JESÚS VERA
2005-2
• Una superficie de revolución es aquella que se engendra haciendo girar una curva y = f(x), ala cual llamaremos curva generatriz. alrededor de cualquier eje, llamado eje de revolución.
EJEMPLO:
• Descripción: Superficie obtenida por revolución de una rosa de tres pétalos.
• = a Cos[n]
• Gráfica para n=3, a=1.Alrededor del eje “x”
Y tiene como curva generatriz: = a Cos[n]
• Se define como el limite de la suma de las áreas laterales.
Las áreas laterales estan determinadas por:
• Area lateral = 2¶NM(CE)
• CE = [1+f’(x)2]1/2x
• NM = (Y1- E1)
• Sustituyendo: • A l = 2¶ (Y1- E1) [1+f’(x)2]1/2x
Si aplicamos la definición y obtenemos el limite de la suma de las áreas laterales obtenemos :
2¶ (Yi) [1+f’(xi)2]1/2xi
• lo que es igual a :
• 2¶ (Y) [1+f’(x)2]1/2dx
El volumen de un solido de revolución esta determinado por:
• Sea la función “f” continua en el intervalo cerrado [a,b], y supongamos que f(x) >= 0 para toda x en [a,b]. Si S es el solido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la region limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b, si V es el volumen de S en unidades cúbicas, entonces:
• V= lim [f(xi)]2 xi
0
V = [f(x)]2 dx
• Cuando una superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano, y este eje no corta a la superficie, se forma un solido de revolución hueco.
El volumen de un solido de revolucion hueco esta determinado por:
• Sean las funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(x)>=g(x)>=0 para toda x en [a,b]. Entonces si V unidades cubicas es el volumen del solido de revolicion generado al girar, alrededor del eje x, la region limitada por las curvas y=f(x) y y=g(x) y las rectas x=a y x=b,
• V = lim ([f(xi)]2 – [g(xi)]2)xi
0
V = [f(x)]2 - [g(xi)]2 dx
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