La ley del semicírculo.
J. Armando Domínguez [email protected]
Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa
Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012
22 de noviembre de 2012J. Armando Domínguez [email protected]
Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa
Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012
() Semicírculo 22 de noviembre de 2012 1 / 1
La ley del semicírculo
Ley del SemicírculoTeorema de Wigner. Sea An una matriz de Wigner, donde aij sonv.a.i.i.d, con Var
�aij�= 1, 1 � i < j � n, y aii son v.a.i.i.d. Entonces
FAn/p
n (x) D!n!∞
F (x) , c.s.,
donde F (x) es la ley del semicírculo.
Ley del Semicírculo
F0 (x) =1
2π
p4� x21[�2,2] (x) ,
1E (x) = 1 si x 2 E y 1E (x) = 0 en otro caso.
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.
Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.
Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.
Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.
Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.
Lema
Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.
Corolario
Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .
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Grá�cas cíclicas
Corolario
Hay a lo más nk2 grá�cas en Γ3.
Observación
En Γ2 hay menos de nk < ∞.
Pregunta¿Cuántas habrá en Γ1?
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Grá�cas cíclicas
LemaContar grá�cas en Γ1 es equivalente a contar sucesiones �1�s que cumplen
ζ i = �1sl = ζ1 + � � �+ ζ l , 1 � l � 2k,sl � 0 ) ζ1 = 1
s2k = 0 ) ζ2k = �1
ObservaciónLa grá�cas en Γ1 son árboles orientado con raíz de k aristas.
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Biyección árboles orientados y árboles binarios
Se pueden identi�car estos árboles con sucesiones características quetienen de elementos dicotómicos como sigue. A cada árbol orientado conraíz de k aristas se le asocia la 2k-tupla (ζ1, ..., ζ2k) construida de lasiguiente manera: si en el i-ésimo paso del recorrido la arista en turno esrecorrida por primera vez (innovación) entonces ζ i = 1 y si ya se habíapasado ella entonces ζ i = �1. Esto establece una biyección entre losárboles orientados con raíz de k aristas y el subconjunto T2k de f�1, 1g2k
que consiste de los elementos (ζ1, ..., ζ2k) tales que
ζ i = �1sl = ζ1 + � � �+ ζ l , 1 � l � 2k,sl � 0 ) ζ1 = 1
s2k = 0 ) ζ2k = �1
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Biyección árboles orientados y árboles binarios
Los árboles Árboles binarios con k/2 padres tienen la misma sucesión de�1�s.
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Número de elementos en
Γ1
Resultado. Para k par hay Ck/2 árboles orientados con raíz de karistas.
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Número de elementos en
Γ1Para cada i 2 f1, ..., ngk de�namos G (i) como una grá�ca Γk,t,reescribamos A (i) = A [G (i)] .
Para k � 1, n � 1 sea
Λk =fG (i) = (V, E, ϕ) : V = i = (i1, ..., ik) , E = fe1, ..., ekg ,
ϕ�ej�=�ij, ij+1
�, ik+1 := i1, 1 � j � k, 1 � ij � ng
,
con la convención de que ik+1 = i1.
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Número de elementos en
Γ1
De�niciónDos grá�cas G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) son isomorfas, denotado porG1�= G2, si existe una biyección θ : V1 �! V2 tal que
(u, v) 2 E1 () (θ (u) , θ (v)) 2 E2.
Es decir, dos grá�cas son isomorfas si una puede convertirse en la otra poruna permutación de los números (1, ..., n) .
LemaLa relación ��=�es una relación de equivalencia en Λk.
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Número de elementos en
Γ1Se tiene una partición �nita de M clases de equivalencias. Tomemos unrepresentante, Γ̂m, m = 1, ..., M, de cada clase�
Γ̂m�=�
G (i) : G (i) �= Γ̂m
,
Λk =M[
m=1
�Γ̂m�
=M[
m=1
[Γ̂m2Γjj=1,2,3
[G(i)2Γ̂m
G (i) .
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Número de elementos en
Γ1En Γ1 hay
#
8<: M[m=1
[G(i)2Γ̂m
G (i)
9=; = n (n� 1) � � ��
n� k2
�Ck/2.
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Veri�cación de la condición C1
Sea Bn = An/p
n entonces y λ1, ..., λn sus eigenvalores
FBn (x) =# fλi � x : i = 1, ..., ng
n
E [βk (Bn)] =1
n1+ k2
Ehtr�
Akn
�i=
1
n1+ k2
n
∑i1,i2,...,ik=1
E (ai1i2 ai2i3 ...aiki1)
=1
n1+ k2
∑i
E [A (i)] ,
donde A (i) = ai1i2 ai2i3 ...aiki1 , i = (i1, ..., ik) 2 f1, ..., ngk .
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Veri�cación de la condición C1
E [βk (Bn)] =1
n1+ k2
∑i
E [A (i)] =1
n1+ k2
∑i
E fA [G (i)]g
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Veri�cación de la condición C1
De acuerdo con lo anterior, podemos escribir como
E [βk (Bn)] =1
n1+ k2
∑i
E fA [G (i)]g
=1
n1+ k2
∑Γ̂m2Γjj=1,2,3
∑G(i)2Γ̂m
E fA [G (i)]g
= S1 + S2 + S3,
donde Sj =1
n1+ k2
∑Γ̂m2Γj
∑G(i)2Γ̂m
E fA [G (i)]g , j = 1, 2, 3.
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Veri�cación de la condición C1
En Γ2 toda grá�ca tiene una arista simple. En consecuencia S2 = 0.Dado que en S3 se tiene que t � k
2 )������ 1
n1+ k2
∑Γ̂m2Γ3
∑G(i)2Γ̂m
E fA [G (i)]g
������ � 1
n1+ k2
∑Γ̂m2Γ3
∑G(i)2Γ̂m
jE fA [G (i)]gj
� 1
n1+ k2
∑Γ̂m2Γ3
∑G(i)2Γ̂m
Ck
� 1
n1+ k2
nk2 Ck =
Ck
n.
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Veri�cación de la condición C1
Lema
Por último, en S1 k es par y E fA [G (i)]g =hE���aij
��2�i k2= (1)
k2 = 1.
S1 =1
n1+ k2
Ck/2
∑m=1
∑G(i)2Γ̂m
1
=1
n1+ k2
Ck/2
∑m=1
n (n� 1) � � ��
n� k2
�= Ck/2
nn
n� 1n
� � � n� k/2n
�! Ck/2
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Veri�cación de la condición C3
Observemos que βk (Bn) 2 R.
βk (Bn) =1
n1+ k2
∑i
A (i)
Var [βk (Bn)] = En[βk (Bn)]
2o� fE [βk (Bn)]g2
= E
8<:"
1
n1+ k2
∑i
A (i)
#29=;�
(1
n1+ k2
∑i
E [A (i)]
)2
=1
n2+k ∑i,j
E [A (i) A (j)]� 1n2+k ∑
i,jE [A (i)]E [A (j)]
=1
n2+k ∑i,jfE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]g .
i, j 2 f1, ..., ngk .J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 18 / 24
J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 19 / 24
Veri�cación de la condición C3
Var [βk (Bn)] =1
n2+k ∑i,jfE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]g .
Observe que si A (i) es independiente de A (j) se tiene queE [A (i) A (j)] = E [A (i)]E [A (j)]
Si hay alguna arista simple en G (i) [ G (j) se sigue queE [A (i) A (j)] = E [A (i)]E [A (j)] = 0
En los casos que quedan el número de vértices de G (i) [ G (j) es � k yjE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]j � 2C2k. Así
Var [βk (Bn)] �2
n2+k nkC2k =2C2k
n2 .
)∞
∑n=1
Var [βk (Bn)] � 2C2k∞
∑n=1
1n2 = 2C2k π2
6< ∞.
�J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 20 / 24
Generalización al caso no idénticamente distribuido
Ley del Semicírculo
Sea Bn = An/p
n una matriz de Wigner tal que aij son v.a.i. si1 � i < j � n. Eaij = 0, Ea2
ij = 1 y satisfacen la condición
limn!∞
1n2
n
∑j,k=1
E��ajk��2 I���ajk
�� � ηp
n�= 0.
Entonces, FBn converge a la ley del semicírculo c.s.
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Varianza o media in�nita
¿Qué pasa si E ja12j2 = ∞ o Eja12j = ∞?De�nición. Una función L : (0, ∞) �! (0, ∞) es de variación lenta si8a > 0
limx!∞
L (ax)L (x)
= 1.
De�nición. Una variable X aleatoria está en el dominio de atracción deuna ley α-estable, α 2 (0, 2) si existe una función, L, de variación lenta, talque
P (jXj � u) =L (u)
uα.
J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 22 / 24
Caso varianza o media in�nita
Teorema
Sea An =�aij�
, una matriz de Wigner tal que aij son v.a. i.i.d,1 � i � j � n, tales que las v.a.�s aij�s están en el dominio de atracción deuna ley α-estable, α 2 (0, 2). Defínase
bn = inf�
u : P���xij
�� � u�� 1
n
= L0 (n) n1/α.
sea α 2 (0, 2) y Bn = An/bn. Entonces
I) 9 Fα función de distribución tal que FBnD, p�! Fα.
(ii) Existe una subsucesión que tal que FBnD, c.s.�! Fα,
Propiedades de la DELFα es simétricaFα es de soporte no acotado
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G.B. Arous & A. Guionnet. (2008). The Spectrum of heavy tailedrandom matrices. Commun. Math. Phys, 278, 715-751.
Bai, Z. y Silverstein, J. W. (2010). Spectral Analysis of LargeDimensional Random Matrices. Springer Series in Statistics, SecondEdition.
Bondy J. A. y Murty U. S. R. (2008) Graph Theory. Springer.Graduate Texts in Mathematics 244.
Guionnet, A. (2009). Large Random Matrices: Lectures onMacroscopic Asymptotics. École d�Été de Probabilités de Saint-FlourXXXVI 2006 (Lecture Notes in Mathematics, Ecole d�Eté deProbabilités de St. Flour, Springer).
Koshy, T. (2009). Catalan Numbers with applications. OxfordUniversity Press, Inc.
I. Zakharevich. (2006). A generalization of Wigner�s law. Commun.Math. Phys. 268., 403-414
J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 24 / 24
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