INTKRPOLACION DE BIRKHOFF A PARTIR D~ UNA FORMULACION VARI~CIONAL
ASOCIADA AL METODO DE LOS E~QS Fl~ITOS
J. CARDONA, A. SAMARTIN
Departamento: Analisis de Estructuras
E.T.S. de Ingenieros de Caminos
Universidad de Santander
RESUMEN
El problema de la interpolacion pol~nomica de Birkhoff,como es conocido,no siémpre admite solucion.Se presenta un metodo como alternativa a este tipo ~e problemas para la obtencion de interpolantes con unas condiciones de continuidad determinadas y en el cual el criterio de aproximaciones el :de minimiz~cion de un cierto funcional real utilizando el .etodo de loa elemento• finitos.Se anal.tza la eficiencia del método en -divereos ejedplos de aplicacion 1-D y 2-D.
1.-INTRODUCCÍON
Existen numerosos problemas en la Ci Jncia y en la Tecnica que pre
cisan para su resolucion la utilizacion de procedimientos de interpola
cion,como por. ejemplo:
a)En f a fabricacion automatizada de objetos mecanicos existe la
necesidad de algoritmos que permitan pasar de un diseño definí -1 do por un conjunto de datos puntuales mas unas condiciones de
estetica y/o aerodinamicas,etc .. ,a la reali zacion de la forma
.continua.
b) En el trazado de vias de comunicacion puede ser interesante el
diseño del eje de forma que sea lo mas suave posible (condicion
de 1 comodidad y seguridad de la circulacion) y ademas satisfaga
~a serie de datos puntuales exactamente o dentro de un entorno
de error.
Se trata aqui el problema de interpolacion yaproximacion de fun-
· ciones 1-D y 2-D con un orden de continuidad Ck a partir de un conjunto
de datos de Birkhoff sobre un conjunto n y con la condicion de minimiza
cion de un determinado funcional cuadratico. n Despues del planteamiento general en R se pasa a una formulacion-
1-D y 2-D con distintos ejemplos de aplicacion,comparandose la solucion -
exacta con la generada por el metodo.
2.-PLANTEAMIENTO GENERAL
Sea O un dominio acotadq de R,N • W ~( o~ es pacio de las funcio
nes u El¿ ( O ) cuyas derivadas de <Wden ~ m son de L 2
( n ) , con el produc-
to escalar (u,v) = r
~( o ) lil~ m
ti 1 a. u
i i (D u~D v)
L2 < n )
i D u = i _ i2 i ax1 l ax2 •••axNN
+ •• • •• + iN
constituye un espacio de Hilbert[1],[2]
Dada la SUCesion de formas lineales COQtinuas so~re wn2
( O)
1~ i~ n y los datos r=( r 1 ,r2 , • • • rn) m
u e w2 ( o) que satisfaga
L1
(u)=r. y ademas minimice el funcional
1real
Fu = ¡ r rl ~~~ m
i 2 a. (x) (D u) dx
1
,n E R , ~,ncoQtrar una funcion
con ai(x) funciones reales , medibles Lebeegue y acotaqas a0
(x'P J
ai(x)~ O y m;>O.
3.-FORMULACION 1-D
(3.1)- Enunciado
L. 1
( 1 )
Dados los nodos de ínterpolacion a~ X{ .. ..... xnn'S: b y los numeres
reales rik 1~ ~nn, O~ k~ ki donde k¡ indica el maximo orden de deriva -
cion en el nudo i .La determinacion de una funcion u E P(a,b) que interpo
le los datos k
u ( xi) = r ik (n ecuaciones)
y cumpla la condicion J b(
dnu 2 d xh ) dx = O
n-1
(2)
( 3)
constituye un probl~ma típi co de interpolacion polinomica dentro del cual
se pueden distinguir los siguientes casos:
l)Si k . =0 'lf i ,es un problema de Lagrange . 1.
2)Si la sucesion o~ k~ k. 1
,no tiene salto,setrata de
un problema de Hermite.
3)Si x i = x 1 (un solo nudo) y la sucesion O< k~ ki es ininte
rrumpida,estaremos en el problema de Taylor.
En general se tiene el problema de interpolacion de Birkhoff.
Como es conocido [ 3 ] ,existe solucion unica de (2) para los
tres casos y ademas hay metodos de construccion del polinomio interpola-
dor.Mientras que en el caso general para la interpolacion de Birkhoff no
se puede asegurar lo mismo [4) ~Por otra parte , un serio inconveniente -
a la interpolacion polinomica en un gran numero de puntos se debe a que
el error de interpolacion puede aumentar con el grado del polinomio [3][s.]
Una extension a este problema corresponde a sustituir la condicion -
(3) por la de que el siguiente funcional real sea mínimo
b m Fu = f L
a i=O
i 2 a . ( x) (u ) dx ~
(4}
con ai suficientemente uniformes y no negativos en[a,b], a( x )> o y m t.q o
IFul < •
La integral (4) tiene sentido en el espacio ~ (a ,b).El problema
entonces se puede formular
min{Fu,ut:U}
(3.2)-Metodo de los elementos finitos
Es una particularizacion del metodo de Ritz y permite generar una
solucion aproximada de la forma
n
u (x) = Í u . '. (x ) n F1 J J
en un subespacio finitodimensional Vncw; (a,b) mediante una eleccion muy
concreta de las funcíones base • }x).
Se discretiza el dominio n =[a,b] en NE elementos ,obteniendo
asi el dominio
Q h = NE u Q
e=l e El metodo conduce al sistema glo ,al
K ll u1 = -K1 . U. -- - - l -l
donde el vector de incognitas ~1 contiene los grados de libertad libres
asociados a cada nudo.Los subíndices 1 e i varían entre los g .d.l. libres
e impuestos iespectivamente.De las propiedades de la forma (4) se deduce
que la matriz de rigidez ~1 es simetrica ,definida positiva e invertible
,por tanto el sistema es unicamente resoluble para cada n>O , asi como la
convergencia de la sucesion de Ritz un(x) a lasolucion exacta . ((1] , [2],
[6 ) f¡ b. -1
-~1 = ~11(-~}i ~i) El valor del mínimo se obtiene al sustituir ésta en la expresion del fun
cional(4)
Este metodo permite generar interpolantes u (x) de clas e Cm en el domi--n K
nio de cada elemento , pero con un orden de continuidad en los nudos C -
K=min l. determinado por el tipo de elemento utilizado. 1
Se puede r educir el orden de continuidad K en un nudo si se dis
minuye el numero de g.d .l. asoc iados a ese nudo .Sin embargo es posible -
sin necesidad de modificar las funciones de forma vari ar el orden de conti
nuidad y el crecimiento del interpolante e n un punto x al asociar dos i
nudos a la misma posicion x. , con lo cual se independizan los g.d.l . co--1
rrespondientes , e imponiendo ademas las condici ones requeridas.
Este hecho se puede aprovechar para aproximar funciones con dis- -
continuidades puntuales . Un caso tipico corresponde a las soluciones fun-
damentales de problemas con valores de contorno (funciones de Green) ;¡ue
presentan discontinuidades de este tipo {10).
(3 . 3)- Ejemplo de aplicacion
Encontrar u(x),xt[-1,1) t . q. u( -1 ) = 1 u'(O) = u0 (dato) u( 1) = 1
y minimice l os siguientes funcionales
1 2 2 2 Fu= 1_1 (a
0• u +a
1 • u' +a
2• u" )dx
( 5)
En general este problema de interpo1ac i on (5) no admite solucion por po
linomios p tP2f.- l , 1) , ya que el determinante del sistema p(-1) = 1 p'(O) =u' o p(l) = 1
es igual a cero.
Con la condicion de suavidad introducida en la minimizacion de F se apor
ta una solucion a este problema .
Se ha utilizado una malla formada por dos elementos· de igual longitud con
distintos gdl asociados a cada nudo (Fig. 1)
Variando el dato u• , el numero de gdi y los coe ficientes a se obtienen o
distintos casos de estudio .Algunos resultados &e--pr·esenta:rt é'n la Tabla 1
S~ observa un aumento en la exactitud con el orden de los elemen-1 .. 2 2 1 2 1 2
tos (casos J u +U' dx j J u dx ) . Con el funcional 1 u 1 dx .. , solo admite -1 -l . 1
solucion clásica(soluc1on ec . Euler)1
con u0 =O ,siñ embargo se da una s o-
luc ioh aproximada , Finalm~n•~ •" 1 ut• 2 dx se observa el acuerdo en-
tre las dos soluciones si se utilizaÁ elementos d d 3 (' e or en polinomios
de tercer grado ),no asi par~ qtrqs orde~es.
(3. 4)-Ejemplo de aplicaeion
Conocidos una serie de datos de una funcion f(x) en [ o,w] corres
pondientes a Yalores de la funcion y derivadas Qe orden ~2(datos de
Birkhoff ) en distintos puntos del intervalo,se trata de obtener la fun
cion u(x) qu~ los satisface y minimiza los funcionales
Fu = 1f 2 ,2 2 2 1 a u a u a u' ' a u ' ' ' dx o + 1 + 2 + 3 o
En la 'Tabla 2 se presentan los resultados obtenidos con una malla 2
formada por 41 nodos igualmente espaciados y elementos e .Los casos 4,5,6
corresponden adatos aleatorios ,mientras que en los tres primeros se ha
optado por una distribucion mas regular,con un porcentaje de datos mayor
para los gdl •de orden mas bajo •.
Se observa el incremento de la calidad de la aproximacion con el -
numero de datos . Así,con un rendimiento del 36.59% se obtiene una exac-
titud hasta la cuarta cifra decimal.
A continuacion se ha estudiado el efecto de una discontinuidad de
salto en la derivada primera.Los datos corresponden ahora a la funcion
f(x)=ls~n xl en [0,•2]Y 2W
2 2 2 Fu = 1 a u + a u ' a u ' ' dx
o o 1 + 2 2 La malla utilizada consta de 42 nudos y elementos C .Los gdl asociados
a los nudos 21 y 22 se han independizado al -imponer x21 =x22 . Existe sin
embargo la posibilidad de hacer coincidir alguno de estos gdl,obteniendo
se así los casos de analisi s indicados en la Tabla 3 .
En la Tabla 4 se observan los resultados obtenidos con distintas -
distribuciones de datos .
Conclusione~ similares al caso anterior se aplican aquí.Por otra
parte con el mismo numero de datos , se obtienen mejores resultados al
imponer el valor de la funcion en el nudo que presenta discontinuidad .
En las Figs.3 y 4 se ilustran las soluciones aproximadas para los
casos indicados en las Tablas 2 y 4 respectivamente.
4-EXTENSION A PROBLEMAS 2-D
(4.1)-Enunciado
Dado el conjunto de puntos del plano p1. 1~ i~ N y los numeres
i reales rl-k,l • se trata de encontrar una funcion u dentro del espacio
de funciones admisibles \11~ ( n) que sati.sfaga
1-k k a x ay =
í rl-k, l O~l~k .
l ~k~ l (sucesion inte
rrumpida,datos de Birkhoff
con k el maximo orden de derivacion asociado al punto p y minimice el 1 i '
funcional
2 Existen configuraciones concretas de n puntos de R y espaci os
finitodimensionales de polinomios de manera que el correspondiente pro--
blema de Hermite o Lagrange tiene solucion unica ( (3][8] ) . Se sabe tam
bien que (como en el caso 1-D)al añadir nuevos nudos ,mas que aumentar el
grado del polinomio,conviene subdividir n en elementos
(4.2)-M~todo de los Elementos Finitos
El metodo sigue una pauta similar a la descrita anteriormente por
lo~~~ no se expone.Cabe indicar que se ha empleado una metodología nrasdi
recta desde el punto de vista numerico .Asimismo se ha utilizado la fami
lia de tñ~erelementos ~extraclase H [9)como elementos finitos.En la Fig
5 se representan las funciones de forma de un hipere lemento típico .
(4.3)-Ejemplo de aplicacion
Con objeto de comprobar la eficiencia de esta interpolacion 2-D
se ha estudiado la interpolacion de una serie de datos de Birkhoff co---
2 2 2 rrespondientes a la superficie esferica x +Y+ z =gen (0,1Jx[0,1] .
Unicamente se presentan los resultados obtenidos con el hiperele-
mento K.-:1, H=l (Fig5) ,de clase C 1 y la malla de 50 elementos indicada en la
Fig 6 .La Tabla 5 corresponde a una distribucion de datos con mayor por
centaje para los gdl de orden inferior . Y l ~Tabla 6 a una dis tribucion
aleatoria .La Figura 7 represent a los cortes por planos z=cte . con la ·
superficie interpolante para\el. caso i ndicado en la Tabla 6
Se observan mejor es r esultados a l i mponer un mayor peso en el fun
cional a l os gdl que aparecen en menor porcent aje como datos de entrada -
Asimismo se ha notado el incremento en la exactitud de los resu l
tados con el or den de los elementos .
El metodo puede extender se uti lizando elementos de mayor orden de
continuidad,pero con un mayor coste de calculo,debido entre otros aspec-
tos al aumento del ancho de banda y a un mayor numero de puntos de Gauss
en la integrac i on numer ica¡ pero con la ventaja de una mayor aceleracion -
de la convergencia.
REFERENCIAS
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Flq 3 Sotuclon aprcnclmada
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Flq 4 Soluclon •proKimede
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FU"(JON O~ rCRM• ~
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Fiq 5 Funciones de forma
hlperelemento K=1 H=1
~NCIOII~L -
CASO RDIOI"IDITO SCLUCJON
lxu"uo ~tOS/NUitLRO GOL SCUUC ION APROXIMADA rx~cTA
~o 4 1 6 :1 6 3
(\) ru r f f (x) n
1 1 1 o 1 14.63 4.7113!1 .. . 71239 senx ' 2 7~ . 33 4 . 7121'1
1 3 36 $9 ... 71738 (f"~g.)) '
' .. ~~ .63 .. . 710 17
l ~ 20 . 33 4. 709<,8 6 36. ~9 --. 71:?3• ¡o :> l o 1 1~ .63 1. 5701)8 l. 'Jf08'"' ~eux
2 ~C .33 1. 57077
¡ 3 ; r .s<- 1 . 5707') 4 l' . 63 1. S70SS
1 S ~(. 33 l. 570: J 1) ;¡~.5 9 1 .!.7, 7~
CASO CONDICIONES F.S Ll\ DI SCOtlTINUlOAD
u(x21) U(XH) u ' (x21) u ' 1x22
1 u·' 1"21 1 u '' 1x22
1
1 lii¡>UeStOS
1 (dato ) 1 ndeper.d 1 entes igual os
2 iqueles : 1nde¡..end u.nte~ lndependlonte s
--- -· 3 independlenté~ 1ndependien tes lquale!>
Tabla 3 Casos de anallsis
fUNCION.>.L MALU.l CASO NUM. OATOS VALOR DE ru
"o a a2 a l IIUM. C.O.L. .>.PROXIMADO EXACTO
1
1 1 1 o 1 l6. S 1 9. 42 439 9 . 4 2478 riq.'o
1 2 H.92 9. 39950
l 34.92 9.39950
1 1 l6.SI 9. 42141
1 2 2 J4 .92 9.)912)
) 34.92 9.390lS
Tabla 4 Resultados lnterpolacton 1-D. ffxl=l sen x 1
2 2
3 u -1. o. • 1. u• u• u'
~u, ~~~l
fl_q 1 Malla con dlstintosq_d_l ,/nudo
¡
OliL/JI\' 110 Y.r.lJ'~ DE l'v fiKJOIA1. '"'~ • ••tri ~'""' JU!IOl 11 t(IYJ~·~ r.UC'TO
1 2 1 1. ~2VII 1.)2)19
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t 2 1 c.~ O. C«<O
1 t.c,._).t J ..... .CS¡)·1 1 •'( )o 2 2 .2 • 0.2~
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•("1)·1 a 2 a O,OOOCIO "''2 •'Ca,).c: o 1 • ttldlol
~- ••• z._ .c"l )•1
F-1 •'(:f)· 2 2 2 6,CCOCO .c.., •1
tUL& 1 ,. looulu«oo • J"I'lo • • ooUuoln 1-D
1
1 1 1
1 1
r 1
- - - ------------~--
e
IWI 1 CIO' r.ucr•
.-'!, •• )
.- . •> u[-1,1)
~·~2[-l. 1)
lt L2 (-t . ~
b
f IU"I • 0 . 060606
Fiq 2 Soluclon aproximad a con
elementos c1 e? c3
.,
Flq 6 Malla de elementos finitos
fuNciONAL
• (u2 •u2 + ;: XX xy
u2
ldn YY
R!:NDl MlEIITO 11!0.\TOS/)I!C.OL( \ )
)2.22
55.48
12.22
55.411
PIUNI• ··~
ll
VALOR DE ru APROXIMADO EXACTO
8.64769 8.67850
8.67287
o. 2))24 o. 262)2
<;.25718
Tabla~ Resultados e¡emplo 2-0
KA~: tiE•50
[FUNCIONAL ltDID 1 Ml OM'O VALOR DE ru 1 ti!OATOSI)I!COt.(\ l APROXIMADO I:XAC:TO
IJ, ru2• u2 •u2+ 4).19 8.65720 8.67150
ll " y 55.48 8.66791 f+u2 +u2 +u2 ldll ':5 . 45 8 . 6701)
"" xy yy
Flq 7 Solucl on aprolt lmada
OBSEPVAC I O
NES
ODSU.'/1\C I O-!lES
flq 7
Tabla 6 Auultados 2 - D (datos a leator ios)
23
TITULO: FRECUENCIAS DE SCATTERING EN EL PROBLEMA DE VIBRACION DE
UN CUERPO VISCOELASTICO INMERSO EN UN FLUIDO COMPRENSIBLE
DE PEQUERA DENSIDAD.
AUTOR(ES): J .CAI NZOS.
CENTRO DE TRABAJO: Universidad de Santaigo de Compostela.
RESUMEN: Se pretende estudiar las frecuencias propias de vibraci6n
de un sistema formado por un cuerpo viscoel~stico que ocu
pa un d ominio acotado de R3 , rodeado de un fluido de pequ~
ña dens i dad E~O que llena el dominio exterior. Se a w0 un
elemento de l espectro discreto del problema de vibraci6n
del cue rpo viscoel~stico en el vac!o tal que su mult i plic!
dad algebraica es m<~. Se demuestra que si E e s suficien
temente pequeño, existen exactamente m frecuencias propias
wi{ E) c o nve rgentes, cuando E -~0, a w0
• La multiplicidad
algebraica t otal es m.
TITULO: INTERPOLACÍON DE BIRKHOFF A PARTIR DE UNA FORMULACION VARIA
CIONA.L ASOCIADA AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
AUTOR(ES): J.CARDONA PARDO Y A.SAMARTIN QUIROGA.
CENTRO DE TRABAJO: Universidad de ~Q.tander.
RESUMEN: Como es c o nocido¡ no siempre admite solución el problema
de inte r polaci6 n poliri6mica de Birkhoff. En este trabajo
se presenta un mét~do como alternativa a e ste tipo de p r2
blemas para l a obtención de interpolantes con unas condi
cione s d e continu i dad determinadas y en el cual el criterio
de apro x imaci6n es el de minimización de un cierto funcio
nal r ea l u t i l izando el método de los elementos finito s . Se
~escribe e l mé todo e mpleado y s e analizan diversos ejemplos
de apl icaci6n para las s ituaciones 1-D y 2~0.
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