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Calculo 1.

Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos.

Hugo E. Zamora C.


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Calculo 1. Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos. Traslacion horizontal de una funcion

Seccion 1: Introduccion

Una de las formas como se intenta capturar la regularidad de un fen omeno o situacion se soporta en el efectode un movimiento sobre un objeto. Hay movimientos rgidos que mantienen la forma y el tamano del objetoEste es el caso de las traslaciones paralelas o las reflexiones respecto de un eje. Estos movimientos se ilustranrespectivamente en las figuras 1 y 2.

Figura 1: Traslaciones Figura 2: Reflexiones Figura 3: Homotecias

Otro tipo de movimiento sobre un objeto es la homotecia, movimiento que transforma el objeto manteniendola forma pero cambiando el tamano, como se ilusra en la figura 3. Se utilizan los principios de los movimientosgeometricos senalados, para generar procedimientos eficaces en la graficas de funciones de valor real.

Seccion 2: Traslacion horizontal de una funcion

Si se conoce la grafica de una funcion y = f(x), se afirma que la grafica de f(x h) con h > 0 se obtienemediante la traslacion de longitud h en el plano cartesiano, de la grafica de fhacia la derecha. Dicha traslacionse hace paralela al eje x. Este hecho permite afirmar que un punto (x, y) de la grafica de f se convierte en e

punto (x+h, y) de la grafica de la nueva funcion. As que cada punto de la grafica de f experimenta un cambiounicamente en su abcisa.

Analogamente la grafica de f(x+ h) con h > 0 se obtiene mediante la traslacion de longitud h en el planocartesiano, de la grafica defhacia la izquierda. Esta traslacion tambien se hace paralela al ejex. Ahora, un punto(x, y) de la grafica de fse transforma en un punto (x h, y) de la grafica de la nueva funcion.

Las transformaciones de una funcion son utiles para trazar las graficas de nuevas funciones a partir de losmodelos basicos, cuyas graficas se realizaron en los ejercicios de la lectura No. 1

2.1: Ejemplos

1. Dada la funcion f(x) = 3

xy su grafica que se muestra en la figura 4, entonces las graficas de y = 3

x 3 yy=

3

x + 2 se pueden construir a partir de la grafica de f, teniendo en cuenta que la grafica de y = 3

x 3en realidad corresponde a la grafica de y =f(x 3) y que la grafica de y = 3x + 2 es la misma grafica dey= f(x + 2) Las figuras 5 y 6 ilustran estas graficas.

2. Si se conocen las graficas de una funcion fy de otra funciong obtenida por traslacion paralela def respectodel eje horizontal, y al menos un par ordenado de cada una de ellas (uno obtenido por la traslaci on del otro)es posible describir el movimiento que origino la segunda funcion.

De acuerdo con las figuras 7 y 8, se afirma que g(x) =f

x 7

2

Explique la afirmacion y luego exprese f

como una traslacion de g

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Calculo 1. Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos. Traslacion vertical de una funcion

Figura 4: Grafica de y = 3

x

Figura 5: Grafica de y = 3

x 3 Figura 6: Grafica de y= 3x + 2

Seccion 3: Traslacion vertical de una funcion

Si se conoce la grafica de una funcion y = f(x), se afirma que la grafica de f(x) +k con k > 0 se obtienemediante la traslacion de longitud k en el plano cartesiano, de la grafica de fhacia arriba. Dicha traslacion sehace paralela al eje y. Este hecho permite afirmar que un punto (x, y) de la grafica de fse convierte en un punto(x, y+ k) de la grafica de f(x) + k. As que cada punto de la grafica de fexperimenta un cambio unicamente en

su ordenada.De la misma forma la grafica de f(x) k con k >0 se obtiene mediante la traslacion de longitud k en el plano

cartesiano, de la grafica defhacia abajo. Esta traslacion tambien se hace paralela al ejey. Ahora, un punto (x, y)de la grafica de fse transforma en un punto (x, y k) de la grafica de f(x) k

3.1: Ejemplos

1. Dada la funcion f(x) = x3 y su grafica que se muestra en la figura 9, entonces las graficas de y = x3 2 yy =x3 + 3 se pueden construir a partir de la gr afica de f, teniendo en cuenta que la grafica de y = x3 2en realidad corresponde a la grafica de y = f(x) 2 y que la grafica de y = x3 + 3 es la misma grafica dey= f(x) + 3 Las figuras 10 y 11 ilustran estas graficas.

2. La traslacion es un movimiento geometrico que se puede describir como una funcion, pues a cada punto delplano cartesiano que pertenece a la figura a trasladar, se asigna uno y solo un punto del mismo plano. As quela obtencion de una funcion g a partir de una funcionfse puede describir mediante una composicion de dostraslaciones. Esta situacion se muestra en las figuras 12 y 13, pues la funcion g se puede obtener mediante lacomposicion de una traslacion horizontal de fde longitud 2 a la derecha y la traslaci on vertical hacia arribade longitud 3 de la nueva funcion. Notese que se ha usado informacion de las graficas (pares ordenados delas funciones f y g) para indicar los movimientos senalados. De acuerdo con esta descipcion se asegura queg= f(x 2) + 3.

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Calculo 1. Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos. Reflexion de una funcion respecto de

Figura 7: Grafica de y= f(x) Figura 8: Grafica de y= g(x)

Figura 9: Grafica de y= x3

Describa la funcion g como una composicion de dos traslaciones, la primera de ellas una traslacion verticay la segunda una traslacion horizontal.

Seccion 4: Reflexion de una funcion respecto de los ejes coordenados

Afirmamos que al reflejar un punto P(x, y) respecto del eje horizontal del plano cartesiano se obtiene el puntoQ(x,y) es decir P y Qson equidistantes de dicho eje. Similarmente, al reflejar el punto P(x, y) respecto del ejevertical se consigue el punto R(x, y). Por lo tanto, P y R estan a la misma distancia del eje vertical del planocartesiano.

As que si fes una funcion se obtienen nuevas funciones g yh al reflejar cada punto de la grafica de f respectodel eje horizontal y del eje vertical respectivamente. Notese que para cada x elemento de los dominios de f, g y hse tiene que g(x) = f(x) y h(x) =f(x)

4.1: Ejemplos

1. Si f(x) =

x cuya grafica se muestra en la figura 14, las graficas que se obtienen al reflejar fcon respecto

a los ejes horizontal y vertical se aprecian en las figuras 15 y 16.

2. Una forma interesante de verificar que una funcion es par o impar, se hace mediante reflexiones de la funcionAs que si f es una funcion y al reflejarla respecto al eje vertical se obtiene la misma funcion f afirmamosque fes par. Ahora, se afirma que una funcion g es impar si al reflejarla con respecto de uno de los ejescoordenados y luego reflejar la funcion obtenida con respecto al otro eje, se obtiene la misma funcion g. Lasfiguras 17 y 18 ilustran las afirmaciones.

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Calculo 1. Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos. Deformaciones horizontal y vertical d

Figura 10: Grafica de y= x3 2 Figura 11: Grafica de y = x3 + 3

Figura 12: Grafica de y= f(x) Figura 13: Grafica de y = g(x)

Seccion 5: Deformaciones horizontal y vertical de una funcion

Como deformacion horizontal de una funcion se denomina al movimiento geometrico que al actuar sobre graficade la funcion la dilata (alarga) o contrae (acorta) horizontalmente, En este sentido, un punto P(x, y) de la graficade una funcion fse transforma en un punto Q( 1

kx, y) de la grafica de una funcion g, donde k es un real positivo

diferente de 1. Si k > 1 entonces se afirma que la grafica de f se contrae horizontalmente en un factor 1k

para

obtener la grafica de g . Ahora, si k 1 y es unacontraccion vertical de f si a


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Calculo 1. Lectura No. 4. Graficas de funciones. Movimientos geometricos. Ejercicios

Figura 14: Grafica de y=

x

Figura 15: Grafica de y= x Figura 16: Grafica de y = x

De la misma manera, cada punto de la funcion h tiene la formax

3, y

con (x, y) un punto de la funcion f

o sea que cada punto de hse obtiene por dilatacion horizontal en un factor 1

3de un punto de f. Se asegura

que h(x) =f(3x)

2. Si f(x) =x2, las funciones g(x) = 3x2 y h(x) = x2

2 se obtienen mediante deformaciones verticales def. Se

tiene entonces que g(x) = 3f(x), es decir que g es una dilatacion vertical de fen un factor 3. De la misma

formah(x) =12

f(x), o sea que h es una contraccion vertical defen un factor 12

. Las figuras 21 y 22 ilustran

estas situaciones.

Seccion 6: Ejercicios

1. fes la funcion cuya grafica se muestra en la figura 23. Mediante transformaciones de ftrazar la grafica decada una de las funciones descritas.

a) y= f(x

2)

b) y= 3f(x)c) y= 2f(x)d) y= 1

4x 3

e) y= 4f(12

x) + 1

2. A partir del modelo basico de funciones representados en lecturas anteriores, describa las transformacionesnecesarias sobre ellos, para trazar la grafica de las funciones especificadas. A continuacion esboce cadafuncion.

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Figura 17: Grafica de f funcion par Figura 18: Grafica de g funcion impar

Figura 19: Grafica de g(x) =fx

2

Figura 20: Grafica de h(x) =f(3x)

a) y= 3x + 52

b) y= 13

3

x

c) y= 2x + 3

d)(x 3)2e) 2|3x| 4

3. A partir del modelo basico f(x) = x2

efectuar transformaciones que permitan trazar las graficas de lasfunciones dadas. (Sugerencia:De ser necesario, escriba la funcion dada en la forma y = a(x h)2 + k)a) y= x2 4b) y= x2 + x

c) y= x2 6x 6d) y= 3x2 6x + 12e) y= 2x2 + 2x + 1

4. A partir del modelo basico f(x) = 1

x efectuar transformaciones que permitan trazar las graficas de las

funciones dadas. (Sugerencia:De ser necesario, escriba la funcion dada en la forma y = a 1

x h + k

a) y= 2

x + 1

b) y= 1

2x

c) y= 3

x + 2d) y=

x 2x 1

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Figura 21: Grafica de g (x) = 3f(x) Figura 22: Grafica de h(x) =1

2f(x)

Figura 23: Grafica de y= f(x)

e) y= 32x + 4

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