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IntroducciIntroduccióón a lan a ladindináámica de sistemas mica de sistemas multicuerpomulticuerpo
Seminario: “Introducción a la dinámica de sistemas multicuerpo y aplicaciones en biomecánica”
Curso de Biomecánica del Master en Ingeniería Biomédica de la UPC
Javier Cuadrado Aranda Barcelona, 27 de noviembre de 2009
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Desarrollo virtual de productoDesarrollo virtual de producto
Ventajas:
• Anticipación del comportamiento del sistema en las primeras fases del ciclo de diseño.
• Reducción de prototipos físicos y ensayos experimentales.
• Consecuencias: mayor calidad, menor coste, antes en el mercado.
Sistema multicuerpo: sistema mecánico móvil o con partes móviles.Dinámica multicuerpo:
Simulación por ordenador de la dinámica de sistemas multicuerpo.
Forma parte del concepto de desarrollo virtual de producto (virtual productdevelopment).
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DinDináámica mica multicuerpomulticuerpo ((MultibodyMultibody dynamicsdynamics))
Sectores industriales de aplicación:Automoción, Aeroespacial, Ferroviario, Naval, Maquinaria pesada, Máquina-herramienta, Robótica, Biomecánica, Médico, Deportivo, Entretenimiento, etc.
Aplicación en todas las fases del ciclo de diseño:
Diseño, Simulación, Análisis, Control, Ensayo, Fabricación y Mantenimiento.
Mecánica computacional de máquinas y mecanismos: mecánica + métodos matemáticos + programación.
Permite resolver en el ordenador la dinámica directa (y la cinemática, y la dinámica inversa) de modelos de vehículos, máquinas y mecanismos tan detallados como se desee.
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EjemplosEjemplos
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EjemplosEjemplos
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Fases del problemaFases del problemaFases del problema de dinámica multicuerpo:
Modelado físico: simplificaciones, teorías para flexibilidad, contacto, etc.Selección de coordenadas.Formulación de ecuaciones del movimiento: cinemática y dinámica.Integración numérica.Implementación: Fortran, C++, Matlab.
Cuestiones básicas:Modelado.Cinemática.Dinámica.
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Modelado: mModelado: méétodo tradicionaltodo tradicional
Tradicionalmente, en Mecánica clásica se modelan los mecanismos mediante coordenadas mínimas.Coordenadas mínimas: tantas como grados de libertad del sistema (independientes).Problemas en cadenas cerradas.
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Modelado: mModelado: méétodo computacionaltodo computacional
Coordenadas dependientes: más que grados de libertad del sistema.Relacionadas por ecuaciones de restricción.
n: número de coordenadas
g: número de grados de libertad del sistema
m: número de ecuaciones de restricción
m=n-g
Tres familias: relativas, punto de referencia, naturales.
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Modelado: relativasModelado: relativas
+ + − =AB BC CD AD 0
L1 cosψ1 + scos(ψ1 + ψ2 − π) + L3 sen(ψ1 + ψ 2 − π ) − L4 = 0
L1 senψ1 + ssen(ψ1 +ψ 2 − π) − L3 cos(ψ1 + ψ 2 − π ) − L4 = 0
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Modelado: punto de referenciaModelado: punto de referencia(x1 − xA ) −
L12
cosψ1 = 0
(y1 − yA ) −L12
senψ1 = 0
(x1 +L12
cosψ 1) − (x2 −L22
cosψ 2 ) = 0
(y1 +L12
senψ1) − (y2 −L22
senψ 2 ) = 0
ψ 3 − (ψ2 +π2
) = 0
(x2 − x3)cosψ 3 + (y2 − y3)senψ 3 −L32
= 0
(x3 − xD ) −L32
cosψ3 = 0
(y3 − yD ) −L32
senψ 3 = 0
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Modelado: naturalesModelado: naturales
(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0
(x3 − xD )2 + (y3 − yD )2 − L32 = 0
(x2 − x1)(x3 − xD ) + (y2 − y1)(y3 − yD ) = 0
(x3 − x1)(y2 − y1) − (y3 − y1 )(x2 − x1) = 0
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Modelado: mixtas (naturales + relativas)Modelado: mixtas (naturales + relativas)
(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0
(x3 − xD )2 + (y3 − yD )2 − L32 = 0
(x2 − x1)(x3 − xD ) + (y2 − y1)(y3 − yD ) = 0
(x3 − x1)(y2 − y1) − (y3 − y1 )(x2 − x1) = 0j
1 1 1 4( )( ) ( )( ) cos 0A D A A D Ax x x x y y y y L L ϕ− − + − − − =
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Modelado: ejemplosModelado: ejemplos
ϕ ψA B
1 2
ϕ
A
B1
s
3
2
pApB
p1
p2
p3
vA
vB
v1
ϕ
ψ
p1
p2
pA
pB
vA
vB
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Modelado: ejemplosModelado: ejemplos
p1
v1p2
p3
p4
p5
p6v2
p7
p8
p9
p10
v3
x
y
z
s
x y
z
ϕ
ψ
s
pA
pB
pC
pDpE p1
p2
vA
v1v2
v3
v4
v1
v4
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CinemCinemáática: problema de posicitica: problema de posicióónnq t = x1, y1, x2 , y2,α{ }
(x1 − xA )2 + (y1 − yA )2 − L12 = 0
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − L22 = 0
(x2 − x B)2 + (y2 − yB )2 − L32 = 0
(x1 − xA ) − L1 cosα = 0
Φ(q) = 0
Φ(q) ≅ Φ(q0 ) + Φq (q0 )(q − q0 ) = 0 Φq (q0 )(q − q0 ) = −Φ(q0 )
Φq (q) =
2(x1 − x A) 2(y1 − xA ) 0 0 0−2(x2 − x1 ) −2(y2 − y1) 2(x2 − x1) 2(y2 − y1) 0
0 0 2(x2 − xB ) 2(y2 − yB ) 01 0 0 0 L1 senα
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Φq (qi )(qi+1 − qi ) = −Φ(q i )x
y
f(x)
x ix i+1x i+2
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CinemCinemáática: problema de velocidad y aceleracitica: problema de velocidad y aceleracióónn
0qΦ =)( ( ) 0qqΦq = qΦqqΦ qq −=)(
Φq (q) =
2(x1 − x A) 2(y1 − xA ) 0 0 0−2(x2 − x1 ) −2(y2 − y1) 2(x2 − x1) 2(y2 − y1) 0
0 0 2(x2 − xB ) 2(y2 − yB ) 01 0 0 0 L1 senα
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+−
+
−=−
αα cos)(2
])()[(2)(2
21
22
22
212
212
21
21
Lyx
yyxxyx
qΦq
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DinDináámica: ecuaciones del movimientomica: ecuaciones del movimiento
QλΦqM q =+ t
0Φ =
QλΦqq q =+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ t
dd
∂∂
∂∂ TT
tqMq t
21
=T
Ecuaciones de Lagrange Energía cinética
Sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas (DAE)
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DinDináámica: matriz de masas y vector de fuerzasmica: matriz de masas y vector de fuerzas
( )( ) ( )( )( )
t TG 1
t1 1 TG 1 G G 1 G 1
m m
m m
−
− − −
⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥− Π + − −⎣ ⎦
r r XM
X r r X r r r r X
( )
( )
( )
G
12
12
12
x y z xy xz
xy x y z yz
xz yz x y z
I I I I I
I I I I I
I I I I I
⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Π
[ ]=X u v w
TP=Q C F
[ ]1
P 1 2 3 Pc c c
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
ru
r I I I I C qvw
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DinDináámica: mica: LagrangeLagrange estabilizadoestabilizado
QλΦqM q =+ t
0Φ =Se trata de resolver
las DAE
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡qΦ
Qλq
0ΦΦM
qTQλΦqM q =+ t
0Φ =
Opción: pasar a ODE
QλΦqM q =+ t
0ΦΦΦ =++ 22 ωξω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ΦΦqΦ
Qλq
0ΦΦM
q2
T
2 ωξω
Inestable
Estable
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DinDináámica: matriz Rmica: matriz R
QλΦqM q =+ t
0Φ =
zRq =zRzRq +=
( )zRMQRzMRR −= TT
QzM =
Paso a coordenadas independientes
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
0...1...0
.....................
.....................
......
...
...
1
1
11111
nfnin
ifiii
fi
n
i
RRR
RRR
RRR
q
q
q
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DinDináámica: mica: penalizadorespenalizadores
QλΦqM q =+ t
0Φ =
( )ΦΦΦλ 22 ωξωα ++=
( ) QΦΦΦΦqM q =+++ 2T 2 ωξωα
( ) ( )ΦΦqΦΦQqΦΦM qqqq2TT 2 ωξωαα ++−=+
Aproximación de los
multiplicadores
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DinDináámica: integracimica: integracióón numn numééricarica
Se ha visto que las DAE se pasan a ODE.Existen gran cantidad de integradores disponibles para ODE de primer orden de la forma:
Como nuestro problema es de segundo orden, hay que duplicar variables para usar esos integradores:
Propiedades de los integradores: estabilidad y precisión.Problemas stiff.
),( tyfy =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
y⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
y
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DinDináámica: integracimica: integracióón numn numééricarica
Clasificación de los integradores:Paso simple (single step) vs paso múltiple (multistep).
Paso fijo vs paso variable.
Explícitos vs implícitos (iteración: punto fijo vs Newton-Raphson).
( )11 2 ++ ++= nnnnΔt yyyy
( )211 2yyyy ++=+
Δtnn
( )tn ,1 yfy =
( )ΔttΔtn ++= ,12 yyfy
( )3211 937595524 −−−+ −+−+= nnnnnnΔt yyyyyy
( )2111 519924 −−++ +−++= nnnnnnΔt yyyyyy
1n n nΔt+ = +y y yEuler explícito
Regla trapezoidalRunge-Kuttaexplícito de 2º orden
Adams-Bashforth / Adams-Moulton
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Aplicaciones industrialesAplicaciones industriales
Las diferentes fases del problema deben ser consideradas de manera conjunta:
modelado físicoselección de coordenadasformulación de ecuaciones del movimientointegración numéricaimplementación
El desafío es mayor cuanto mayor detalle se requiere en el modelo:
flexibilidadcontactocontrolmultifísica
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Aplicaciones industrialesAplicaciones industriales
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InvestigaciInvestigacióón en el LIMn en el LIMTeórica.
Métodos eficientes para la dinámica de sistemas multicuerpo.• Aspectos: modelizado físico, selección de coordenadas, ecuaciones del
movimiento, integración numérica, implementación.• Fenómenos: flexibilidad, contacto, multifísica (hidráulica, electricidad, etc.).• Complementos: control, optimización.
Aplicada.Simuladores: automóvil, excavadora.Control de automóviles.RV en operaciones de montaje y desmontaje.Diseño de ortesis para ayuda a la marcha de discapacitados.Simulación de redes y aparejos de pesca.
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SimulaciSimulacióón en tiempo realn en tiempo realEl movimiento del sistema multicuerpo es simulado por el ordenador en el mismo tiempo en que se produciría en la realidad.Necesario en simulaciones con:
Human-in-the-loop Hardware-in-the-loop
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Simuladores: automSimuladores: automóóvilvil
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Simuladores: excavadoraSimuladores: excavadora
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Simuladores: excavadoraSimuladores: excavadora
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Control de automControl de automóóvilesvilesValidación directa e inversa de modelo.
Sensorización y actuación de prototipo.
Steering-by-wire.
Modelo como observador de estados (sensor virtual).Desarrollo de controladores.
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RV en operaciones de montaje y desmontajeRV en operaciones de montaje y desmontaje
Modelos de piezas y herramientas importados desde el CAD.Simulación en tiempo real con gravedad, impactos, etc.Interface: captura óptica del movimiento y HMD o pantalla estereoscópica.
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DiseDiseñño de o de ortesisortesis para ayuda a la marcha de discapacitadospara ayuda a la marcha de discapacitados
SW para probar ortesis sobre el paciente de manera virtual.
Dinámica directa: optimización.
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SimulaciSimulacióón de redes y aparejos de pescan de redes y aparejos de pesca
Modelos de gran tamaño.Fuerzas de interacción con el agua.Contacto con el fondo marino.
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