bosones.
El estado de un sistema de partículas idénticas Schwinger
Feynman
El estado de un sistema de partículas idénticas de espín semientero cambia de signo cuando dos partículas son intercambiadas: tienen estados antisimétricos. Las partículas con
Wolfgang Pauli1900-1958
pestados antisimétricos se llaman fermiones.
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
espacial spin
Estado de dos fermiones
ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)
Ψ (1 2) (r r ) (s s )
Electrones:
Ψij(1,2) = ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)
antisimétrica
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Ψij(1 2) = ϕij(r1 r2) χij(s1 s2)
electrones → Ψij(1,2) antisimétrica
Ψij(1,2) ϕij(r1,r2) χij(s1,s2)
ϕ (r r ) ϕ (r r ) ϕij(r1,r2) simétrica χij(s1,s2)
antisimétrica
ϕij(r1,r2) antisimétrica
χij(s1,s2) simétrica antisimétrica simétrica
Sup
ϕi(r1) χi(s1) ϕj(r2) χj(s2)
Átomos hidrogenoides
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
1Factor de espín
{ }↓↑−↑↓=2
1sijχ
⎫⎧ ↑↑
0;0 == zSS Singlete(antisimétrico)
[ ]⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎨
⎧
↓↑+↑↓
↑↑
=1tχ 0;1
1;1====
z
z
SSSS
Triplete( i ét i )[ ]
⎪⎪
⎭
⎬
⎪⎪
⎩
⎨
↓↓
↓↑+↑↓=2ijχ
1;1;
−== z
z
SS(simétrico)
⎭⎩Factor espacial
1 ( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji
sij
ssss ϕϕϕϕϕ +=
{ }1
(simétrico)
( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji
tij
ssss ϕϕϕϕϕ −= (antisimétrico)
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji
tij
ssss ϕϕϕϕϕ −= ( ) ( ) ( ) ( ){ }122121 rrrr jiji
sij
ssss ϕϕϕϕϕ +=
ϕijsϕij
t
2 2
i jji
|ϕijs|2|ϕij
t|2
i jji
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Evaluación de la
⎞⎛
Evaluación de la energía potencial
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−−−=
122121
111111rrrrrr
Ujjiiij
α⎠⎝
Valor esperado de UValor esperado de U
( ) ( )∫ dVdVUUUE * rrrr( ) ( )∫===
espacioeltodo
ijijijijSS dVdVrrUrrUUE 212121 ,, ϕϕϕϕ
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
en el estado singlete: ( )( )11 ii rllamamos ϕϕ =r
( ) ( )∫== sij
sijs dVdVrrUrrUE 212121
* ,, rrrr ϕϕ ( ) ( )∫espacio
eltodoijijss 212121 ,, ϕϕ
( ) ( ) 211221*1
*2
*2
*12
1 dVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ ++= ∫
( )∫∫ += 2112*
2*12121
*2
*1 dVdVUdVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ( )∫∫ + 211221212121 dVdVUdVdVUE jijijijis ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ijK ijJ
ijijS JKE +=
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
en el estado triplete:
( ) ( )∫== tij
tijt dVdVrrUrrUE 212121* ,, rrrr ϕϕ ( ) ( )∫
espacioeltodo
ijijtt 212121 ,, ϕϕ
( ) ( ) 211221*1
*2
*2
*12
1 dVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ −−= ∫
( )∫∫ −= 2112*
2*12121
*2
*1 dVdVUdVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ( )∫∫ 211221212121 dVdVUdVdVUE jijijijit ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ijK ijJ
ijijt JKE −=
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
diferencia de energía entre ambos estados:
EJ > 0
ijts JsEsEEE 2)1()0( ==−==− S=0
S 12J
S=1
Sistema de dos estados
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Construcción del operador Hamiltoniano de espín
il t ód lír jelectróndelespínsrielectróndelespínsi , jelectróndelespíns j ,
sumaespínssS rrr+=
EJ > 0
sumaespínssS ji ,+=
( ) 2222 2 ssssssS ++=+=rrrr
S=0
S 12J
( ) 2 jjiiji ssssssS +⋅+=+=
( )[ ]222
21
jijiji ssssss −−+=⋅rrrr S=1
22
2sSss ji −=⋅
rr
Sistema de dos estados
2ji
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espíin
)1()1( +SSrr )1(2
)(+−=⋅ ssss ji
01S0S
3sss rr 1
+t
ss rr
ES=0
J > 01=S0=S
4−=⋅ ji ss
4+=⋅ ji ss
S=12J
Sistema de dos estadosdiferencia de entre ambos estados:ji ss rr⋅diferencia de entre ambos estados:ji ss
1−=⋅−⋅ts
ssss rrrr
0=S
1−=⋅−⋅ jiji ssss
1=S
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espín
definiendo:
jispin ssCte rr⋅=H
definiendo
ES=0
J > 0
J2HHS=1
2Jy requiriendo:
ijtspinsspin J2=− HH
Sistema de dos estados
que reproduce
jiJCte −=
Obtenemos el
Valor típico de J en materiales con elementos 3d (Cr, Mn, Fe, Co
Ni)
que reproduceHamiltoniano
de Heisemberg
)
JoulesJij2110−≈jiijspin ssJ rr
⋅−= 2H
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j.
Alcance espacial de la interacción de intercambio
Función de onda electrónica Función de onda electrónica
0,, )( rnlaln
lln eLrrR −= Polinomio de Laguerre (át. H)
rerJ α−≈)( Interacción de corto alcanceerJ ≈)( Interacción de corto alcance
Orden magnético de corto alcance. Interacción de intercambio
Electrones 1 y 2 de dos átomos vecinos i,j. Operador Hamiltoniano de espín
Hamiltoniano de Heisembergg
jiijH ssJ rr⋅−= 2H
Werner Heisenberg (1901 - 1976)Paul Dirac (1902 - 1984)
Hamiltoniano de Ising H z
jzizijI ssJ2−=H
Wilhelm Lenz(1888 - 1957)
Ernst Ising (1900 - 1998)
Empleo muy difundido en física y otras áreas del conocimiento
Ferromagnetismo
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
rH, z
Consideramos dos contribuciones a la energía
intercambio Zeeman
∑∑ ⋅−⋅−=i
iBij
jiij HsgssJErrrr μμ0
i
j
Jij > 0 ⇒ ferromagnetismoJij > 0 ⇒ ferromagnetismoNi fcc
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
(1) Aproximamos los espines vecinos sj a cada spin de la red si por su valor esperado <sj> y definimos el campo “molecular” de Weiss Hw
irr
∑ iefiBiB
jjiiji HsgHsgssJE rrrr
⋅−=⋅−><⋅−= ∑ μμμμ 002
2 HHHsJg
H iw
jjij
B
ief
rrrrr+=+><= ∑μμ0
2
campo “molecular” de Weiss Hw
Pierre Weiss (1865-1940)mA /104.6 8×≈
Tesla800≈z
B
ziw u
gspJ
H rr
μμ0
2=
Bgμμ0
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
iefi
iefiBi HmHsgE
rrrr⋅−=⋅−= 00 μμμ
idéntica a la expresión tratada para el paramagnetismo de
t l li dmomentos localizados
( )HmHmBm z00 μμ −=⋅−=⋅−=rrrr
Hssss ==≈
r
(2) segunda aproximación:
)(xBsm zz sHg
x efBμμ0=
zjzizi ssss ==≈
)(xBsm s==
kTx =
⎞⎛⎞⎛ 11212⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=sx
sx
ss
ssxBs 2
coth21
212coth
212)(
s momento angular total
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=sx
sx
ss
ssxBs 2
coth21
212coth
212)(
Teniendo en cuenta que
HsJg
Hj
zijB
ef
rrr+><= ∑μμ0
2
kTsHg
x efBμμ0=
Obtenemos:
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑ ijzBs
efBsz JsHg
kTssB
kTsHg
sBs 200 μμμμ
⎟⎠
⎜⎝
⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
∑j
ijzBssz gkTkT 0 μμ
Ecuación trascendente.Solución formal
Ecuac ón trascendente.La incógnita <Sz> no puede resolverse analíticamente.
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Solución formal
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
jijzBs
efBsz JsHg
kTssB
kTsHg
sBs 200 μμμμ
Solución formal
⎠⎝ ⎦⎣⎠⎝ jkk
(3) tercera aproximación:
Sólo para los p primeros vecinos j0≠= JJij
⎞⎛ [ ]⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += zBsz spJHg
kTssBs 20 μμ
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
[ ]⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += zBsz spJHg
kTssBs 20 μμ
⎠⎝
Simplificando la notación
( )αζζ += xB sz=ζsHgx Bμμ0= pJs22
=α( )αζζ +xBss
=ζkT
x =kT
=α
Ecuación trascendente
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Caso H = 0 ⇒ x = 0
Solución gráfica 0 8
1,0α = αCr
Cr
para4
3 kTpJs22
=α
( )αζζ sB=
Solución gráfica
ζ=y( )αζBy ={ 0,6
0,8
BS(αζ) T
> TC
1
32
kT
( )αζsBy ={0,2
0,4
y = ζ,
B T < TCr
(α > αCr)Condición crítica
0 1 2 3 4 50,0
,
u =αζ
Pendiente Brillouin
Pendiente rectaα/1
31=
+s
su = αζ
ferro3s
H 0 0
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Caso H = 0 ⇒ x = 01,0
α = αCr
r
para4
3 kTpJs22
=α
0,6
0,8
S(αζ) T
> TCr
1
32
kT
de la condición crítica
pJs22 0,2
0,4
y = ζ,
B T < TCr
(α > αCr)
de la condición crítica
CCr kT
pJs2=α
0 1 2 3 4 50,0
0,2
u =αζ
kspJsTC 3
)1(2 +=
Solución Solución
u = αζferro
Solución ferromagnética: BS ≠ 0 ⇒ <sz> ≠ 0
(para T<TC)
Solución paramagnética:
BS = 0 ⇒ <sz> = 0 C d á i (para C)
Corresponde a un mínimo de energía (T<TC)
Corresponde a un máximo de energía para T<TC y a
un mínimo para T>TC
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
spJsT )1(2 +k
pTC 3)(
=
sssz=ζ
1
CTTt =
00 1
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
kspJsTC 3
)1(2 +=
MaterialCurie
temperature(K)
Temperaturas de Curie
(K)
Fe 1043
Co 1388
Ni 627
Gd 293
Dy 85
CrBr3 37
Au2MnAl 200
Cu2MnAl 630
Cu2MnIn 500
EuO 77
EuS 16 5EuS 16.5
MnAs 318
MnBi 670
GdCl3 2 2GdCl3 2.2
Fe2B 1015
MnB 578
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación del spin s y la integral de intercambio J para el Fe bcc (α)
kspJsTC 3
)1(2 +=
)1(23
+=
spskTJ C
(1) sFe?
ss
(1a) MS vs T
s
sFe = ½ ó sFe = 1
T/Tc
Ejemplo: estimación del spin s y la integral de
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación del spin s y la integral de intercambio J para el Fe bcc (α)
bcc FesFe?
(1b) valor de MS a 0 K
bcc-Fe
TeslaM S 198.2=
at VMmmM
a = 2.865 Å
atSatat
atS VMm
VVM =⇒==
==2cel
SatVMm BS Amxmx
mAaM μ
π23.210065.210
2)865.2(
104198.2
2223330
3
7
3
==×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×=× −−
−
BFeBFeat sgsm μμ 2==
sFe ≈ 1.115
Ejemplo: estimación de la integral
Análisis simple del Ferromagnetismo. Teoría del campo molecular para electrones localizados en un sólido elemental.
Ejemplo: estimación de la integral de intercambio para el Fe bcc (α)
p = 83kTJ C1043K
bcc-Fe
)1(23
+=
spskTJ C
( )1.115
( ) Joulexxxx
KxKJoulexxJ Fe21
23
1021.1115.2115.182
1043/1038.13 −−
− =≈α
ss
sJoulexJ Fe211021.1 −
− ≈α
Fe ⇒ TC = 1043 KFe ⇒ TC 1043 K
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