Univer sidad de Costa Rica MA­1210 Cálculo I Escuela de Matemática Práctica #2: Continuidad, Límites infinitos, límites al

infinito

I. Calcule los siguientes límites (si existen):

1. 9

1 lim 9 − + → x x

2. 9

1 lim 9 − − → x x

3. 4

9 9 1 lim

− → x x

4. 9 10 lim

9 − −

+ → x x

x 5.

9 8 lim

9 − −

+ → x x

x 6.

( ) 3 2

3 3 9 lim x

x x −

− →

7. x x

5 lim 0

− →

8. 3 5 lim

3 + +

− → x x

x 9.

x x

x − +

− → 3 5 lim

3

10. 16 8

2 lim 2 4 + − −

→ x x x

x 11.

x x

5 lim +∞ →

12. x x

5 lim −∞ →

13.

−

+∞ → x x

x

5 lim 14.

−

−∞ → 4 5 lim

x x 15.

+

−∞ → 3

5 1 lim x x

16.

+

+∞ → 5 5 lim x x x

17. 1 2 2 5 lim

+ −

+∞ → x x

x 18.

1 2 2 2 5 lim 2

2

+ − − +

−∞ → x x x x

x

19. 1 2 2 lim

2

4

+ − − + −

−∞ → x x x x

x 20.

x x

x − −

+∞ → 1 5 lim

4

21. 7

4

3 7 3 4 lim x x

x − −

+∞ →

22. 7 7

2

7 7

2 2 lim x

x x +

− −∞ →

23. ( ) x x x

− + +∞ →

2 lim 24. x x x

x x − + −∞ → 2 2

3 lim

II. Determine los intervalos en que es continua cada una de las siguientes funciones. Clasifique las discontinuidades que presenta cada una de ellas.

25. ( ) x x x x x f

− − −

= 2

2 4 3 26. ( ) x

x x f

2 4 2

−

− =

27. ( )

> − < +

= 0 1 0 1 2

x si x x si x x f 28. ( )

> −

≤ ≤ −

− <

= 1

1 1 1 2

x si x x si x

x si x x f

III. Considere la función f definida en IR por ( )

> −

≤ ≤ − + − < +

=

2 3

2 2 6 2 2

2

2

x si a x x si x

x si a x x f . Determine el o los

valores de la constante a para los cuales:

29. f es continua en x = ­2 30. f es continua en x = 2 31. f es continua en IR

IV. Considere la función f definida en IR por ( )

> −

≤ ≤ − + − < +

=

3

3 1 6 2 1

2 x si a bx x si x

x si b ax x f . Determine las

condiciones que deben cumplir las constantes a y b para que f sea continua en:

32. x = 5 33. el intervalo ] [ 1 ,− ∞ − 34. x = 3 35. x = ­1 36. en IR

V. Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales (si existen) de las siguientes funciones:

37. ( ) 16 4

2

2

− −

= x

x x x f 38. ( ) 16 2 2 5

2

2

+ + −

= x x

x x f

39. ( ) x

x x f 1 2 + = 40. ( )

1 1 1 +

− = x x

x f

Respuestas

1 ∞ + 6 ∞ − 1 1

0 1 6

∞ + 2 1

0 2 6

] [ 2 , ∞ − ] [ +∞ , 2

x=2 no evit.

3 1

­2 3 6

a= ­3 b=1

2 ∞ − 7 ∞ − 1 2

0 1 7

2 5 2

2 7 2

− 2 7

] [ 0 , ∞ − ] [ +∞ , 0 x=0 evit.

3 2

IR b a ∈ , 3 7

4 − = x

1 = y 3 ∞ + 8 ∞ + 1

3 ∞ + 1

8 2 5 2

3 0 2

8 ] ] 1 , ∞ − ] [ +∞ , 1

x=1 no evit.

3 3

IR b a ∈ , 3 8

2 5

= y

4 ∞ − 9 No exist e

1 4

­4 1 9

∞ − 2 4

3 2 9

2,­2 3 4

IR b∈ 12 9 − = b a

3 9

0 = x 1 = y 1 − = y

5 ∞ + 1 0

No exist e

1 5

1 2 0

∞ + 2 5

] [ 0 , ∞ − ] [ 1 , 0

] [ +∞ , 1 x=0 no evit. x=1 evitable

3 0

­2 3 5

IR b∈ 4 − = b a

4 0

0 = x 1 − = x

0 = y

Práctica sugerida 1. Del material del Prof. Marco Alfaro: Páginas 8 a 15. Ejercicios página 15: 5 y del 7 al 12. 2. Del material “Ser ie Cabécar” Tema #1 I Parte. A Mondrus. Pág 2: IV: 1 y 2, V : 2 II Parte. A. Duarte. Pág 9: del 5 al 9 III Parte R. Pizarro Pág 23: 1 d,e,h,i,j; 3

Tema #3 I Parte. A. Ruiz. 1,2,4,6(a,b), 8(b,c,d) II Parte. C. Avendaño. 1, 4