EDITORIAL
Introduccin al clculo integralEmilio Defez CandelVicente Soler Basauri El objetivo del presente libro es introducir en el estudio del clculo integral para su posterior aplicacin, mediante el uso de mtodos bsicos del clculo integral. La intencin principal es disponer de herramientas que permitan abordar el clculo de integrales que aparecen en diferentes aplicaciones.
Introduccin al Clculo integral
Intro
ducc
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l cl
culo
inte
gral
Emilio Defez CandelVicente Soler Basauri
EDITORIALUNIVERSITAT POLITCNICA DE VALNCIA
ISBN 978-84-9048-018-2
Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Matemtica Aplicada de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: SOLER BASAURI, VICENTE [et al] (2013) Introduccin al clculo integral. Valencia : Universitat Politcnica Primera edicin, 2013 Vicente Soler Basauri
Emilio Defez Candel
de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: [email protected] / Telf. 963 877 012/ www.editorial.upv.es / Ref. 6102 ISBN: 978-84-9048-018-2 (versin impresa) Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores.
Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Matemtica Aplicada de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: SOLER BASAURI, VICENTE [et al] (2013) Introduccin al clculo integral. Valencia : Universitat Politcnica Primera edicin, 2013 Vicente Soler Basauri Emilio Defez Candel
de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: [email protected] / Telf. 963 877 012/ www.editorial.upv.es / Ref. 921 Imprime: Byprint Percom, S.L. ISBN: 978-84-9048-018-2 Impreso bajo demanda Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores. Impreso en Espaa
Introduccin al Clculo Integral
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Prlogo El objetivo del presente libro es familiarizar al alumno de las escuelas de ingenieras tcnicas y superiores con los mtodos bsicos del clculo integral para su posterior aplicacin. Nuestra intencin es que el alumno disponga, al finalizar el curso, de las herramientas suficientes para abordar el clculo de las integrales que aparecen en las aplicaciones.
Hemos pretendido crear un texto adecuado para el aprendizaje y aplicacin de dichos mtodos y por ello hemos suprimido las demostraciones de los resultados que aqu se utilizan. Sin embargo, pretendemos tambin presentar un texto lo suficientemente atractivo, por lo menos como primera aproximacin, para cualquier persona interesada en el clculo integral. Estas personas podrn encontrar una completa bibliografa al final del presente volumen, donde profundizar en la materia.
Hemos distribuido el material en siete captulos. Cada captulo incluye numerosos ejemplos resueltos, as como una lista final de ejercicios que se proponen al alumno y cuyas soluciones se encuentran en el captulo sptimo. En el captulo sexto se incorpora una coleccin de ejercicios completamente resueltos.
Hemos incluido tres anexos. En el primero de ellos se presentan las frmulas de trigonometra ms utilizadas en el clculo integral. En el segundo, recogemos igualmente las frmulas ms habituales de las funciones hiperblicas. Finalmente, en el tercer anexo, recordamos al alumno algunos resultados sobre el clculo exacto de las races enteras y fraccionarias de un polinomio con coeficientes racionales. El clculo de estas races se utiliza en el captulo cuarto de este volumen.
Los autores desean expresar su agradecimiento en primer lugar a los alumnos, que a pesar de los recursos informticos disponibles para el clculo de integrales, con sus dudas y su deseo de aprender nos han motivado a emprender la ingrata tarea de reescribir y actualizar este texto, cuya primera redaccin data de 1998, y en segundo lugar a nuestros compaeros del Departamento de Matemtica Aplicada de la ETSID, por su ayuda y apoyo.
LOS AUTORES.
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Introduccin al Clculo Integral
6
Introduccin al Clculo Integral
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Introduccin al Clculo Integral
7
ndice
PG Captulo 1.- Integral indefinida ......................................................................... 11
1.1.- Concepto y propiedades ..................................................................... 11 1.1.1.- Primitiva de una funcin F(X).
1.1.2.- Integral indefinida de una funcin f(x).
1.1.3.- Teorema 1-1
1.1.4.- Propiedades de la integral indefinida.
1.2.- Mtodos elementales de integracin ................................................... 12 1.2.1.- Integrales inmediatas. Tabla de integrales inmediatas.
1.2.2.- Integrales casi-inmediatas. Tipos.
1.2.3.- Integracin por descomposicin
1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica
1.2.3.2.- Descomposicin racional
1.2.3.3.- Descomposicin irracional
Ejercicios propuestos .................................................................................. 25
Captulo 2.- Integracin por sustitucin ............................................................. 27
2.1.- Concepto ............................................................................................. 27
2.2.- Aplicacin al clculo de integrales racionales .................................... 27 2.2.1.- Integracin de funciones racionales en x y en f(x).
2.2.2.- Integracin de funciones racionales en sen(x) y cos(x)
2.2.3.- Integracin de funciones racionales en senh(x) y cosh(x)
Ejercicios propuestos .................................................................................. 38
Captulo 3.- Mtodo de integracin por partes .................................................. 39
3.1.- Concepto. Casos ................................................................................. 39
3.2.- Frmulas de reduccin ........................................................................ 44
7
Introduccin al Clculo Integral
8
3.3.- Algunos casos especiales .................................................................... 49
Ejercicios propuestos .................................................................................. 52
Captulo 4.- Integracin de funciones racionales .............................................. 55
4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio ........................................ 55 4.1.1.- Teorema 4-1
4.2.- Descomposicin en fracciones simples de una funcin racional ........ 56 4.2.1.- Teorema 4-2
4.3.- Clculo de integrales racionales ......................................................... 66
4.4.- Mtodo de Hermite ............................................................................. 71
Ejercicios propuestos .................................................................................. 75
Captulo 5.- Integracin de funciones irracionales ............................................ 77
5.1.- Integracin de funciones racionales en x y potencias
racionales de ax bcx d
....................................................................... 77
5.1.1.- Teorema 5.1.
5.2.- Integracin de funciones racionales en x y ax bx c2 .............. 80 5.2.1.- Teorema 5.2.
5.3.- Mtodo alemn ................................................................................... 87
5.4.- Integracin de expresiones racionales en x y el radical ax bx c2 incompleto .................................................................. 92
5.5.- Integrales binomias ............................................................................. 93 5.5.1.- Definicin
5.5.2.- Clculo de integrales binomias.
Ejercicios propuestos .......................................................................... 99
Captulo 6.- Ejercicios resueltos ....................................................................... 101
Introduccin al clculo integral
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Introduccin al Clculo Integral
8
3.3.- Algunos casos especiales .................................................................... 49
Ejercicios propuestos .................................................................................. 52
Captulo 4.- Integracin de funciones racionales .............................................. 55
4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio ........................................ 55 4.1.1.- Teorema 4-1
4.2.- Descomposicin en fracciones simples de una funcin racional ........ 56 4.2.1.- Teorema 4-2
4.3.- Clculo de integrales racionales ......................................................... 66
4.4.- Mtodo de Hermite ............................................................................. 71
Ejercicios propuestos .................................................................................. 75
Captulo 5.- Integracin de funciones irracionales ............................................ 77
5.1.- Integracin de funciones racionales en x y potencias
racionales de ax bcx d
....................................................................... 77
5.1.1.- Teorema 5.1.
5.2.- Integracin de funciones racionales en x y ax bx c2 .............. 80 5.2.1.- Teorema 5.2.
5.3.- Mtodo alemn ................................................................................... 87
5.4.- Integracin de expresiones racionales en x y el radical ax bx c2 incompleto .................................................................. 92
5.5.- Integrales binomias ............................................................................. 93 5.5.1.- Definicin
5.5.2.- Clculo de integrales binomias.
Ejercicios propuestos .......................................................................... 99
Captulo 6.- Ejercicios resueltos ....................................................................... 101
Introduccin al Clculo Integral
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Captulo 7.- Soluciones de los ejercicios propuestos ...................................... 123
Anexo 1.- Funciones trigonomtricas .............................................................. 129
Anexo 2.- Funciones hiperblicas .................................................................... 131
Anexo 3.- Clculo de races enteras y racionales de un polinomio .................. 135
Bibliografa ....................................................................................................... 143
ndice
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Introduccin al Clculo Integral
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Introduccin al Clculo Integral
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Introduccin al Clculo Integral
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Captulo 1.- Integral indefinida 1.1- Concepto y propiedades
1.1.1- Primitiva de una funcin.- Diremos que la funcin F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo ]a,b[ de la recta real, si se verifica que:
F(x)= f(x) x ]a,b[ En el caso de no especificar el intervalo, se entiende que es el intervalo de
mxima amplitud.
1.1.2.- Integral indefinida de una funcin f(x).- Llamaremos integral indefinida de f(x), o, simplemente integral de f(x), al conjunto de todas las primitivas de f(x). En general se representa por el smbolo:
f x dx( )
1.1.3.- Teorema 1.1- Si F(x) es una primitiva cualquiera de f(x), se verifica: f x dx F x( ) ( )
+ C donde C es una constante real. La expresin F(x)+C representa por tanto el
conjunto de todas las primitivas de la funcin f(x). De esta forma, dos primitivas de una funcin f(x) se diferencian en una constante real.
1.1.4.- P Se verifica:
a).-
f x dx f x dx f x
( ) ( ) ( ) + C
b).-
f x g x dx( ) ( )
= f(x)dx g(x)dx c).- Kf x dx( )
K f(x)dx . K R
ropiedades de la integral indefinida.-
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Introduccin al Clculo Integral
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Solucin:
a x x dx x dx xdx x C x C
x x C
) cos cos sen
sen
3 34
1 2
4
2 24
22
422
b dx e dx Cx) 8e 8 e = - 4e + C-2x-2x
-2x
82
2
1.2.- Mtodos elementales de integracin Para calcular la derivada de una funcin disponemos de unas reglas fijas y
generales a aplicar y que nos permiten el clculo mecnico de dicha derivada. sto no ocurre con el clculo de la integral de una funcin. As, para la obtencin de la funcin primitiva, debemos someter la integral a una serie de transformaciones que la reduzcan a otra cuya solucin sea conocida. A esta ltima integral la llamaremos INTEGRAL INMEDIATA. Muchas integrales se resuelven aplicando el mismo tipo de transformaciones; a cada uno de estos tipos les denominaremos MTODOS DE INTEGRACIN, y se estudiarn con detalle en los captulos siguientes. En este apartado, estudiaremos el caso de las integrales inmediatas o de las que se pueden reducir a ellas mediante transformaciones sencillas:
1.2.1.- Integrales inmediatas.- Son las integrales que se obtienen de la aplicacin directa de alguna regla de derivacin. Segn sto, podemos elaborar una lista de integrales cuya solucin es conocida a la que llamaremos Tabla de integrales inmediatas, y que nos servir de apoyo para la resolucin de las integrales que estudiaremos a lo largo de los captulos siguientes. A continuacin presentamos una tabla de este tipo:
EJEMPLO 1.- Calcular las integrales:
a x dx) cos x dx b) 8e3 -2x
2
Introduccin al clculo integral
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Introduccin al Clculo Integral
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Solucin:
a x x dx x dx xdx x C x C
x x C
) cos cos sen
sen
3 34
1 2
4
2 24
22
422
b dx e dx Cx) 8e 8 e = - 4e + C-2x-2x
-2x
82
2
1.2.- Mtodos elementales de integracin Para calcular la derivada de una funcin disponemos de unas reglas fijas y
generales a aplicar y que nos permiten el clculo mecnico de dicha derivada. sto no ocurre con el clculo de la integral de una funcin. As, para la obtencin de la funcin primitiva, debemos someter la integral a una serie de transformaciones que la reduzcan a otra cuya solucin sea conocida. A esta ltima integral la llamaremos INTEGRAL INMEDIATA. Muchas integrales se resuelven aplicando el mismo tipo de transformaciones; a cada uno de estos tipos les denominaremos MTODOS DE INTEGRACIN, y se estudiarn con detalle en los captulos siguientes. En este apartado, estudiaremos el caso de las integrales inmediatas o de las que se pueden reducir a ellas mediante transformaciones sencillas:
1.2.1.- Integrales inmediatas.- Son las integrales que se obtienen de la aplicacin directa de alguna regla de derivacin. Segn sto, podemos elaborar una lista de integrales cuya solucin es conocida a la que llamaremos Tabla de integrales inmediatas, y que nos servir de apoyo para la resolucin de las integrales que estudiaremos a lo largo de los captulos siguientes. A continuacin presentamos una tabla de este tipo:
EJEMPLO 1.- Calcular las integrales:
a x dx) cos x dx b) 8e3 -2x
2
Introduccin al Clculo Integral
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CASO GENERAL CASO PARTICULAR
a f x f x dx f xn
Cnn
) ' ( ) ( ) ( )
1
1 x dx x
nCn
n
1
1
b dx f x C) ln ( ) f (x)f(x)
1xdx x C
ln
c f x dx aa
Cf x
) ' ( )ln
( ) a f(x)
a dx aa
Cxx
ln
d ) f (x)cos f(x) dx = sen f(x) + C
cos senxdx x C
e dx f x C) cos ( ) f (x)sen f(x)
sen cosxdx x C
ff x
dx f x C)( )
tg ( ) f' (x)cos2
dx
xx C
costg2
gf x
dx g f x C)( )
cot ( ) f' (x)sen2
dx
xgx C
sencot2
h dx f x C
C
) arcsen ( ) f' (x)
1- f(x) = -arccos f(x)
2
dx
xx C
1 2
arcsen
= -arccosx + C
i f xf x
dx f x C
C
) ' ( )( )
arctg ( )
= -arccotg f(x)1 2
dxx
x C1 2
arctg
= -arccotgx + C
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
Captulo 1. Integral indefinida
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Introduccin al Clculo Integral
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j dx f x C) ( ) f' (x)f(x)
2 dxx
x C
2
k f x
f x cdx f x f x c C) ' ( )
( )ln ( ) ( )
2 2
2 2
l dx f x C) senh ( ) f' (x)cosh f(x)
m dx f x C) cosh ( ) f' (x)senh f(x)
nf x
dx f x C)(
tgh ( ) f' (x)cosh2 9
of x
dx f x C)( )
coth ( ) f' (x)senh2
p dx f x C f x f x C) arg senh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)
f(x)2
112
q dx f x C f x f x C) arg cosh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)
f(x)2
112
r dx th f x C) arg ( ) f' (x)1- f(x)
ln 1+ f(x)1- f(x)
+ C f(x)2
12
1
s dx f x C) arg coth ( ) f' (x)1- f(x)
= 12ln 1+ f(x)
1- f(x)+ C f(x)2
1
t h f x Cf x
f xC) arg sec ( ) ln
( )( )
f' (x)dx
f(x) 1- f(x)
2
1 1 2
Introduccin al clculo integral
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Introduccin al Clculo Integral
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j dx f x C) ( ) f' (x)f(x)
2 dxx
x C
2
k f x
f x cdx f x f x c C) ' ( )
( )ln ( ) ( )
2 2
2 2
l dx f x C) senh ( ) f' (x)cosh f(x)
m dx f x C) cosh ( ) f' (x)senh f(x)
nf x
dx f x C)(
tgh ( ) f' (x)cosh2 9
of x
dx f x C)( )
coth ( ) f' (x)senh2
p dx f x C f x f x C) arg senh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)
f(x)2
112
q dx f x C f x f x C) arg cosh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)
f(x)2
112
r dx th f x C) arg ( ) f' (x)1- f(x)
ln 1+ f(x)1- f(x)
+ C f(x)2
12
1
s dx f x C) arg coth ( ) f' (x)1- f(x)
= 12ln 1+ f(x)
1- f(x)+ C f(x)2
1
t h f x Cf x
f xC) arg sec ( ) ln
( )( )
f' (x)dx
f(x) 1- f(x)
2
1 1 2
Introduccin al Clculo Integral
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NOTA 1.- A menudo una integral puede expresarse de varias formas distintas segn el mtodo de integracin utilizado, que en principio aparentan ser dos funciones diferentes. Si los clculos se han realizado correctamente, estas funciones representan la misma integral diferencindose nicamente en la constante de integracin (teorema 1.1).
EJEMPLO 2.- Resolver la integral dxx1 2
mediante dos mtodos diferentes:
SOLUCIN:
a dxx
x C
b dxx
dxx
x
dx xdx
xx
K
) arctg
) arctg
1
1 1 1
1
1 11
2
2
2
2
2
2
Veamos que los dos resultados se diferencian en la constante de integracin. En
efecto, tomando C K 2, y teniendo en cuenta las propiedades de las funciones
trigonomtricas (anexo I), se obtiene:
arctg arctg arctg
cot arctg
x C x K x K
arc gx Kx
K
2 21
Y por tanto las dos integrales obtenidas se diferencian en una constante.
NOTA 2.- Al estudiar en los textos de la bibliografa la integral definida, el alumno observar que es condicin suficiente que una funcin f(x) sea continua en un intervalo [a,b] de la recta real, para que tenga funcin primitiva en dicho intervalo. No obstante, esta primitiva en ocasiones no puede ser calculada mediante los mtodos de integracin habituales que presentamos en el presente libro.
Captulo 1. Integral indefinida
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Introduccin al Clculo Integral
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Por ejemplo, las integrales :
axdx dx
d dx dx dx
)
)
e b) dxlnx
c) senxx
e e) e f) 1 + x
x
x -x 32 2
pertenecen a este tipo y no pueden ser calculadas mediante mtodos de integracin elementales.
1.2.2.- Integrales "casi-inmediatas".- Denominaremos as al tipo de integrales que se reducen a una integral inmediata mediante la suma, resta, multiplicacin o divisin por una constante. Estas integrales pueden clasificarse en las siguientes familias:
1- Integrales de tipo potencial: Son las integrales que tienen una expresin del tipo:
f x f x dx f xn
Cnn
' ( ) ( ) ( )
1
1
SOLUCIN: Siendo f(x)= 3 142x y f ' (x) = 9x2 , bastar multiplicar y dividir la
integral por 9 para obtener una integral inmediata.
x x dx x x dx x x dx2 3 3 2 3 3 2 3 33 14 99
3 14 19
9 3 14( ) ( ) ( )
19
3 144
136
3 143 4
3 4( ) ( )x x C
2.- Integrales de tipo exponencial. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:
f x a dx aa
Cf xf x
' ( )ln
( )( )
EJEMPLO 3.- Calcular x x dx2 3 33 14( )
.
Introduccin al clculo integral
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Introduccin al Clculo Integral
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Por ejemplo, las integrales :
axdx dx
d dx dx dx
)
)
e b) dxlnx
c) senxx
e e) e f) 1 + x
x
x -x 32 2
pertenecen a este tipo y no pueden ser calculadas mediante mtodos de integracin elementales.
1.2.2.- Integrales "casi-inmediatas".- Denominaremos as al tipo de integrales que se reducen a una integral inmediata mediante la suma, resta, multiplicacin o divisin por una constante. Estas integrales pueden clasificarse en las siguientes familias:
1- Integrales de tipo potencial: Son las integrales que tienen una expresin del tipo:
f x f x dx f xn
Cnn
' ( ) ( ) ( )
1
1
SOLUCIN: Siendo f(x)= 3 142x y f ' (x) = 9x2 , bastar multiplicar y dividir la
integral por 9 para obtener una integral inmediata.
x x dx x x dx x x dx2 3 3 2 3 3 2 3 33 14 99
3 14 19
9 3 14( ) ( ) ( )
19
3 144
136
3 143 4
3 4( ) ( )x x C
2.- Integrales de tipo exponencial. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:
f x a dx aa
Cf xf x
' ( )ln
( )( )
EJEMPLO 3.- Calcular x x dx2 3 33 14( )
.
Introduccin al Clculo Integral
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SOLUCIN: Como f(x)= x 3 5 y f ' (x) = 3x2 , multiplicando y dividiendo la integral
pedida por 3 obtendremos una integral inmediata:
x dx x dx x dx Cx x xx
2 5 2 5 2 55
7 33
7 13
3 7 137
73 3 3
3
ln
3.- Integrales de tipo logartmico. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:
f xf x
dx' ( )( )
SOLUCIN: En este caso f x x x x( ) 3 5 13 2 y f x x x ' ( ) 9 10 12 . Bastar
con sacar factor comn 3 en el numerador del integrando para obtener una integral inmediata:
I x xx x x
dx x xx x x
dx
x xx x x
dx x x x C
27 30 33 5 1
3 9 10 13 5 1
3 9 10 13 5 1
3 3 5 1
2
3 2
2
3 2
2
3 23 2
( )
ln( )
EJEMPLO 4.- Calcular x dxx2 57
3
.
EJEMPLO 5.- Calcular 27 30 33 5 1
2
3 2x x
x x xdx
.
Captulo 1. Integral indefinida
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Introduccin al Clculo Integral
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4.- Integrales del tipodx
ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Es una
integral reducible al tipof xf x
dx' ( )( )1 2
. Se pueden presentar dos casos:
a) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo arctg (f(x)). b) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo argth (f(x)). Apliquemos el algoritmo de los cuatro pasos a un ejemplo concreto:
SOLUCIN: Procedemos de la siguiente forma:
1) Multiplicamos el numerador y denominador del integrando por la constante 4a.(En este caso 8)
dx
x x2 3 42 =
816 24 322
dxx x
2) Escribimos el denominador de la forma ( )2 2ax b k , donde a,b,k son constantes a determinar. En este caso,
16 24 32 4 3 232 2x x x ( )
de donde a=2, b=-3 y k=23. De esta forma, la integral pedida queda:
8
16 24 322dx
x x = 8
4 3 232dx
x( )
EJEMPLO 6.- Calcular
dx
x x2 3 42 .
Introduccin al clculo integral
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Introduccin al Clculo Integral
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4.- Integrales del tipodx
ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Es una
integral reducible al tipof xf x
dx' ( )( )1 2
. Se pueden presentar dos casos:
a) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo arctg (f(x)). b) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo argth (f(x)). Apliquemos el algoritmo de los cuatro pasos a un ejemplo concreto:
SOLUCIN: Procedemos de la siguiente forma:
1) Multiplicamos el numerador y denominador del integrando por la constante 4a.(En este caso 8)
dx
x x2 3 42 =
816 24 322
dxx x
2) Escribimos el denominador de la forma ( )2 2ax b k , donde a,b,k son constantes a determinar. En este caso,
16 24 32 4 3 232 2x x x ( )
de donde a=2, b=-3 y k=23. De esta forma, la integral pedida queda:
8
16 24 322dx
x x = 8
4 3 232dx
x( )
EJEMPLO 6.- Calcular
dx
x x2 3 42 .
Introduccin al Clculo Integral
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3) Debemos transformar el denominador en una expresin de la forma ( ( ))f x 2 1 , por tanto, debemos multiplicar y dividir la integral por el valor k (en este caso, por 23).
84 3 232
dxx( )
= 823 4 3
231
823 4 3
231
2 2dx
xdx
x( )
donde en este caso deberemos obtener f x x( ) 4 323
.
4) En el numerador debemos obtener la derivada de la funcin f(x) mediante multiplicacin y divisin de constantes. Cuando se haya obtenido, la integral es
inmediata. En este caso multiplicamos y dividimos la integral por 423
:
823 4 3
231
2dx
x
= 823
234
423
4 323
12
dx
xdx
223
4 323
arctg x C
5.- Integrales del tipo dx
ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Se pueden
presentar varios casos:
a) Si a>o y b ac2 4 0 . Es una integral del tipo f x dx
f x
' ( )
( ( ))1 2 y por
tanto:
f x dx
f x
' ( )
( ( ))1 2 = ln ( ) ( ( )) arg senh ( )f x f x C f x C 2 1
Captulo 1. Integral indefinida
19
Introduccin al Clculo Integral
20
b) Si a>0 y b ac2 4 0 . Es una integral del tipo f x dx
f x
' ( )
( ( ))2 1 y por
tanto:
f x dx
f x
' ( )
( ( ))2 1 = ln ( ) ( ( )) arg cosh ( )f x f x C f x C 2 1
c) Si a
Introduccin al Clculo Integral
20
b) Si a>0 y b ac2 4 0 . Es una integral del tipo f x dx
f x
' ( )
( ( ))2 1 y por
tanto:
f x dx
f x
' ( )
( ( ))2 1 = ln ( ) ( ( )) arg cosh ( )f x f x C f x C 2 1
c) Si a
Introduccin al Clculo Integral
22
1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica e hiperblica.- Denominaremos as al proceso que permite obtener la descomposicin utilizando frmulas trigonomtricas, incluidas en los anexos 1 y 2. Veremos los casos ms importantes:
1.- Integrales del tipo sen senAx Bxdx
. Aplicaremos la identidad trigonomtrica:
sen sen cos( ) cos( )Ax Bx A B x A B x 12
SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=B=3, por lo que se obtiene:
sen2 3xdx
=12
1 6 12
112
6( cos ) sen
x dx x x C
2.- Integrales del tipo sen cosAx Bxdx
. Aplicamos la identidad trigonomtrica:
sen cos (sen( ) sen( ) )Ax Bx A B x A B x 12
SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=2, B=5, por lo que se obtiene:
sen cos2 5x xdx
=12
3 7(sen( ) sen )
x x dx
12
3 12
7
12
3 12
7
16
3 7
sen( ) sen
sen sen
cos cos
x dx xdx
xdx xdx
x xdx C - 114
EJEMPLO 8.- Calcular sen2 3xdx
EJEMPLO 9.- Calcular sen cos2 5x xdx
Introduccin al clculo integral
22
Introduccin al Clculo Integral
22
1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica e hiperblica.- Denominaremos as al proceso que permite obtener la descomposicin utilizando frmulas trigonomtricas, incluidas en los anexos 1 y 2. Veremos los casos ms importantes:
1.- Integrales del tipo sen senAx Bxdx
. Aplicaremos la identidad trigonomtrica:
sen sen cos( ) cos( )Ax Bx A B x A B x 12
SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=B=3, por lo que se obtiene:
sen2 3xdx
=12
1 6 12
112
6( cos ) sen
x dx x x C
2.- Integrales del tipo sen cosAx Bxdx
. Aplicamos la identidad trigonomtrica:
sen cos (sen( ) sen( ) )Ax Bx A B x A B x 12
SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=2, B=5, por lo que se obtiene:
sen cos2 5x xdx
=12
3 7(sen( ) sen )
x x dx
12
3 12
7
12
3 12
7
16
3 7
sen( ) sen
sen sen
cos cos
x dx xdx
xdx xdx
x xdx C - 114
EJEMPLO 8.- Calcular sen2 3xdx
EJEMPLO 9.- Calcular sen cos2 5x xdx
Introduccin al Clculo Integral
23
3.- Integrales del tipo cos cosAx Bxdx
. Aplicaremos la frmula trigonomtrica:
cos cos cos cosAx Bx A B x A B x 12
EJEMPLO 10.- Integrar
cos cos4x xdx
SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=4, B=1, por lo que se obtiene:
cos cos4x xdx
=
12
3 5cos cosx x dx
12
3 12
5cos cosxdx xdx
16
3 110
5sen senx x C
Se procede anlogamente cuando se consideran integrales de productos de funciones hiperblicas.
1.2.3.2.- Descomposicin racional. Se utiliza para el tipo de Integrales racionales mx n
ax bx cdx
2 . Para resolver este tipo de integrales, procederemos de la siguiente
forma:
1) Multiplicaremos y dividiremos la integral por una determinada constante H para que el numerador se transforme en una expresin del tipo:
2ax b k 2) Descompondremos la integral en suma de dos integrales:
mx n
ax bx cdx
HH mx nax bx c
dxH
ax b kax bx c
dx
2 2 21 1 2( )
1 2 1
2 2Hax b
ax bx cdx
Hkdx
ax bx c
Captulo 1. Integral indefinida
23
Introduccin al Clculo Integral
24
La solucin de la primera integral es ln ax bx c C2 ; La segunda se resolver mediante la regla de los cuatro pasos.
SOLUCIN:
x
x xdx
322
= 12
2 62
12
2 1 522 2
xx x
dx xx x
dx
12
2 12
52 2
12
2 57
2 17
2 2
2
xx x
dx dxx x
x x x Cln arctg
1.2.3.3.- Descomposicin irracional. Se utiliza para calcular las integrales del tipo mx n
ax bx cdx
2. Se procede de forma anloga a la descomposicin racional:
1) Transformaremos la integral para que en el numerador obtengamos la derivada del radicando ms una constante K. b) Descompondremos la integral as obtenida en suma de dos integrales. la la primera integral es inmediata y vale:
2 2ax bx c +C
El clculo de la segunda integral se efectuar mediante la regla de los cuatro pasos.
EJEMPLO 11.- Calcular x
x xdx
322
Introduccin al clculo integral
24
Introduccin al Clculo Integral
24
La solucin de la primera integral es ln ax bx c C2 ; La segunda se resolver mediante la regla de los cuatro pasos.
SOLUCIN:
x
x xdx
322
= 12
2 62
12
2 1 522 2
xx x
dx xx x
dx
12
2 12
52 2
12
2 57
2 17
2 2
2
xx x
dx dxx x
x x x Cln arctg
1.2.3.3.- Descomposicin irracional. Se utiliza para calcular las integrales del tipo mx n
ax bx cdx
2. Se procede de forma anloga a la descomposicin racional:
1) Transformaremos la integral para que en el numerador obtengamos la derivada del radicando ms una constante K. b) Descompondremos la integral as obtenida en suma de dos integrales. la la primera integral es inmediata y vale:
2 2ax bx c +C
El clculo de la segunda integral se efectuar mediante la regla de los cuatro pasos.
EJEMPLO 11.- Calcular x
x xdx
322
Introduccin al Clculo Integral
25
SOLUCIN:
3 1
2 32x
x xdx
=3x
x xdx
x
x xdx
13
2 3
34
4 43
2 32 2
34
4 1 1 3
2 3
34
4 1
2 3
14 2 32 2 2
x
x xdx x
x xdx dx
x x
/
32
2 3 28
4 123
4 123
122
x x x x C
ln
1.1.- sen x dx2
1.2.- x
xdx
2 1
1.3 .- sencosxxdx
1
1.4.- 3 13 2 52
xx x
dx
1.5.- 21 4
xx
dx
EJEMPLO 12.- Calcular 3 1
2 32x
x xdx
EJERCICIOS.- Calcular las siguientes integrales:
Captulo 1. Integral indefinida
25
Introduccin al Clculo Integral
26
1.6.-
31 2 2x x
dx
1.7.- 33 2 3 22x x
dx
1.8.- 3
3 52 x xdx
1.9.- 2
2 32xdx
1.10.- cos( ) sen( )
3 8x x dx
1.11.- sen( ) cos( )x x dx
1 2
1.12.- x
x xdx
12 32
1.13.- x
x xdx
432
1.14.- 2 3
12x
x xdx
1.15.- 3 1
5 3 2x
xdx
1.16.- x
x xdx
1
22
Introduccin al clculo integral
26
Introduccin al Clculo Integral
26
1.6.-
31 2 2x x
dx
1.7.- 33 2 3 22x x
dx
1.8.- 3
3 52 x xdx
1.9.- 2
2 32xdx
1.10.- cos( ) sen( )
3 8x x dx
1.11.- sen( ) cos( )x x dx
1 2
1.12.- x
x xdx
12 32
1.13.- x
x xdx
432
1.14.- 2 3
12x
x xdx
1.15.- 3 1
5 3 2x
xdx
1.16.- x
x xdx
1
22
Introduccin al Clculo Integral
27
Captulo 2.- Integracin por sustitucin
2.1.- Concepto
Este mtodo denominado tambin cambio de variable, consiste en encontrar una funcin x=g(t) que, al sustituirla en la integral, la convi erta en otra ms sencilla. La sustitucin debe cumplir dos condiciones: 1.- x=g(t) debe ser una funcin derivable y con derivada no nula en todo el intervalo de integracin.
dxdt
g t ' ( ) , de donde dx = g' (t)dt
2.- x=g(t) admite funcin inversa, esto es:
x g t ( ) de donde t = h(x)
Este mtodo es de los que ms variantes admite en el clculo integral, ya que la funcin de cambio ser diferente para cada tipo de funcin que exista bajo el signo integral. A continuacin examinaremos algunos de los tipos de cambio ms habituales.
2.2.- Aplicacin al clculo de integrales racionales
Representaremos por R(x, f(x)) cualquier funcin racional que dependa tanto de la variable x como de la funcin f(x). De forma anloga representaremos por R( g(x), h(x)) cualquier funcin racional con respecto a dos funciones g(x) y h(x). En los siguientes apartados estudiaremos los tipos ms frecuentes de integrales de funciones racionales que se expresan de esta forma:
2.2.1.- Integrales De Funciones Racionales R(X, F(X)):
CASO 1.- Integrales del tipo R x a dxx( , )
donde a>0. Se efecta el cambio
a tx .Calculamos a continuacin dx y x, en funcin de la nueva variable t:
a tx x = lntlna
, dx = dtt lna
27
Introduccin al Clculo Integral
28
SOLUCIN:
dx
a ax x9 4 =
a t
dx dtt a
x
ln
dtt at t a
dtt a
dt
t
adt
at C
lnln ln
ln/
lnarctg
9 41
9 41
4 94
1
14
23
3 2
1
16
32
1 22
2
3t2
Deshaciendo el cambio el cambio de variable en la solucin obtenida:
dx
a ax x9 4 =
14
32ln
arctga
a Cx
CASO 2.- Integrales del tipo R x e dxx( , )
. Se efecta el cambio e tx . De aqu:
e tx x = ln t , dx = dtt
CASO 3.- Integrales del tipo R x x dx( , ln )
. Se efecta el cambio lnx=t . De aqu:
ln x t x et , dx = e dt t
EJEMPLO 1.- Calcular: dx
a ax x9 4
Introduccin al clculo integral
28
Introduccin al Clculo Integral
28
SOLUCIN:
dx
a ax x9 4 =
a t
dx dtt a
x
ln
dtt at t a
dtt a
dt
t
adt
at C
lnln ln
ln/
lnarctg
9 41
9 41
4 94
1
14
23
3 2
1
16
32
1 22
2
3t2
Deshaciendo el cambio el cambio de variable en la solucin obtenida:
dx
a ax x9 4 =
14
32ln
arctga
a Cx
CASO 2.- Integrales del tipo R x e dxx( , )
. Se efecta el cambio e tx . De aqu:
e tx x = ln t , dx = dtt
CASO 3.- Integrales del tipo R x x dx( , ln )
. Se efecta el cambio lnx=t . De aqu:
ln x t x et , dx = e dt t
EJEMPLO 1.- Calcular: dx
a ax x9 4
Introduccin al Clculo Integral
29
CASO 4.- Integrales del tipo R x x dx( , arctg )
. Se efecta el cambio arctgx=t. De
aqu:
arctg x tt
x = tg t , dx = dtcos2
CASO 5.- Integrales del tipo R x x dx( , arcsen )
.Se efecta el cambio arcsenx=t De
aqu: arcsen x t x = sent , dx = cost dt
CASO 6.- Integrales del tipo R x x dx( , arccos )
. Se efecta el cambio arccosx=t. De
aqu: arccos x t x = cost , dx = -sent dt
CASO 7.- Integrales del tipo R x thx dx( , arg )
. Se efecta el cambio argthx=t. De
aqu:
arg thx tt
x = tght , dx = dtcosh2
CASO 8.- Integrales del tipo R x x dx( , arg senh )
. Se efecta el cambio argsenhx=t.
de aqu: arg senh x t x = senht , dx = cosht dt
CASO 9.- Integrales del tipo R x x dx( , arg cosh )
. Se efecta el cambio aegcoshx=t.
De aqu:
arg cosh x t x = cosht , dx = senht dt
Captulo 2. Integracin por sustitucin
29
Introduccin al Clculo Integral
30
2.2.2.- Integrales de funciones racionales R(Sen(X), Cos(X)). Definicin 1.- Diremos que la funcin R(senx,cosx) es impar en senx, cuando al sustituir en la funcin senx por -senx , la funcin cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=-R(-senx, cosx)
Definicin 2.- Diremos que la funcin R(senx, cosx) es par en senx, cuando al sustituir en la funcin, senx por -senx, la funcin no cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=R(-senx, cosx) Anlogamente se definira funcin impar en cosx y par en cosx. Resolvamos las integrales de estas funciones racionales segn los diferentes casos que pueden presentarse: CASO 1.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
, donde R es una funcin impar en
senx. En este caso se efecta el cambio cosx=t. Por tanto:
cos x t senx = 1- t x = arccost , dx = - dt
1 - t2
2
EJEMPLO 2.- Calcular:
sencosx dx
x
1 4 2
SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en sen x , puesto que
, cos41
senx cos, 2 xxsenxR
R x xx
R x x
sen , co sco s
sen , co s - sen x = - .1 4 2
Introduccin al clculo integral
30
Introduccin al Clculo Integral
30
2.2.2.- Integrales de funciones racionales R(Sen(X), Cos(X)). Definicin 1.- Diremos que la funcin R(senx,cosx) es impar en senx, cuando al sustituir en la funcin senx por -senx , la funcin cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=-R(-senx, cosx)
Definicin 2.- Diremos que la funcin R(senx, cosx) es par en senx, cuando al sustituir en la funcin, senx por -senx, la funcin no cambia de signo. Es decir:
R(senx, cosx)=R(-senx, cosx) Anlogamente se definira funcin impar en cosx y par en cosx. Resolvamos las integrales de estas funciones racionales segn los diferentes casos que pueden presentarse: CASO 1.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
, donde R es una funcin impar en
senx. En este caso se efecta el cambio cosx=t. Por tanto:
cos x t senx = 1- t x = arccost , dx = - dt
1 - t2
2
EJEMPLO 2.- Calcular:
sencosx dx
x
1 4 2
SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en sen x , puesto que
, cos41
senx cos, 2 xxsenxR
R x xx
R x x
sen , co sco s
sen , co s - sen x = - .1 4 2
Introduccin al Clculo Integral
31
Efectuando el cambio de variable propuesto:
cos( )x t , se obtiene :
sen( )cos ( )
arctg arctg cos( )x dx
xdtt
t C x C
1 4 1 412
212
22 2
SOLUCIN:
sencos
3
4xxdx
={impar en senx}=
cos
sen
x t
x t
dx dt
t
1
1
2
2
=( )1 1
1
2 2
4 2
t tt
dt
t
tt
dt dtt
dtt
2
4 2 41
1 13
1 133 3t t
Cx x
Ccos cos
CASO 2.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
, donde R es una funcin Impar en
cosx. El cambio a efectuar en este caso es senx=t. De donde:
sen x t cosx = 1- t x = arcsent , dx = dt
1- t2
2
EJEMPLO 3.- Calcular:
sencos
3
4xxdx
Captulo 2. Integracin por sustitucin
31
Introduccin al Clculo Integral
32
EJEMPLO 4.- Calcular:
dxxcos
SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en cos x , puesto que Efectuando el cambio de variable propuesto,
sen x t , se obtiene :
=
dxx
dtt
t t C
x x C
cosln ln
ln sen ln sen
112
1 12
1
12
1 12
1
2
SOLUCIN:
sensenx
xdx cosx
1={impar en cosx}= t t
tdt
t
tdtt
11 1 1
2
2
{dividiendo los dos polinomios}=
1 11
1tdt t t Cln
=-senx - ln 1 sen x C
R x xsen , co s 1co sx
R x xx
R x xsen , co sco s
sen , co s
1 = - .
EJEMPLO 5.- Calcular: sen
senx
xdx cosx
1
Introduccin al clculo integral
32
Introduccin al Clculo Integral
32
EJEMPLO 4.- Calcular:
dxxcos
SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en cos x , puesto que Efectuando el cambio de variable propuesto,
sen x t , se obtiene :
=
dxx
dtt
t t C
x x C
cosln ln
ln sen ln sen
112
1 12
1
12
1 12
1
2
SOLUCIN:
sensenx
xdx cosx
1={impar en cosx}= t t
tdt
t
tdtt
11 1 1
2
2
{dividiendo los dos polinomios}=
1 11
1tdt t t Cln
=-senx - ln 1 sen x C
R x xsen , co s 1co sx
R x xx
R x xsen , co sco s
sen , co s
1 = - .
EJEMPLO 5.- Calcular: sen
senx
xdx cosx
1
Introduccin al Clculo Integral
33
CASO 3.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
en donde R es una funcin par en
senx y cosx simultneamente. El cambio a efectuar en este caso es tgx=t. De aqu:
x = arctg t , d x = dt1+ t
sen x = t cos x = t 1 - sen
2
2
tg
sencos
x t
xx
t x
de donde:
sen ( sen ) ;2 2 21x t x sen x = t
1+ t
2
como:
cos x = sen xt
cos x = 1
1+ t 2
SOLUCIN: La funcin a integrar es par en senx y cosx, por tanto, efectuamos el cambio
tg x = t resultando:
dxx1 2 cos=
dtt
t
dtt
11 1
12
2
2
2
=12 2arctg t C
=12
12
arctg tg x C
EJEMPLO 6.- Calcular:
dx
x1 2 cos
Captulo 2. Integracin por sustitucin
33
Introduccin al Clculo Integral
34
CASO 4.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
en la que R no es de ninguno de los
tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgx/2=t. De aqu:
tg arctgx t t2
2 x , dx = 2dt1+ t 2
Teniendo en cuenta que:
sen cos cos
cos cos cos
2
2
1 22 2
12
1 22 2
12
x x x x
x x x x
sen
cos
2
2
Dividiendo miembro a miembro las dos ltimas igualdades se obtiene:
tg coscos
2 222
11 1
x xx
tt
cos x = 1- t2
y de forma anloga:
sen cos senx x tt
1 21
22 x =
SOLUCIN: Efectuando el cambio
t g x2
= t
EJEMPLO 7.- Calcular:
11
sencos
xxdx
,
Introduccin al clculo integral
34
Introduccin al Clculo Integral
34
CASO 4.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )
en la que R no es de ninguno de los
tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgx/2=t. De aqu:
tg arctgx t t2
2 x , dx = 2dt1+ t 2
Teniendo en cuenta que:
sen cos cos
cos cos cos
2
2
1 22 2
12
1 22 2
12
x x x x
x x x x
sen
cos
2
2
Dividiendo miembro a miembro las dos ltimas igualdades se obtiene:
tg coscos
2 222
11 1
x xx
tt
cos x = 1- t2
y de forma anloga:
sen cos senx x tt
1 21
22 x =
SOLUCIN: Efectuando el cambio
t g x2
= t
EJEMPLO 7.- Calcular:
11
sencos
xxdx
,
Introduccin al Clculo Integral
35
la integral propuesta queda de la forma :
11
sencos
xxdx =
1 21
1 11
21
1 21
1 11
21
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
tttt
dtt
t tt
t tt
dtt
t tt
dt tt
tt
dt tt
dt2
2
2
2 2 22 1
111
21
1 21
= t t C x x C ln tg ln tg12
12
2 2
EJEMPLO 8.- Calcular:
dxx x1 sen( ) cos( )
SOLUCIN: Efectuando el cambio:
t g x2
= t
la integral propuesta queda de la forma :
dxx x
dtt
x1 1 2
1
sen( ) cos( )ln tg = = + + C
,
Captulo 2. Integracin por sustitucin
35
Introduccin al Clculo Integral
36
EJEMPLO 9.- Calcular:
dxx4 5 cos( )
SOLUCIN: Efectuando el cambio
t g x2
= t
la integral propuesta queda de la forma :
dxx
dtt
x x4 5
29 2 22
cos( )ln tg ln tg = = - 1
3 - 3 + 1
3 + 3 + C
NOTA 2.- En la prctica hay que evitar utilizar el cambio indicado en el apartado anterior para el clculo de integrales trigonomtricas siempre que sea posible, porque puede dar lugar a integrales ms complejas de calcular que aplicando los cambios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 . 2.2.3.- Integrales de funciones racionales R(Senh(X), Cosh(X)). CASO 1.- Integrales del tipo
senh ,coshx x dx
, en la que R es una funcin impar en
senhx. El cambio a efectuar en este caso es coshx=t. Anlogamente a los casos anteriores se tiene:
cosh x t
x = argcosht , dx = dt
t 2 1
Recordando las propiedades de las funciones hiperblicas (Anexo 2), se tiene:
cosh senhx = cosh senh x2 2x x x t senh2 21 1 1
Introduccin al clculo integral
36
Introduccin al Clculo Integral
36
EJEMPLO 9.- Calcular:
dxx4 5 cos( )
SOLUCIN: Efectuando el cambio
t g x2
= t
la integral propuesta queda de la forma :
dxx
dtt
x x4 5
29 2 22
cos( )ln tg ln tg = = - 1
3 - 3 + 1
3 + 3 + C
NOTA 2.- En la prctica hay que evitar utilizar el cambio indicado en el apartado anterior para el clculo de integrales trigonomtricas siempre que sea posible, porque puede dar lugar a integrales ms complejas de calcular que aplicando los cambios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 . 2.2.3.- Integrales de funciones racionales R(Senh(X), Cosh(X)). CASO 1.- Integrales del tipo
senh ,coshx x dx
, en la que R es una funcin impar en
senhx. El cambio a efectuar en este caso es coshx=t. Anlogamente a los casos anteriores se tiene:
cosh x t
x = argcosht , dx = dt
t 2 1
Recordando las propiedades de las funciones hiperblicas (Anexo 2), se tiene:
cosh senhx = cosh senh x2 2x x x t senh2 21 1 1
Introduccin al Clculo Integral
37
CASO 2.- Integrales del tipo
senh ,coshx x dx
en la que R es una funcin impar en
coshx El cambio a efectuar es senhx=t. de aqu:
senh x t
x = argsenht , dx = dt
t
2 1
Recordando las propiedades de las funciones hiperblicas (Anexo 2), se tiene:
cosh coshx = senh cosh x2 2x x x t senh2 21 1 1
CASO 3.- Integrales del tipo
senh ,coshx x dx
en la que R es funcin par en coshx
y senhx. El cambio a efectuar es tghx=t. de donde:
tgh x t x = argtht , dx = dt1- t 2
anlogamente a los casos anteriores (5 y 6):
senh x t
t
1 2 coshx = 1
1- t 2
CASO 4.- Integrales del tipo
senh ,coshx x dx
en la que R no es de ninguno de los
tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgh .x t2
De
donde:
tgh x t2
x = 2argtht , dx = 2dt1- t 2
anlogamente a los casos anteriores (5 , 6 y 7):
senh x tt t
21 12 2
coshx = 1+ t2
Captulo 2. Integracin por sustitucin
37
Introduccin al Clculo Integral
38
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
2.1.- cossen
2
3xxdx
2.2.- cos
cos senx
x xdx2 2
2.3.- dx
x x xcos sen cos2
2.4.- sencos
21 22
xxdx
2.5.- sencos3
2 3xxdx
2.6.- tgcosxx1
Introduccin al clculo integral
38
Introduccin al Clculo Integral
38
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
2.1.- cossen
2
3xxdx
2.2.- cos
cos senx
x xdx2 2
2.3.- dx
x x xcos sen cos2
2.4.- sencos
21 22
xxdx
2.5.- sencos3
2 3xxdx
2.6.- tgcosxx1
Introduccin al Clculo Integral
39
Captulo 3.- Mtodo de integracin por partes
3.1.- Concepto. Casos
Este mtodo se aplica cuando queremos calcular una integral f x dx( )
, tal que f(x)
puede descomponerse como producto de otras dos funciones, de la forma:
f x u x x( ) ( ) ( ) v
siendo u(x), v(x), u(x), v(x) funciones definidas en el mismo campo de definicin de f(x). Si calculamos la diferencial de la funcin producto de u(x) v(x) obtendremos:
d(u(x) v(x))= u(x) v(x) dx + v(x) u(x) dx Para mayor comodidad en la notacin, y teniendo en cuenta que u(x) y v(x) verifican v(x) dx = dv, u(x) dx = du, podremos escribir:
d(uv) = u dv + v du
Integrando esta ltima expresin se obtiene:
d uv uv udv vdu( )
O lo que es lo mismo:
Este mtodo se aplica siempre que la integral del segundo miembro B es ms fcil de integrar que A. A la frmula:
u dv uv v du
se la conoce como frmula de la integracin por partes.
f x dx udv uv vdu
A B
( )
39
Introduccin al Clculo Integral
40
EJEMPLO 1.- Calcular:
ln xdx
SOLUCIN:
Efectuamos el cambio u xdv dx
du dxx
v x
ln y, aplicando la frmula de
integracin por partes, obtendremos:
ln xdx
=xlnx - x dxx
x x dx x x x C
ln ln
Pueden presentarse muchas variantes en la aplicacin del mtodo de integracin por partes, segn como sea la funcin f(x) y su posible descomposicin en producto de otras dos. Veremos a continuacin una tabla resumen de los casos ms frecuentes en los que es conveniente aplicar el mtodo:
f(x)=A(x) B(x)
CASO
S A(x) B(x) u v
1 Polinomio en x
Funcin exponencial A B
2 Polinomio en x Funcin trigonomtrica directa
A B
3 Funcin trigonomtrica inversa, o logartmica
Polinomio en x o funcin racional en x
A B
4 Funcin exponencial Funcin trigonomtrica directa A B B A
Introduccin al clculo integral
40
Introduccin al Clculo Integral
40
EJEMPLO 1.- Calcular:
ln xdx
SOLUCIN:
Efectuamos el cambio u xdv dx
du dxx
v x
ln y, aplicando la frmula de
integracin por partes, obtendremos:
ln xdx
=xlnx - x dxx
x x dx x x x C
ln ln
Pueden presentarse muchas variantes en la aplicacin del mtodo de integracin por partes, segn como sea la funcin f(x) y su posible descomposicin en producto de otras dos. Veremos a continuacin una tabla resumen de los casos ms frecuentes en los que es conveniente aplicar el mtodo:
f(x)=A(x) B(x)
CASO
S A(x) B(x) u v
1 Polinomio en x
Funcin exponencial A B
2 Polinomio en x Funcin trigonomtrica directa
A B
3 Funcin trigonomtrica inversa, o logartmica
Polinomio en x o funcin racional en x
A B
4 Funcin exponencial Funcin trigonomtrica directa A B B A
Introduccin al Clculo Integral
41
Veremos algunos ejemplos de aplicacin del mtodo de integracin por partes en los diferentes casos:
EJEMPLO 2.- Calcular
x x e dxx2 23
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del primer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio
xx ev
dxxdu
dxedvxxu
22
2
21
32 3, obteniendo:
x x e dxx2 23
=
12
3 12
2 32 2 2e x x x e dxx x
Esta ltima integral es tambin del caso 1, y se calcula de la misma forma:
2 3 2x e dxx
=
u x
dv e dx
du dx
v ex x
2 3 212
2 2 =
2 32
2 2x e e dxx x
luego:
2 3 2x e dxx
=
2 32
12
2 2x e e Cx x
Sustituyendo en la integral propuesta, se obtiene:
x x e dxx2 23
=
12
3 12
2 2e x xx 2 3
214
2 2x e e Cx x
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
41
Introduccin al Clculo Integral
42
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del segundo caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio:u xdv xdx
du dx
v x
cos sen3 13
3 con lo que la integral inicial
queda:
x xdxcos3
= x x xdx3
3 13
3sen sen
Resolviendo sta ltima:
x xdxcos3
=
x x x C3
3 19
3sen cos
EJEMPLO 4.- Calcular:
x xdxarctg
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del tercer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio u xdv xdx
du dxx
v x
arctg 1
2
2
2.
EJEMPLO3.- Calcular
x xdxcos3
Introduccin al clculo integral
42
Introduccin al Clculo Integral
42
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del segundo caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio:u xdv xdx
du dx
v x
cos sen3 13
3 con lo que la integral inicial
queda:
x xdxcos3
= x x xdx3
3 13
3sen sen
Resolviendo sta ltima:
x xdxcos3
=
x x x C3
3 19
3sen cos
EJEMPLO 4.- Calcular:
x xdxarctg
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del tercer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio u xdv xdx
du dxx
v x
arctg 1
2
2
2.
EJEMPLO3.- Calcular
x xdxcos3
Introduccin al Clculo Integral
43
Sustituyendo en la integral:
x xdxarctg
= x x2
2arctg
12A
Donde A=x dx
x
2
21
1 11 1
2
2 2xx
dx dx dxx
x x Carctg
Sustituyendo en la integral inicial:
x xdxarctg
=
x x x x C2
212
arctg arctg
EJEMPLO 5.- Calcular:
sen x e dxx 2
SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del cuarto caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.
Efectuamos el cambio:u x
dv e dx
du xdx
v ex x
sen cos
2 212
con lo que la integral inicial
queda:
sen xe dxx2
= sen cosx e xe dxx x12
12
2 2
Esta ltima integral es tambin del mismo tipo, por tanto, se calcula de la misma forma:
cos xe dxx2
=u x
dv e dx
du xdx
v ex x
cos sen
2 212
= 12
12
2 2cos senx e xe dxx x
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
43
Introduccin al Clculo Integral
44
Sustituyendo en la integral inicial, queda:
sen x e dxx 2
= sen x e x12
2
14
14
2 2cos senx e x e dxx x
Observemos que la integral del segundo miembro es la misma que la integral inicial, por tanto, pasndola al primer miembro y simplificando, obtendremos su valor:
sen xe dxx2
25
12
2 2sen cosxe xe Cx x
3.2.- Frmulas de reduccin Este procedimiento se aplica a integrales de funciones que, aunque en principio pueden ser resueltas por partes, debido a que en la funcin aparecen exponentes enteros de valor muy elevado, deberamos aplicar el mtodo de integracin por partes repetidas veces. El procedimiento a seguir consiste en que partiendo de una integral con exponente entero n, (que denominaremos In) , aplicando la integracin por partes , obtengamos otra integral de la misma forma que la primera pero con el exponente reducido , sto es:
In = K(x) + In-h
Aplicando sucesivamente la frmula de reduccin deberemos llegar a una integral inmediata. A continuacin obtendremos algunas frmulas de reduccin:
1.- Frmula de reduccin de la integral x e dxn x
:
Denominaremos In = x e dxn x
y aplicaremos la frmula de integracin por partes:
Iu x dx
dv e dx v ex e nx e dxn
n
x xn x n x
du = nx
n-11
Por tanto:
I x e nInn n
n 1
Introduccin al clculo integral
44
Introduccin al Clculo Integral
44
Sustituyendo en la integral inicial, queda:
sen x e dxx 2
= sen x e x12
2
14
14
2 2cos senx e x e dxx x
Observemos que la integral del segundo miembro es la misma que la integral inicial, por tanto, pasndola al primer miembro y simplificando, obtendremos su valor:
sen xe dxx2
25
12
2 2sen cosxe xe Cx x
3.2.- Frmulas de reduccin Este procedimiento se aplica a integrales de funciones que, aunque en principio pueden ser resueltas por partes, debido a que en la funcin aparecen exponentes enteros de valor muy elevado, deberamos aplicar el mtodo de integracin por partes repetidas veces. El procedimiento a seguir consiste en que partiendo de una integral con exponente entero n, (que denominaremos In) , aplicando la integracin por partes , obtengamos otra integral de la misma forma que la primera pero con el exponente reducido , sto es:
In = K(x) + In-h
Aplicando sucesivamente la frmula de reduccin deberemos llegar a una integral inmediata. A continuacin obtendremos algunas frmulas de reduccin:
1.- Frmula de reduccin de la integral x e dxn x
:
Denominaremos In = x e dxn x
y aplicaremos la frmula de integracin por partes:
Iu x dx
dv e dx v ex e nx e dxn
n
x xn x n x
du = nx
n-11
Por tanto:
I x e nInn n
n 1
Introduccin al Clculo Integral
45
Con esta frmula, obtenemos una reduccin de h=1. Aplicndola sucesivamente llegaremos a la integral I0, que es inmediata:
I e dx e Cx x0
EJEMPLO 6.- Calcular:
x e dxx3
SOLUCIN: Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente frmula de reduccin:
I x e nInn n
n 1 Por tanto la integral propuesta es I3 : De esta forma se tiene:
I x e In33
23 ,
I x e In22
12 ,
I x e In1 0 , donde I e Cn
0 .
Por tanto:
I x e I
x e x e I
x e x e x e I
x e x e x e e
e x x x C
x
x x
x x x
x x x x
x
33
23 2
1
3 20
3 2
3 2
3
3 2
3 2
3 2
3 6 6
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
45
Introduccin al Clculo Integral
46
2.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx xdx
m, n N, para reducir
el exponente de cos x.
Denominaremos Im,n = sen cosm nx xdx
, aplicamos el mtodo de integracin por
partes:
Iu x x x dx
dv x x v xn
x xn
mn
x xdx
m n
m m
nn
mm n
,
cos cos sen
sen cos sen
cos cos sen
1 2
1
12 2
1
111
du = m -1
senn+1
Por tanto:
I x xn
mn
x x xdxm nm
nm
,cos sen cos cos
12 2
111
1 senn+1
cos sen sen cos sen cosm n
n m n mx xn
mn
x xdx mn
x xdx1 1
2
111
11
O lo que es lo mismo:
I x xn
mn
I mn
Im nm n
m n m n, , ,cos sen
1 1
2111
11
Pasando Im,n al primer miembro, obtenemos:
1 11 1 1
11
1 1
2
mn
I m nn
I x xn
mn
Im n m nm n
m n, , ,cos sen
Despejando, obtenemos una frmula de reduccin en la que h=2:
I x xm n
mm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
Introduccin al clculo integral
46
Introduccin al Clculo Integral
46
2.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx xdx
m, n N, para reducir
el exponente de cos x.
Denominaremos Im,n = sen cosm nx xdx
, aplicamos el mtodo de integracin por
partes:
Iu x x x dx
dv x x v xn
x xn
mn
x xdx
m n
m m
nn
mm n
,
cos cos sen
sen cos sen
cos cos sen
1 2
1
12 2
1
111
du = m -1
senn+1
Por tanto:
I x xn
mn
x x xdxm nm
nm
,cos sen cos cos
12 2
111
1 senn+1
cos sen sen cos sen cosm n
n m n mx xn
mn
x xdx mn
x xdx1 1
2
111
11
O lo que es lo mismo:
I x xn
mn
I mn
Im nm n
m n m n, , ,cos sen
1 1
2111
11
Pasando Im,n al primer miembro, obtenemos:
1 11 1 1
11
1 1
2
mn
I m nn
I x xn
mn
Im n m nm n
m n, , ,cos sen
Despejando, obtenemos una frmula de reduccin en la que h=2:
I x xm n
mm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
Introduccin al Clculo Integral
47
Aplicando sucesivamente esta frmula de reduccin llegaremos a dos tipos de integrales segn sea m un nmero par o impar:
- Si m es par I0,n = senn xdx
que se puede calcular mediante el cambio tg x =t
- Si m es impar I1,n = sen cosn x xdx
que es una integral inmediata:
sen cosn x xdx
=11
1
nx Cn
sen
EJEMPLO 7.- Calcular:
cos sen8 2x x dx
SOLUCIN: Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente frmula de reduccin:
I x xm n
mm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
Por tanto la integral propuesta es I 8,2 : De esta forma se tiene:
I x x I
x x x x I
8 2
7 3
6 2
7 3 5 3
4 2
10710
10710 8
58
, ,
,
cos sen
cos sen cos sen
cos sen cos sen cos sen ,7 3
5 33 3
2 210780
716 6
36
x x x x x x I
cos sen cos sen cos sen cos sen ,7 3
5 33 3 3
0 210780
796
732 4
14
x x x x x x x x I
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
47
Introduccin al Clculo Integral
48
Finalmente llegamos a la integral I0,2 = sen2 xdx
que es inmediata:
I0,2 = sen2 xdx
=
12
1 22
24
cos senx dx x x C
Sustituyendo en lo anterior y simplificando, se obtiene:
I8 2, = sencos cos cos cos sen cos3 7 5 3
107
807
967128
7256
7256
x x x x x x x x C
3.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx x dx
m, n N, para
reducir el exponente de senx:. Aplicando un mtodo anlogo al anterior, se obtiene la frmula de reduccin:
I x xm n
nm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
EJEMPLO 8.- Calcular:
cos sen2 4x x dx
SOLUCIN: Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente frmula de reduccin:
I x xm n
nm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
Introduccin al clculo integral
48
Introduccin al Clculo Integral
48
Finalmente llegamos a la integral I0,2 = sen2 xdx
que es inmediata:
I0,2 = sen2 xdx
=
12
1 22
24
cos senx dx x x C
Sustituyendo en lo anterior y simplificando, se obtiene:
I8 2, = sencos cos cos cos sen cos3 7 5 3
107
807
967128
7256
7256
x x x x x x x x C
3.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx x dx
m, n N, para
reducir el exponente de senx:. Aplicando un mtodo anlogo al anterior, se obtiene la frmula de reduccin:
I x xm n
nm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
EJEMPLO 8.- Calcular:
cos sen2 4x x dx
SOLUCIN: Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente frmula de reduccin:
I x xm n
nm n
Im nm n
m n, ,cos sen
1 1
21
Introduccin al Clculo Integral
49
Por tanto la integral propuesta es I 2,4 : De esta forma se tiene:
I x x I
x x x x I
2 4
3 3
2 2
3 3 3
2 0
636
612 4
14
, ,
,
cos sen
cos sen cos sen
cos sen cos sen cos sen3 3 3
6 8 16 16x x x x x x x C
NOTA.- Las anteriores frmulas de reduccin se pueden aplicar indistintamente, e incluso es posible aplicar una combinacin de ellas en la resolucin de la integral Im,n Otras frmulas de reduccin que se pueden obtener por el mismo mtodo, son:
4.- Im= sen sen cosm m mxdx mx x m
mI
1 112
5.- Im= cos cos senm m mxdx mx x m
mI
1 112
6.- Im= tg tgm m mxdx mx I
11
12
7.- Im= x xdx x x mx x m m Im m m mcos sen cos ( )
121
8.- Im= ln lnx dx x x mIm m
m
1
3.3.- Algunos casos especiales
En este aparatado vamos a estudiar dos tipos de integrales, ambas resolubles por partes, para las que vamos a presentar un mtodo alternativo de clculo.
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
49
Introduccin al Clculo Integral
50
a) Integrales del tipo
, )sin( , )cos(
dxxedxxe xx , R
Para la resolucin de este tipo de integrales vamos a utilizar nmeros complejos, y en particular la conocida identidad de Euler:
Rxisenxe xi ),()cos(
Para ello consideremos la expresin dada por
dxxeidxxeA xx )sin( )cos()( .
Aplicando la identidad de Euler y las propiedades de la exponencial compleja, se tiene:
.
))()(cos( )sin( )cos( )(
)( dxedxedxee
dxxisenxedxxeidxxeA
ixxixxix
xxx
La integral dxe ix
)( es formalmente inmediata, por lo que, aplicando las
propiedades de los nmeros complejos
.)cos()( )( )cos(
)()cos(
)(
22
22
)()(
xxsenixsenxe
xisenxieiieei
iedxeA
x
x
xix
ixix
Introduccin al clculo integral
50
Introduccin al Clculo Integral
50
a) Integrales del tipo
, )sin( , )cos(
dxxedxxe xx , R
Para la resolucin de este tipo de integrales vamos a utilizar nmeros complejos, y en particular la conocida identidad de Euler:
Rxisenxe xi ),()cos(
Para ello consideremos la expresin dada por
dxxeidxxeA xx )sin( )cos()( .
Aplicando la identidad de Euler y las propiedades de la exponencial compleja, se tiene:
.
))()(cos( )sin( )cos( )(
)( dxedxedxee
dxxisenxedxxeidxxeA
ixxixxix
xxx
La integral dxe ix
)( es formalmente inmediata, por lo que, aplicando las
propiedades de los nmeros complejos
.)cos()( )( )cos(
)()cos(
)(
22
22
)()(
xxsenixsenxe
xisenxieiieei
iedxeA
x
x
xix
ixix
Introduccin al Clculo Integral
51
Igualando partes reales e imaginarias en la expresin obtenida para (A) tenemos
.)cos()( )sin(
,)( )cos( )cos(
22
22
Cxxsenedxxe
Cxsenxedxxe
xx
xx
b) Integrales del tipo
dxxPe nx )( , n N
Este tipo de integrales pueden resolverse aplicando partes n veces. Vamos a resolverlas resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de 1n ecuaciones con 1n incgnitas. Para ello observemos que
)( )( CxQedxxPe nx
nx
donde )(xQn es un polinomio indeterminado del mismo grado n que )(xPn . Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 9.- Calcular:
dxe x 1-2x2x 23
SOLUCIN: En este caso es 2n , con 1-2x2x)( 22 xP y 3 . Consideramos por tanto un polinomio indeterminado de grado 2n , cbxax)( 22 xQ , y tenemos
cbxax dx 1-2x2x 2323 Cee xx
(B)
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
51
Introduccin al Clculo Integral
52
Para determinar los coeficientes del polinomio )(2 xQ , derivamos en (B) y obtenemos:
b3)23(3ax b2axcbxax3 1-2x2x
23
32323
cxabeeee
x
xxx
Cancelando el trmino xe3 en la igualdad anterior obtenemos la identidad de polinomios
b3)23(3ax1-2x2x 22 cxab , De donde igualando coeficientes del mismo gado, obtenemos el sistema de 3
ecuaciones con 3 incgnitas:
2711,
92,
32
b31232
32
cbac
aba
Y por tanto
Cedxe xx
2711-x
92x
32 1-2x2x 2323
3.1.-
x x e dxx
3 2 3.2.-
2 2x xdx
ln 3.3.- e x dxx3 2sen
3.4.- ln xxdx
3.5.- x x dxsen2
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
Introduccin al clculo integral
52
Introduccin al Clculo Integral
52
Para determinar los coeficientes del polinomio )(2 xQ , derivamos en (B) y obtenemos:
b3)23(3ax b2axcbxax3 1-2x2x
23
32323
cxabeeee
x
xxx
Cancelando el trmino xe3 en la igualdad anterior obtenemos la identidad de polinomios
b3)23(3ax1-2x2x 22 cxab , De donde igualando coeficientes del mismo gado, obtenemos el sistema de 3
ecuaciones con 3 incgnitas:
2711,
92,
32
b31232
32
cbac
aba
Y por tanto
Cedxe xx
2711-x
92x
32 1-2x2x 2323
3.1.-
x x e dxx
3 2 3.2.-
2 2x xdx
ln 3.3.- e x dxx3 2sen
3.4.- ln xxdx
3.5.- x x dxsen2
EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:
Introduccin al Clculo Integral
53
3.6.-
232 dxexsenxx x 3.7.- cos sen4 3x x dx
3.8.- sen ( ) cos( )m Ax Ax dx
Captulo 3. Mtodo de integracin por partes
53
Introduccin al Clculo Integral
54
Introduccin al Clculo Integral
54
Introduccin al Clculo Integral
55
Captulo 4.- Integracin de funciones racionales
4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio Comencemos este captulo recordando un resultado sobre polinomios que suponemos ya conocido. 4.1.1.- Teorema 4.1.- Para cualquier polinomio de grado n 1 ,
011
1)( axaxaxaxPn
nn
n
, con coeficientes naaaa ,,,, 210 reales, existen nmeros reales o complejos 1 2, , , n tales que :
P x a x x x xn n( ) 1 2 3 .
A la expresin:
P x a x x x xn n( ) 1 2 3
se la denomina descomposicin factorial del polinomio P x( ) . A los valores 1 2, , , n se les denomina races del polinomio P x( ) y al trmino an se le denomina coeficiente director del polinomio P x( ) . Si en la descomposicin factorial de un polinomio P x( ) una raz i aparece solo una vez, se dice entonces que i es una raz simple de P x( ) o equivalentemente, que su orden de multiplicidad es 1. En caso contrario, se dice que i es una raz mltiple, y si aparece ni veces, se dice que su orden de multiplicidad es ni o tambin que es una raz de orden ni . As, si hay n1 races iguales a 1 , n2 races iguales a 2 y, en general, ni races iguales a i , se verificar:
n n n1 2 p+ n + ,
55
Introduccin al Clculo Integral
56
y la factorizacin del polinomio P x( ) quedar de la forma:
P x a x x x xnn n n
pnp( ) 1 2 3
1 2 3 .
4.2.- Descomposicion en fracciones simples de una funcion racional El siguiente resultado es clave pues nos proporciona la descomposicin en fracciones simples de una funcin racional.
4.2.1.- Teorema 4.2.- Sea P xQ x( )( )
una funcin racional, cociente de dos polinomios
P x( ) y Q x( ) de grados respectivos p y q ( )p q . Sean 1 2, , , k las races reales de Q x( ) 0 con rdenes de multiplicidad respectivos m m mk1 2, , , y sean a ib a ib a ibl l1 1 2 2 , , , sus races complejas con rdenes de multiplicidad respectivos n n nl1 2, , , , verificndose :
m m m n n n qk l1 2 1 22 ( ) , entonces existen q constantes reales nicas :
A A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C C
mk k k k
m
ln
l l l ln
ln
l l l ln
k
l l
l l
11
12
13
11 2 3
11
12
13 1 2 3
11
12
13 1 2 3
1, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,
tales que se verifica :
P xQ x
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
B x Cx a b
B x C
x a b
B x C
x a b
B
mm
k
k
k
k
km
km
n nn
l
k
k
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
1
12
12
1
1
1 22
11
11
12
12
12
12
12
12 2
1 1
12
12
1
1
1
1 1
1
+ + +
x Cx a b
B x C
x a b
B x C
x a b
l
l l
l l
l l
ln
ln
l l
nl l
l
12 2
2 2
2 2 2 2 2
( )
( ) ( ). +
Introduccin al clculo integral
56
Introduccin al Clculo Integral
56
y la factorizacin del polinomio P x( ) quedar de la forma:
P x a x x x xnn n n
pnp( ) 1 2 3
1 2 3 .
4.2.- Descomposicion en fracciones simples de una funcion racional El siguiente resultado es clave pues nos proporciona la descomposicin en fracciones simples de una funcin racional.
4.2.1.- Teorema 4.2.- Sea P xQ x( )( )
una funcin racional, cociente de dos polinomios
P x( ) y Q x( ) de grados respectivos p y q ( )p q . Sean 1 2, , , k las races reales de Q x( ) 0 con rdenes de multiplicidad respectivos m m mk1 2, , , y sean a ib a ib a ibl l1 1 2 2 , , , sus races complejas con rdenes de multiplicidad respectivos n n nl1 2, , , , verificndose :
m m m n n n qk l1 2 1 22 ( ) , entonces existen q constantes reales nicas :
A A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C C
mk k k k
m
ln
l l l ln
ln
l l l ln
k
l l
l l
11
12
13
11 2 3
11
12
13 1 2 3
11
12
13 1 2 3
1, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,
tales que se verifica :
P xQ x
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
B x Cx a b
B x C
x a b
B x C
x a b
B
mm
k
k
k
k
km
km
n nn
l
k
k
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
1
12
12
1
1
1 22
11
11
12
12
12
12
12
12 2
1 1
12
12
1
1
1
1 1
1
+ + +
x Cx a b
B x C
x a b
B x C
x a b
l
l l
l l
l l
ln
ln
l l
nl l
l
12 2
2 2
2 2 2 2 2
( )
( ) ( ). +
Introduccin al Clculo Integral
57
NOTA 1 : En el caso de que en la funcin racional P xQ x( )( )
se tenga el grado del
numerador mayor o igual que el grado del denominador, se efecta la divisin de los dos polinomios, de forma que se obtiene :
P xQ x
C x R xQ x
( )( )
( ) ( )( )
,
donde en R xQ x( )( )
se tiene el grado del numerador menor que el grado del denominador.
A R xQ x( )( )
le es aplicable el teorema 4.2, y bastar a esta descomposicin en fracciones
simples de R xQ x( )( )
sumarle el polinomio C(x) para obtener la descomposicin en
factores de la funcin racional original P xQ x( )( )
.
Veamos algunos ejemplos de la aplicacin de este teorema.
SOLUCIN: El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es
aplicable el teorema 4.2. Las races del denominador 2 3 9 2 x x son x=23 y
x= 13. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposicin pedida ser de la forma:
xx x
A
x
B
x
12 3 9 2
313
2 ,
EJEMPLO 1 :. Calcular la descomposicin en fracciones simples de xx x
12 3 9 2
Captulo 4. Integracin de funciones racionales
57
Introduccin al Clculo Integral
58
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B. Para determinarlas, sumamos las fracciones en la descomposicin anterior, y aplicando que por el teorema 4.1 se obtiene:
2 3 9 9 13
23
2
x x x x ,
identificando los numeradores de las fracciones resultantes, se obtiene :
x A x B x
1 13
23
.
A partir de este momento, podemos seguir dos caminos. En primer lugar, la ltima igualdad es una igualdad entre polinomios, y por tanto, debern ser iguales sus coeficientes. Podemos por tanto desarrollar la expresin
A x B x A B x A B
13
23
13
2 ,
e igualar coeficientes con el polinomio x 1. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones que permite obtener los valores de las constantes:
11
323
5323
A BA B
A
B
Otro camino posible es sustituir la variable x por algunos valores concretos en la expresin:
x A x B x
1 13
23
Para simplificar, daremos a x los valores que anulan trminos en el lado derecho de la
igualdad. As, dando a x los valores x=13 y x=
23, obtenemos un sistema de
ecuaciones , que resuelto, nos proporciona el valor de las constantes.
Introduccin al clculo integral
58
Introduccin al Clculo Integral
58
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B. Para determinarlas, sumamos las fracciones en la descomposicin anterior, y aplicando que por el teorema 4.1 se obtiene:
2 3 9 9 13
23
2
x x x x ,
identificando los numeradores de las fracciones resultantes, se obtiene :
x A x B x
1 13
23
.
A partir de este momento, podemos seguir dos caminos. En primer lugar, la ltima igualdad es una igualdad entre polinomios, y por tanto, debern ser iguales sus coeficientes. Podemos por tanto desarrollar la expresin
A x B x A B x A B
13
23
13
2 ,
e igualar coeficientes con el polinomio x 1. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones que permite obtener los valores de las constantes:
11
323
5323
A BA B
A
B
Otro camino posible es sustituir la variable x por algunos valores concretos en la expresin:
x A x B x
1 13
23
Para simplificar, daremos a x los valores que anulan trminos en el lado derecho de la
igualdad. As, dando a x los valores x=13 y x=
23, obtenemos un sistema de
ecuaciones , que resuelto, nos proporciona el valor de las constantes.
Introduccin al Clculo Integral
59
En este caso: 2353
2353
B
A
B
A
(Este mtodo se conoce como mtodo de coeficientes indeterminados). De esta forma, la descomposicin en fracciones simples quedar :
xx x x x
12 3 9
5323
2313
2 .
SOLUCIN: El grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador, por lo que es aplicable el teorema 4.2. Las races del denominador x x4 210 9 son x=1 y x= 3. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposicin pedida ser de la forma:
x xx x
Ax
Bx
Cx
Dx
2
4 215
10 9 1 1 3 3
,
donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D. Para determinarlas, quitamos denominadores en la expresin en fracciones simples. De esta forma, aplicando que
x x x x x x4 210 9 1 1 3 3 ,
EJEMPLO 2:. Calcular la descomposicin en fracciones simples de x xx x
2
4 215
10 9
Captulo 4. Integracin de funciones racionales
59
Introduccin al Clculo Integral
60
se obtiene
x x A x x x B x x x C x x x
D x x x
2 15 1 3 3 1 3 3 1 1 3
1 1 3
.
Aqu de nuevo podemos seguir dos caminos, desarrollar la expresin e igualar coeficientes o aplicar el mtodo de los coeficientes indeterminados. Desarrollando la expresin :
A x x x B x x x C x x x
D x x x
1 3 3 1 3 3 1 1 3
1 1 3
e igualando sus coeficientes con los del polinomio x x2 15 obtendramos un sistema de ecuaciones. El mtodo de los coeficientes indeterminados es en este caso ms sencillo, utilizando los valores de x que anulan trminos en el lado derecho de la igualdad. As, dando a x los valores x= 1 y x= 3, obtenemos el sistema de ecuaciones :
13 1615 163 489 48
1613151616163
ABCD
A
B
CD
por lo que la descomposicin en fracciones simples quedar de la forma :
x xx x x x x x
2
4 215
10 9
1613
1
1516
116
3
1633
.
Introduccin al clculo integral
60
Introduccin al Clculo Integral
60
se obtiene
x x A x x x B x x x C x x x
D x x x
2 15 1 3 3 1 3 3 1 1 3
1 1 3
.
Aqu de nuevo podemos seguir dos caminos, desarrollar la expresin e igualar coeficientes o aplicar el mtodo de los coeficientes indeterminados. Desarrollando la expresin :
A x x x B x x x C x x x
D x x x
1 3 3 1 3 3 1 1 3
1 1 3
e igualando sus coeficientes con los del polinomio x x2 15 obtendramos un sistema de ecuaciones. El mtodo de los coeficientes indeterminados es en este caso ms sencillo, utilizando los valores de x que anu
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