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22
La car ula puede ser Doble Ringcon Tapa Dura para una mejormanipulacin de los nios oempastado.
IMPRESIONES LSER: INICIAL
.
IMPRESIONES LSER: PRIMARIA (s/.0.04 x pgina)
Cursos 1 Primaria 2 Primaria 3 Primaria 4 Primaria 5 Primaria 6 Primaria
# Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo
Lgico Matemt
co142 5.68 314 12.56 302 12.08 382 15.28 410 16.40 368 14.72
Comunicacin Integral 184 7.36 344 13.76 330 13.20 304 12.16 348 13.92 368 14.72
Persona Social 96 3.84 166 6.64 184 7.36 148 5.92 144 5.76 142 5.68
Ciencia y Ambiente 116 4.64 134 5.36 234 9.36 148 5.92 108 4.32 208 8.32
Razonamiento Matemtco 314 12.56 158 6.32 122 4.88 162 6.48 148 5.92 160 6.40
Razonamiento Verbal 354 14.16 200 8.00 298 11.92 302 12.08 324 12.96 364 14.56
Ingls 122 4.88 106 4.24 108 4.32 110 4.40 116 4.64 136 5.44
Valores y Liderazgo 70 2.80 62 2.48 88 3.52 92 3.68 107 4.28 105 4.20
55.92 59.36 66.64 65.92 68.2 74.04
Cursos 3 Aos 4 Aos 5 Aos
# Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo
Lgico Matemtico 152 6.84 228 10.26 275 12.38
Comunicacin Integral 140 6.30 173 7.79 179 8.06
Personal Social 81 3.65 99 4.46 128 5.76
Ciencia y Ambiente 66 2.97 106 4.77 125 5.63
Motor Fino 236 10.62 175 7.88 148 6.66
Aprestamiento - - 132 5.94 143 6.44
Ingls 68 3.06 105 4.73 110 4.95
Razonamiento Matemtico - - - - 124 5.58
Razonamiento Verbal - - - - 110 4.95
Valores y Liderazgo 58 2.61 60 2.70 70 3.15
36.05 48.53 63.56
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Telf. 511 988961526 Movistar
Email: [email protected] / [email protected]
Direccin: Jr. Washington 1255 Cercado de Lima
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LGEBRA
Secundaria5
PrimerBimestre
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Pg
Captulo 7
Captulo 13
Captulo 19
Captulo 25
Captulo 30
Captulo 35
1. Leyes de Exponentes y Radicales
2. Polinomios
3. Productos Notables
4. Divisin Algebraica
5. Factorizacin I
6. Factorizacin II
ndice
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
7lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
1Leyes de Exponentes
3-2= =
-2-3= = -
(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)
a : base a R n : exponente n Z P : potencia P R
Potenciacin
Exponente natural:Si a R y n +.
42= 16
Exponente
Base
Potencia
Exponente cero: Si a R ; a 0.an= P
Ejemplo:
DEFINICIN 1
an= a . a . a . ... . an factores
Ejemplos:
x . x . x = x3
(-3)2= (-3)(-3) = 9
-32= -(3)(3) = -9 (Observa que el exponente afecta
a 3)
(-3)3= (-3)(-3)(-3) = -27
DEFINICIN 2
Ejemplos:
30 = 1
a0= 1
(- 2)0
= 1
-50= -1 (Observa que el cero afecta a 5)
530= 51= 5
Exponente negativo: Si a R; a 0.
DEFINICIN 3
a-n=1
an
Ejemplos:
132
19
18
-123
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
CMO CONTAR LOS GRANOS DEARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?
Arqumedes (287 -212 a.C.) naci y muri en Siracusa,
actual Italia. Fue sin duda el mayor matemtico de la
antigedad. En una obra titulada Psammites (El Clculo
de los Granos de Arena, ms conocida en espaol como
El Arenario) se jactaba que poda enumerar los granos
de arena necesarios para llenar el universo, utilizando
para ello nmeros gigantescos expresados mediante
exponentes. Arqumedes comienza, basndose en los
trabajos del astrnomo Aristarco (310 - 230 a.C.),
con ciertas estimaciones relativas a los tamaos de la
Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna,
el Sol y las estrellas fijas; demostrando que el dimetro
del universo usual hasta la distancia del Sol es menorque 1010estadios (un estadio es igual a 147,8 metros).
A continuacin supuso que 10 000 granos de arena ya
superaban a una semilla de adormidera, que el dimetro
de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho
de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000
dedos. Con estas desigualdades, Arqumedes lleg a la
conclusin que se necesitaban 1051granos de arena para
llenar la esfera del universo, generalmente aceptada
aquel tiempo.
Recreacin de la Muerte de Arqumedes durante la IIGuerra Pnica. No tanger circues meos (No toques
mis crculos), exclam Arqumedes en su mal latn cu-ando uno de los soldados pis sus figuras. En respuesta,el soldado traspas con su espada el cuerpo del anciano
Arqumedes (De la vida del general romano Marcelo,segn Plutarco).
Exponente fraccionario: Si m/n Q.
DEFINICIN 4
Ejemplos:
34/5 = 5 34
1. am. an= am+n
2. = am-n; a 0
3. (a . b)n= an. bn
am/n= nam
Teoremas
am
an
Elementos:
Ecuaciones Exponenciales
A. BASES IGUALES
am= an m = n
Ejemplo:
Resuelve: 23x+1= 2103x + 1 = 10 x = 3
B. FORMAS ANLOGAS
xx= aa x = a
Ejemplo:
xx= 27 xx= 33 x = 3
an
bnab(
n
(
ab
nn an b
4. = ; a 0
5. (am)n= am.n
6. n ab = na . n b
7. = ; a 0
8. cn acm = n am
9. m n a = mn a
Exceptuando: 1 12 41 1
2 4
=
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
9lgebra - 5to. Secundaria
1. Reduce:
S =
a) x10 b) x5 c) 1
d) x-5 e) x-10
Resolucin:
S = =
extraemos:
S = = x10
x3. x3. x3. ... . x33 x2. 3 x2. 3 x2. ... . 3 x2
30 veces
20 veces
( x3)20
(3 x2)30 x603 x60
x30
x20
3. Si 9x+ 3x+3= 28, calcula x.
a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 6
Resolucin:
(32)x+ 3x+3= 28
32x+ 3x+3= 28
3x(3x+ 33) = 28
3x(3x+ 33) = 28
3x(3x+ 27) = 1(1 + 27)
\ 3x= 1 x = 0
Rpta.: c
Rpta.: a
Rpta.: c
4. Simplifica:
a) a+b+cb) ab + ac + bcc) abcd) a-1+ b-1+ c-1
e) an+ bn+ cn
Resolucin:
ancn+ anbn+ bncn
a-n+ b-n+ c-nn
anbncn(b-n+ c-n+ a-n)a-n+ b-n+ c-n
n
Factorizando an+ bn+ cnen el numerador:
n anbncn= abc
Resolucin:
5. El exponente de x que resulta al simplificar:
E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5... 1+1/n xnes:
a) n2/2 b) n/2 c) 2/nd) 2 e) 2n/n+1
Rpta.: d
2. Calcula:
E =
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
Resolucin:
E =
E = 641/2+ 271/3+ 6251/4
E = 64 + 3 27 + 4 625
E = 8 + 3 + 5
E = 16
164( (+ 127( (+ 1625( (
-2-1 -3-1 -4-1
164( (+ 127( (+ 1625( (
-2-1 -3-1 -4-1
Operando las fracciones tenemos:
E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n x
E = 3/24/35/46/5...(n+1)/n xn
E = (n+1)/2 xn
E = xn/[(n+1)/2]
E = x2n/(n+1)
Rpta.: c
EJERCICIOS RESUELTOS
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Si xy= 2, calcula: (xy)xy. (x3)-y. (4y2)y-2
Resolucin:
Simplifica:
Resolucin:
104. 303. 423
54 . 250 . 602. 702
Efecta:
a) 2 . 3 2 . 6 2
b)
Resolucin:
6 9 . 4 9 . 3 920 9 . 5 9
Si el exponente final de x es 7/4 en:
xn. x x ; x > 0.
calcula n.
Resolucin:
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11lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Halla x si:
Resolucin:
62x-4
144x-21
16=
Simplifica:
W =
Resolucin:
5 . 2x+2-2x+4+ 6 . 2x-1
2x+5-15 . 2x-2 . 2x+3
7. Sabiendo que:
2x-3= 3, halla 21-x
8. Despus de simplificar:
se obtiene:
n-2 32n+5-9 . 32n+1
24 . 3n+4
9. Si:
3x= 7y, calcula el valor de:
P = 3x+1-7y+1+ 3x
7y-7 . 3x+ 3 . 7y
10. Halla el exponente final de x:
; x 0(xa)bc. (xbc)a. xac. xac... xac. x
((x3a)b)c
b veces
11. Halla x en:
8x+3= 4 323x+1
12. Calcula el exponente final de x en:
F(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x ... (n radicales)
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lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
1. Calcula el valor de x en:
2x. 2 = 3 4x
a) 2 b) -3/2 c) 1/2d) 1/4 e) 5/3
2. Simplifica:
a) 287 b) 281 c) 235d) 123 e) 435
12( (
-(1/2)-1
+13( (
-(1/3)-1
+14( (
-(1/4)-1
3. Calcula A + B, siendo:
A = {(1/2)-3+ (2/5)-2+ (4/7)-1}0,5
B = {8(4/5)-2-(2/3)-3-(8/9)-1}(1/3)
a) 20 b) 9 c) 4d) 6 e) 5
4. Resuelve: 1632
x-2= 22
x+2
a) 2/5 b) 3/2 c) 5/2d) 2 e) 5
5. Reduce:
P =
a) 1 b) 5 c) 25d) 3 5 e) 5 5
5 253. 15 5 . 3 253 5 . 5 125
6. Efecta:
E =
a) 1 b) x c) x32
d) x-32 e) x-1
(x3)-2. x-210
. (x-4)2
(x-5)-1. x(-3)2. (x-1)-2
7. Halla x si: (0,01)x
27-3-1= 0,0001
a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
8. Luego de resolver la ecuacin:
94x+1
= 383
indica el valor de R = x-1x + 1
a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0
9. Si ab = 1, calcula el valor de:
M = (ab)a(ba)b((aa)b)a((bb)a)a
a) 1 b) a c) bd) ab e) a/b
10. Reduce:
R = 3 642-1
+ 162-2
-83-1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Despus simplificar la expresin:
E =
resulta:
a) 5 b) 2,5 c) 2d) 1,25 e) 0,5
252n-402
n
202n-322
n2-n
4n2+ 16n
2
16n2+ 64n
2n
12. Despus de simplificar:
E =
se obtiene:
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
32x/(x-y)+ 6 . 32y/(x-y)x-y 3x+y
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13lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
2Polinomios
Monomio
M(x, y) = x3y4 Monomio M(x, y, z) = x5y3z5 Monomio M(x, y, z) = x4y3z6 Monomio
x2/y3 No es monomio x4y1/2 No es monomio x6y2/3z No es monomio
Trmino algebraico de exponentes enteros y positivos paratodas sus variables (expresion racional entera).
Ejemplos:
Polinomio
P(x,y) = 6x4y2-5x2+ 3xy3+ y4
Polinomio de 4 trminos
P(x,y,z) = 3x2y3z -5x3y5+ 3y4
Polinomio de 3 trminos
P(x,y,z) = 2xy -5xy2z4
Polinomio de 2 trminos
Expresin algebraica entera de uno o ms trminos.
Ejemplos:
Est dado por el exponente de la variable indicada.
M(x, y, z) = 4x2y4z5
GR(x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5
1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)
Grados
Es el mayor grado de uno de los trminos.
M(x, y, z) = 32x4y5z7
G.A. = 4 + 5 + 7 = 16
2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)
Est dado por el mayor exponente de la variable referida.
P(x, y) = 2x4y2+ 6x3y5+ 7x7
GR(x) = 7 ; GR(y) = 5
Q(x, y) = 6x4y5-2x5y3-y6 GR(x) = 5 ; GR(y) = 6
3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)
Est dado por el monomio de mayor grado.
P(x, y) = 4x3y2 - 2x2y5 + 6x4y6
5 7 10
G. A. (P) = 10
4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO
Es aqul donde los exponentes de la variable vanaumentando o disminuyendo.
Polinomios EspecialesTrmino algebraico de exponentes enteros y positivos paratodas sus variables (expresion racional entera).
1. POLINOMIO ORDENADO
P(x)
= x16-2x10+ x2+ 1Polinomio Ordenado Descendente.
Q(x)= 2 + x4+ 5x7+ x10
Polinomio Ordenado Ascendente.
Ejemplos:
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lgebra - 5to. Secundaria
Es aqul donde aparecen todos los exponentes de lavariable, desde el mayor hasta el trmino independiente(exponente cero).
2. POLINOMIO COMPLETO
P(x) = 6x2+ 2x + 3x3+ 5 tiene 4 trminos
Q(x) = 2 + x + 3x2+ 5x3+ 4x4
tiene 5 trminos
Ejemplos:
Sea:P(x) = 2x2+ 5x + 1
tiene 3 trminos 3 = 2 + 1
En todo polinomio completo se cumple:
# Trminos = Grado + 1
Es aqul donde todos sus trminos tienen el mismogrado absoluto.
3. POLINOMIO HOMOGNEO
2.1. Propiedad
Ejemplos:
P(x,y) = 6x2 + xy - y2
2. 2. 2.
P(x,y) = 6x2 + xy - y2
2. 2. 2. Q(x,y) = 2x4y2 + 3x3y3 + y6
6. 6. 6.
Son aqullos que tienen el mismo valor nmerico paraun mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismoscoeficientes en trminos homlogos.
4. POLINOMIOS IDNTICOS
2x + 3 3 + 2x
5x3+ 2x -1 + 4x24x2-1 + 2x + 5x3
Ejemplos:
Es aqul donde para cualquier valor asignado a suvariable, el resultado es siempre cero. Es decir, suscoeficientes son todos ceros.
5. POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO
P(x) 0x3+ 0x2+ 0x + 0 P(x) 0
Ejemplo:
1. Halla el coeficiente deM(x, y) = (1/2)n9mx3m+2ny5m-n
cuyo grado es 20 y el grado relativo de x es 14.
a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8
Resolucin:
GA = 3m + 2n + 5m -n = 20GR(x) = 3m + 2n = 14 8m + n = 20 3m + 2n = 14
\ 16m + 2n = 40 -3m -2n = -14 13m = 26
Rpta.: b
m = 2 n = 4
\ coeficiente = (1/2)492= 81/16
2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor deP(5) + P(1).
a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4
Resolucin:
En P(x + 2) = x + P(x)
\ x = 1 P(3) = 1 + P(1)
1 P(1) = 0\ x = 3 P(5) = 3 + P(3)
P(5) = 3 + 1P(5) = 4
\ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4
Rpta.: e
EJERCICIOS RESUELTOS
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15lgebra - 5to. Secundaria
3. Si el trmino independiente del polinomio:P(x) = 2(x-3)2(x-2)3(x-m)2(x+1)3es -576, halla elvalor de m2.
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 25
Resolucin:
Sabemos que P(0) = trmino independiente
P(0) = 2(-3)2(-2)3(-m)2(1)3= -576
= 2 . 9 . (-8)(m2) = -576
m2= 4
Rpta.: b
4. En el polinomio homogneo:P(x, y) = xm+ yn+p+ xnyp+ xpyn+ xqyr+ xryqla suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valorde:
E = m + n + p + q + r
a) 12 b) 15 c) 18d) 27 e) 36
Resolucin:
Por homogeneidadm = n + p = q + r = k\ 6k = 54 k = 9
\ m = 9 , n + p = 9 , q + r = 9
E = 9 + 9 + 9 = 27
Rpta.: d
5. Si el polinomio: P(x) = a(x -3)(x + 1) + (b -2) (x + 1) (x -2) + (c + 3)
(x -3)(x - 2) es idnticamente nulo. Halla a + b + c.
a) 0 b) -1 c) 2d) 3 e) -3
Resolucin:
Evaluamos:P(3) = (b -2)(4)(1) = 0 b = 2P(2) = a(-1)(3) = 0 a = 0P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0c = -3
a = 0 , b = 2 , c = -3
a + b + c = -1Rpta.: b
Nota
El trmino independiente es un trmino de grado cero, as:
4 = 4x0
ObservacinPolinomio Completo y Ordenado
P(x) = x3-2x2+ 5x -4
Observa que cumple con las dos condicionesanteriores.
El smbolo significa que los polinomios son idnticos.
cMO EVITAR ERRORES?
Para elegir los mate-riales ade-cuados, en cuanto a calidad
y cantidad, para constru irun puente, los ingenierosanalizan las variables queintervienen antes de llevara la prctica su proyecto,como la geologa del terreno,resistencia al viento, cambiode temperatura y fluidez del trfico automovilstico.Estas variables son expresadas matemticamentemediante polinomios para as poder hacer los clculosrespectivos y no cometer errores imprevistos.
UN TREN DE MONOMIOSUn polinomio est conformado por monomios dela misma forma que un tren lo est por vagones.Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x, 7,lo que se obtiene es x3+ x2+ x + 7; un polinomio.
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
SiP(x) = ax2+ 2x -1 y P(-2) = 7, el valor de
a es:
Resolucin:
Calcula el grado de:
P(x, y, z) = 8xaybzc, sabiendo que: GA -GR(x) = 11,
GA -GR(y) = 12
GA -GR(z) = 13.
Resolucin:
Calcula m . n siP(x, y) = 2xm+1yn-2-5xm+2yn-1+ 7xm+3yn-3
es de GA = 20 y de GR(y) = 8.
Resolucin:
Halla el valor de A + B si:
15 -4x A(2 -x) + B(1 + x)
Resolucin:
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17lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Dado el polinomio:
P(x) = 2xc+d-1-3xb-c+1+ 5xa+b-4+ 2xa-3
completo y ordenado descendentemente, halla
el valor de a + b + c + d.
Resolucin:
Si:
Hallar:
Resolucin:
7. Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n+ (3x + 1)n+ (5x -1)n+ b
con trmino independiente 5 y suma de coefi-cientes 38. Halla P(-1).
(n es par)
8. Siendo: P(x, y, z) = 3axa+2yb+2+ 2bya+1zc+3+ 5cxb+4zc
un polinomio homogneo de grado m + 2,calcula:
9. Calcula A + B + C si:
(x + 1)[A(x + 2) + B(x -2) -3x] + 15x =(x -2)[3x + c(x + 2)]
se verifica para todo x.
10. Si:P(2x+3) = 7-6x
Hallar: P(x + 1)
12. Si: P x x x x3 2 25=^ h es de tercer grado paraun valor de "n". Deicho valor es:
11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio
P(x) = Ax3+ 2x2-3x3+ 2Cx2+ 8 -3Bx + D + 9x,sea idnticamente nulo.
( )3X+1P = =9X+2
(5X-1)
( )( )P 2 5 2 5 + -
n
n n n
(a+b+c)n+1
a +b +c
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lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
1. Halla la suma de los siguientes trminos se-mejantes: A = (a + 3b + c)xa-5yb+c+8
B = (2b + 4c + 3)x3y10
a) 15x3y10 b) 18x3y10c) 20x3y10
d) 16x3y10 e) 21x3y10
2. SiP(x) = 2x2+ 5x + 2 y
Q(x) = 6x + 1,halla P(Q(1)).
a) 125 b) 63 c) 117d) 135 e) 119
3. Halla a . b en: P(x, y) = 5x2aya+b+1+ 12xa-by2b-1si GR(y) = 9
y GA = 19.
a) 15 b) 6 c) 72d) 18 e) 12
4. Si P(x, y) = xm+2y5+ 7x10yn + 2xm+3yp es
homogneo, con grado de homogeneidad 11,halla m + n + p.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
5. SiP(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el
valor de P(5) + P(1).a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4
6. Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3+ 3) . (5x7-7)n-4+ (8x -9)10
es 449, entonces el valor de n es:
a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
7. Halla el coeficiente de M(x, y) = . 9mx3m+2n. y5m-n
cuyo grado es 20 y el grado relativo a x es14.
a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8
12( (
n
8. Dada la expresin algebraica: R(x, y) = 6xm-2yn+5+ 3xm-3yn-8xm-1yn+6,
halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado
relativo de x es 6.
a) 30 b) 35 c) 36d) 42 e) 45
10. Encuentra el valor de a + b en la siguienteigualdad:
13 -4x a(x +2) + b(x - 1)
a) -8 b) -6 c ) -4d) -2 e) 0
9. Si el polinomio:P(x) = 3xn+3-xn+2+ xn+1+ ... + 3
completo, ordenado y tiene 38 trminos; elvalor de n es:
a) 33 b) 34 c) 37d) 39 e) 40
11. Cul es el valor de a para que la expresin:
M =
sea de grado 64? (a > 2)
a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) N.A.
(xa+5+ xa+3+ 5)a(xa+1-xa-2+ 1)a-1
(xa-x2+ 3)2
12. Si. P(x) = x2- 1 Calcular:
a) 9 b) 80 c) 81d) 8 e) 27
( )2P 3P P
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19lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
3Productos Notables
Mientras nosotros representamos las magnitudes porletras que se sobrentiende son nmeros (conocidoso desconocidos) con los cuales operamos usandolas reglas del lgebra, hace ms de 2000 aos losgriegos representaban las magnitudes como segmentosde lnea recta y las operaban segn las reglas de lageometra.
Tenan el Libro II de los Elementos de Euclides(matemtico griego que vivi en el siglo IV a.C.) quees un lgebra geomtrica que les serva ms o menos
para los mismos fines que nuestra lgebra simblica.La proposicin 4 del Libro II, si una lnea recta secorta de una manera arbitraria, entonces el cuadradoconstruido sobre el total es igual a los cuadrados sobrelos segmentos y dos veces el rectngulo contenido porambos segmentos, es una manera larga de decir que(a +b)2= a2+ 2ab + b2, pero su evidencia visuales mucho ms impactante que su contrapartidaalgebraica moderna. He aqu la demostracin:
El rea del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta reatambin se puede calcular adicionando las reas delos cuadrados y rectngulos interiores.Luego:
(a + b)2= a2+ 2ab + b2
Son los productos que se obtienen en funcin directasin necesidad de multiplicar.
Trinomio Cuadrado Perfecto
(x + 3)2= x2+ 2(3)x + 32
(x -4)2 = x2-2(4)x + 42
(5x + y)2 = (5x)2+ 2(5x)(y) + y2
Ejemplos:
1. CONCEPTO
(a + b)2= a2+ 2ab + b2
(a -b)2= a2-2ab + b2
Identidades de Legendre
(x + 3)2+ (x -3)2= 2(x2+ 32)
(x + 2)2-(x -2)2= 4(x)(2)
Ejemplos:
(a + b)2+ (a -b)2= 2(a2+ b2)(a + b)2-(a -b)2= 4ab
Nota
Desarrollando:x2-2xy + y2= y2-2yx + x2
(x -y)2= (y -x)2
a ba
b ab b2
a2 ab
= a2
ab
ab
b2+ +
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lgebra - 5to. Secundaria
Reduce:
N =
Solucin.-
Por Legendre:
(a+ b)2-(a -b)2= 4ab
= 4 = 2
(a + b)2-(a -b)2
ab
4(ab)
ab
Diferencia de Cuadrados
Calcula : M = 46 . 44 -452
Solucin.-
Haciendo x = 45
(a + b)(a -b)= a2-b2
Ejemplo:
Ejemplo:
La operacin se convierte en:M = (x + 1) (x -1) -x2
Aplicando productos notables: M = x2-1 -x2
Reduciendo trminos semejantes:
M = -1
(x + 3)(x + 4)= x2+ 7x + 12
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
(x + y + 3)2= x2+ y2+ 32+2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)
(x + y + 3)2= x2+ y2+ 9 +2xy + 6y + 6x
Identidad de Stevin
Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Ejemplo:
EJERCICIOS RESUELTOS
(
1. Si : x2+ 1 = 3 , x2 calcula:
x6+ 1 x6
a) 0 b) 3 c) 2 3d) 3 3 e) 3
Resolucin:
Rpta.: a
x2+1 3
x2( (= 33
x6 + +3x2.1x6
1x2
x2+1x2( = 3 3
x6 + = 01x6
x6 + +3( 3)1x6
= 3 3
2. Si : M = 2 + 3 ; N = 2 - 3
calcula (M+N)2
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Geomtricamente la identidad de Stevin se demuestra as:
Segn sus reas:(x + a)(x + b) = x2+ bx + ax + ab
= x2+ (a + b)x + ab
x a
x
b= x2 + bx + ax + ab
bx ab
x2 ax
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21lgebra - 5to. Secundaria
Si :
(x+y)2=4xy x2+2xy+y2=4xy x2 - 2xy+y2= 0 (x -y)2= 0 x=y
Remplazando en "E"
Resolucin:
3. Si :
calcula:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
x+y 2
2( (=xy ,
E= 6 x - 2 y4 xy
Resolucin:
(x+y)2
4=xy
E= 6 x - 2 x4 x2
E= 4 xx
E= 2
Rpta.: b
K = ( 2+ 3+ 2 - 3)2
K = 2+ 32
+2( 2+ 3 )(2- 3 ) + 2 - 3
2
K = 2+ 3+2( 2+ 3 )( 2-3 )+2- 3K = 4+2 22- 32
K = 4+2 1
K = 6
Rpta.: d
x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz-yz)
0 -3xyz=(x+y+z)(x2
+y2
+z2
-x2
-y2
-z2
-3) -3xyz = -3(x+y+z) xyz = x+y+z
Elevando al cubo: x3y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)
Reemplazando: x3y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x)
\ x3y3z3 (x+y)(x+z)(y+z) = 3
4. Si : (x -y)2+(x - z)2+(y - z)2= 0
calcula:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
E=3
x + 2y +4
x2
+z2
2x +y 2xz
Resolucin:
Si (x -y)2+(x - z)2+(y - z)2= 0
x -y= x - z= y - z= 0
\ x = y = z
Remplazando en "E"
E= 3 x + 2x + 4 x2+x2
2x +x 2x2
E= 3 1 + 4 1
E= 2
Rpta.: e
5. Si : x3+y3+z3=0;
x2+y2+z2+3=xy+xz+yz
Calcula:x3y3z3
(x+y)(x+z)(y+z)
a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3
Resolucin:
Rpta.: e
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Si:R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2
M = ( 3 +2)2+( 3 - 2)2
calcula R+M.
Resolucin:
Si:
x+x-1=3 calcula x2+x-2.
Resolucin:
Si: x2- 5x + 1 = 0Calcular:
xx
122
+
Resolucin:
Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.
Resolucin:
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23lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Si:
x -y = 4, xy =3; halla x3-y3
Resolucin:
Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.
Resolucin:
7. Reducir:
8. Efecta:
E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)
9. Efecta:
R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1)
10. Si:
1
a
b
c
5 3 2
3 2
1 5
= +
=
-
- -
= -
Calcular:
Mbc
a
ac
b
ab
c2 2 2
= + +
11. Si x2+ = 18 calcula E=x -1x
1x2
12. Si: x3= 1; x 1 Calcular: x2+ x
( ) ( )( )( )( )2
22 5 1 2 3 4x x x x x x+ - - - - + +
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lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
1. Si: (a+b)2= 2(a2+b2)Calcula el valor de:
a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
a2+13b2 23a - 17b ab 2a
E= +
2. Si: a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12 Halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2.
a) 132 b) 146 c) 145
d) 164 e) 194
3. Sabiendo que:
[6+ 36 -a2].[6- 36 -a2]=8
halla a4.
a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64
4. Simplifica:
E = +2
+ -2
2
- 42
-2
2
a) 36 b) 24 c) 15d) 16 e) 72
( (ab[
ba(
ab (] [(
ab( ]
ba
ba ((
5. Si + +
calcula:
J = +
a) 3/2 b) 1/2 c) 5/2
d) 7/2 e) 9/2
1m
1n
4m+n
4m+n4m-2n
m2+n2mn
6. Si (a+b)3=a3+b3, adems a, b 0; seala elvalor de .
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
ab
7. Efecta: R = ( x + 3 ) ( x2- 3x + 9) ( x- 3 )(x2+ 3x + 9 ) + 729
a) x3
b) x6
c) x8
d) x10 e) x12
8. Reduce a su mnima expresin: [(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2+64
a) a b) a2 c) a3
d) a4 e) a6
9. Calcula el valor de: a+b+c, si: a2+b2+c2=2 (a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32
a) 2 b) 4 c) 8
d) 32 e) 64
10. Dada la siguiente igualdad:
4 = + + ,
calcula el valor mumrico de:
R =
a) 9 b) 7 c) 5d) 8 e) 6
xyz
yxz
zxy
x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy)x(x -yz)+y(y - xz)+z(z - xy)
11. Si se sabe que:
calcula el valor de:
E= +
a) 18 b) 17 c) 16d) 15 e) 14
2xy
1 +xy1 - xy
=
2x+y2x -y
2x -y2x+y ()
12. Si a3+b3+c3=0 y (a - b)2+(a - c)2 +(b -c)2=12, a; b; c 0.calcula:
A = + +
a) 1/2 b) -2 c) 3/2
d) 2/3 e) -1/2
1bc
1ac
1ab
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25lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
4Divisin Algebraica
Monomio Entre Monomio
Ejemplos:Nos remitimos a la Ley de Exponentes.
15x7y4z5
3x2yz3
1001x9w15
91x3w12
= x7-2y4-1z5-3
= 5x5y3z2
= x9-3w15-12
= 11x6w3
( )15
3
( )100191
Polinomio Entre MonomioNos remitimos a separar el polinomio trmino por trmino
y utilizar lo visto anteriormente.
ResiduoCocienteDivisorDividendo
D(x) = d(x) q(x) + r(x)
Ejemplos:
15x7w8+ 21x6w3-3x5w2entre 3x3w
5x4w7+ 7x3w2-x2w
15x7w8
3x3w
21x6w3
3x3w
3x5w2
3x3w-+
Polinomio Entre Polinomio
Slo coeficientes.
Polinomio completo y ordenado.
1. MTODO DE HORNER
i
v
i
s
o
r
d
Cociente
Coeficiente principal
del divisor
Coeficientes
restantes del
divisor con signo
cambiado Residuo
Coeficientes
del Dividendo
Lnea
DivisoriaEjemplos:
q(x) = 3x2+ x -5 r(x) = 4x + 12
2. MTODO DE RUFFINI
DIVIDENDO
(RAZ DEL
DIVISOR)
COCIENTE RESIDUO
q(x) = x3+ 2x2-x -2
r(x) = 0
El resto que resulta de dividir un polinomio determinado,por el binomio x - a, es igual al valor numrico delpolinomio dividendo, en el cual se ha efectuado lasustitucin de x por a.Veamos: D(x) = (x -a)q(x) + R
Evaluemos en x = a D(a) = (a -a)q(a) + R
cero
Teorema del Resto
D(a)= R
Halla el resto de dividir: 4x4-3x3+ 5x2-6x + 4 entre x -2
x -2 = 0
x = 2 R = 4(2)4-3(2)3+ 5(2)2-6(2) + 4
R = 52
Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado.
D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a
Identidad fundamental de una divisin polinomial.
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lgebra - 5to. Secundaria
Resolucin:
6x4+ 5x3-x2+ Ax + B
2x2+ 3x + 1
1. Determina A + B, en la siguiente divisin exacta.
Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizar esel de W. Horner.
Haciendo el esquema :
del esquema :A -1 = 0 A = 1B -1 = 0 B = 1 A + B = 2
2 5 -1 A B6
-3
-1 2-3 -1
-3
6
-9
1-2 0
divisinexacta
03
Resolucin:
Resolucin:
2. En la siguiente divisin :
Determina el valor de AB si tiene como residuo:3x + 10.
Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizar esel de W. Horner.
Haciendo el esquema :
4x4+ 23x3+ 24x2+ Ax + B
x2+ 5x + 2
Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizares el de P. Ruffini.
Haciendo el esquema :Cociente: Q(x) = x3-2x2+ x -3
de coeficientes = Q(1) = -3
3. Divide:
e indica la suma de coeficientes del cociente.
2x4-5x3+ 4x2-7x + 9
2x -1
Divisor2x -1
diferentede launidad
1/22 -5 4 -7 9
1 -2 1 -32 -4 2 -6 6
21 -2 1 -3
del esquema : A -11 = 3 A = 14B -2 = 10 B = 12 AB = 168
1 23 24 A B4
-5
-2 -6-5 -2
-8
-15
-20
13 10
residuo
4 3
4. Halla el residuo de la siguiente divisin :
Como el grado del dividendo es muy elevado y slo nospiden el residuo, entonces utilizaremos el Teoremadel resto.
Regla prctica : x + 6 = 0 x = -6
Reemplazando en el dividendo : R = (-6 -3) (-6 + 7)60+ 7
R = -2
Resolucin:
Resolucin:
(x -3) (x + 7)60+ 7
x + 6
5. Halla el residuo de la divisin :
Como en el dividendo los trminos son potencia
del trmino del divisor (x
10
), haremos un cambio devariable.
Sea : x10= y
Como slo nos interesa el residuo, entonces aplicamosel Teorema del resto.
Regla prctica : y + 1 = 0 y = -1
Reemplazando en el dividendo :
R = (-1)9+ (-1)8+ (-1)6+ (-1)2+ 4 R = 6
x90+ x80+ x60+ x20+ 4
x10+ 1
y9+ y8+ y6+ y2+ 4
y + 1
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27lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
4x4+ 13x3+ 28x2+ 25x + 12
4x2+ 5x + 6
Halla el cociente de la siguiente divisin:
Resolucin:
x3+ 5x2-7x + 5
x2+ 2x -3
Al efectuar la siguiente divisin:
indica su cociente.
Resolucin:
x5-3x2+ x + 1
x2+ x -1
Luego de dividir
halla el residuo de la divisin.
Resolucin:
3x3+ 2x2+ x + 1
x + 1
Divide e indica el cociente de:
Resolucin:
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Calcular la suma de los coeficientes del
cociente de:
x
x x x
1
3 2 8 7202 201
-
+ + +
Resolucin:
La divisin:
x x
ax bx cx c
3 2 1
9 33 2
5 4 3
- +
- + - +
exacta:
Calcular el valor de: a + b - c
Resolucin:
7. Si: P(x) = x3- 0,111x2- 0,999x + 2012 Evaluar:
P(0, 999)
8. Si: P(x) = 12x4- ax3+ bx2- 31x - 15 es dividendo por Q(x) = 4x2- 5x - 3 Calcular: a - b
2x3+ 3x2-5x + 6
x + 2
10. Halla el resto al dividir:
abaa
cb cb
b
cbb
b a
cc c2
d e
9. Halla el divisor del esquema de Horner en funcinde x.
2x3+ x2-6x + 4
2x -3
11. Halla el cociente al dividir:
12. Hallar el resto de:
( )
x x
x x
2 2
1 6
2
2013
+ +
+ + +
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
29lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
3x6+ 2x5+ x4+ 2x + 3x3-x + 1
1. Luego de efectuar:
indica el cociente.
a) 3x3+ 2x2+ 4x -1 b) 3x2+ 2x -1c) 3x2+ 4x -1d) x3+ 2x2+ 1 e) x3-3x -1
5421
a-1 -4b
-2
d22
c 7
-41 23 9
2. En la siguiente divisin por Horner
halla la suma de a + b + c + d
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12
3x4+ 2x2-3x -3
x -2
3. Divide y calcula la suma de coeficientes delcociente:
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 48
4. Divide y calcula la suma de coeficientes delcociente:
a) 3 b) 4 c) 5d) 21 e) 7
3x4-2x3+ 9x2+3x + 6
3x -2
2x8- 3x6+ 3x4+ 2
x2+ 2
5. Halla el resto al dividir:
a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90
x4- 2x3+ 3x2-x + 1
x -2
6. Halla el resto al dividir:
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
7. Halla el resto al dividir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
(x3+x2+4)2m+(x3+x2+3)n+ x3+ x2+ 6
x3+ x2+ 3
3x4-4x3+ 3x2+ ax2+ 2x -2
x2-x + b
8. Calcula a -b si el resto de
es 8x -2; adems a b R+.
a) 13 b) 18 c) 5d) 10 e) 16
2x4+ 5x3+ ax + a
x2-x + 1
9. La divisin:
da como resto un polinomio de grado cero. Cul es?
a) -1 b) -3 c) 2d) 8 e) 4
mx4+ nx3+ px2+ 6x + 6
2x2-5x + 2
10. Calcula (m + p)n si el resto de la divisin
es -5x + 8 y la suma de los coeficientes delcociente es 4.
a) 34 b) 35 c) 36d) 37 e) 38
11. Si: ( )P x x x x2 2 2 3 34 3
= + - + Calcular: P 3 2-^
a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3
12. Si la divisin:
es exacta el valor de: a - b es
a) 20 b) 25 c) 10
d) 5 e) 1
x x
ax bx x x
4 1
2 3 22
4 3 2
+ -
+ - - -
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
5Factorizacin I
Ejemplo:
P(x; y) = xy2
Sus divisores son:* P1(x; y) = 1* P2(x; y) = x* P3(x; y) = y* P4(x; y) = xy* P5(x; y) = y
2
* P6(x; y) = xy2
No es un factor algebraico
nicos factoresprimos
Consiste en transformar unpolinomio en otro equivalente,expresado como una multiplicacinde factores primos sobre undeterminado campo numrico.
Factor Comn
Agrupacin de Trminos
Identidades
Mtodo del Aspa Simple
FACTORIZACIN Criterios de Factorizacin
Se seleccionan convenientementelos trminos, de tal manera quegeneren un factor comn.
CRITERIOSDEFACTORIZACIN
FactorComn
Agrupacin
Se el igen las basescomunes afectadas porel menor exponente.
P(x; y) = 3x4y6+ 2x3y4
Factor Comn: x3y4
P(x; y) = x3y4(3xy2+ 2)
Identidades
Es la aplicacin inmediatade algunos ProductosNotables.
* a2-b2= (a + b)(a -b)
* a3+b3=(a+b)(a2 - ab+b2)
* a3-b3= (a -b)(a2+ab+b2)
* a2+ 2ab + b2= (a + b)2
* a2-2ab + b2= (a -b)2
P(a;b;c;d)= ab+cd+ad+cbAgrupando 1. con 3. y 2.
con 4.
a(b + d) + c(b + d)(a + c)(b + d)
Factor oDivisor
Factor
Algebraico
Factor
Primo
Todo polinomio que divide enforma exacta a otro polinomio.
Todo polinomio de grado nonulo que divide en formaexacta a otro polinomio.
CONCEPTOSPREVIOS
Admite por divisores a 1 y as mismo.
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
31lgebra - 5to. Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolucin:
Resolucin:
2. Factoriza :
P(x, y) = (x2 -y)2 -(x -y2)2
Reconocemos que se trata de una "Diferencia decuadrados".
P(x,y) = (x2-y+x-y2)(x2-y-x+y2)
Agrupamos convenientemente el primer parntesis.
P(x,y)=[(x+y)(x-y)+(x-y)](x2-x-y +y2)
Extraemos el factor comn:
P(x,y)=(x-y)(x+y+1)(x2-x-y+ y2)
1. Factoriza :
P(x, y) = x3y2 + x2y + x2y3+ xy2
Extraemos las letras comunes con menor exponente decada trmino.
P(x,y) = xy (x2y + x + xy2+ y)
Agrupamos convenientemente los trminos delparntesis.
P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)]
Extraemos el factor comn:
P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy)
Resolucin:
3. Factoriza :
P(x) = x4y -2x3y2+ x2y3
Extraemos el factor comn de cada trmino.
Resolucin:
4. Factoriza :
P(x) = xm+3 +xm+ x5+ x2- x3 -1
Agrupamos convenientemente por parejas, ya que ladivisin en los tres grupos da x3.
P(x) = (xm+3+xm)+(x5+x2)-(x3+1)
Extraemos el factor comn en cada parntesis.
P(x) = xm(x3+1)+x2(x3+1)-(x3+1)
al extraer el factor comn se obtiene:
P(x) = (x3 + 1) (xm+ x2 - 1)
Por suma de cubos, tenemos:
P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1)
Resolucin:
5. Factoriza :
P(x,y) = x2 -y2-8x + 16
Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto:
P(x,y) = (x2 - 8x + 16) -y2
Obtenindose una expresin de la forma:
P(x,y) = (x - 4)2 -y2
Aplicando la diferencia de cuadrados.
P(x,y) = (x-4 + y)(x -4-y)
P(x,y) = x2y (x2-2xy + y2)
Reconocemos en el parntesis un "Trinomio cuadradoperfecto".
P(x,y) = x2y (x -y)2
de donde, los factores primos son:
x ; y ; (x -y)
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Factoriza:F(a, b) = a3+ a2b + ab2+ b3
Resolucin:
Factoriza:
P(x, y) = (x + 1)2-(y -2)2
y halla un factor primo.
Resolucin:
Luego de factoriza:F(a) = a2+ 2a + ab + b + 1
indica un factor.
Resolucin:
Factoriza:
S(n) = (n+3)(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)+(n+1)
e indica el factor que ms se repite.
Resolucin:
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33lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Factoriza:
P(a) = (8a3-27) (8a3+ 27)
e indica el nmero de factores primos.
Resolucin:
Factoriza:
P(x;y)=xm+n+ym+n+(xy)m+ (xy)n
e indica un factor primo.
Resolucin:
7. Halla uno de los factores primos de:
ac(a+c)+ab(a - b) -bc(b+c)
8. Factoriza:
P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)-112
e indica un trmino de un factor primo.
9. Factoriza e indica como respuesta el nmero de
factores primos de:
P(x) = x32-1
10. Factoriza:
R(a, b, c) = a3b2+ b3c2-a3c2-b5
e indica un factor primo.
11. Indica un factor primo de:
P(a, b, c, d) = a
2
+ b
2
+ 2ab -c
2
-d
2
-2cd
12. Factoriza:
P(x) = 1 + x (x+1) (x+2) (x+3);
e indica un factor primo.
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lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
1. Factoriza 8x3+ 27; e indica el factor primo demayor suma de coeficientes.
a) 2x -3 b) 3x + 2c) 2x + 3d) 9x2-6x + 4 e) 4x2-6x + 9
2. Factoriza: F(x, y) = x5y5-2x6y4+ x7y3; e indica un factor primo.
a) x + y b) x -y c) x -2yd) x + 2y e) x5
3. Factoriza: P(x) = x6-x2+2x(x4-1) + (x4-1) e indica el factor primo que ms se repite.
a) x2 + 1 b) x -1 c) x + 1d) x + 2 e) x + 7
4. Factoriza: P(x; y) = x7 + x4y3 + x3y4 + y7
e indica el nmero de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
5. Factoriza: P(x) = 9x4-9x2+ 6x -1
e indica un trmino de un factor primo.
a) 2x b) 3x c) -2xd) -6x e) 10x
6. Factoriza: ab(x2-y2) + xy(a2-b2) e indica el nmero de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Halla la suma de los trminos independientes delos factores primos de:
x2- 2x -xy + y + 1
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
8. Factoriza: 2ab + b2+ c2+ 2ac + 2bc e indica la suma de los factores primos.
a) a + b + c b) 2a+2b+c
c) a + b -cd) 2b+2c+2a e) 3a+3b+3c
9. Factoriza: P(x; y; z) = (x3+y3+z3)3-x9-y9-z9
e indica el nmero de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8
10. Factoriza: 4x2-1 + 12xy + 9y2
e indica un factor primo.
a) 2x + 3y b) 2x + 3y - 1c) 2x + 3y + 5d) 2x + 3y + 2 e) 2x + 3y + 4
11. Factoriza: (m + n)(m - n) + 4(m + 1)
e indica un factor.
a) m + n + 2 b) m + 2 c) m -2d) n + 2 e) n -1
12. Factoriza: P(a, b, c) = (a+b+c) (a-b+c) -(a + b) (a -b)
e indica un factor primo.
a) a b) c c) 2a -cd) 2a + b e) a + c
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35lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
6Factorizacin II
Aspa simple
Aplicable a polinomios de la forma:
P(x;y)
= ax2m+bxmyn+cy2n
(m;n Z+)Caso particular: Para trinomios de una sola variable.
P(x)
= ax2n+bxn+c
Ejemplos:
1. Factoriza: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2
Se descomponen los trminos extremos, tal que lasuma de los productos cruzados d el trmino central:
P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2 5x +4y +8xy 2x - 3y -15xy - 7xy Los factores se generan en forma horizontal: P(x,y)= (5x+4y)(2x -3y)
2. Factoriza: P(x)= 2x4 - 5x2+3
Se descomponen los trminos extremos:
P(x)= 2x4 - 5x2 + 3 2x2 - 3 -3x2
x2 - 1 -2x2
-5x2
Generamos los factores as: P(x;y)= (2x2- 3)(x2-1)
El 2do factor an es factorizable: P(x)= (2x2- 3)(x+1)(x -1)
Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o iguala 3.
Factoriza:P(x) = x3+ 2x2-x -2
1) Determina los posibles valores que anulan al polinomio.
a) Si el polinomio es mnico se trabaja con:
(divisores del trmino independiente)
b) Si el polinomio no es mnico se trabaja con:
Divisores del Trmino IndependienteDivisores Coeficiente Principal( )
Divisores Binmicos
Ejemplo:
Ejemplo:+1; -1; +2; -2
2) En base a estos valores se realiza evaluaciones en elpolinomio, hasta conseguir el valor que logre anularlo;este valor genera un factor de 1.ergrado.
P(1) = 13+ 2(1)2-1 -2 = 0
como x=1 factor: (x -1)
3) Para conseguir otro factor se repite el proceso las vecesque sea necesario.
Ejemplo:
Ejemplo:
P(-1) =(-1)3+2(-1)2-(-1) -2 = 0
P(-2) =(-2)
3
+2(-2)
2
-(-2) -2 = 0 P(x) =(x + 1) (x -1) (x + 2)
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lgebra - 5to. Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Factoriza:
P(x) = (x2+3x)2+6x(x+3)+8
Resolucin:
Introduciendo el factor "x" en el segundo parntesis setiene: P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8
Aplicando "aspa simple":
P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8
(x2+3x) 4
(x2+3x) 2
P(x) = (x2+3x+4)(x2+3x+2)
Aplicando "aspa simple" en el segundo parntesis:
P(x) = (x2+3x+4) (x2+3x+2)
x 2
x 1
P(x)
= (x2+3x+4)(x+2)(x+1)
3. Factoriza:
P(x)
= (x+3)4 - 7(x+3)2+6
Resolucin:
Aplicando "aspa simple", tenemos:
P(x)
= (x+3)4 - 7(x+3)2+6
(x+3)2 -6
(x+3)2 -1
P(x;y)
=[(x+3)2- 6][(x+3)2- 1]
Aplicando "diferencia de cuadrados" en el segundocorchete:
P(x)=(x2+6x+9-6)(x+3+1)(x+3-1) P(x)=(x
2+6x+3)(x+4)(x+2)
Resolucin:
Aplicando convenientemente leyes de exponentes y laley distributiva:
P(x;y)
=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4
Por "aspa simple", obtenemos:
P(x;y)
=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4
(x2+xy) -2y2 (x2+xy) -6y2
P(x;y)
=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2)
Aplicando "aspa simple" en cada parntesis:
P(x;y)
=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2)
x +2y x +3y
x -y x -2y
P(x;y)
=(x+2y)(x-y)(x+3y)(x- 2y)
4. Factoriza:
P(x,y)= x3 + 2x2 -5x -6
Resolucin:
Dividendo por el mtodo de Ruffini
Esquema:
P(x) = (x + 1) (x2+ x -6)P(x) = (x + 1) (x + 3) (x -2)
x3
+ 2x2
-5x -6x + 1
R = 0
1 2 -5 -6-1 -1 -1 6 1 1 -6 0
2. Factoriza: P(x;y)=x2(x+y)2 - 8xy2(x+y)+12y4
Determinemos los posibles ceros del polinomio:
x = 1, 2, 3, 6
Si x = -1 P(-1) = 0
De donde, (x + 1) es divisor de P(x).
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37lgebra - 5to. Secundaria
Determinemos los posibles ceros del polinomio:
x = 1 , , , , ,
Si x = - P(- ) = 0
de donde (x + ) es divisor de P(x).
Dividimos:
Por Ruffini:
5. Factoriza:
P(x,y)= 12x3 + 16x2 + 7x + 1
Resolucin:
12
13
14
16
112
12 12
12
12x3 + 16x2 + 7x + 1x + .1
2
12
12 16 7 1
- -6 -5 -1
12 10 2 0
P(x)=(x + ) (12x2+10x + 2)
P(x)=(2x + 1)2 (6x2+ 5x + 1)
2
P(x)=(2x +1) (2x + 1) (3x + 1)
P(x) = (2x + 1)2(3x + 1)
12
OJO POR OJO DIENTE POR DI-ENTE
Las leyes son un conjunto de normas establecidasque se deben obedecer obligatoriamente.
Actualmente en todos los pases existen leyesque reglamentan a la sociedad para as evitar elcaos. En las matemticas, particularmente enel lgebra, existen muchas leyes que nos indicancmo debemos proceder ante algn problema;por ejemplo las leyes de exponentes nos indicancmo debemos operar los exponentes, para ello seutilizan dos operaciones: LA POTENCIACIN
y LA RADICACIN.
Estela donde se hal lan grabad as las 282 leyes del Cd igo deHammurabi. En la parte superior, el rey Hammurabi (en pie) recibelas leyes de manos del dios Shamash. La estela fue encontrada enSusa, de donde fue llevada como botn de guerra en el ao 1200 a.C. por el rey de Elam ShutrukNakhunte. Actualmente se conservaen el Museo del Louvre (Pars).
Durante el gobierno del Rey Hammurabi de Babilonia seelabor el primer cdigo de leyes escritas que se conoceen la historia de la humanidad. El cdigo de Hammurabi,conocido por la clebre sentencia Ojo por ojo, dientepor diente,est conformado por 282 leyes y decretos.Algunas de las sentencias de este cdigo son:
* Si un ciudadano acusa a otro de homicidio, pero no puededemostrarlo, entonces el que lo acus ser muerto.
* Si un nio ha pegado a su padre, a ese nio se le cortarnlas manos.
* Si un hombre ha destruido el ojo a un hombre libre, a ltambin se le destruir un ojo.
* Si ha roto un hueso al otro, a l se le romper un hueso.
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Luego de factorizar, seala el factor primo demayor suma de coeficientes.
P(x)=12x2- 29x+15
Resolucin:
Halla la suma de los factores primos de:
x4- 26x2+25
Resolucin:
Factoriza: M(x) = (x -1)4+(x - 1)2- 6
e indica la suma de coeficientes de un factor
primo.
Resolucin:
Halla un factor lineal de:
x6+ 28x3+ 27
Resolucin:
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
39lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Calcular el nmero de las facturas primas
lineales de:
P(x) = x4- 6x3+ 19x2- 38x + 24
Resolucin:
Factoriza:
a2x2+ (a3+ a2b + 1)x + a +b
e indica un factor primo.
Resolucin:
7. Factoriza:
x3-2x2-5x + 6
e indica la suma de factores primos.
8. Dado el siguiente polinomio:
x2
+ (2a + 7)x + a2
+ 7a + 10 seala uno de los factores.
9. Factoriza:
x8+ x4+ 1
e indica un factor primo.
10. Cuntos factores primos se obtiene al facto-
rizar P(x)?
P(x) = x8+ x4-2
11. Factoriza:
P(x) = 6x2n+1
+5xn+1
-6x e indica un factor primo.
12. Factoriza:
M(x)= x(x +2)(x-1)+ 4(x2-6)
e indica un factor primo.
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lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
1. Factoriza:
x3-8x2+ 13x -6
e indica un factor primo
a) x + 6 b) x -6 c) x -3
d) x + 5 e) x -10
2. Factoriza:
P(x;y)=(x -y)3-(x -y)2-2(x -y)
e indica un factor primo.
a) x-y+3 b) x-y+2 c) x-y+1
d) x-y-8 e) x
3. Factoriza:
P(x) = (x+1)4-5(x +1)2+4
e indica un factor primo.
a) x b) x + 7 c) x + 8
d) x + 9 e) x + 12
4. Factoriza:
x3+6x + 14x+15
e indica un factor primo.
a) x + 2 b) x -21 c) 3 -x
d) x + 3 e) x -3
5. Factoriza y seala un factor primo de:
F(x) =x3- 4x2-13x - 8
a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3
d) x + 4 e) x + 5
6. Factoriza:
2x3+ x2+x -1
e indica el factor lineal.
a) x-1/2 b) 2x+1 c) x+1/2
d) 2x - 1 e) x+2
7. Factoriza:
P(x,y)=25x4 - 109x2y2 +36y4,
indicando la suma de sus factores primos.
a) 10x b) 12x+10y c) 12x
d) 10y e) 5x-3y
8. Factoriza:
mnx2+ (m2+ n2)x + mn
y halla un factor primo.
a) mx + m b) x + 1 c) nx + n
d) mx+n e) x+2
9. Factoriza:
3(x2+ 2xy + y2) -4x -4y + 1
e indica un factor primo.
a) 3x+3y+1 b) x + y + 1 c) x + y -1
d) 3x + 3y e) x + y
10. Factoriza:
P(x)= x4+2x3- 2x2+ x + 6
y seala la suma de los factores primos lineales.
a) 2x -1 b) 2x+1 c) 3x -2
d) 3x +2 e) 4x+3
11. Seala la suma de los factores primos de: M(a;b;c)= a4- 2(b2+c2)a2+(b2- c2)2
a) 2a b) 4a c) 2b
d) 3c e) 5b
12. Hallar un factor primo de:
x4+ 7x3+ 9x2- 7x - 10
a) x - 1 b) x- 5 c) x + 5
d) x - 2 e) x2+ x + 5
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LGEBRA
Secundaria5
SegundoBimestre
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Pg
Captulo 43
Captulo 51
Captulo 57
Captulo 63
Captulo 69
Captulo 74
7. Matrices I
8. Matrices II
9. Determinantes
10. Sistema de Ecuaciones Lineales
11. Sistemas No Lineales
12. Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior
ndice
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
43lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
7 Matrices I
ORDEN DE LA MATRIZ
DEFINICINSe define una matriz como un arreglo rectangular deelementos ordenados en filas y columnas.
As una matriz tiene la siguiente forma general:
Donde: a11
, a12
, ..., a21
, ..., am1
, am2
, ..., amn
se llaman
elementos de la matriz A. Adems aij es el elemento
Ejemplo:
Escribe explcitamente la matriz:A = (a
ij)
2x3/ a
ij= 2i -j
ubicado en la fila i, columna j.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces sedice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (nose efecta).
As la matriz A, se puede denotar:
A = (aij)mxn
donde: m, n Z+
i = {1; 2; 3; ... ; m} j = {1; 2; 3; ... ; n}
TIPOS DE MATRICES
Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir, es deorden 1 x n.
2. MATRIZ FILA
Ejemplo:
B = (2 -4 6)1x3
Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero yse denota por .
3. MATRIZ NULA
Ejemplo:
=0 0 0
0 0 0
Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir,es de orden m x 1.
1. MATRIZ COLUMNA
Ejemplo:
A =
3x1
53-1
A =
a11
a12
... a1j
... a1n
a21
a22
... a2j
... a2n
ai1
ai2
... aij ... a
in
am1
am2
... amj
... amn
Filas
Columnas
Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmerode columnas. Se denota: A = (a
ij)
nxno A = (a
ij)
n.
4. MATRIZ CUADRADA
Ejemplo:
A =3 4 -15 2
-6
7 3 1
Diagonal secundaria
Diagonal principal
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
Traza de una matriz cuadrada
Es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Sea la matriz:
nA = (a
ij) Traz(A) = a
ii i=1
As, en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6
Casos particulares de una matriz cuadrada
a. Matriz triangular superior
Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentrandebajo de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a
ij)
nes una matriz triangular superior si
aij= 0; i > j.
Ejemplos:
A = ; B =-4 0 30 6 20 0 1
3 70 5
b. Matriz triangular inferior
Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentranencima de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a
ij)
nes una matriz triangular inferior si a
ij
= 0; i < j.
Ejemplos:
A = ; B =5 0 00 2 07 1 6
1 02 4
c. Matriz diagonal
Es aquella matriz que simultneamente es triangularsuperior e inferior, es decir, todos los elementos fuerade la diagonal principal son ceros.
A = (aij)
nes una matriz diagonal si a
ij= 0; i j.
Ejemplos:
A = ; B =2 0 00 6 00 0 8
7 00 5
d. Matriz escalar
Ejemplos:
A = ; B =3 0 00 3 00 0 3
6 00 6
Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de ladiagonal principal son iguales, es decir:
A = (aij)
nes una matriz escalar si a
ij=
k; i = j
0; i j
e. Matriz identidad
Ejemplos:
I2= ; I3=
1 0 0
0 1 00 0 1
1 0
0 1
Es aquella matriz escalar, cuyos elementos de la diagonalprincipal son iguales a la unidad y se denota por I
n.
In= (a
ij) / a
ij=
1; i = j
0; i j
Dos matrices son iguales s y slo s son del mismo ordeny todos sus respectivos elementos son iguales.As, dadas las matrices:
RELACIONES ENTRE MATRICES
1. IGUALDAD DE MATRICES
A = (aij
)mxn
; B = (bij
)mxn A = B a
ij= b
ij: i; j
Calcula x -y si las matrices son iguales.
A = ; B =x -3y x 1 y
Ejemplo:
2 6 -y1 6 -x
La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) es unamatriz denotada por At( de orden n x m) que se obtienecambiando las filas por las columnas de la matriz A.
2. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
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45lgebra - 5to. Secundaria
Ejemplo:
A = At=2 35 4-
1 6
2 5 -13 4 6
Dos matrices son opuestas si son del mismo orden yadems sus respectivos elementos son opuestos.
3. MATRICES OPUESTAS
Ejemplo:
A = su opuesta es:
-A =
2 -1 30 6 -11 4 1
-2 1 -30 -6 1-1 -4 -1
Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matrizsimtrica.
4. MATRIZ SIMTRICA
Ejemplo:
A = At=
como: A = AtA es simtrica.
7 3 23 -1 42 4 -5
7 3 23 -1 42 4 -5
Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se
llama antisimtrica.
5. MATRIZ ANTISIMTRICA
Ejemplo:
A = AT=
-AT=
como: A = -AtA es antisimtrica.
0 2 -3-2 0 43 -4 0
0 -2 32 0 -4-3 4 0
0 -2 32 0 -4-3 4 0
OPERACIONES CON MATRICES
Sean las matrices:
A = (aij)mxn; B = (bij)mxn
luego la matriz suma de A y B es:
A + B = (aij+ b
ij)
mxn
1. ADICIN DE MATRICES
Ejemplo:
A = ; B =
A + B = =
4 -11 5
3 2
-5 63 2
2-4
-1 54 75 -2
4-5 -1+61+3 5+23+2 2-4
Observacin
* A -B = A + (-B)
* A + = + A = A* A + B = B + A
* (A + B) + C = A + (B + C)
Las matrices se utilizan en el clculo numrico en la
resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de lasecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Adems de su utilidad para el estudio de sistemas
de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de
forma natural en geometra, estadstica, economa,
informtica, etc.
La utilizacin de matrices (arrays) constituye
actualmente una parte esencial de los lenguajes
de programacin, y que la mayora de los datos se
introducen en los ordenadores como tablas organizadas
en filas y columnas; hojas de clculo, bases de datos,
entre otros.
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lgebra - 5to. Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS
1 32 14 -1
Reemplazando las matrices:
3 -2 +
efectuando:
+ +
+
Resolucin:
1. Dadas las matrices:
A = ; B = ;
C =
calcula 3A -2B + C.
1 4
0 3
-1 0
1 22 1-1 0
1 40 3
-1 01 2
2 1-1 0
3 120 9
2 0-2 -4
2 1-1 0
5 12-2 5
2 1-1 0
7 13-3 5
2. Dado el polinomio:f(x)
= 3x2-5x -2 y adems
A = . Halla f(A)
.1 2
3 1
Reemplazando el valor x = A, en el polinomio y laidentidad 1 del polinomio por I (matriz identidad),obtenemos:f(A)
= 3A2-5A -2I
Calculamos:
A2= A . A =
=
Luego:
f(A)
= 3 -5 -2
f(A)
= + +
Resolucin:
1 23 1
1 23 1
7 46 7
7 46 7
1 23 1
1 00 1
21 1218 21
-5 -10-15 -5
-2 00 -2
14 23 14
sumando las matrices obtenemos:
f(A)
=
Resolucin:
3. Construye la matriz:A = (a
ij)
2x3/
aij= i + j ; i j
aij= i . j ; i < j
A =
A =
A =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
1+1 1x2 1x32+1 2+2 2x3
2 2 3
3 4 6
Resolucin:
3A =
2I =
3A -2I =
4. Sea la matriz:
A = , calcula 3A -2I.-1 2 13 2 11 -2 0
-3 6 3
9 6 3
3 -6 0
2 0 0
0 2 0
0 0 2
-5 6 3
9 4 3
3 -6 -2
5. Si:
x + y = x -y =
calcula xT.
Resolucin:
3 -1-4 -12 3
x + y =
x -y =
1 32 1
4-
1
3 -1-4 -12 3
2 -1 3
1 0 1
(2x) = .
x =
xT=
12
4 2-2 06 2
12
2 1-1 03 1
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47lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Construir la matriz: A = [aij]
2 3/
Resolucin:
Dada:
A =
Calcular: 3A 2I
Resolucin:
Si: X + Y = X Y =
Hallar: Xt
Resolucin:
Si:
Hallar la traza de (A2).
Resolucin:
ji:si;ijaji:si;jia
ij
ij
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Dada la matriz:
Adems: P(x) = x2 5x +2Dar la suma de elementos de P
(A).
Resolucin:
Hallar la inversa de la matriz:
Resolucin:
9. Si la matriz:
es simtrica. Hallar x - y + z
10. Dada la matriz:
A =
Hallar la suma de los elementos de la matriz
conmutable con A, cuya determinante sea 35 y
cuya traza sea 12.
7. Hallar la suma de los elementos de X, tal que:
X . =
8. Sean las matrices:
Hallar A + C, si: A = B
=
10
12A
=
93
21A
12
12-
04-
52-
y21x
x2y5B;
2y3
y1x2A
+
=
=
.14
52C
=
65x
z1-2
3y-1
11
02
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49lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
11. Dada la matriz:
Calcular la suma de elementos de "An".
12. Dada la matriz:
A =
Calcular la suma de los elementos de: A40.
1. Hallar:
(x y)(z w)
si:
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 3
2. Dados:
A = B =
Si:
P(x, y)
= 2x y + 3
Determinar: P(A, B)
a) b) c)
d) e)
3. Dados:
A = B =
Determinar AB
a) b) c)
d) e)
4. Hallar la matriz inversa de:
A =
sealar la traza de dicha matriz inversa.
a) 1 b) 2 c) 7
d) 5 e) 10
=
21
03A
003
200
010
=
+ 62
21
ywx-z
y-wz-2x
1-3-
44
14
33
11-
44
44
2-2
33
1-1-
01-
21
21-
01
42-3
3-12
21
32
11
42
10
52
21-
63
1-1
53
1-1
51
2-2
27
28
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50
Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
9. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que:
Dar como respuesta "a + b + c + d".
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 3
10. Sean las matrices:
Si: A = B, hallar 3A + 2C
a) b) c)
d) e)
11. Sean las matrices:
Calcular: At+ B
a) b) c)
d) e)
12. Dada la matriz A, calcular: A3 6A.
A =
a) A b) 2 A c) 2 I
d) 3 I e) 4 I
5. Hallar la matriz "X" que resuelve:
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 2 b) 1 c) 3
d) 7 e) N. A.
6. Si:
y F(x)
= x2 3x + 2
Hallar la suma de elementos de la diagonal prin-cipal de F
(A).
a) 2 b) 14 c) 16
d) 18 e) N. A.
7. Si:
Hallar x + y + z
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) N. A.
8. Resolver el sistema:
x 2y = A
2x + 3y = B
Donde: x, y K2x2 Adems:
Hallar "x".
a) b) c)
d) e) N. A.
=
37
411X.
12
31
=21
21A
=
3
5
8
z
y
x
011
102
210
=
=
87
812B
47
36A
41
16
63
20
16
41
03
02
+
=2
1d34c2
4b2a
AA 2t
=
31
12A
yx61
y62B;
y1
xy3xA
=
=
=
32
84C
97
11
96
92
67
12
98
12
97
12
ji1b
ji0b)b(B
ji2aji1aji0a
)a(A
ij
ij
2x3ij
ij
ij
ij
3x2ij
=
===
>=
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51lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
8Matrices II
MULTIPLICACIN DE MATRICES
Ejemplo:
Definamos el producto de multiplicar un escalar(cualquiera) por una matriz de un cierto orden, comoaquella matriz del mismo orden cuyos elementos seencuentran multiplicando por ese escalar. Sea:
1. MULTIPLICACIN DE UN ESCALAR POR UNAMATRIZ
A = (aij)mxn
kA = (kAij)mxn
/ kR
Sea A =
(-6)A =
=
1 3
0-2
4 2
-6(1) -6(3)-6(0) -6(-2)-6(4) -6(2)
-6 -180 12-24 -12
Definimos el producto de multiplicar la matriz A =(a
ij)
mxrpor la matriz B = (b
jk)
rxn(en ese orden),
a la matriz denotada por AB = C = (cik)mxn. Donde elelemento c
ikse calcula multiplicando la i-sima fila de
A por la k-sima columna de B.
Es decir:
2. MULTIPLICACIN DE DOS MATRICES
nAB = C = (c
ik)mxn
/ cik= a
ij. b
jk j=1
Ejemplo:
Sean A =2x2
;
B =
2x3
C = AB =
2 -36 4
-1 0 1
5-
2 3c
11 c
12 c
13c
21 c
22 c
23
-17 6 -714 -8 18
POTENCIACIN DE MATRICES
* Dado una matriz cuadrada A y n N / n 2; definimos:
DEFINICIONES
An= A A ... An veces
Sean A y B matrices del mismo orden.
* Si AB = BA se dice que A y B son conmutativas.
* Si AB =-BA entonces A y B son anticonmutativas.
* matriz AA1= A
c11
= 2(-1) + (-3)(5) = -17
c12
= 2(0) + (-3)(-2) = 6
c13
= 2(1) + (-3)(3) = -7
c21
= 6(-1) + 4(5) = 14
c22
= 6(0) + 4(-2) = -8
c23
= 6(1) + 4(3) = 18
\ C =
Sean A, B y C matrices del mismo orden y {; }escalares para los cuales estn definidas las operaciones demultiplicacin con una matriz.Entonces se verifican:
I. A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) = A + B (+ )A = A + A -A = (-1)A
II. A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC AB = 0 no implica que A = 0 B = 0 AB = AC no implica que B = C
PROPIEDADES
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
Como A y B son conformes a la multiplicacin, sea:C = AB = [a
ib
j]
3x3donde a
ies la i-sima fila de A y
bjes la j-sima columna de B.
Entonces:traza(AB) = a
1b
1+ a
2b
2+ a
3b
3
traza(AB) = (8 -2) + (-8 -2) +(0 + 3) = -1
\ traza(AB) = -1
Resolucin:
1. Si A = y B = halla traza(AB).2 -1-1 20 1
4 8 12 -1 3
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolucin:
2. Siendo A = y B = , calcula
AB y BA.
1 -1 1
-3 2
-1
-2 1 0
1 2 3
2 4 61 2 3
* AB =
= = 0 (Matriz nula)
Ntese que AB = 0 no implica que necesariamente A = 0 B = 0.
* BA =
=
De donde AB BA, en forma general.
1 -1 1-3 2 -1-2 1 0
1 2 32 4 61 2 3
0 0 00 0 00 0 0
1 -1 1-3 2 -1-2 1 0
1 2 32 4 61 2 3
11 6 -1-22 12 -2-11 6 -1
3. Demuestra que las matrices son
permutables; a; b; c y d.
Resolucin:
Siendo P = y Q =
deseamos demostrar que PQ = QP
PQ =
=
QP =
=
a bb a
c dd c
a bb a
c dd c
a bb a
c dd c
ac+bd ad+bcbc+ad bd+ac
c dd c
a bb a
ac+bd bc+adad+bc bd+ac
a bb a
c dd c
Resolucin:
Calculemos previamente A2y B2.
A2=
=
= A A2= A
B2=
=
= B B2
= B
Adems, observa que A + B = I.
Luego (A + B)2= I2= I A2+ B2= A + B = I
4. Dadas las matrices
A = ; B =
calcula (A + B)2y A2+ B2.
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
Los ordenadores analgicos comenzaron a construirse
a principios del siglo XX. Los primeros modelos
realizaban los clculos mediante ejes y engranajes
giratorios. Con estas mquinas se evaluaban las
aproximaciones numricas de ecuaciones demasiado
difciles como para poder ser resueltas mediante
otros mtodos. Durante las dos guerras mundiales se
utilizaron sistemas informticos analgicos, primero
mecnicos y ms tarde elctricos, para predecir la
trayectoria de los torpedos en los submarinos y para el
manejo a distancia de las bombas en la aviacin.
Luego PQ = QP P y Q son conmutables opermutables,
y son conmutables o permutables.
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53lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Si A = ; B = ;
C =
Halla X, si: 2(X -3A) = (B -C) + 4(X -A-B)
Resolucin:
Sea la matriz A = (aij)
2x2 definida de la
siguiente forma:
aij
Halla la traza de A.
Resolucin:
Si: A = (aij)4x3/ aij=
Calcula la suma de los elementos de A.
Resolucin:
Escribe explcitamente la matriz:
A = (aij)2x3
/ aij=
Resolucin:
1 23 4 4 32 1
2 34 5
i -j ; i < j ij ; i = ji + j ; i > j
2 ; i = j-1 ; i j
3i-j ; i j i -j ; i < j
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54
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Sea: A = , B =
y C = ;
Halla (ABC)
Resolucin:
Sea P(x) = x2+ 2x + 1
Halla P(A) si: A =
Resolucin:
9. Sea A = , B =
y C = ;
donde A3+ B3= C, halla a + b + c + d
10. Dado P(x) = x2-6x + 7, halla n sabiendo que
P(A) = nI, donde:
A =
7. Sea P(x) = x2+ 3, halla P(A)
Si:
A =
8. Dado A =
y P(x) = x2+ 2x + 1, halla: P(A) + A2
1 01 1
2 01 1
2 13 1
1 20 0
1 13 1
3 02 1
1 10 0
1 00 0
a bc d
5 m0 1
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
55lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
11. Calcula la traza de (A . B) si:
A =
B =
12. Halla la matriz X que resuelve:
. X =
Da como respuesta la suma de sus elementos.
1. Si:
A =
Halla f(A) sabiendo que f(x) = x3-x2+ x + 3.
a) b) c)
d) e)
2. Dada la matriz A, calcula A3-6A.
A =
a) A b) 2A c) 2I
d) 3I e) 4I
3. Sea:
A = , B =
y C = ;
Halla ABC.
a) b) c)
d) e)
4. Sea:
A = , B =
y C = ;
Halla xy + zw si A3+ B3= C.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
senq cosq-cosq senq
senq -cosqcosq senq
1 32 1
11 47 3
5 -73 -4
11 -146 -7
10 -146 8
-11 -14-6 -7
3 00 3
5 -73 -4
2 21 0
1 12 3
1 00 2
3 02 1
3 00 6
7 20 8
7 218 6
7 28 6
6 27 9
1 00 1
2 01 0
x yz w
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lgebra - 5to. Secundaria
9. Calcula a + b + c + d si:
A = , B =
C = , AB = C
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
10. Calcula la matriz X, tal que A31+XB32=XA33;
donde:
A = ; B =
a) d) b)
e) c)
11. Si X + Y = ,
X -Y = , halla XT.
a) b)
c)
d) e)
12. Se tiene la matriz M = ;
entonces el valor de M1003es:
a) a1003 b) a1003
c) a1003
d) a1003 e) a1003
5. Dadas las matrices:
C = y D =
entonces puedes afirmar que (C8. D9) es:
a) b) c)
e) e)
6. Si:
A =
Halla la suma de los elementos de la matriz A15.
a) 915+ 815 b) 2 . 915 c) 915-815
d) 2 . 815 e) 0
7. Si: A2
= , B2
= ,
AB = y BA = ;
Calcula (A -B)2.
a) b) c)
d) e)
8. Dada la matriz:
A =
y la funcin f(x) = x2-x -1, halla traz(f(A)).
a) 5 b) 7 c) 10
d) 14 e) 17
9 10 8
3 -2
1 3
-3 2
1-3
0 11 0
1 01 -1
-1 -11 0
-1 01 -1
-1 11 0
-1 -10 1
-1 -11 0
4 31 2
2 5
5 13
a b
c d1 00 1
1 01 0
1 10 0
0 1-1 1
0 10 1
0 -11 1
1 11 0
0 -11 1
1 2 43 1 -1
1 32 1
4-1
3 -1-4 -12 3
-1 3 12 1 -2
2 -1 31 0 1
-1 -1 33 0 2
1 1 22 -1 0
0 -aa 0
1 00 1
0 1
-1 0
-1 00 -1
0 -11 0
1 -1
0 1
1 0
1 1
1 1
0 1
1 98 73
71 89 1
72 89 1
73 98 1
71 98 1
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57lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
9 Determinantes
Sea B = (bij)
3
B =
=b11
-b21
+b31
DEFINICIN DEL DETERMINANTE PARA UNA:
DEFINICINEl determinante viene a ser una funcin que aplicada a unamatriz cuadrada lo transforma en un escalar. Usualmenteel determinante de una matriz cuadrada A lo denotamospor |A| o det(A).
Ejemplo:
Sea A = (-4) |A| = -4
Se llama determinante de una matriz de primer orden,formada por el elemento a, al propio elemento a.
1. MATRIZ DE ORDEN UNO
Ejemplo:
2. MATRIZ DE ORDEN DOS
Sea M = |M| =
= 3(7) -(5)(-4) = 41
3 -45 7
3 -45 7
3. MATRIZ DE ORDEN TRES
b11
b12
b13
b21
b22
b23
b31
b32
b33
b22 b23b
32 b
33
Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden:
1. det(A + B) det(A) + det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(A) = det(At)
4. Un determinante en el que los elementos de dos
columnas (o filas) son respectivamente proporcionales,
es igual a cero.
5. Cuando se permutan dos columnas (o filas) el
determinante cambia de signo.
6. Un determinante en el cual todos los elementos de una
fila o columna son ceros; es igual a cero.
7. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o
columna) del determinante por un escalar, el mismo
determinante queda multiplicado por dicho escalar.
8. El determinante no vara si a todos los elementos de una
fila (o columna) se le aade el mltiplo de otra fila (o
columna).
9. Si a todos los elementos del determinante se le multiplica
por un escalar a, el determinante de la matriz queda
multiplicado por andonde n es el orden de la matriz.
PROPIEDADES
Sea A = (aij)
2
|A| = = a11
a22
-a21
a12
a
11 a
12
a21
a22
b12 b13b
32 b
33
b12 b13b
22 b
23
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lgebra - 5to. Secundaria
Efectuando las siguientes transformaciones: c1 - c
2 ;
c2-c
3; c
3-c
4y c
4-c
5, se obtiene:
|A| =
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5
|A| = 5! = 120
Resolucin:
1. Calcula |A| =
5 4 3 2 18 8 6 4 29 9 9 6 3
8 8 8 8 45 5 5 5 5
1 1 1 1 10 2 2 2 20 0 3 3 30 0 0 4 4
0 0 0 0 5
Sumando todas las columnas en la primera y luego,sacando factor comn, se tiene:
|A| =
= 10 .
Resolucin:
2. Calcula |A| =
1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3
10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 3
1 2 3 41 3 4 11 4 1 21 1 2 3
Restando la primera fila de las dems y luego f3-2f2yf4+ f
2, resulta:
|A| = 10 .
= 10 .
Luego:|A| = 10 . 1 . 1 . (-4)(-4)
\ |A| = 160
1 2 3 40 1 1 -30 2 -2 -20 -1 -1 -1
1 2 3 40 1 1 -30 0 -4 40 0 0 -4
Sumando todas las filas a la primera y luego sacandofactor comn de sta, se tiene:
|A| =
= (a+b+c)
Restando la primera columna de las otras:
|A| = (a+b+c)
Luego:|A| = (a+b+c)(-a-b-c)(-a-b-c)
|A| = (a + b + c)3
Resolucin:
3. Halla |A| =a-b-c 2a 2a 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b
a+b+c a+b+c a+b+c 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b
1 1 12b b-c-a 2b2c 2c c-a-b
1 0 02b -a-b-c 02c 0 -a-b-c
4. Halla x.
= 0
1 1 1 1x a 0 0x 0 b 0x 0 0 c
Resolucin:
Efectuando f4-cf
1, se tiene:
= 0
1 1 1 1 x a 0 0
x 0 b 0x-c -c -c 0
Desarrollando por la regla de Sarrus:ab(x -c) + bcx + acx = 0
Luego: x =
abcab + bc + ac
x a 0x 0 bx-c -c -c
- = 0
EJERCICIOS RESUELTOS
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59lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
esolviendo en claseR
Hallar el determinante de la matriz:
Resolucin:
Si:
= 0
Calcular:
Resolucin:
Si A es de orden 4 y |A| = 2. Calcular elvalor de |2A|.
Resolucin:
Calcular el determinante:
Resolucin:
=
987
654
321
A
dc
ba
dcc
baa
ddc
bba
++
+++
1004925
1075
111
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lgebra - 5to. Secundaria
Rpta:
6
Rpta:
5
hora en tu cuadernoA
Si:
Obtener "x + 1".
Resolucin:
Si:
Calcular: |X|
Resolucin:
9. Hallar la solucin de la ecuacin:
10. Resolver:
7. Resolver:
8. Calcular x si se cumple lo siguiente:
425
271
6x3
128
=
=
04-
52-X.
1-1
23
6
1110x
312
xx3
=+
senx cosx 1; x y
seny cosy 2 3
= + =
x 1 x x
x x 2 x 0
x x x 3
+ =+
3 2 1
1 x 2 2
1 2 1
=
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
61lgebra - 5to. Secundaria
ara reforzarP
11. Hallar: 12. Hallar los valores de "k" para los cuales:
1. Calcular:
a) a3+ b3+ c3
b) a3bc + b3ca + c3ab
c) a2+ b2 + c2
d) a3 + b3 + c3 - 3abc
e) a3 + b3 + c3 + 3abc
2. Hallar el valor de x:
= 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1 e) 2
3. Calcular:
a) 8 b) 6 c) 7
d) 14 e) 16
4. Calcular el valor de:
a) - 2 b) 6 c) 15
d) 12 e) 30
7313
5636
2828
1545
0
8k4
2k2kk
721
=+
acb
bac
cba
231
110
12x
252623
343735
111
8321
0342
1211
3321
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lgebra - 5to. Secundaria
9. Calcular:
a) m b) n c) m+n
d) mn e) mn
10. Calcular:
a) m b) n c) m+n
d) m n e) 2m
11. Si x cumple la igualdad:
halle y de la siguiente igualdad:
a) 1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
12. Calcular:
a) 120 b) 110 c) 100
d) 90 e) 80
5. A que es igual:
a) (b c) (c a) (a b)
b) abc (a + b + c)
c) a2+ b2+ c2
d) ab + ac + bc
e) abc (ab + ac + bc)
6. Calcular:
a) x + y + z
b) (x + y + z)
c) x2+ y2+ z2+ 1
d) x2+ y2+ z2
e) x2+ y2+ z2 1
7. Resolver:
a) 5 b) 3 c) 4
d) 6 e) 2
8. Calcular el valor de la determinante:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2
2
2
cc1
bb1
aa1
1xy
x1z
yz1
0
1314x7
1617x311
1011x215
=
812
278
543
|A|
=
1 1 1
1 1 m 1
1 1 1 m+
+
m n 2n m n 2nQ
2m m n 2m m n
+=
+
( )2
2 3 1
x 1 1 x 2
1 x 2
=
x 1 1
2 1 x x
y x 2
=
50000
x4000
xx300
xxx20
xxxx1
|B| =
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63lgebra - 5to. Secundaria
lgebraCAPTULO
10 Sistema de Ecuaciones Lineales
SOLUCIN DE UN SISTEMA
Conjunto de valores de todas sus incgnitas que al sersustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.
SISTEMAS
Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultneamentepara los mismo valores de sus incgnitas.
Conjunto Solucin (C.S.)
Es la unin de todas las soluciones de un sistema.
Ejemplo:
* x + y = 9x -y = 3
Solucin: (6; 3) C.S. = {(6; 3)}
* x2+ y2= 13x . y = -6
Solucin: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)
C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3)
(-2; 3)}
Sistema de Ecuaciones Lineales
Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es deprimer grado.
Ejemplo:
* a1x
1+ b
1x
2+ c
1x
3= d
1
a2x
1+ b
2x
2+ c
2x
3= d
2
a3x1+ b3x2+ c3x3= d3 Solucin: (r, s, t)
Incgnitas: x1, x
2, x
3
Coeficientes: a1, a
2, a
3, ..., d
1, d
2, d
3
Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los
siguientes mtodos:
1. Reduccin (Gauss)
2. Sustitucin
3. Igualacin
4. Determinantes (regla de Cramer)
5. Matricial
6. Por grfico
Sistema de dos Ecuaciones con dos incgnitas
Regla de Cramer:
Sea el sistema :
a1x + b
1y = c
1 a
2x + b
2y = c
2
El conjunto solucin es:
donde:Dsistema = Determinante del sistema Dx = Determinante de x Dy = Determinante de y
Dsistema = = a1b
2-a
2b
1
Dx = = c1b
2-c
2b
1
Dy = = a1c
2-a
2c
1
a1 b
1
a2 b
2
x = DxDsistema
y = DyDsistema
;
c1 b
1
c2 b
2
a1 c
1
a2 c
2
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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO
lgebra - 5to. Secundaria
Ejemplo:
Resuelve: 5x + 3y = 5
4x + 7y = 27
x = =
= = -2
y = =
= = 5
5 x 7 -27 x 35 x 7 -4 x 3
5 327 7
5 3
4 7
35 -8135 -12
5 x 27 -5 x 45 x 7 -4 x 3
5 5
4 27
5 3
4 7
135 -2035 -12
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
1. Sistema Compatible
Es aquel sistema que admite por lo menos una solucin.Estos sistemas pueden ser:
a. Sistema Compatible Determinado
Se conoce as cuando el nmero de soluciones eslimitado, generalmente un sistema es de este tipocuando el nmero de ecuaciones es mayor o igual alnmero de incgnitas.
Ejemplo:
2x + 10y = 12
8x -7y = 5
b. Sistema Compatible Indeterminado
Es cuando el nmero de soluciones es ilimitado;generalmente un sistema es de este tipo cuando elnmero de ecuaciones es menor que el nmero deincgnitas.
Ejemplo:
x + y + z = 1 0
2 x + 3 y + 5 z = 2 0
2. Sistema Incompatible
Es aquel sistema que no admite solucin.
Ejemplo:
x + y + z = 9 y -z + 2x = 9
2x -y = 1
ANLISIS GRFICO DEL SISTEMA
a1x + b
1y = c
1
a2x + b
2y = c
2
1. Determinado
Si:
y
x
(x0, y
0)
[2] [1]
a1
a2
b1
b2
Solucin nica
2. Incompatible Si:
a1
a2
b1
b2
=c
1
c2
y
x
[2]
[1]
Las rectasson paralelas
3.Indeterminado
Si:
a1
a2
b1
b2
=c
1c
2=y
x
[2]
[1]
Las rectas estnsuperpuestas
Si multiplicamos la ecuac