Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
1
1
1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO
1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3 CÁLCULO DE LÍMITES 1.4 LÍMITES AL INFINITO 1.5 LÍMITES INFINITOS 1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
OBJETIVOS:OBJETIVOS:OBJETIVOS:OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina Límites. • Describa gráficamente los límites. • Calcule límites.
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
2
20.510.2
10.505.2
02.501.2
98.499.1
90.495.1
80.490.1
12 += xyx
1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto. Precisar características de este comportamiento puede ser necesario y además en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos, lo cual no lo vamos a tratar aquí.
Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección determinar características obvias.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función f de variable real con regla de
correspondencia 12)( += xxf , en la vecindad de 2=x . Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 2, tenemos: Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: ( ) 512lím
2=+
→x
x.
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
3
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de otra función f de variable real con regla de
correspondencia 1
65)(
2
−
−+=
x
xxxf , en la cercanía de 1=x .
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable
independiente x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 71
65lím
2
1=
−
−+
→ x
xx
x.
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por otro lado, la regla de correspondencia 1
65)(
2
−
−+=
x
xxxf es equivalente a
1;6)( ≠+= xxxf (¿PORQUÉ?).
Desde su gráfica podemos ilustrar este comportamiento:
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos emitir la siguiente definición:
Una función f tiene límite L en un punto 0x , si f se
aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable
independiente x se aproxima a tomar el valor 0x . Lo que
simbólicamente se denota como:
Lxflímxx
=→
)(0
10.710.1
05.705.1
01.701.1
99.699.0
95.695.0
90.690.01
652
−
−+=
x
xxyx
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4
Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1 Emplee una calculadora para estimar los siguientes límites:
1. 1
1
1 −
−
→ x
xlímx
2. 4
2lím
22 −
−
→ x
x
x
3. 0
límx
Senx
x→ 4. ( )
1
0lím 1 x
xx
→+
1.1.1 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE
Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en
0xx = , entonces este es único.
1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.2.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y g funciones con límite en 0x ; es decir, suponga
que Lxfxx
=→
)(lím0
y Mxgxx
=→
)(lím0
. Entonces:
1. kkxx
=→ 0
lím , Rk ∈∀
2. 0
0
lím xxxx
=→
3. kLxfkxkfxxxx
==→→
)(lím)(lím00
, Rk ∈∀
4. [ ] MLxgxfxgxfxxxxxx
+=+=+→→→
)(lím)(lím)()(lím000
5. [ ] MLxgxfxgxfxxxxxx
−=−=−→→→
)(lím)(lím)()(lím000
6. [ ] LMxgxfxgxfxxxxxx
==→→→
)(lím)(lím)()(lím000
7. M
L
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx==
→
→
→ )(lím
)(lím
)(
)(lím
0
0
0
;siempre que 0)(lím0
≠→
xgxx
8. [ ] [ ] nn
xx
n
xxLxfxf ==
→→)(lím)(lím
00
, Nn∈∀
9. nn
xx
n
xxLxfxf ==
→→)(lím)(lím
00
siempre que 0)(lím0
≥→
xfxx
cuando n es par.
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5
El teorema permite establecer límites de funciones.
Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo
Calcular ( )23lim 2
2−+
→xx
x
SOLUCIÖN:
Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:
( )
8
2)2(32
)13,8(2lim3lim
)54(2lim3limlim23lim
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=
−+=
−+
=
−+=−+
→→
→→→→
yincisoxx
yincisoxxxx
xx
xxxx
Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.
1.2.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sea f una función polinomial o una función racional, entonces
)()(lím0
0
xfxfxx
=→
, siempre que )(0xf esté definida y
que el denominador no sea 0 para el caso de una función racional.
1.3 CALCULO DE LÍMITES
En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar; pero se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma:
0
00
1
.0
0
0
∞
∞
∞−∞
∞
∞
∞
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6
Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por
ejemplo, tomemos 0
0, suponga que sea igual a c , es decir
0
0c=
entonces 0 0c= sería verdadera para todo c . Analice el resto de indeterminaciones.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular 1
652
1 −
−+
→ x
xxlímx
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución tenemos ( )
0
0
11
6151
1
6522
1=
−
−+=
−
−+
→ x
xxlímx
una
indeterminación, que para destruirla se debe simplificar la expresión, es decir factorizando lo lograremos:
( )( )( )6
1
16
1
65
11
2
1+=
−
−+=
−
−+
→→→xlím
x
xxlím
x
xxlím
xxx
Y finalmente aplicando el teorema de sustitución:
( ) 76161
=+=+→xlím
x
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3
Calcular 1
1
1 −
−
→ x
xlímx
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0
0
11
11=
−
−
Racionalizando el numerador y simplificando:
( )( ) ( ) 2
1
1
1
11
1
1
1
1
1
111=
+=
+−
−=
+
+•
−
−
→→→ xlím
xx
xlím
x
x
x
xlím
xxx
EjeEjeEjeEjemplo 4mplo 4mplo 4mplo 4
Calcular 1
1
31 −
−
→ x
xlímx
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0
0
11
11
3=
−
−
Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos: PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
7
( )( )
++
++•
+
+•
−
−
→1
1
1
1
1
1
32
3
32
3
31xx
xx
x
x
x
xlímx
( ) ( )
( )( )
( )
( ) 2
3
11
111
11
11
lím
323323
1=
+
++
=+−
++−
→ xx
xxx
x
SEGUNDO METODO:
cambio de Variable: 6ux = . Entonces Si 11 →⇒→ ux
Reemplazando tenemos: 1
1
1
1
2
3
13 6
6
1 −
−=
−
−
→→ u
ulím
u
ulím
uu
Y factorizando: ( )( )
( )( )( )
( )( )
( ) 2
3
11
111
1
1
11
11 22
1
2
1=
+
++=
+
++=
+−
++−
→→ u
uulím
uu
uuulím
uu
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos 1.21.21.21.2 Calcular:
1. 3
9lím
2
3 −
−
→ x
x
x
2. 2
1
4 3lím
1x
x x
x→
− +
−
3. ( )
2
21
2 1lim
1x
x x
x→
− + −
4. 4
2lím
22 −
−
→ x
x
x
5. 2
8lím
3
2 −
−
→ x
x
x
6. 4
2lím4 −
−
→ x
x
x
7. 8
2lím
3
8 −
−
→ x
x
x
8. 2
8lím
38 −
−
→ x
x
x
9. 2
1lím
2
3
1 −+
−
→ xx
x
x
10. 31
2 3lím
1 1x x x→
−
− −
(Sugerencia: 6x u= )
1.3.1 Otros Límites. (OPCIONAL)
Ciertos límites se calculan empleando la expresión 1lím0
=→ x
Senx
x que
en forma generalizada sería: )(;1lím0
xuudondeu
uSen
u==
→
EEEEjejejejemplomplomplomplo 1111
Calcular ( )x
kxSenlímx 0→
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8
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )
0
0
0
0=
kSen
Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y aplicando el
teorema principal sobre límites resulta: ( )
0 0
1
(1)x x
Sen kxSenkxlímk k lím k k
kx kx→ →= = =
14243
EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 2222
Calcular xSen
xSen
x 5
3lím0→
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )( )( ) 0
0
05
03=
Sen
Sen
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación multiplicamos y dividimos el numerador por 3 x y el denominador por 5 x , y luego aplicando el teorema principal sobre límites resulta:
5
3
5
55
3
33
5
55
3
33
5
3
1
0
1
0
00===
→
→
→→
43421
48476
x
xSenlím
x
xSenlím
x
xSenx
x
xSenx
límxSen
xSenlím
x
x
xx
EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 3333
Calcular 20
1 coslímx
x
x→
−
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0
0
0
0cos12
=−
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
( )xx
xlím
x
x
x
xlím
xsen
xx cos1
cos1
cos1
cos1cos12
2
020
2
+
−=
+
+•
−
→→
48476
2
1
2
1
cos1
1
)cos1(
2
0
02
2
02
2
0
=
=
+=
+=
→
→→→
x
senxlím
xlím
x
xsenlím
xx
xsenlím
x
xxx
EjemEjemEjemEjemplo 4plo 4plo 4plo 4
Calcular x
xlímx
cos1
0
−
→
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0
0
0
0cos1=
−
Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:
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9
( )xx
xlím
x
x
x
xlím
xx cos1
cos1
cos1
cos1cos1 2
00 +
−=
+
+•
−
→→
02
0
cos1)cos1(
0
00
2
0
=
=
+=
+=
→
→→→
x
senxlím
x
senxlím
x
senxlím
xx
xsenlím
x
xxx
1.4 LÍMITES AL INFINITO.
En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, es decir cuando x tiende al infinito.
Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la
variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente manera Lxfx
=∞→
)(lím
EEEEjemplo 1 jemplo 1 jemplo 1 jemplo 1
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
10
Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la
x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera Lxf
x=
−∞→)(lím .
EEEEjemplo 1jemplo 1jemplo 1jemplo 1
EjeEjeEjeEjemplo 2mplo 2mplo 2mplo 2
Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal Ly = .
Para calcular límite al infinito, usualmente se divide para x de
mayor exponente si se trata de funciones racionales.
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
11
EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo
Calcular 15
132lím
2
2
−+
−+
−∞→ xx
xx
x
SOLUCIÓN:
Aquí se presenta la indeterminación: ∞
∞
Dividiendo numerador y denominador para 2x , tenemos:
5
2
115
132
lím15
132
lím
2
2
222
2
222
2
=
−+
−+
=
−+
−+
−∞→−∞→
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 1.3 1.3 1.3 1.3 1. Calcular:
1. 2
2
3 2 1lím
5x
x x
x→∞
+ +
+
2. 3 2
3
5 3 4 3lím
3 1x
x x x
x x→∞
− + −
+ +
3. ( ) ( )
5
2332lím
5
23
+
−+
∞→ x
xx
x
4. ( )
3
32lím
xx
x
x +
+
∞→
5. ( )( )( )
13
6453323
−+
−+−
∞→ xx
xxxlímx
1.5 LÍMITES INFINITOS
Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto 0x ,
tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes
positivo; es decir ∞=→
)(lím0
xfxx
. Diremos, en este caso, que f crece sin
límite o que f no tiene límite en 0x .
EjemploEjemploEjemploEjemplo
Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones
12
Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a
un punto 0x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores
muy grandes negativos; es decir −∞=→
)(lím0
xfxx
. Diremos, en este caso,
que f decrece sin límite o que f no tiene límite en 0x .
EjemploEjemploEjemploEjemplo
1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que si al trazar su gráfica no se requiere alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.
Sea f una función definida en un intervalo abierto
),( ba y sea ),(0
bax ∈ , Entonces f es continuacontinuacontinuacontinua en
"0x " si )()(
00
xfxflímxx
=→
.
EjemploEjemploEjemploEjemplo
Una función continua en un punto 0x
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