LMITES
1) 3
32lim
2
3
x
xx
x
Factorando
lim3
( 3)( + 1)
3
Simplificando
lim3
+ 1
1
Evaluando
3 + 1
1= 4
En GeoGebra se procede de la siguiente forma
a) En Entrada escribir la funcin
b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de lmite, se despliega algunas opciones.
d) Escoger la opcin
e) En Funcin, escribir f(x). En Valor numrico escribir 3
f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el lmite de la funcin cuando x tiende a 3)
h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir lmite
j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2) xx
xxx
x 9
214lim
3
23
3
Factorando, simplificando y evaluando.
lim3
(2 + 4 21)
(2 9)= lim
3
( + 7)( 3)
( + 3)( 3)= lim
3
( + 7)
( + 3)=3 + 7
3 + 3=10
6=5
3= 1,67
3) 122072
128lim
234
23
2
xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 1,2,3,4,6,12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
( 1)(3 2 8 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim2
3 2 8 + 12
( 1)(3 2 8 + 12)= lim
2
1
1=
1
2 1=1
1= 1
4) 1
23lim
2
1
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim1
2 + 3 2
12 + 3 + 2
2 + 3 + 2= lim
1
2 + 3 4
( 1)(2 + 3 + 2)
Factorando
lim1
2 1
( 1)(2 + 3 + 2)= lim
1
( + 1)( 1)
( 1)(2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim1
( + 1)
(2 + 3 + 2)=
1 + 1
12 + 3 + 2=
2
4 + 2=
2
2 + 2=2
4=1
2= 0,5
5)x
xx
x
11lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim0
1 + 1
= lim
0
1 + 1
1 + + 1
1 + + 1
Realizando las operaciones
lim0
1 + (1 )
(1 + + 1 )= lim
0
1 + 1 +
(1 + + 1 )= lim
0
2
(1 + + 1 )
lim0
2
(1 + + 1 )=
2
(1 + 0 + 1 0)=
2
1 + 1=
2
1 + 1=2
2= 1
6) 741
63lim
2
x
x
x
lim2
3 6
1 4 7= lim
2
3 6
1 4 71 + 4 7
1 + 4 7= lim
2
(3 6)(1 + 4 7)
1 (4 7)
lim2
3( 2)(1 + 4 7)
1 4 + 7= lim
2
3( 2)(1 + 4 7)
8 4
lim2
3( 2)(1 + 4 7)
4( 2)= lim
2
3(1 + 4 7)
4=3(1 + 4 2 7)
4=3(1 + 1)
4
6
4=
3
2
7) 123
2lim
4
x
x
x
lim4
2
3 2 + 1= lim
4
2
3 2 + 12 +
2 + 3 + 2 + 1
3 + 2 + 1
lim4
(4 )(3 + 2 + 1)
(2 + )(9 2 1)= lim
4
(4 )(3 + 2 + 1)
(2 + )2(4 )= lim
4
(3 + 2 + 1)
2(2 + )
(3 + 2 4 + 1)
2(2 + )=
3 + 9
2(2 + 4)=
3 + 3
2(2 + 2)=
6
2(4)=3
4= 0,75
8) 11
11lim
30
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim0
1 + 1
1 + 3
1(1 + 3
)2+ 1 +
3 1 + 12
(1 + 3
)2+ 1 +
3 1 + 12
1 + + 1
1 + + 1
lim0
(1 + 1) ((1 + 3
)2+ 1 +
3+ 1)
(1 + 1)(1 + + 1)
lim0
(1 + 3
)2+ 1 +
3+ 1
1 + + 1=(1 + 03
)2+ 1 + 0
3+ 1
1 + 0 + 1
(13
)2+ 1
3+ 1
1 + 1=1 + 1 + 1
1 + 1=3
2= 1,5
9) 1
3lim
34
1
x
xxx
x
Cambiando la variable
= 12
=
813 = 81
3= 2
lim121
124
+ 123
+ 122
3
12 1= lim
121
124 +
123 +
122 3
12 1
Factorando
lim121
3 + 4 + 6 3
12 1= lim
121
6 + 4 + 3 3
12 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 1,3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0 ( 1)(5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3)
12 1 = (6 + 1)(6 1) = (2 + 1)(4 2 + 1)(3 + 1)(3 1) 12 1 = (2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)( 1)(2 + + 1)
Remplazando
lim121
( 1)(5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3)
(2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)( 1)(2 + + 1)
Simplificando
lim121
5 + 4 + 23 + 32 + 3 + 3
(2 + 1)(4 2 + 1)( + 1)(2 + 1)(2 + + 1)
Remplazando
12 = 1
1212
= 1212
= 1
15 + 14 + 2 13 + 3 12 + 3 1 + 3
(12 + 1)(14 12 + 1)(1 + 1)(12 1 + 1)(12 + 1 + 1)
=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 1 + 1)(1 + 1)(1 1 + 1)(1 + 1 + 1)=
13
(2)(1)(2)(1)(3)=13
12= 1,08
10) 1
1523lim
1
x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluacin
lim1
+ 3 2 5 1
1= lim
1
( 1) + (3 2 1) (5 1 2)
1
Distribuyendo
lim1
( 1)
1+ lim
1
(3 2 1)
1 lim
1
(5 1 2)
1
Resolviendo el primer lmite
lim1
( 1)
1= lim
1
1
1 + 1
+ 1= lim
1
1
( 1)( + 1)= lim
1
1
+ 1=
1
1 + 1
lim1
( 1)
1=1
2
Resolviendo el segundo lmite
lim1
(3 2 1)
1= lim
1
3 2 1
13 2 + 1
3 2 + 1= lim
1
3 2 1
( 1)(3 2 + 1)
lim1
3 3
( 1)(3 2 + 1)= lim
1
3( 1)
( 1)(3 2 + 1)= lim
1
3
3 2 + 1
3
3 1 2 + 1=
3
1 + 1=3
2
Resolviendo el tercer lmite
lim1
(5 1 2)
1= lim
1
5 1 2
15 1 + 2
5 1 + 2= lim
1
5 1 4
( 1)(5 1 + 2)
lim1
5 5
( 1)(5 1 + 2)= lim
1
5( 1)
( 1)(5 1 + 2)= lim
1
5
5 1 + 2
5
5 1 1 + 2=
5
4 + 2=5
4
Sumando las tres respuestas
lim1
( 1)
1+ lim
1
(3 2 1)
1 lim
1
(5 1 2)
1
1
2+3
25
4=2 + 6 5
4=3
4
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