Introduccin al clculo integral
La integracin y la diferenciacin estn ntimamente relacionadas. La naturaleza de
esta relacin es una de las ideas ms importantes en matemticas, y su
descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado
por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances ms
importantes de los tiempos modernos.
El clculo integral surgi de la necesidad de resolver el problema de la obtencin de
reas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya
rea se deseaba calcular mediante polgonos de reas conocidas y apareci el
concepto de integral. Con esta idea apareci el concepto de Integral Definida. Se
llama integral definida de la funcin f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les
denomina lmites de integracin), al rea de la porcin de plano limitada por la
grfica de la funcin, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b
Otra aplicacin fue predecir la posicin futura de un objeto en movimiento a partir
de una ubicacin conocida y la frmula de su funcin velocidad. Este es un ejemplo
claro en el cual se debe determinar una funcon a partir de una frmula de su razn
de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posicin inicial). De aqu surgi el
concepto de Integral Indefinida y primitiva de una funcin.
Concepto de Integral
Proceso que permite restituir una funcin que ha sido previamente derivada. Es decir, la operacin opuesta de la derivada as como la suma es a la resta.
Por conveniencia se introduce una notacin para la antiderivada de una funcin
Si F!(x) = f(x), se representa
A este grafo se le llama smbolo de la integral y a la notacin f x dx se le llama
integral indefinida de f(x) con respecto a x. La funcin f(x) se denomina integrando,
el proceso recibe el nombre de integracin. Al nmero C se le llama conste de
integracin esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. As como dx
denota diferenciacin son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
f x dx Esto se lee integral de fx del diferencial de x
La idea del clculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilneas,
es decir, el rea entre la grfica de una funcin y el eje-x.
Estamos de acuerdo con la siguiente notacin:
Es la integral definida de la funcin f de [variable] x [los lmites] de A a B. Se pretende
que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Ms
especficamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann),
hay tambin integrante lneas generales.
El clculo integral se refiere al clculo de integrales tales.
Aspecto geomtrico
Para hacer la integral de manera sistemtica "de vuelta al espacio", que es
abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectngulos cada vez ms
precisos.
Segn integral de Riemann
Por exceso.
Las reas de los rectngulos ahora se pueden calcular fcilmente, as que tenemos
un lmite superior y un lmite inferior para la zona.
Analgamente la suma superior calculada:
Entonces vale:
Para un enfoque general
Aqu se tiene para la n-esima suma por defecto :
y la n-esima suma por exceso :
Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente
que en el caso es la igual.
Primero sacamos por la suma por exceso:
Con lo que el valor lmite ser:
Para la suma por defecto se tiene
y de todos modos analgamente
entonces tenemos:
Simbologa
El smbolo se usa para denotar una integral en matemticas. La notacin fue
introducida por el matemtico y filsofo alemn Gottfried Leibniz a finales del siglo
XVII. El smbolo se bas en el carcter (S larga), y se escogi debido a que una
integral es el lmite de unasuma.
El Smbolo es U+222B en Unicode, \int en LaTeX. En HTML, se escribe
en (hexadecimal), (decimal) y .
El paquete de caracteres de la pgina de cdigo 437 de IBM PC original tena un
par de caracteres y (cdigos 244 y 245, respectivamente) para construir el
smbolo. Estos fueron remplazados en las subsecuentes pginas de cdigo de MS-
DOS, pero siguen existiendo en Unicode (U+2320 y U+2321, respectivamente) por
compatibilidad.
El smbolo es bastante similar, pero no debe confundirse con smbolo () llamado
esh.
Smbolos relacionados son (integral doble, U+222C), (integral triple,
U+222D), (integral de contorno, U+222E), (integral de superficie, U+222F), y
(integral de volumen, U+2230).
Una vez con estas frmulas bsicas de integracin, si no percibimos de inmediato
como atacar una integral especfica, podemos entonces seguir la estrategia de
cuatro pasos que describiremos a continuacin:
Pasos para integrar una funcin
1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE
A veces, si se emplea el lgebra o identidades trigonomtricas se podr
simplificar el integrando y el mtodo de integracin ser ms obvio. A
continuacin presentamos algunos ejemplos:
a.
2. VEA SI HAY UNA SUSTITUCION OBVIA
Se debe tratar de encontrar alguna funcin, , en el integrando,
cuya derivada, tambin este presente, sin importar un
factor constante; por ejemplo, en la integral:
observamos que s , entonces , por consiguiente,
usamos la sustitucin , en lugar de las fracciones parciales.
3. CLASIFIQUE EL INTEGRANDO DE ACUERDO CON SU FORMA
4. PRUEBE DE NUEVO
Primitiva de la funcin
Definicin de Primitiva: La primitiva es cuando una funcin F(x) es primitiva de otra
funcin f(x) sobre un intervalo I.
Al sacar la primitiva la anti-derivada seria Y si
derivamos sacamos al anti-primitiva seria
Primer Teorema: Este primer teorema es primordial, porque si F es primitiva f en
un intervalo la primitiva general de f en el intervalo es: Y C es una
constante arbitraria y es primitiva f.
.
Explicacin:
entonces comenzamos a ordenar todo para que sea mas
fcil, la raz de x lo podemos editar como de ah nos quedara *
ahora F(x) comenzamos a sacar las primitivas. Como?
si en las derivadas de las funciones como se le multiplica el exponente
por la base y luego se resta al exponente 1, con la primitiva es inverso, al
exponente se le suma 1 y la base es el inverso del exponente final. entonces
quedara de la siguiente manera:
y el resultado final seria
.
Primitiva de la Funcin: Primitiva de la Funcin de una funcin f(x) se denomina
integral indefinida de f(x) y se denota por , Entonces si F(x) es
primitiva de f(x)
Encontrar la primitiva de las siguientes funciones
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
=
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Ejemplo 12
Bibliografa
APSTOL, TM, Analisis Matematico. Revert, 1982.
COQUILLAT.T., Clculo integral, Metodologa y Problemas, Tebar Flores 1980.
Linkografa
es.wikibooks.org/wiki/Introduccin_al_clculo_integral
www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html
www.wikimatematica.org/index.php?title=Reglas_Bsicas_de...
Formulas y reglas de integracin