La investigación metateórica en Lógica:
introducción
Es bastante evidente que desde que comenzáramos este curso planteando una
serie de preguntas acerca del objeto de la Lógica se ha logrado dar respuesta ya a
muchas de ellas. Se ha conseguido establecer el tipo universal de la noción de
consecuencia –consecuencia abstracta- y ofrecer, mediante dos grandes grupos de
estrategias –consecuencia semántica y derivabilidad formal- una definición
satisfactoria de la clase de argumentos aceptables definibles en LE. Sin embargo, la
variedad de técnicas e intuiciones desarrolladas para lograr este objetivo puede
amenazar la relativa unidad del proyecto consiste en definir la relación de
consecuencia para uno y el mismo lenguaje. Unidad que es constantemente
reconocida cada vez que se hace referencia a la denominada Lógica de Enunciados
Clásica. Este capítulo está dedicado, al menos en parte, a ofrecer razones a favor de
esa supuesta unidad.
Lo que se ha logrado hasta ahora en el estudio de la consecuencia para LE
puede resumirse en el siguiente cuadro.
Lógica de Enunciados
186
[1] Estudio de la consecuencia:
La investigación de tipo metateórico que se inicia ahora tiene por objeto el
estudio de las relaciones que algunos de estos conceptos fundamentales guardan
entre sí, sin olvidar tampoco algunas de las propiedades más características de cada
uno de ellos. En ocasiones se emplea también el término metalógica para referirnos a
este mismo proyecto. No obstante, y siguiendo aquí lo que me parece una tendencia
más actual, he evitado emplear este término para no dar a entender la existencia de
un tipo de estudio distinto, no perteneciente con propiedad al dominio de la Lógica. En
el momento presente no es posible pensar en ningún tipo de investigación ubicable
dentro del dominio de la Lógica que no preste atención a los problemas que intento
exponer ahora. Tan es así, que muchos de ellos ya han tenido que ser mencionados a
lo largo de capítulos anteriores, aunque sin mucho detalle. En lo que sigue, me
propongo introducir una serie de conceptos y problemas que sólo van a adquirir
A. Abstracta: Relación de consecuencia abstracta R |
Operación de consecuencia C|.
B. Específica:
i. Consecuencia semántica (entrañamiento) √.
ii Derivabilidad formal |
1. Sistemas axiomáticos: |Ax
2. Deducción Natural: |DN
3. Tablas Analíticas: |TA
4. Cálculo de Secuentes: |Sq
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
187
auténtica relevancia más adelante. Muchos de los asuntos que aquí se tratan
dependen de demostraciones con las que no merece la pena entretenerse ahora. Por
el momento bastará con que sepamos que hay cosas que no son evidentes por sí
mismas y de paso qué nombre reciben.
En primer lugar, procederé a plantear algunas de las preguntas que más urge
responder en relación al estudio de la derivabilidad. A continuación, afrontaremos una
de las etapas más críticas en toda investigación formal: el estudio del equilibrio entre
derivabilidad formal y la consecuencia semántica en un lenguaje lógico. Haciendo uso
de los resultados previos, analizaré un rasgo notable relativo al modo en que la
consecuencia semántica se comporta con respecto a la cantidad de información
disponible en un argumento. Trataré también una serie de propiedades difíciles de
imputar en concreto a uno de estos posibles modos de analizar la consecuencia: me
refiero, en concreto, a la decidibilidad de un sistema formal, propiedad básica y
fundamental, si alguna lo es. Finalmente, dedicaré algún tiempo a repasar problemas
que parecen específicos de cada uno de los cálculos o sistemas formales discutidos.
Tal vez, no sean del todo privativos de estos, pero sí surgen con mayor fuerza o
claridad en su interior que en el seno de los restantes.
I. El estudio de la derivabilidad. La primera pregunta que surge de forma casi
espontánea al enfrentarse por primera vez a un sistema deductivo es la de si será
capaz de mostrar una conducta razonable. Un sistema de reglas puede resultar una
herramienta muy divertida de emplear, pero también parece haber muchas
probabilidades de que en el fondo resulte absurda. ¿Qué quiere decir que un sistema
deductivo posee una conducta razonable? Responder a esta pregunta, sin salirse de
los estrechos márgenes que fija la noción de derivabilidad, es algo que no deja
muchas opciones. De hecho, sólo pasa por asegurarnos de que el aparato inferencial
introducido no es tan potente como para derivar cualquier fórmula a partir de cualquier
conjunto de premisas dado, ni tan débil como para no derivar nada –aunque esto
último se puede rechazar aquí de manera trivial-. La primera de estas propiedades,
Lógica de Enunciados
188
inicialmente dirigida hacia un sistema deductivo, suele discutirse, no obstante, cuando
se analizan ciertos conjuntos especiales de fórmulas.
[2] Dado un sistema deductivo S, y un lenguaje formal L, decimos que un
conjunto X⊆L es una teoría de S cuando sucede que: A∈X syss X|S A.
Como puede verse, se trata de una noción absolutamente general aplicable a
cualquier sistema deductivo imaginable –en el caso de los sistemas axiomáticos, esta
noción es, obviamente, menos inmediata-.
[3] Una teoría X es consistente syss hay al menos una fórmula A tal que
A∉X.
Y de aquí se llega finalmente a
[4] Un conjunto X de fórmulas es consistente dado un sistema S si Th(X) es
consistente, donde Th(X) es la teoría generada por S a partir de X.
La noción de teoría puede parecer un tanto abstracta, pero responde, en
realidad, a una idea muy simple. Dado un cierto estado informativo inicial representado
mediante las fórmulas de un lenguaje sólo hay dos formas de extender este conjunto a
uno que contenga mayor información. Una es mediante la adición explícita de nuevos
datos. La segunda consiste en añadirle progresivamente todas aquellas fórmulas que
son consecuencia lógica de las consideradas inicialmente. Una teoría indica el límite
de ese proceso de compleción. Una teoría puede ser concebida, por tanto, como un
conjunto en el que se ha hecho uso de todo el potencial que un sistema deductivo
ofrece a la hora de extender estados de información, considerados éstos como
colecciones de fórmulas en un lenguaje. ¿Cómo sabemos que dicho potencial no es ni
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
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excesivo, ni tampoco demasiado pobre? Una forma de resolver esto es imponer
condiciones de contorno amplias pero razonables:
[5] Dado un lenguaje formal L, decimos que un sistema deductivo S es
consistente si existen teorías Th distintas del propio lenguaje L
considerado.
Esta condición es muy amplia y sólo exige que la clausura bajo S de un
conjunto de fórmulas no lleve sistemáticamente a incluir todas las fórmulas de L entre
sus consecuencias. Es decir, que el sistema deductivo no derive en un juego que
permita hacer que cualquier fórmula sea derivable. Es evidente que todos los sistemas
considerados aquí con consistentes en el sentido de anterior.
Existe otra forma de contemplar la consistencia de conjuntos de fórmulas y de
sistemas deductivos que es más común, aunque a mi juicio menos adecuada. Se trata
de lo siguiente:
[6] Un conjunto X es consistente dado un sistema deductivo S syss no
existe una fórmula A para la que sucede que X|S A y X|S¬A.
En otras palabras, un conjunto X es consistente cuando no hay ninguna
fórmula tal que A∈Th(X) y ¬A∈Th(X). ¿Es esta definición más satisfactoria que la
anterior? En realidad no hace falta mucho esfuerzo para mostrar lo siguiente:
[7] Teorema: Considerados los sistemas Ax, DN, TA y Sq para LE las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
i. Existe una fórmula A tal que X|SA y X|S¬A.
ii. Th(X)=LE
Lógica de Enunciados
190
Esquema de la demostración: (ii) ⇒ (i) es trivial. Para comprobar (i) ⇒
(ii) basta observar que en todos ellos la presencia de A y ¬A entre las
premisas permite derivar cualquier fórmula B.
Si se hubiera presentado la consistencia de un conjunto sólo en términos de
[6], como es habitual en muchos casos, su correcta interpretación habría dependido
del significado de una determinada constante lógica, el negador en este caso. ¿Por
qué es tan importante que una teoría no contenga una fórmula y su negación?
Obviamente porque entonces es contradictoria. Pero al proceder así estamos
acudiendo, siquiera de forma implícita, a componentes semánticos que no son
realmente necesarios, confundiendo esta propiedad con otra muy próxima, la
corrección, que tiene, pese a todo, un sentido distinto, como veremos más adelante.
Piénsese qué idea nos formaríamos de la consistencia si en lugar de “¬” figurase “*”,
un símbolo cuya función ignoramos.
Pese a que es fácil definir la noción de consistencia para conjuntos de
fórmulas, no lo es tanto para sistemas deductivos: es fácil caer en definiciones
circulares. La que se ofrece en [5] es adecuada, aunque ciertamente, no es muy
informativa.
La segunda pregunta que surge inmediatamente en relación con el análisis del
concepto de derivabilidad formal se refiere a la comparación entre los distintos
sistemas discutidos hasta ahora. Es cierto que todos ellos respondían al formato
básico o abstracto que corresponde a esta noción: en todos se dan variantes de ese
tipo básico de construcción que hemos denominado derivación. ¿Significa eso que son
equivalentes entre sí? Es decir, ¿sucede realmente que todo argumento derivable por
uno de estos procedimientos lo es también por los restantes? Si esto es finalmente
así, no se deberá, desde luego, a que cada uno de ellos suponga un intento de
caracterizar la misma noción abstracta, la de derivabilidad formal: habrá que
demostrarlo con teoremas adecuados a cada caso. Aunque en una etapa introductoria
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
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a la Lógica como es esta el desarrollo completo de las pruebas que caracterizan la
rigurosa investigación metateórica están, tal vez, fuera de lugar, ello no significa que
no podamos acercarnos a algunas de ellas. ¿Cómo es posible probar que todo
argumento derivable en uno de estos sistemas lo es también en otro de ellos?
Ciertamente no será por enumeración de los argumentos derivables en uno y otro
caso. ¿Cómo entonces? Consideremos dos de estos sistemas, Ax y Dn por ejemplo.
La única opción consiste en describir un modo sistemático de transformar una prueba
aceptable en uno de estos sistemas en una prueba también aceptable en el restante.
[8] Teorema: Sea A una fórmula para la que es posible mostrar que X|Ax A
para un cierto conjunto de premisas X, entonces X|DNA.
Esquema de la prueba: Una prueba en |Ax sólo recurre a los axiomas y a
la regla R1 –cfr. cap. 2.6- y las fórmulas presentes en X. Para reproducir
una de estas demostraciones en DN bastará con probar que los
axiomas de Ax son fórmulas demostrables en DN a partir de cero
premisas para ver, a continuación, qué recursos corresponden a R1.
Esto es trivial, ya que en DN basta con mostrar que dada la cabecera de
una regla es posible obtener su consecuente.
Faltaría mostrar que la conversa también se da. Para ello vamos a introducir un
resultado de considerable interés:
[9] Teorema de Deducción: Para cada uno de los sistemas deductivos
estudiados se cumple lo siguiente:
-Si X,A|SB, entonces X|SA→B.
La demostración sólo es interesante en el caso de Ax –es preciso desarrollar
entonces una tediosa prueba por inducción sobre la longitud de las demostraciones-
siendo trivial en todos los demás casos. Lo que este resultado establece es, en
Lógica de Enunciados
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cualquier caso, un cierto equilibrio entre la derivabilidad como relación y la conectiva
“→”.
[10] Teorema: Si sucede que X|DNA entonces X|AxA.
Esquema de la prueba: En esta ocasión lo que es preciso es redistribuir
las reglas admitidas en DN en los axiomas y reglas de Ax. La
información requerida por una regla de DN se empaquetará, haciendo
uso del teorema de deducción –TD, de ahora en adelante- en una
expresión que se pondrá en relación con un esquema axiomático de Ax
para mostrar que la conclusión se puede descargar mediante el sólo
uso de R1.
La reunión de [8] y [10] permite identificar la derivabilidad tal y como es
entendida en Ax y en DN, caso realmente crítico al tratarse de orientaciones
considerablemente distintas. Esta prueba, su esquema, al menos, muestra el modo de
proceder en los casos restantes y en general siempre que se hace preciso comparar
dos colecciones infinitas de objetos –argumentos en este caso- que se suponen
ligadas a algún tipo de construcción. Lo que procede es hallar una forma de
transformar una construcción del primer tipo en una del segundo que de lugar, eso sí,
a la obtención del mismo objeto que en el primer caso.
El estudio detallado de la derivabilidad tanto como noción abstracta, como del
desarrollo particular que obtiene en cada sistema deductivo, constituye el objeto de
estudio en la denominada Teoría de la Prueba –también Teoría de la Demostración-
disciplina fuertemente desarrollada a partir de los trabajos de Hilbert por un lado y
Gentzen, por otro.
Esta primera parte de nuestro rápido recorrido por la investigación metateórica
de la Lógica concluye mostrando dos resultados de interés. El primero establece que
el modo de analizar la derivabilidad en términos de los sistemas deductivos
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
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presentados es en principio no trivial: permite generar teorías que retienen la distinción
entre fórmulas que son consecuencias suyas y otras que no lo son. El segundo, poco
comentado las más de las veces, demuestra que todos estos sistemas son, sólo,
formas alternativas de describir una única capacidad lógico-formal expresada en una
única noción general, la de derivabilidad formal. ¿Qué hubiera sucedido si, sobre
supuestos razonables, hubiéramos hallado sistemas deductivos con potencias muy
distintas y resultados diferentes por lo que hace a los argumentos que cada uno de
ellos declara correctos?
Aunque siempre sorprende ver cómo sistemas de muy distinta factura vienen a
describir, en última instancia, la misma clase de objetos, en esta ocasión existe una
especie de entramado que viene a justificar esta coincidencia, poco entendible de otro
modo. Me refiero al compromiso por el cual cada sistema deductivo particular se
construye respetando el significado previamente concedido a las constantes lógicas de
con las que opera. La pregunta que surge inmediatamente a partir de este comentario
es, ¿cuán fielmente ha sido respetado el significado de las constantes a la hora de
caracterizar las manipulaciones que sobre ellas introduce el cálculo? Esto nos lleva al
segundo apartado de nuestra presentación de la investigación metateórica en Lógica.
II. Derivabilidad formal y consecuencia semántica. Del mismo modo que dijimos que
los distintos sistemas deductivos resultan ser caracterizaciones alternativas de la
derivabilidad, es un hecho que desde un principio hemos concebido la consecuencia
semántica y la derivabilidad como dos formas de estudiar la relación de consecuencia.
En esta ocasión sucede, sin embargo, que los recursos cognitivos comprometidos en
uno y otro caso tienen un origen muy distinto que no cabe reducir de ningún modo.
Aunque resultase cierto que todo argumento derivable es válido –semánticamente
aceptable- y viceversa, dudo que estuviésemos muy dispuestos a reconocer por ello
que derivabilidad y entrañamiento son meras presentaciones alternativas de la misma
noción. El análisis del parecido de estas dos definiciones de la consecuencia alcanza
entonces un valor inesperado: nos encontramos ante un genuino análisis formal de
dos habilidades cognitivas en principio distintas e independientes.
Lógica de Enunciados
194
La primera de las propiedades que hace referencia a esta relación es la
siguiente:
[11] Dado un lenguaje formal L para el cual se ha definido la relación de
consecuencia semántica √, decimos que un sistema deductivo S
correcto syss se cumple:
Si X|SA, entonces X√A.
De nuevo es preciso dejar claro que no hay nada que nos exima de una
demostración rigurosa y completa de este extremo para los sistemas analizados. No
es muy difícil apreciar que la demostración que resulta en este caso más directa es la
que corresponde a un sistema axiomático. Estableceremos este resultado recurriendo
a esos esquemas de prueba destinados a dar una cierta idea de lo que sería una
demostración completa.
[12] Corrección de Ax: Si X|AxA, entonces X√EA.
Esquema de prueba: Supongamos que existe una interpretación v∈Iv que
verifica X pero que asigna el valor falso a A. No obstante, vamos a suponer que
efectivamente sucede que X|Ax A. Esto significa que en algún momento Ax es
capaz de derivar alguna fórmula falsa a partir de fórmulas verdaderas. Eso,
obviamente sólo puede ser causado por los axiomas o por un uso de R1. Los
axiomas son todos ellos verdades lógicas: adquieren el valor verdadero en
cada interpretación. Basta desarrollar las cláusulas de sus constantes para
comprobarlo. La regla, por su parte, preserva la verdad: si las fórmulas en su
cabecera son verdaderas, también lo es la que figura en su conclusión. Por
tanto, A no puede ser falsa.
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
195
La corrección de los restantes sistemas se puede establecer tanto de forma
directa, como apelando a la equivalencia que previamente se ha establecido entre
todos ellos. Un sistema deductivo que resulte ser incorrecto con respecto a una cierta
clase de modelos o interpretaciones suele ser inmediatamente descartado de la lista
de sistemas propios de la Lógica: su incorrección cuenta como una refutación de sus
reglas y/o axiomas bastando esto sólo para que nos veamos obligados a una profunda
revisión de sus fundamentos. No hay, por tanto, sistemas deductivos incorrectos en
Lógica. Cosa distinta es la ocasional inexistencia de una clase de interpretaciones con
respecto a la cual medir la corrección de uno de estos sistemas, o la dificultad de
encontrar una suficientemente motivada. Aunque ésta puede parecer una
circunstancia en cierto modo excepcional, la historia de la disciplina muestra la
existencia de suficientes casos de sistemas deductivos con clases de interpretaciones
difíciles de determinar.
¿Podemos hallar una demostración para todo argumento semánticamente
correcto? En otras palabras, ¿coinciden también en extensión la relación de
consecuencia semántica y la de derivabilidad? Caso de ser así, ¿qué consecuencias
de orden epistemológico se siguen de este hecho? Comprobar si todo argumento
válido –semánticamente correcto- es derivable supone un considerable esfuerzo de
análisis que resulta en muchas ocasiones no trivial. El nombre que recibe esta
propiedad se establece en la siguiente definición:
[13] Dado un lenguaje formal L, una clase de interpretaciones admisibles
con la que definir la consecuencia semántica sobre L y un sistema
deductivo S, decimos que:
i. S es fuertemente completo syss para cualquier conjunto X de
fórmulas y cualquier fórmula A sucede que si X√A entonces X|SA.
ii. S es débilmente completo syss para toda fórmula A sucede que
si √A entonces |S A.
Lógica de Enunciados
196
Un sistema deductivo correcto y completo con respecto a una cierta clase de
interpretaciones admisibles muestra un perfecto equilibrio entre la satisfacción de un
criterio evaluado sobre una cantidad en principio no finita de instancias –valuaciones- y
la construcción de una secuencia finita de símbolos –conclusión- mediante un proceso
a su vez finito de manipulaciones definidas igualmente sobre símbolos. A mi entender,
un sistema que posea esta propiedad marca una especie de hito en el que dos
habilidades cognitivas muy dispares parecen poseer idéntico alcance. Como veremos
más adelante, este hecho se relaciona estrechamente con la capacidad del lenguaje
formal sobre el que operan consecuencia semántica y derivabilidad formal para
expresar ciertas cosas. Cuesta trabajo pensar que todo ello se deba a una mera
casualidad o a una cadena de definiciones más o menos arbitrarias de las cuales todo
se sigue de manera inexorable. Pero, ¿qué supondría admitir que un sistema
deductivo es incompleto, o simplemente, que se ignora si lo es? Supongamos que
hacemos referencia al caso de la completitud débil. Un sistema incompleto verificaría
más verdades lógicas que aquellas que puede demostrar, salvo contradicción. En este
caso validez y teorematicidad encontrarían divergencias efectivamente constatables
en fórmulas particulares, fórmulas que resultarían verdaderas pero indemostrables.
Uno para el que, simplemente, se ignorara si es o no completo estaría apuntando a
una especie de falta de conexión entre el modo en que la derivabilidad procede a
añadir consecuencias a un conjunto de fórmulas inicialmente dado y la forma en que
esas expresiones describen una cierta realidad cada vez más precisa, alcanzando en
el límite, la descripción de una valuación. Incompletitud y ausencia de una
demostración de completitud no son, como puede verse, fenómenos que deban ser
confundidos. Ambos hacen referencia al equilibrio existente entre la manipulación de
símbolos y el modo en que estos describen una cierta porción de la realidad a través
de su significado, pero mientras que en el primer caso –incompletitud- se trata de una
divergencia constatada, hay una fórmula para la que no se puede afirmar a la vez √A y
|S A, en el segundo caso –inexistencia de una prueba de completitud- se trata de una
falta de adecuación muchas veces asociada a la subdeterminación del significado de
los símbolos de L.
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
197
[14] Completitud (fuerte) de Ax/DN/TA/Sq: Para cualquier conjunto X -
admitiendo el conjunto vacío- y cualquier fórmula A de LE, si X√E A
entonces X|S A, donde S=Ax/DN/TA/Sq.
Pese a que el detalle de esta demostración supera en algo los objetivos de una
mera introducción como esta, sí merece la pena comentar algo de la estrategia
general. Ya habrá tiempo más adelante para discutir la prueba en todo su detalle. Hay
varias formas de abordar una demostración de completitud, no obstante, durante los
últimos años se ha hecho habitual adoptar la que presentase Henkin en 1949 para la
completitud fuerte –la débil se sigue, entonces, como un simple corolario-. No
obstante, hay que aclarar que el método que se va a describir a continuación de
manera informal constituye una reconstrucción muy considerable de los resultados
originales. De hecho, Henkin no probó su resultado sólo para LE, sino para un
formalismo considerablemente más rico en el que su técnica resulta ser nada trivial.
En esta ocasión hablaré sólo de lo que hace referencia a LE y aún así, desde un punto
de vista sólo informal.
El primer paso de esta construcción consiste en invertir el enunciado que se
desea establecer dando lugar a otro equivalente al primero pero más fácil de abordar.
Lo que perseguimos a partir de ahora es demostrar que si no sucede que X|S A,
entonces tampoco sucede que X√A. Que X√A sea falso significa que existe una
valuación que verifica X al tiempo que hace falso a A. Para establecer el resultado
buscado, esta valuación debe ser construida a partir de la información aportada por el
hecho de que A no sea derivable a partir de X. Esto último permite afirmar que el
conjunto de fórmulas que resulta de añadir ¬A a las premisas X es consistente, esto
es, no se sigue de él una fórmula y su negación. Si fuera posible asignar el valor de
verdad verdadero a cada fórmula en ese nuevo conjunto entonces tendríamos la parte
de información que se precisa en la valuación buscada. Una valuación es, sin
embargo, un mapeo que permite asignar a cada expresión de L un valor de verdad, y
parece obvio que Xχ{¬A} no contiene suficiente información como para interpretar la
pertenencia a ese conjunto como la de ser verdadero bajo una valuación v. En otras
Lógica de Enunciados
198
palabras, Xχ{¬A} no constituye aún la descripción completa de una valuación en
términos de L: hay demasiadas fórmulas tales que ni ella ni su negación están en
dicho conjunto.
La idea de Henkin consiste en extender ese conjunto inicial considerando la
adición de nuevas fórmulas siempre y cuando preserven la consistencia del conjunto al
que se añaden. Si este proceso se continúa idealmente hasta el infinito el conjunto que
resulta al unir todos los obtenidos en cada uno de los casos es consistente y para
cada fórmula o bien ella o su negación pertenecen al mismo –este resultado suele
denominarse lema de Lindenbaum-. Un conjunto tal, que a menudo recibe el nombre
de conjunto máximamente consistente, permite, sin duda, construir una valuación con
la información expresada en sus fórmulas. El resultado que muestra cómo construir
realmente ese modelo se duele denominar Lema de Henkin. El modelo resultante
permite mostrar que A es falso mientras que todas las fórmulas en X son verdaderas.
Como se puede ver, se trata de un ejercicio de análisis presidido en más de
una ocasión por elementos ideales de los que no es posible prescindir. ¿Qué conjunto
es ese que resulta de la unión de una cadena infinita de conjuntos? Es cierto que este
tipo de consideraciones transgreden los límites de aquello que nuestra mente puede
construir con sus capacidades finitas, pero muestra también el modo en que podemos
constatar de manera efectiva propiedades que consideramos idealmente incorporadas
en ese tipo de entidades. No podía ser de otro modo si lo que se pretendía era
comparar la infinita variedad que se expresa en una clase de interpretaciones
admisibles y las construcciones finitas en que consiste una derivación.
III. Propiedades de la consecuencia semántica. En teoría éste es el lugar donde se
debería investigar la relación existente entre las expresiones de un lenguaje formal y
las valuaciones que se corresponden –que verifican- con ciertos conjuntos de fórmulas
de ese tal lenguaje. Existe una rama entera de la Lógica dedicada a ese menester que
recibe el nombre de Teoría de Modelos. Sin embargo, rara vez se aplica esta
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
199
denominación en el caso de la Lógica de Enunciados. La razón es que desde el
limitado potencial expresivo que caracteriza este lenguaje son muy pocos los
resultados de interés que pueden obtenerse. De hecho, la noción a la que hace
referencia esa teoría, modelo, no suele presentarse tampoco en este nivel,
reservándose para lenguajes considerablemente más ricos. De todos modos, existe un
resultado que sí es posible presentar aquí, aunque como viene siendo habitual, sin
mucho detalle.
En el capítulo 2.5 se dedicó algún tiempo a establecer que la relación de
consecuencia semántica √E era lo que desde un punto de vista abstracto se había
descrito como una relación de consecuencia clásica. Eso suponía que dicha relación
había de satisfacer las propiedades de reflexividad, monotonía, transitividad,
finitariedad y formalidad. Todas ellas resultaban más o menos fáciles de establecer
para ese caso salvo una, la de finitariedad –que en ocasiones también se denomina de
compacidad-. Dicha propiedad establece que una fórmula A es consecuencia
semántica de un conjunto X syss A es consecuencia semántica de cada subconjunto
finito Xi incluido en X. Resumido simbólicamente esto da lugar a
[15] Finitariedad de la consecuencia semántica:
- X√E A syss existe al menos un Xi⊆X , Xi finito, tal que Xi√E A.
Es un lugar común dentro de la Lógica presentar este resultado como una
consecuencia directa de la completitud de un sistema deductivo que se considera
asociado a una determinada definición de la consecuencia semántica. Y este es
precisamente el caso por lo que hace a √E y |S, donde S es cualquiera de los sistemas
deductivos estudiados para LE. Aunque esta conexión puede parece extraña en
principio, las razones de que exista una fuerte tendencia a presentar las cosas de este
modo es fácil de entender y bastante ilustrativa a un tiempo. Mientras que la
consecuencia semántica no es una noción explícitamente finitaria, salvo que por
Lógica de Enunciados
200
definición así lo establezcamos –lo cual no es razonable en principio-, la derivabilidad
formal sí lo es. Esto permite afirmar lo siguiente:
[16] Teorema: La relación de derivabilidad formal |S es finitaria.
Esquema de la demostración: Basta con observar que A es derivable a
partir de un cierto conjunto X syss existe una cadena finita de fórmulas
tal que cada una de ellas o bien pertenece a X, o bien ha sido obtenida
a partir de fórmulas anteriores mediante las oportunas reglas del
sistema S y A es la última de ellas. Eso implica que sólo se hace uso, a
lo sumo, de una cantidad finita de fórmulas de X.
Que una relación esencialmente finitaria, como la derivabilidad formal se
conecte a través del teorema de completitud fuerte –teorema [14]- con una noción, la
de consecuencia semántica, indiferente en principio a ese rasgo, hace que esta última
acabe siendo también una relación finitaria. En cualquier caso, el auxilio del teorema
de completitud sólo es preciso en una dirección ya que la restante es trivial. Veámoslo
en cualquier caso.
[17] Teorema de finitariedad: X√E A syss existe un subconjunto finito Xi de X
tal que Xi√E A.
Esquema de la demostración: El resultado tiene dos partes.
Parte I. Si X√E A, entonces para todo subconjunto finito Xi de X se tiene
que Xi√E A. Esta es, como resulta evidente, la parte trivial. Si para toda
interpretación admisible v en Iv sucede que cuando v verifica todas las
fórmulas en X también verifica A, entonces sucede a fortiori que cuando
verifica un subconjunto finito de X también verifica A.
Parte II. Si hay al menos un subconjunto Xi de X tal que Xi√E A,
entonces X√E A. El teorema de completitud permite reemplazar √E por |S
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
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sin merma de propiedades, por lo cual, bastará tomar [16] para obtener
lo que queríamos.
Este teorema suele ser conocido también como teorema de compacidad. No
obstante, hay una cierta tendencia a reservar este nombre para un resultado referido
directamente a conjuntos de fórmulas. Lo que afirma la compacidad así establecida es
lo siguiente:
[18] Teorema de Compacidad: Sea X un conjunto de fórmulas cualquiera. Si
cada subconjunto finito Xi es satisfacible, entonces X es asimismo satisfacible.
La demostración de este resultado, aunque no difiere esencialmente de la del
teorema [16], apela a ciertos detalles de la demostración del teorema de completitud
que aconseja no insistir en ello por ahora.
Existe una cierta tensión entre los expertos a la hora de presentar los teoremas
de finitariedad y compacidad como una consecuencia de la completitud de un cálculo.
Ello es fácil de entender ya que no resulta muy elegante hacer depender un resultado
relativo a la conducta de un lenguaje respecto de sus interpretaciones admisibles de la
conducta de un cálculo que nada tiene que ver, al menos en principio, con este asunto.
Si realmente fuera preciso establecer este punto con la ayuda de un cálculo y con la
demostración de su completitud, la cuestión sería otra, pero es cierto que existen
demostraciones tanto del teorema de finitariedad como del de compacidad que no
apelan a cálculo alguno. Sea como fuere, no creo que quepa tampoco desdeñar el
valor informativo que posee la demostración anterior la cual tiene la virtud, además, de
requerir muy poca información previa.
La importancia de la finitariedad o compacidad de un sistema formal no es algo
que pueda pasar desapercibido. Para apreciar correctamente esa importancia basta
imaginar cómo se comportaría un sistema formal que careciera de estas propiedades.
Habría conjuntos de fórmulas satisfacibles para los cuales existiría siempre una
Lógica de Enunciados
202
interpretación falsadora de cualquiera de sus subconjuntos finitos. Por otra parte es
verdad que un sistema así mostraría una peculiar sensibilidad a la distinción entre
conjuntos finitos y no finitos de fórmulas. Distinción que en un sistema compacto no es
posible expresar. Por último, no quiero abandonar este punto sin mencionar que el
término compacidad procede de la Topología, donde este concepto tenía aplicación a
través de la noción de espacio topológico. Este tipo de préstamos muestra una vez
más la íntima relación entre la Lógica contemporánea y diversas ramas de la
Matemática moderna.
IV. Decidibilidad: propiedades genéricas. Llama la atención que propiedades como las
de corrección y completitud, que en puridad analizan la relación entre los conceptos de
derivabilidad formal y consecuencia semántica, se prediquen sólo de los sistemas
deductivos, como si de una propiedad de éstos últimos se tratase. Se dice, por
ejemplo, que un cierto sistema deductivo o cálculo es correcto y completo con
respecto a cierta clase de interpretaciones admisibles, o incluso, que es correcto y
completo, sin más. Este modo de hablar ha sido denunciado en ocasiones como una
forma confusa de expresión cuyo efecto es conceder subrepticiamente algún tipo de
prioridad epistemológica a la semántica. Con este comentario quiero hacer notar que
la atribución de propiedades a los distintos objetos de la Lógica no es un asunto que
esté suficientemente claro. En este nuevo apartado me voy a ocupar de una propiedad
que no suele adjudicarse a la derivabilidad formal más que a la consecuencia
semántica.
La propiedad de ser decidible se puede predicar de una propiedad, relación, de
una definición, y, desde luego, de un procedimiento. Posee una vida propia que la
hace independiente de los aspectos específicos que encontramos asociados al estudio
de la derivabilidad y al estudio de la consecuencia. ¿Cuándo decimos que una
propiedad o relación es decidible? En primer lugar, es preciso fijar una colección de
objetos sobre la cual tiene sentido hacerse esa pregunta. Decimos entonces que
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
203
[19] Una propiedad o relación es decidible sobre un dominio particular de
objetos syss existe un procedimiento efectivo que permite responder en
tiempo finito y de forma tanto afirmativa como negativa la pregunta de si
un objeto de ese dominio posee la propiedad o relación en cuestión.
Faltaría ver qué es eso de un procedimiento efectivo. No creo que perdamos
nada si se aclara ya desde este momento que un procedimiento efectivo es uno en el
que nos limitamos a aplicar una serie de instrucciones inequívocas, siempre
realizables en tiempo finito, y que proceden de modo que nunca caben dudas acerca
de qué instrucción corresponde ejecutar a continuación.
Así las cosas, no parece que la decidibilidad, en lo que aquí nos afecta,
corresponda en abstracto a la derivabilidad o la consecuencia semántica, sino más
bien a cada posible descripción concreta de esas nociones. ¿Supone esto que
debemos estar dispuestos a aceptar que un cierto sistema deductivo sea decidible
mientras que otro, equivalente al primero, no lo es? Ya hemos visto que esto es
realmente lo que sucede con la derivabilidad en LE. En tal caso, ¿qué debemos decir
de la derivabilidad para ese lenguaje, que es decidible o que no lo es? Hay sistemas
deductivos cuya estructura les hace de forma explícita malos candidatos a erigirse en
procedimientos de decisión. ¿Cómo responderíamos a la pregunta “¿X|A?” en Ax o en
DN? Consideremos sólo el segundo caso. La única forma de comprobar si X|DNA es
dando inicio a una derivación en la que tras colocar cada una de las fórmulas de X
como premisas intentaríamos hallar la conclusión A. ¿Qué pasa si tras una larga serie
de pasos aún no hemos llegado a A? ¿Debemos confiar en nuestras capacidades y
afirmar que si en k pasos A no ha sido hallada es porque no puede serlo, o debemos
insistir un poco más y prolongar la derivación otros n pasos más? Es obvio que el
Cálculo de Deducción natural no fue concebido como un procedimiento para
responder preguntas acerca de la derivabilidad de un argumento, sino, más bien,
como un procedimiento para construir derivaciones. Algo distinto es lo que sucedía
con el Cálculo de Tablas Analíticas. La posibilidad de alcanzar un punto donde,
Lógica de Enunciados
204
eventualmente, ya no se pueden seguir aplicando reglas permite pensar en una
detención del procedimiento en un punto que permita juzgar si el argumento en
cuestión es o no derivable. Como se ve, que un sistema deductivo constituya o no un
procedimiento de decisión depende, en primer lugar, de su estructura o arquitectura
general: el cálculo de secuentes no está originalmente orientado a al decisión, pero
una serie de manipulaciones de su arquitectura permiten dar con un procedimiento tal.
Pero también depende del tipo de reglas que nos veamos obligados a admitir. Estas
reglas son resultado, a su vez, de la presencia de ciertas constantes lógicas en el
lenguaje formal que en cada caso se estudia. Con esto llegamos a un hecho
fundamental: la decidibilidad de un sistema deductivo puede depender, en última
instancia, del tipo de constantes lógicas presentes en un lenguaje formal. Si
admitimos que la presencia de constantes lógicas en un lenguaje formal es una forma
de medir su potencia expresiva, ese aserto se transforma en otro algo más vago, pero
mucho más significativo: la decidibilidad de un sistema deductivo puede depender de
la potencia expresiva del lenguaje formal cuya relación de consecuencia se estudia. Si
la decidibilidad afectada es la del único sistema deductivo orientado a la decisión,
entonces aún podemos obtener algo más definitivo hablando no ya de este o aquel
sistema formal, sino de la misma relación de derivabilidad. Es este hecho el que hace
tan importante el estudio de la decidibilidad, ya que parece aludir a una especie de
conexión general entre la textura con que un lenguaje formal representa la estructura
de la inferencia y la capacidad de juicio o control que nos concede. El descubrimiento
de sutiles puntos de equilibrio en un asunto tan fundamental como es ese, nos lleva
una vez más ante la existencia de una especie de materia formal que se manifiesta en
nuestras capacidad cognitivas y que en ocasiones parecemos descubrir más que
legislar.
Hemos hablado sólo de derivabilidad, ¿es que acaso la decidibilidad no se
puede predicar de la relación de consecuencia semántica? Es evidente que la relación
de consecuencia semántica posee una definición en modo alguno orientada a la
decisión. Eso no significa que en determinados casos no se pueda establecerse un
mecanismo de decisión propiamente semántico, pero ello exige un cierto alejamiento
de la definición original de la consecuencia. Sea como fuere, una vez se cuenta con un
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
205
resultado como el de completitud –fuerte-, parece obvio que lo que pueda establecerse
en el nivel del cálculo afectará a la relación semántica de consecuencia. Anticipando
ahora ya algo de lo que hablaré más tarde, atribuiré la propiedad de la decidibilidad a
toda una lógica, la lógica de enunciados clásica.
[20] Teorema: La Lógica Clásica de Enunciados es decidible.
Esquema de la demostración. El método de Tablas Analíticas constituye
un procedimiento de decisión. Por otra parte, X|TAA es el caso syss ese
mismo argumento es derivable en Ax., Dn, y Sc. Finalmente, TA es
completo con respecto a la relación de consecuencia semántica.
V. Propiedades metateóricas específicas. El estudio metateórico de los sistemas que
estudia la Lógica suele desarrollarse en un nivel que va más allá de cualquier sistema
lógico particular. Esto no quiere decir que no existan problemas de carácter también
metateórico que son específicos de un determinado sistema deductivo, o incluso de
aspectos más concretos del desarrollo de un formalismo. La razón por la que
adquieren valor para este tipo de investigación se debe en buena medida a su utilidad
a la hora de comparar la conducta de distintos lenguajes formales ante un mismo
tratamiento deductivo o modelista, o de interpretaciones distintas de las mismas
constantes lógicas. De la larga lista de problemas de este tipo he elegido como
muestra aquellos que poseen una especial tradición y son recurrentes en la
bibliografía. De todos ellos hemos visto algo ya a lo largo de este curso, por lo cual, lo
que viene a continuación ha de ser entendido más bien como un recordatorio
destinado a poner las cosas en su sitio.
Cuando se seleccionan las fórmulas que van a formar los axiomas de un cierto
sistema hay que tener cuidado de no elegir una colección excesivamente pobre, pero
tampoco debemos elegir una que muestre redundancias. El primer problema se
Lógica de Enunciados
206
conecta con la completitud de un cálculo de una forma que ya hemos analizado, el
segundo recibe el nombre de independencia axiomática. ¿Cómo sabemos que un
cierto axioma no es, en realidad, un teorema obtenible con mayor esfuerzo a partir de
los restantes axiomas? Este problema, no siempre es fácil de resolver, se relaciona en
buena medida con la distribución de la conducta de las constantes a lo largo de
distintos axiomas. No hay, o no es tan claro, una relación directa entre cada constante
lógica y los principios que regulan su conducta en un sistema axiomático. Esta
situación contrasta con la directa correlación que en el resto de los sistemas
deductivos se presenta entre constantes y reglas. El problema de la independencia
tiene, en cualquier caso, una fama bien ganada a lo largo de la historia. El primer
estudio de este tipo procede ya de la discusión en torno a la independencia del Axioma
V de los Elementos de Euclides, problema que sólo llega resolverse definitivamente
tras la aparición de las llamadas geometrías no-euclídeas.
El segundo problema se refiere a la eliminación de la regla de corte. Se da, por
tanto, en los sistemas secuenciales del tipo de Sq. Afirmar que un sistema secuencial
admite la eliminación de la regla de corte supone demostrar que todo secuente
derivable con su concurso puede ser obtenido mediante una prueba en la que no se
hace uso de dicha regla. Las importancia práctica de esta demostración es que sin ella
resulta imposible obtener a partir de un sistema secuencial un procedimiento efectivo
aplicable a la derivabilidad. Probar la eliminación de la regla de corte no supone dejar
el camino expedito a la elaboración de un procedimiento de decisión, pero es
condición necesaria para ese paso. Existen consecuencias con un profundo contenido
matemático que están igualmente unidas a la eliminabilidad de esta regla. La más
obvia de todas ellas se refiere al modo en que un cierto sistema incorpora algunas de
las propiedades de la consecuencia, transitividad en este caso, mediante reglas más o
menos inmediatas. La presencia de la regla de corte en Sq tiene como efecto
inmediato la incorporación de la transitividad sobre la relación |Sq. Su eliminabilidad no
supone la pérdida de esa propiedad, sino la constatación de que se encuentra
presente ya en el modo de analizar las conectivas.
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
207
Podía seguir mencionando más problemas relativos al comportamiento de
distintos sistemas deductivos –el del teorema de deducción, por ejemplo- pero es
seguramente más formativo prestar atención a uno que se presenta en un dominio
plenamente semántico. Cuando elegimos las conectivas que forman parte del
vocabulario básico de un lenguaje proposicional –del tipo de LE-, ¿qué criterio
seguimos? Es preciso admitir que éste es, en parte, empírico: optamos por aquellas de
uso más frecuente en el contexto que adoptamos como trasfondo de nuestras
intuiciones. No obstante, una buena investigación lógica no se puede quedar sólo en
esto. Debe investigar si hay merma en la elección de una cierta colección de
conectivas, si por el contrario, éstas bastan para expresar cualquier función veritativa
de entre aquellas que forman los modelos que previamente han sido introducidos. Este
es el problema de la completitud funcional de un conjunto de conectivas. El conjunto
{¬, →, &, v} es funcionalmente completo, pero también lo son otros conjuntos más
reducidos de los que algo habremos de decir más adelante. Si bien el problema de la
completitud funcional no es muy excitante en el contexto actual sí que adquiere mayor
relevancia cuando procedemos a analizar el comportamiento de esas conectivas en
contextos pretendidamente más cercanos a la experiencia cotidiana. En cualquier
caso, sacaremos provecho de este problema cuando discutamos algunas técnicas de
decisión aplicables sobre LE.
El estudio meteórico de la Lógica se resuelve, como hemos podido ver, en una
colección de teoremas sobre la cual he intentado poner algo de orden aunque sólo sea
por motivos pedagógicos. Resumido en una tabla tiene todo ello el siguiente aspecto:
Lógica de Enunciados
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[21] Estudio metateórico de la Lógica:
I. Estudio de la derivabilidad.
i. Ax. (DN, TA, Sq) es consistente.
ii. Equivalencia: Ax=DN=TA=Sq.
II. Derivabilidad y entrañamiento.
i. Ax (DN, TA, Sq) es correcto.
ii. Ax (DN,TA, Sq) es fuertemente (débilmente) completo.
III. Propiedades de tipo semántico .
i. Teorema de Compacidad.
IV. Decidibilidad: propiedades genéricas.
i. Procedimientos de decisión.
V. Propiedades metateóricas específicas de cada sistema.
i. Independencia (sistemas axiomáticos)
ii. Eliminación de la regla de corte (Sistemas secuenciales)
iii. Completitud funcional (en relación a las conectivas).
......
El estudio de las propiedades metateóricas de los distintos productos que
ofrece la investigación lógica permite establecer unas relaciones entre ellos que se
suponen en ciertos conceptos de uso frecuente, aunque rara vez se explican de este
modo. Es habitual hacer relación, por ejemplo, a la Lógica de enunciados o a la Lógica
de Primer Orden, o a ésta o aquella lógica como si de una sistema concreto se tratara.
Es decir, se usa el término lógica de... para referirse a algo que no parece agotarse en
la mera descripción de un lenguaje formal y que es también más concreto que lo que
aquí he denominado tratamiento abstracto de la consecuencia. Una lógica en sentido
adjetivo, no es ni un lenguaje L, ni el par formado por un lenguaje y una relación
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
209
(operación de consecuencia abstracta), es decir un par del tipo <L,R|>. ¿Qué hay más
concreto que esto? Tenemos, en primer lugar, lo que hemos denominado sistema
formal. Un sistema formal es un par formado por un lenguaje L y una relación de
consecuencia semántica definida sobre L a partir de una cierta clase de
interpretaciones admisibles. Se trata, entonces, de un par del tipo <L,√ I> -utilizo el
símbolo √ I para indicar que la consecuencia se define a partir de una clase I de
modelos, aunque si esto queda claro por el contexto se puede omitir-. Pero también es
un acto bien concreto el ofrecer la definición de la derivabilidad en términos de alguno
de los sistemas deductivos estudiados aquí. El par formado por <L,|DN> es, por
ejemplo, un objeto formal bien concreto, aunque tal vez demasiado. Una lógica en
sentido adjetivo hace referencia a un conglomerado de entidades en el que parecen
combinarse adecuadamente las descripciones semántica y pruebo-teorética de la
consecuencia. Descripciones que deben satisfacer ciertos mínimos de semejanza para
que puedan contar como descripciones alternativas del mismo objeto. La descripción
que mejor corresponde a esta idea, absolutamente habitual por otra parte, podría ser
la siguiente:
[22] Una lógica en sentido adjetivo viene dada por un triplo <L,[|S], √ I> en el
que:
i. L es un lenguaje formal.
ii. [|S] es la relación de derivabilidad definida sobre L a partir de un
sistema S que es tomado como representante de la clase de
equivalencia formada por todos aquellos sistemas deductivos del
tipo que sean que prueban exactamente los mismos argumentos
de L.
iii. √ I es la relación de consecuencia semántica definida sobre L a
partir de una clase I de interpretaciones admisibles.
iv. La relación [|S] de derivabilidad es demostrablemente correcta
con respecto a la relación de entrañamiento √ I.
Lógica de Enunciados
210
Es discutible que no deba exigirse también la completitud de la derivabilidad
con respecto a la consecuencia semántica, pero es un hecho que tal decisión dejaría
fuera lógicas que son reconocidas por formar un triplo del tipo descrito y que, no
obstante, no son completas. Esta nueva noción no debe confundirse con otra que ya
hemos empleado aquí. Me refiero al uso del término lógica para referirse a la colección
de todas las lógicas en sentido adjetivo que poseen una cierta propiedad común de
rango superior. Lógica de enunciados –o proposicional– es, por ejemplo, la colección
formada por todas las lógicas adjetivas definidas sobre LE. La que es generalmente
expuesta en todos los manuales introductorios, y que hemos desarrollado aquí en
sesiones precedentes, es lo que en realidad se conoce como Lógica de Enunciados
Clásica, y consiste en un triplo determinado del tipo de los descritos en [22],
concretamente, <LE, [|DN], √E> -queda claro que |DN ha sido elegido como mero
representante canónico de una clase de equivalencia, y por tanto no constituye
decisión que nos comprometa con nada-. Otra opción, también razonable, consiste en
no mencionar un representante para la derivabilidad formal, sino enumerar todos los
cálculos descritos. La Lógica de Enunciados Clásica quedaría asociada entonces al
triplo <LE, {|Ax, |DN, |TA, |Sq}, √E>.
Esta definición debe tomarse como un intento de explicar por qué nos resultan
naturales ciertas agrupaciones de sistemas y técnicas particulares en una unidad que
de cierta manera consideramos justificada. ¿Qué entidad posee la Lógica de
Enunciados Clásica? Supongo que la de describir desde todos los puntos de vista
lógicamente justificados una y la misma relación de consecuencia sobre un mismo
lenguaje. Por otra parte, se trata de reconocer lo que realmente hacemos al construir
un sistema deductivo, o al definir una clase de modelos. Nunca concebimos esas
operaciones como ensayos del todo independientes, sino como el intento de
representar operadores con un cierto significado, si es antes la teoría de modelos, o de
dotar a ciertas operaciones simbólicas de una justificación modelista, si es antes la
derivabilidad.
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
211
Aunque esta discusión pueda parecer uno de esos tópicos de escuela acerca
de qué es antes, realmente apunta a problemas de cierta entidad que por el momento
escapan a los objetivos de este curso. Pese a que lo que se indica en [22] es un
intento de explicar lo que realmente hacemos cuando hacemos Lógica, existen
suficientes casos en la literatura de sistemas adjetivos que no se ajustan a ese
formato. Hay lógicas sin una clase de interpretaciones que caractericen
razonablemente sus constantes lógicas, por ejemplo. Pero es también cierto que en
tales ocasiones el esfuerzo de la investigación suele destinarse a hallar un tratamiento
semántico que cubra esa deficiencia. Es menos común el caso inverso, una semántica
sin cálculo, pero tampoco es del todo inimaginable: muchos sistemas empiezan como
una construcción semántica para la que es preciso hallar un cálculo. Casos raros se
pueden encontrar y construir, pero lo que me interesa es explicar por qué resultan,
precisamente, casos raros .
Lógica de Enunciados
212
Orientación bibliográfica.
Esta sesión supone el inicio de la investigación metateórica en Lógica. Ello
supone dar entrada, con toda prudencia, y en la medida de lo posible a los manuales
que prestan especial atención a estos aspectos. Una introducción, para mí inolvidable,
al tipo de problemas que surgen en el estudio metateórico de la Lógica es la que figura
en la secc. 15 de [Kleene, 1952]. Se trata de un auténtico oasis en un texto de muy
difícil lectura. Contiene, además, un planteamiento histórico muy notable. En esta
misma dirección también se puede citar las secc.5 y 6 del cap.1 de [Hunter, 1969], o
también el primer apartado del cap. XV de [Garrido, 1974].
Para la presentación de los conceptos fundamentales hay muchas fuentes.
[Badesa, Jané y Jansana, 1998] cap. 17 es una buena opción, y [Hunter, 1969],
Segunda Parte, otra. [Manzano, 1989] es una buena referencia, aunque presidida por
una orientación modelista.
A parte de estos, disponemos también de obras en lengua inglesa
considerados clásicos en toda bibliografía. De ellos [Boolos y Jeffrey, 1989] cap. 9
me parece especialmente claro. Otros ítems a tener en cuenta, aunque sólo para una
ulterior referencia son [Bell y Machover, 1977] y [Ebbinghaus, Flum y Thomas,
1984].
Para seguir con detalle la equivalencia entre los distintos sistemas deductivos
presentados se puede acudir a [Marraud, 1998].
La Investigación metateórica en Lógica: introducción
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