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UNIVERSIDAD CATOLICASANTO TORIBIO DEMOGROVEJO
Ingeniería Industrial
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Investigación de Operaciones
Unidad I:
Programación Lineal
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Objetivos
Comprender la importancia de la Inv. de Operaciones, su rol en la
solución de problemas y específicamente del uso y aplicación de los
métodos cuantitativos de decisión.
Obtener conocimiento y comprensión de los fundamentos teóricos de los
modelos de programación lineal , su formulación, su proceso de solución
y el análisis e interpretación de los resultados. Identificar situaciones en las que los modelos de programación lineal
pueden ser utilizados para darles solución.
Presentar a la función Operaciones como generadora de ventajas
competitivas sostenibles
Describir su sistema de funcionamiento y la generación de decisiones
que requiere
Relacionar la funciones empresarias con el área de Operaciones
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Conocimientos previos
Geometría Plana: Plano cartesiano, representación de
rectas en el plano, gráfico de una recta, pendiente de
una recta, familia de rectas paralelas.
Algebra Lineal: ecuaciones, inecuaciones, sistema de
ecuaciones lineales, resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, matrices.
Estadística: dispersión, varianza, desviación estándar.
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Qué es la Investigación Operaciones en la Empresa?
Descubrir y desarrollar las ideas que permitan Dirigir y
Controlar los Procesos mediante donde los insumos setransforman en bienes y servicios terminados
Operaciones
Procesos
Insumos•Personal•Líderes•Equipos•Instalaciones•Materiales•
Servicios•Tierra•Energía
Productos•Bienes•Servicios
Participación del Cliente
Información Rendimiento Ambiente Externo
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Investigación de Operaciones como Función
Manufactura MayoristasConstrucción MinoristasTransporte BancaSalud Gobierno
Tipos de Organización
Funciones
• Administración•Finanzas•Marketing•Operacioness•RRHH•Ingeniería
Areas de Habilidades•Métodos cuantitativos•Comportamiento Organizacional•
Sistemas de Información•Economía•Negocios Internacionales•Etica y Derecho en Negocios
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Manufacturas y Servicios: diferencias
1. Producto Físico, Durable2. La producción se puede
inventariar
3. Poco contacto con el Cliente
4. Tiempo de respuesta largo5. Mercados regionales, nacionales
o internacionales
6. Instalaciones grandes
7. Intensivo en Capital
8. Calidad fácil de medir
1. Producto intangible, perecedero2. La producción no se puede
inventariar
3. Alto contacto con el cliente
4. Tiempos de respuesta cortos
5. Mercados locales (en la granmayoría)
6. Instalaciones pequeñas (en lagran mayoría)
7. Intensivo en trabajo
8. No es fácil medir la calidad
Organización Manufactura Organización de Servicios
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Ambos tipos de organizaciones proveen unacombinación de bienes y servicios
Se mantiene stock de insumos
Todos los miembros de una organización tienenclientes: internos o externos
Sus procesos deben ser diseñados y administradoscon eficacia
Las organizaciones deben mejorar continuamentela calidad, la productividad y la respuesta puntual.
Manufacturas y Servicios: semejanzas
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Para que la evaluación seajusta todos armaránindividualmente el balance
del año anterior
Productividad
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Función Operaciones como arma competitiva
Alineamiento de Operaciones a la Estrategia Empresarial
Desarrollo de Habilidades Diferenciales como aporte a la estrategia
Sistema de decisiones como arma competitiva: potenciando habilidades y
capacidades, Administración de
procesos y su tecnología
recursos
capacidades y características de los ámbitos de trabajo
niveles de stock en toda la cadena de abastecimiento
proyectos de diferenciación
calidad / servicio
tiempos de respuesta
sistema de información y medición
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Estrategia corporativa y de áreas funcionales
Entornosocioeconómico y denegocios
Análisisde mercado-segmentación-evaluación
DireccionesFuturas•estrategiamundial•pro/sernuevos
PrioridadesCompetitivas•costo•calidad•tiempo•flexibilidad
EstrategiaCorporativa•misión•metas•competenciasdistintivas
Estrategia AreasFuncionales•finanzas•marketing•operaciones•otras
Capacidades: actuales,necesarias y futuras
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Estrategia Corporativa
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Análisis de Mercado
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Prioridades competitivas
Costo• Operaciones a bajo costo
Calidad
• Diseño de alto rendimiento• Calidad consistente
Tiempo
• Entrega rápida• Entrega a tiempo• Velocidad de desarrollo
Flexibilidad
• Personalización• Flexibilidad de volumen
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Conclusiones
Una estrategia de operaciones basada en el cliente requiere
que las necesidades del mercado se traduzcan en capacidades
deseables para la función operaciones, conocidas como
prioridades competitivas La gerencia deberá decidir en qué dimensiones deberá
sobresalir el sistema de operaciones de la empresa
En la competencia basada en el tiempo, los gerentes tratan de
ahorrar tiempo en los diversos pasos que conducen a la entrega
del producto
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Programación Lineal
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Introducción
La Programación Lineal es una herramienta muy poderosa para la
aplicación y disposición de recursos escasos de una manera
adecuada y óptima.
En la actualidad los recursos necesarios para llevar a cabo una
operación son escasos y tienden a subir de precio.
La Programación Lineal permite la asignación de estos recursos
de una forma efectiva utilizando aquéllos que son indispensables
y al máximo.
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Tipos de Programación
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Los 5 tipos de problemas de PL en la Administración de la
Producción más usados son:
Mezcla de Productos
Mezcla de Ingredientes
Transporte
Plan de Producción
Asignación
Usos de PL
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Identificación de Problemas de ProgramaciónLineal…
El primer paso será identificar que problemas son losapropiados para soluciones de programación lineal.
Es fundamental tener la capacidad de identificar losproblemas que tienen soluciones de programación lineal.
Una vez que se pueda definir bien que es y que no es un
problema de programación lineal, el siguiente paso será
formular el problema correspondiente en un formato de
programación lineal.
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Existen 4 características principales de problemas de
programación lineal en la administración de la producción y
de las operaciones:
Debe existir un objetivo único bien definido.
Deben existir cursos de acción alternos.
El logro total del objetivo debe quedar restringido por
recursos escasos o por otras limitantes.
El objetivo y cada una de sus restricciones deberán poder
ser expresados como funciones matemáticas lineales.
...Identificación de Problemas de Programación Lineal
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Métodos para la Solución de Problemas PL
En el año 1947, George Dantzig desarrollo el método
simplex de programación lineal que fue el inicio del
desarrollo del campo actual de la programación
matemática.
El método simplex, el de transporte y el de asignación son
herramientas practicas para la solución de los problemas
de programación lineal.
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Método Gráfico
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El Método Gráfico permite
visualizar el impacto de las
restricciones propias de un
problema de PL en la
función objetivo y resolución
del mismo.
Método Gráfico
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Existen siete pasos a seguir en el método grafico:
Formular las funciones objetivo y las restricciones.
Dibujar una grafica con una variable en el eje horizontal y otraen el vertical.
Trazar cada una de las restricciones como si fuesen líneasrectas.
Delinear el espacio de solución factible.
Circular los puntos de solución potencial.
Reemplazar cada uno de los valores de los puntos de solución
potencial de las dos variables de decisión en la función objetivoy determinar Z.
Seleccionar aquel punto de solución que optimice Z( maximizarganancias o minimizar costos).
Método Gráfico
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Ejemplo de Método Gráfico
Feedco, una empresa Lubbock, Texas, mezcla
mecánicamente alimentos para generar pasturas de bajo
costo para el ganado. Los ingredientes principales son avena
y maíz. Los costos actuales de avena y de maíz son de 10
centavos y 6 centavos de dólar por libra, respectivamente.
Feedco requiere de un mínimo de 5,000 unidades de
mineral, 8,000 calorías y 4,000 unidades de vitaminas diarios
por cada una de las cabezas de ganado. Cada libra de
avena y de maíz suministra estas cantidades:
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Alimento Unidades de
minerales por
libra
Calorías por
libra
Unidades de
vitaminas por
libra
Avena 200 200 100
Maíz 100 300 200
¿Cuántas libras de avena y de maíz deberán darse
diariamente a cada res para minimizar los costos de pastura?
Ejemplo de Método Gráfico
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Solución:
Objetivo: Minimización de los costos incurridos enpastura.
Variables de decisión: Feedco debe decidir cuántas libras deavena y maíz deberán darse a cada res
X1 = libra de avena
X2 = libra de maíz
Funciones de restricción:
200 X1 + 100 X2 >= 5,000
200 X1 + 300 X2 >= 8,000
100 X1 + 200 X2 >= 4,000
Ejemplo de Método Gráfico
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5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50 A
B
C X1 (libra de avena)
X2 (libra de maíz)
0
200 X1 + 100 X2 >= 5,000
200 X1 + 300 X2 >= 8,000
100 X1 + 200 X2 >= 4,000
Ejemplo de Método Gráfico
Gráfico de las
restricciones
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De acuerdo a la gráfica, los puntos A, B y C son las soluciones
potenciales al problema.Para saber cuál de éllos es el óptimo, reemplazamos valores enla función objetivo: Min Z = 0.10 X1 + 0.06 X2
Ejemplo de Método Gráfico
PUNTO Z X1 X2
US$ Lb Maíz Lb Avena
A 3.00 0.0 50.0
B 2.65 17.5 15.0
C 4.00 40.0 0.0
Conclusión:
Feedco con 15 libras de avena y 17.5 libras de maíz diarios,minimizará costos de pastura a US$ 2.65 por día.
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Método Simplex
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Es el método analítico ampliamente utilizado para solucionarproblemas de programación lineal.
El Método Simplex fue desarrollado por George Dantzig en
1947.
Este cambia las restricciones o desigualdades en ecuaciones de
problemas PL, y soluciona el problema con la manipulación de
matrices.
La solución encontrada del problema alterado es de una
dimensión mayor que el original, pero es relativamente sencillo
mediante el estudio de matrices.
Método Simplex...
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Existen diferentes software disponibles en la actualidad para poder
resolver los problemas a través de este método.
Entre los más importantes tenemos:
Optimization Solutions and Library de IBM,
Lindo,
POM Computer Library.
TORA
WINQSB
SOLVER de MS Excel
...Método Simplex
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Problema de enlatados de tomate,
Una compañía tiene un contrato para recibir 60000 libras de
tomates maduros a 0.7$/lb de las cuales producirá jugo de
tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se
empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo
requiere 1 lb de tomates frescos en tanto que una de puré
requiere solo de 1/3 de lb. La participación de la compañía en
el mercado esta limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de
puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son$18 y $9. Genere un programa de producción para esta
compañía.
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Reglas de decisión
Criterio de decisión Maximizar Minimizar
Gran M en la función objetivo - MX j + MX j
Variable que entra El coeficiente másnegativo de la F.O. El coeficiente más positivode la F.O.
Variable que sale El valor menos positivo delos b j / aij ,Siendo aij > 0 , de locontrario no restringe a lavariable que entra
El valor menos positivode los b j / aij ,Siendo aij > 0 , de locontrario no restringe a lavariable que entra
Solución óptima Cuando todos losC j > 0
Cuando todos losC j < 0
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Vamos a resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = 1.2x1 + 3.4x2
Sujeto a: 24x1 + 8x2 ≤ 60000
x1 ≤ 2000
x2 ≤ 6000
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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Se consideran los siguientes pasos:
1. Convertir las desigualdades en igualdades:
Se introduce una variable de holgura por cada una de lasrestricciones, este caso Xn+1, Xn+2, Xn+3 para convertirlas enigualdades y formar el sistema de ecuaciones estándar. Usando
en simplex el siguiente criterio:
Signo: Introducir
≤ xn+1
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FORMA ESTANDAR:
24x1 + 8x2 + x3 ≤ 60000
x1 + x4 ≤ 2000
x2 + x5 ≤ 6000
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Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de
holgura del sistema anterior:Z – 1.2 x1 – 3.4 x2 = 0
Para este caso en particular la función objetivo ocupa la ultima fila
del tablero, pero de preferencia siempre se deberá de colocar como
la primera fila.
Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de F.O. para
convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (-)
negativo de F.O. para convertirlo en positivo.
Paso 2:
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En las columnas aparecerán todas las variables del
problema y en las filas, los coeficientes de las
igualdades obtenidas, una fila para cada restricción
representada por las variables de holgura y la primera
fila con los coeficientes de la función objetivo:
Paso 3: Escribir el tablero inicial simplex:
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Tablero Inicial
Base Variable de
decisión
Variable de holgura Solución
X1 X2 X3 X4 X5 B j
Z -1.2 -3.4 0 0 0 0
X3 24 8 1 0 0 60000
X4 1 0 0 1 0 2000
X5 0 1 0 0 1 6000
Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en la
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A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, observamos la
primera fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y
escogemos la variable con el coeficiente más negativo.
En este caso, la variable X1 de coeficiente – 3.4 (columna pivote)
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición
anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.
Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que
se ha alcanzado la solución óptima.
Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método
del simplex, es que en la primera fila no haya elementos negativos.
Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en labase y la variable de holgura que sale de la base
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B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base,se divide cada término de la última columna (valores solución) por el
término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos
últimos sean mayores que cero.
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o
iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no sepuede seguir.
Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en labase y la variable de holgura que sale de la base
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Iteración No. 1
Base Variables de
decisión Variables de holgura Solución Operación
X1 X2 X3 X4 X5 B j
Z -1.2 -3.4 0 0 0 0
X3 24 8 1 0 0 6000060000/8 =
7500
X4 1 0 0 1 0 2000 Norestringe
X5 0 1 0 0 1 60006000/1=
6000
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Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica
que cualquiera de las variables correspondientes pueden
salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote
tenemos el elemento pivote operacional, 1, este indica que
la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura X5
sale.
Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en labase y la variable de holgura que sale de la base
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Resultado de Iteración No. 1
Base Variable de
decisión
Variable de holgura Solución Operación
X1 X2 X3 X4 X5 B j
Z -1.2 0 0 0 3.4 20400 1. F0 + F3(3.4)
X3 24 0 1 0 -8 12000 2. F1 – 8 F3
X4 1 0 0 1 0 2000
X2 0 1 0 0 1 6000
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Como en los elementos de la última fila hay un número negativo, -1.2, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima.Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es X1, pasa a ser la columna
pivote que corresponde al coeficiente -1.2
B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos lostérminos de la columna solución entre los términos de la nuevacolumna pivote; y como el menor cociente positivo es 500,tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale esX3.
Paso 4: Encontrar la variable de decisión que entra en labase y la variable de holgura que sale de la base
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Iteración No. 2
Base
Variable de
decisión Variable de holgura Solución Operación
X1 X2 X3 X4 X5 B j
Z 0 0 0.05 0 3 21000 F0+(1.2)F1
X1 1 0 1/24 0 -1/3 500
X4 0 0 -1/24 1 1/3 1500 F2-F1
X2 0 1 0 0 1 6000
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Como todos los coeficientes de la fila de la función
objetivo son positivos, hemos llegado a la soluciónóptima.
X1 = 500
X2 = 6000
La solución óptima viene dada por el valor de Z en lacolumna de los valores solución, en nuestro caso:21000.
Solución final
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Solución con WinQSB
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Definir el n°de variables y el n°de restricciones delPrograma Lineal.
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Ingresamos los coeficientes del PL.
Luego la solución
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Solución en WinQSB
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Algunas Interpretaciones
El número de cajas de jugo de tomate a producir es500.
El número de cajas de puré de tomate a producir es6000
La utilidad máxima será de 21000 No se satisface la demanda en su totalidad porque
solo produciremos 500 cajas de jugo de tomate.
Se utilizarán toda la materia prima disponible.
Por cada kg. adicional de tomate que se adquierapara la producción se ganará 0.05.
Etc.
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