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1 Ecuaciones diferenciales III: Metodos multipasos
Para estimar yn+1 se puede partir de yn, yn−1, ... y fn, fn−1, ... y hasta fn+1 (fi = f(yi, ti)
Metodo general de k − pasos
yn+1 =
k∑i=1
αiyn−i+1 + h
k∑i=0
βifn−i+1
• β0 = 0 metodo explıcito (no contiene fn+1)
• β0 6= 0, metodo implıcito
Los diferentes metodos explıcitos multipasos se obtienen de las diferentes esquemas dediferencias finitas.
Por ejemplo del esquema media centrada
dy
dt≈ 1
∆tµδyn =
1
2∆t[yn+1 − yn−1]
la EDO se transforma en secuencia de ecuaciones en diferencias finitas
yn+1 = yn−1 + fn2∆t+O[(∆t)3] (1a)
yn+2 = yn + fn+12∆t+O[(∆t)3] (1b)
este metodo de dos pasos se conoce con el nombre de tecnica leapfrog
1.1 Metodos Predictor - Corrector
Un metodo predictor-corrector consta de un paso predictor y un paso corrector en cadaintervalo. El predictor estima la solucion para el nuevo punto y el corrector mejora suprecision. Los metodos predictor-corrector son metodos multipasos. El predictor es unaformula explıcita, mientras que el corrector puede considerarse como una prescripcionimplıcita
Las formulas predictoras -correctoras se obtienen al sustituir una aproximacion poli-nomial adecuada de y′(t) en la ecuacion y′ = f(y, t), es decir
yn+1 = yn +
∫ tn+1
tn
pk−1(t)dt (2)
donde pk−1(t) es un polinomio de grado k−1 que interpola f(y, t) en (yn−j , tn−j), j =0, ...k − 1.
Si p0(t) = f(yn, tn) obtenemos el metodo de Euler
Usando la formula general de interpolacion hacia atraz de Newton Gregory
f(tn + τ) = fn + u∇fn +u(u+ 1)
2!∇2fn + . . . (3)
donde u = τ/h y ∇ los operadores de diferencias finitas hacia atraz
La ecuacion (2) se puede reescribir utilizando la variable u
yPn+1 = yn + h
∫ 1
0f(tn + uh)du (4)
2
Sustituyendo la ecuacion (3) en (4) se obtiene la formula general predictora de Adams-Bashfort
yPn+1 = yn + h[fn +1
2∇fn +
5
12∇2fn +
3
8∇3fn + ...] + E(τ) (5)
Dependiendo de la cantidad de terminos en la serie (grado del polinomio de interpolacion)se obtienen diferentes formulas correctoras.
yPn+1 = yn + hfn + 0(h2) (6a)
yPn+1 = yn +h
2[3fn − fn−1] + 0(h3) (6b)
yPn+1 = yn +h
12[23fn − 16fn−1 + 5fn−2] + 0(h4) (6c)
Una vez conocida yPn+1 se hace el paso de evaluacion para determinar la calidad de lamagnitud
fPn+1 = f(yPn+1)
Reemplazando en la formula de interpolacion (3) a partir del punto tn+1 se espera obtenermayor precision
yn+1 = yn + h
∫ 0
1f(tn+1 + uh)du (7)
se obtiene la la formula general de correctores de Adams-Multon
yn+1 = yn + h[fn −1
2∇fn+1 −
1
12∇2fn+1 − ...] (8)
A continuacion se enumera las primeras formulas correctoras de primer, segundo y tercerordenes.
yn+1 = yn + hfPn+1 + 0(h2) (9a)
yn+1 = yn +h
2[fPn+1 + fn] + 0(h3) (9b)
yn+1 = yn +h
12[5fPn+1 + 8fn − fn−1] + 0(h4) (9c)
El error generado, por ejemplo, mediante el corrector de tercer orden es,
0(h4) = − 1
24h4yIV (ψ), tn−1 ≤ ψ ≤ tn+1 (10)
El paso final de la evaluacion consiste en hallar fn+1 = f(yn+1) y sirve para el predictoren el siguiente paso.
Ventajas y desventajas de los metodos P-C Una de las ventajas es su eficienciacomputacional: utlizan la informacion de pasos anteriores. Generalemente no se inicializanpor si mismos; es necesario utilizar adicionalmente algun otro metodo para obtener lospuntos iniciales.
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