CATEDRATICO:
Catedratico: Ing. Rafael Salcedo Muñoz
Universidad Técnica de Mach
PRESENTACIÓN
El estudio de la geometría analítica, sirve para dar un análisis completo
de la investigación cualquiera que sea o motivo particular de que se
trate. El ser conciso en la presentación no se justifica ciertamente si una
conclusión basada en la discusión de uno o varios casos posibles. El
tratamiento de temas geométricos fundamentales sirven de base para
en lo posterior aplicarlos en disciplinas de carácter económico,
administración, industrias de todo tipo y la investigación científica, a
parte de la contabilidad de costos que tiene como base los costos fijos y
variables para dar el punto de equilibrio preciso en la oferta y demanda
de un bien o servicio.
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DEDICATORIA
El presente trabajo lo dedico a Dios y a mis padres que se han
sacrificado diariamente para ayudarme en todo lo que sea necesario
para continuar con mis estudios superiores.
El Autor
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AGRADECIMIENTO
A mi maestro y catedrático de la Universidad, Ing. Rafael Salcedo, quien
supo guiarme de la manera correcta para la realización del presente
trabajo científico, a todas y cada una de las personas que colaboraron
para la culminación exitosa de esta obra.
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MISIÓN
Conocer los fundamentos de la Geometría Analítica, para satisfacer las
necesidades de maestros y alumnos, a partir de materiales de apoyo
esenciales para motivar, orientar, discutir y ejemplificar casos de la vida
diaria común y científica, que coadyuven al crecimiento científico
personal y de la sociedad, para solucionar problemas que se presentan
diariamente.
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VISIÓN
A partir de los conocimientos básicos de Geometría Analítica, aplicarlos
en los estudios micro y macroeconómicos en instrumentos de análisis de
la economía, la Administración y la Contabilidad, que a pesar de ser muy
abstractas son la base para el desarrollo de bastas zonas agrícolas,
ganaderas, mineras y de la pequeña y grande industria de los países en
vías de desarrollo, y muy particularmente del nuestro y lograr con ello a
partir de la experiencia mi desarrollo personal que redundará en mi
propio beneficio económico y de bienestar.
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SISTEMAS DE COORDINADAS RECTANGULARES
Es un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a
estar sobre una recta, el eje. El más importante de estos sistemas es el
sistema coordenado rectangular, muy familiar al estudiante desde su
estudio previo de álgebra y trigonometría.1
SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
Coordenadas rectangulares.- Es el sistema de dos ejes coordenados
ortogonales que se cortan en un punto llamado origen, el cual divide a
cada eje en dos semiejes; uno positivo y otro negativo, determinando en
el plano cuatro cuadrantes. Convencionalmente se considera eje
horizontal al eje de las Abscisas (X) t al eje vertical como eje de las
ordenadas (Y).2
Fig. 1
1 SALINAS P. EDMUNDO: Física 1: Cantidades vectoriales – Loja 20002 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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UBICACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO
Cualquier punto tiene una posición en el plano y representa a un par
ordenado (X, Y) correspondiente a la intersección de la abscisa y la
ordenada la abscisa es la primera componente. Para representar un
punto debemos tomar en cuenta en qué cuadrante debe ubicarse dicho
par ordenado.
Ej.: 1.- Representar los siguientes puntos en el plano:
F (4,7)
G (-3,5)
H (5,-4)
O (0,0)
J (-6,-5)
Fig. 2
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En general, los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes
están indicados en la siguiente figura:3
Fig. 3
Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponde
uno y solamente un par de coordenadas (x, y); recíprocamente, un par
de coordenadas (x, y) cualesquiera determina uno y solamente un punto
en el plano coordenado.4
La distancia de un punto al eje y se llama abscisa del mismo. La
distancia de un punto al eje x es la ordenada y ambas constituyen las
coordenadas del punto en cuestión y se representan por el símbolo (x,
y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha
3 KINDLE, JOSEPH: Geometría Analítica: Coordenadas Rectangulares: México, 19704 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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del eje y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas
cuando el punto está por encima del eje x, y negativas en caso
contrario.
Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar
una escala adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas
escalas pueden ser iguales o distintas.
El trazado de los puntos se facilita notablemente usando papel
coordenado rectangular que tiene cuadrados iguales (papel
milimetrado), se recomienda al estudiante el empleo del papal
coordenado milimetrado cuando se requiera un trazado de gran
exactitud.
Fig. 4
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SISTEMA COORDENADO LINEAL
Distancia Horizontal Entre Dos Puntos.- Ahora vamos a estudiar la
idea de correspondencia entre un punto geométrico y un número real.
Consideremos la siguiente figura cuya dirección positiva es de izquierda
a derecha y sea 0 un punto fijo sobre esta línea: si A es un punto de la
recta distinto de 0 u situado a su derecha, el segmento A= puede
considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de
la recta situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido OP de
longitud positiva, contiene X veces a la unidad de longitud, entonces
diremos que el punto P corresponde al número positivo X.
Análogamente si P’ es un punto cualquiera de la recta situado a la
izquierda de 0 y tal que el segmento dirigido OP’ tenga una longitud
negativa de X’ unidades, entonces diremos que el punto P’ corresponde
al número negativo X’:5
Fig. 5
5 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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De esta manera, cualquier número real X puede representarse por un
punto P sobre la recta X’X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P
situado sobre la recta X’X representa un número real X, cuyo valor
numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo
o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de 0.
Hemos construido un esquema por medio del cual se establece una
correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números
reales, tal esquema se llama un sistema coordenado.
La correspondencia es única. Es decir, a cada número le corresponde
uno y solamente un punto sobre el eje, y cada punto del eje le
corresponde uno y solamente un número real.
DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS
Ahora vamos a determinar la longitud del segmento que une dos puntos
dados cualquiera, tales como P1(X1) y P2(X2) de la figura 5. Si X1 y X2
son números conocidos, entonces tenemos:
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En cualquier caso la longitud horizontal de un segmento dirigido se
obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del
punto final. Este resultado se enuncia como sigue: En un sistema
coordenado lineal la longitud del segmento dirigido que une dos puntos
dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del
origen de la coordenada del extremo.
La distancia horizontal entre dos puntos se define como el valor
numérico o valor absoluto de la longitud de segmento rectilíneo que une
esos dos puntos. Si representamos la distancia d, podemos escribir:
o también,
Ejemplo: hallar la distancia horizontal entre los puntos: P1(5) y P2(-3)
Finalmente la distancia entre los dos segmentos dirigidos es:
d= -8 = 8 = 8
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y y
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Fig. 6
DISTANCIA VERTICAL ENTRE DOS PUNTOS
De la misma manera en que se dio el tratamiento geométrico entre dos
puntos horizontales, también sirve para hallar la distancia entre dos
puntos que se encuentran sobre una recta vertical, cambiando
únicamente el significado de la variable X por Y cuya formula es:
Fig. 7
Ejemplo: Hallar la distancia vertical entre los puntos P1(6), P2(-4):
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Fig. 8
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DISTANCIA INCLINADA ENTRE DOS PUNTOS
Sean P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2) dos puntos dados cualquiera (en la figura)
vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2 ambos ejes
coordenados, como se indica en la figura, y sean E su punto de
intersección. Consideremos el triangulo rectángulo P1 EP2. Por el
Teorema de Pitágoras, tenemos:6
6 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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Fig. 9
Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes
coordenados son . Luego,
tenemos:
Sustituyendo estos valores en la ecuación de arriba, obtenemos:
de donde ,
Este resultado tiene el siguiente enunciado: “La distancia d entre dos
puntos está dada por la fórmula:
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Por ejemplo la distancia entre los puntos (4 , -1) y (7 , 3) es:
Fig. 10
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la distancia horizontal entre los puntos cuyas coordenadas
son:
(-5) y (6) ; (3) y (-7) ; (-8) y (-12)
2. La distancia vertical entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos
es (-2), hallar el otro punto (dos casos).7
3. 3.- Hallar la distancia entre:
(-2 , 3) y (5 , 1)
(6 , -1) y (-4 , -3)
7 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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4. Demostrar que los puntos: A(3 , 8) , B(-11 , 3) y C(-8 , -2) son
los vértices de un triángulo Isósceles .
5. Demostrar que los puntos A(7 , 5) , B(2 , 3) y C(6 , -7) son los
vértices de un triángulo rectángulo, Encuentre su área.
6. En un papel milimetrado, grafique los puntos de coordenadas:
F (-1 , 3)
G (8 , -7)
H (10 , 0)
I (0 , -15)
J (4 , 5)
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LA LÍNEA RECTA
DEFINICIÓN.- Toda línea es un lugar geométrico de puntos que gozan
de la propiedad expresada por definición: “La recta es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en una misma dirección”. Las
coordenadas de uno cualquiera de sus puntos depende de su posición
sobre la línea, lo cual quiere decir que para cada valor de la abscisa
toma la ordenada correspondiente al punto un valor determinado, esto
es que ambas coordenadas están ligadas por una relación que puede
tener la forma explícita:8
Y = f(x)
O implícita, como:
F(x , y) = 0
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.- Recordando álgebra, en lo referente
a la representación gráfica de la ecuación de primer grado, la ecuación:9
Y = mx + b
Representa una línea recta que no pasaba por el origen de
coordenadas; de ella se deduce, quitando denominadores si los hay, y
trasponiendo términos, la fórmula general o implícita:
Ax + By + C = 08 POSTIGO, LUIS: MATEMÁTICAS: La línea recta, Barcelona, 19659 KINDLE, J: Geometría Analítica: Inclinación y pendiente de una recta, Barcelona, 1965
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En la que A , B y C son cantidades finitas, positivas o negativas,
algunas de las cuales puede ser cero, no pudiendo anularse a la vez los
coeficientes A y B, pues en este caso no existiría la ecuación. Esta
última fórmula constituye LA ECUACIÓN DE LA RECTA.
INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA.- La inclinación de una
recta L(que no sea paralela al eje x) es el menor de los ángulos que
dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide, desde el eje x a la
recta L, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Mientras no se
advierta otra cosa, consideremos que el sentido positivo de L es hacia
arriba. Si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero.
La PENDIENTE de una recta es la TANGENTE DEL ÁNGULO DE
INCLINACIÓN. En estas condiciones, m = tg O el ángulo de inclinación y
m la pendiente.
LA PENDIENTE de la recta que pasa por dos puntos
es :
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Fig. 11
Cualesquiera que sean los cuadrantes en los que estén situados los
puntos P1 y P2.10
Ejercicio.- Encuentre la pendiente m y el ángulo de inclinación O de la
recta que une los pares de puntos siguientes:
Shift tg 1 = 45º
10 KINDLE, J: Geometría Analítica: Inclinación y pendiente de una recta, Barcelona, 1965
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Fig. 12
ECUACIONES DE LA RECTA
Definición.- Una línea recta, analíticamente es una ecuación lineal o de
primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación
gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos
variables es una RECTA.
Una RECTA queda determinada completamente si se conocen dos
condiciones por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección
(pendiente o coeficiente angular), etc.
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FORMAS DE LA ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.-
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos
cualesquiera de sus puntos,. Analíticamente, la ecuación de una recta
también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas
de dos cualquiera de sus puntos:
Fig. 13
La recta que pasa por dos puntos dados
tiene por ecuación:
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Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(2 , 3) y (1 , 0).
En consecuencia:
es la ecuación de la recta buscada
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE
UNA PENDIENTE
De la figura 13, si se conoce un punto como P2(x2 , y2) y el valor de la
pendiente, el problema se reduce a hallar la ecuación de una recta que
pasa por un punto y tiene una pendiente dada.11
Ejercicio: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 0) y
tiene de pendiente 3:
11 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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ECUACIÓN DE LA RECTA CON INTERCEPCIONES SOBRE LOS
EJES X y Y
Llamada también ecuación simétrica de la recta, se define así: sean (a ,
0) y (0 , b) dos puntos de la recta; el problema de obtener la ecuación de
una recta cuando se conocen los segmentos que determina sobre los
ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos
puntos, y se tiene:
Trasponiendo –bx al primer miembro y dividiendo ab, obtenemos:
Esta ecuación es llamada también “Ecuación Simétrica de la Recta”.
Resumiendo tenemos: “ La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y
si a= 0 y b = 0, respectivamente, tiene por ecuación:
Ejemplo:
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Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 0) y (0 ,4):12
Fig. 14
ECUACIÓN DE LA RECTA CON INTERCEPCIÓN CON EL EJE Y Y
UNA PENDIENTE
Consideremos una recta L (FIg. 15), cuya pendiente es m y cuya
ordenada en el origen; es decir, su intercepción con el eje y, es b. Como
12 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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se conoce b , el punto cuyas coordenadas son (0 , b) está sobre la recta.
Por tanto el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que
pasa por un punto (0 , b) y tiene pendiente dada; la ecuación buscada
es:
Enunciado este resultado como: “La Recta cuya pendiente es m y cuya
ordenada en el origen es b tiene por ecuación”:
Fig. 15
Ejercicio:
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (0 , 5) y tiene de
pendiente -2.
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Fig. 16
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Hallar la ecuación de la recta a) que pasa por (-4 , 3) y tenga de
pendiente ½.13
a) Que pasa por (0 , 6) y tenga de pendiente -3.
b) Que pasa por (2 , 0) y tenga de pendiente ¾.
13 LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974
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2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2 , -3) y
(4 , 2)
3.- Halle la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen
son 5 y -3, respectivamente.
4.- Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 , -3) y es
paralela a la recta que une los puntos (4 , 1) y (-2 , 2).
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 , 3) y es
perpendicular a la recta 2x - 3y + 6 = 0
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APLICACIÓN DE LA RECTA EN: OFERTA, DEMANDA Y EQUILIBRIO
DEL MERCADO
LA DEMANDA
¿Qué queremos decir cuando hablamos de Demanda?, los bienes se
demandan porque son útiles, y podría pensarse que son demandados
por todos aquellos que creen que son útiles, Es decir, por todos
aquellos que los desean. De hecho no todas las necesidades de los
consumidores se expresan como demanda en el mercado. El deseo de
los consumidores de comprar un bien solo afecta al precio en el
mercado del bien si este deseo puede ser expresado en forma de
demanda monetaria para el bien en cuestión. En economía, la demanda
se entiende como demanda respaldada por suficiente dinero para pagar
el bien demandado.14
Cuando se relaciona el precio de un bien con la cantidad demandada
del mismo, se produce una curva que muestra para cada precio la
cantidad del bien en cuestión que los consumidores comprarán a dicho
precio. Representa una relación funcional entre el precio y la cantidad
demandada
14 STONIER/HAGUE: MANUAL DE TEORÍA ECONÓMICA: la demanda y la oferta, Madrid,1973
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La curva de demanda es una recta decreciente de izquierda a derecha
con pendiente negativa, esto se debe a que, cuando el precio de un bien
baja, las personas que con anterioridad no podían comprarlo entrarán
en el mercado y por tanto la cantidad demandada del bien sube; pero
si el precio del bien sube, la cantidad demandada baja y los
consumidores se retirarán del mercado. Por ej. La cantidad demandada
de los fardos de algodón para telas:15
Cantidad demandada (fardos de algodón)
Fig. 17
LA OFERTA15 SALVATORE, DOMINIO: MICROECONOMÍA: Curvas de oferta, demanda y el equilibrio del mercado, México, 1980
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La oferta depende de la escasez, de la misma forma que la demanda
depende de la utilidad. El principal factor que determina los precios de
las diversas cantidades de productos fabricados o de productos
agrícolas es el coste de producirlos. En una palabra: si los consumidores
quieren más cantidad en un bien tiene que pagar más por él. La razón
de esto reside en que es necesario atraer factores de producción desde
otras industrias para la producción del bien en cuestión, y es probable
que estos factores sean menos eficientes o más caros, o las dos cosas;
es decir, que el coste por unidad de producción aumentará cuando la
producción de la industria aumente.
Así se explica de modo muy simplificado la razón por la cual las curvas
de oferta son rectas crecientes con pendiente positiva; lo cual también
significa que solo se ofrecerá una mayor cantidad de cualquier bien
cuando los precios sean altos. Esto quiere decir que la curva de oferta
del mercado es normalmente creciente de izquierda a derecha.
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Cantidad ofrecida (fardos de algodón)
Fig. 18
EQUILIBRIO
El Equilibrio se refiere a una condición del mercado que, una vez
alcanzada, tiende a persistir. En la Economía esto ocurre cuando la
demanda de un artículo en el mercado por unidad de tiempo es igual a
la cantidad de ese artículo que se ofrece en el mismo lapso.
Geométricamente, el equilibrio ocurre en la intersección de la curva de
demanda con la curva de oferta. El precio y la cantidad a los cuales
existe el equilibrio se conocen, respectivamente, como PRECIO DE
EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE EQUILIBRIO.
Por ejemplo con las dos curvas anteriores se produce el equilibrio en la
siguiente situación:
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FARDOS DE ALGODÓN
Fig. 19
El Equilibrio ocurre, cuando a un precio de $ 60 se venderán y
comprarán 35 fardos de algodón para telas y por ende confecciones.
Cabe mencionar, que la pendiente de la recta significa la elasticidad de
la demanda, la elasticidad de la oferta y la elasticidad-precio, que
marcan los márgenes de satisfacción y utilidad unitaria del producto.
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BIBLIOGRAFÍA
1. LEHMANN, CHARLES: Geometría Analítica, Editorial UTEHA,
México, 1974
2. KINDLE, JOSEPH: Geometría Analítica, Editorial McGraw-Hill,
México 1970
3. POSTIGO, LUIS: Matemáticas, Editorial Ramón Sopena,
Barcelona, 1965
4. SALINAS, EDMUNDO: Física 1: Editorial EMAR, Loja, 2000
5. SALVATORE, DOMINICK: Microeconomía, Editorial McGraw-Hill,
México, 1980
6. STONIER/ HAGUE: Manual de Teoría Económica, Editorial
Aguilar, Madrid 1973
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ESQUEMA DE CONTENIDOS
CARÁTULA
PRESENTACIÓN
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTO
MISIÓN
VISIÓN
Capítulo I:
Sistemas de Coordenadas Rectangulares
Sistema Coordenado Lineal
Distancia Inclinada entre dos puntos
Capítulo II:
La línea Recta
Ecuaciones de la Recta
Capítulo III:
Aplicaciones de la Recta: Oferta, Demanda y
Equilibrio del Mercado
BIBLIOGRAFÍA
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