Este material tiene como finalidad dar unpequeño recorrido por el cálculo de límitesinfinitos.
Se plantean una serie de ejercicios, los cualesserán resueltos paso a paso y resaltandoaquellos aspectos importantes para resolvercada uno de ellos.
El tema de límites que tienden al infinito esnecesario para calcular asíntotas y graficaciónde funciones que será retomado en unidadesposteriores.
Presentación
2
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
Índice
Presentación 2
A manera de inicio 4
Límites infinitos 5
Teorema 6
Operaciones con infinito 7
Ejercicio 1 8
Ejercicio 2 14
Ejercicio 3 21
Ejercicio 4 28
Cierre 39
Créditos 40
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
3
A continuación se le presentan una serie de ejercicioscon la finalidad de mostrar lo más descriptivo posiblelos procedimientos para poder resolver cada uno delos límites propuestos.
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
A manera de inicio
4
Un límite se dice que es al infinito cuando la “x” tiendeal infinito, ya sea positivo o negativo.
A continuación se muestra el siguiente límite:lim$→±'
1) = 0
Límites infinitos
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
5
Si ! es una constante y " es un número racional positivo, entonces
lim&→±)!*+ = !
±∞ = 0
Teorema
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
6
Operaciones con infinito
§ ! " +∞ = +∞, '( ! > 0−∞, '( ! < 0
§ ! " −∞ = +∞, '( ! < 0−∞, '( ! > 0
§+∞ " +∞ = +∞
§ −∞ " −∞ = +∞
§ +∞ " −∞ = −∞
§ +∞ + ! = +∞
§ −∞ + ! = −∞
§ (+∞) + (+∞) = +∞
§ −∞ + −∞ = −∞
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
7
A continuación se presenta un ejercicio en el cuál sedebe calcular el límite.
lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3
Se factoriza el numerador y el denominador sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
Ejercicio 1
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
8
Ejercicio 1Paso 1
Se factoriza el numerador, sacando a factor común la“x” con mayor exponente.
lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
4)* − 28) + 49 =
)* 4)*4* − 28)54* + 49)64* =
)* 4 − 28) + 49)*
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
9
Paso 2
Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
lim$→&'
() 4 − 28( + 49()(0 + () − 5( + 3
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
(0 + () − 5( + 3 =
(0 1(050 + ()50 − 5(650 + 3(750 =
(0 1 + 1(6 −
5() +
3(0
Ejercicio 1Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 3
Todas las expresiones de la forma !"# , con $ un
número real y % un número natural tienden a cero.
lim"→*+
,- 4 − 28, + 49,,4 1 + 1
,6 −5,- +
3,4
Numerador:
,- 4 − 28, + 49,
Denominador:
,4 1 + 1,6 −
5,- +
3,4
00
000
Ejercicio 1Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
11
Paso 5Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión
lim$→&'() 4 − 0 + 0
(. 1 + 0 − 0 + 0
Paso 6Se simplifica la expresión
lim$→&'4()1(.
Queda la expresión:
lim$→&'4()1(.
lim$→&'4()1(. = lim$→&'
4( = 0
Ejercicio 1Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Ejercicio 1Paso 7: Respuesta
Gráfica
lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3 = 0
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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A continuación se presenta un ejercicio en el cuál sedebe calcular el límite.
lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17
Se factoriza el numerador y el denominadorsacando a factor común la “x” con mayorexponente.
Ejercicio 2
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Ejercicio 2Paso 1
Se factoriza el numerador, sacando a factor común la “x”con mayor exponente.
lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
11*+ + 3*. + 9* =
*+ −11*+&+ + 3*.&+ + 9*5&+ =
*+ −11 + 3*0 +
9*6
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 2Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
lim$→&'
() −11 + 3(. +
9(0
(. + 5(2 − 11( + 17
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
(. + 5(2 − 11( + 17 =
(. (.&. + 5(2&. − 11(5&. + 17(6&. =
(. 1 + 5(5 −
11(2 +
17(.
Ejercicio 2Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 3
Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.
lim"→*+
,- −11 + 3,2 +
9,4
,2 1 + 5,6 −
11,7 +
17,2
Numerador:
,- −11 + 3,2 +
9,4
Denominador:
,2 1 + 5,6 −
11,7 +
17,2
00
000
Ejercicio 2Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
17
Paso 4Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión
lim$→&'() −11 + 0 + 0(. 1 + 0 − 0 + 0
Paso 5Se simplifica la expresión
lim$→&'−11()1(.
lim$→&'−11()1(.
lim$→&'−11()1(. = lim$→&' −11(0
Ejercicio 2Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 6
Al simplificar queda
lim$→&' −11*+
Paso 7: Respuesta
lim$→&' −11*+ = −11 −∞ + = −11 . +∞ = +∞
Ejercicio 2
lim$→&'−11*0 + 3*+ + 9**3 + 5*5 − 11* + 17 = +∞
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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GráficaEjercicio 2
lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17 = +∞
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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A continuación se presenta un ejercicio en el cuál sedebe calcular el límite.
lim$→&'3)** + 2)- + 9)/ − 6−18)** + 5)/ − 9)
Ejercicio 3
Se factoriza el numerador y el denominador sacando afactor común la “x” con mayor exponente.
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 1
Se factoriza el numerador, sacando a factor común la“x” con mayor exponente.
lim$→&'3)** + 2)- + 9)/ − 6−18)** + 5)/ − 9)
Ejercicio 3
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
3)** + 2)- + 9)/ − 6 =
)** 3)**6** + 2)-6** + 9)/6** − 6)76** =
)** 3 + 2)8 +
9)9 −
6)**
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 2
Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
lim$→&'
()) 3 + 2(- +
9(/ −
6())
−18()) + 5(5 − 9(
Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.
−18()) + 5(5 − 9( =
()) −18())7)) + 5(57)) − 9()7)) =
()) −18 + 5(/ −
9()8
Ejercicio 3Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 3
Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.
lim"→*+
,-- 3 + 2,1 +
9,3 −
6,--
,-- −18 + 5,3 −
9,-9
Ejercicio 3
Numerador:
,-- 3 + 2,1 +
9,3 −
6,--
Denominador:
,-- −18 + 5,3 −
9,-9
0 0 0
0 0
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 4Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión.
lim$→&'()) 3 + 0 + 0 − 0()) −18 + 0 − 0
Paso 5Se simplifica la expresión, cancelando
lim$→0'3())−18())
lim$→0'3())−18())
lim$→0'3())−18()) = lim$→0'
−16
Ejercicio 3Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
25
Paso 6Se evalúa el límite
lim$→&'−16 =
Paso 7: Respuesta
lim$→&'−16 = −1
6
Ejercicio 3
lim$→,'3.// + 2.2 + 9.4 − 6−18.// + 5.4 − 9. = −1
6
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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A continuación se presenta un ejercicio en el cuál sedebe calcular el límite.
lim$→&' 9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
Esta expresión es de la forma −∞+∞, por lo que seconsidera indeterminado y por ende hay queracionalizar la expresión.
Ejercicio 4
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 1
Se racionaliza el numerador
lim$→&' 9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
1 1 9)* + 5) − 1 + 25)* + 14)9)* + 5) − 1 + 25)* + 14)
lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*
9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 2
Se cancelan raíces con los exponentes
lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*
9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*
9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 3
Se simplifica en el numerador
lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
lim$→&'9)* + 5) − 1 − 1231 − 4539)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
lim$→&'−16)* − 9) − 1
9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 4 Se factoriza el numerador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
lim$→&'−16+, − 9+ − 1
9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+
Paso 5Se factoriza el denominador en la primera raíz, sacando a factor común la “x” con el mayor exponente.
lim$→&'
+, −16 − 9+ −1+,
9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+
−16+, − 9+ − 1 = +, −16 − 9+ −1+,
9+, + 5+ − 1 = +, 9 + 5+ −9+,
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 6
Se factoriza la segunda raíz del denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.
lim$→&'
() −16 − 9( −1()
() 9 + 5( −9() − 25() + 14(
25() + 14( = () 25 + 14(
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 7Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.
lim"→*+
,- −16 − 9, −1,-
,- 9 + 5, −9,- − ,- 25 + 14,
Ejercicio 4
Numerador:
,- −16 − 9, −1,-
Denominador:
,- 9 + 5, −9,- − ,- 25 + 14,
0 0
0 0 0
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Paso 8Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión
lim$→&'() −16 − 0 − 0
() 9 + 0 − 0 − () 25 + 0
Paso 9Se simplifica sacando de las raíces
lim$→&'−16()
9() − 25()
lim$→&'−16()
9() − 25()
() = (
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
35
Paso 10
Recordando la definición de valor absoluto
lim$→&'−16+,
3 + − 5 +
+ = 0+ 12 + ≥ 0−+ 12 + < 0
Entonces como + → −∞
+ = −+
La expresión queda:
lim$→&'−16+,
−3+ − −5+ = lim$→&'−16+,−3+ + 5+
Ejercicio 4Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
36
Ejercicio 4
Paso 11: Respuesta
lim$→&'−16+,2+ = lim$→&'−8+ = −8 0 −∞ = +∞
lim$→&' 9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+ = +∞
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios pararesolver ejercicios de límites que tienden alinfinito, con los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos de Cálculo I.
La esencia de las matemáticas no es hacer lascosas simples complicadas, sino hacer las cosascomplicadas simples.
S. Gudder.
Cierre
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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CréditosUniversidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes
Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Límites infinitos], por cualquier medio o
procedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicas
particulares que contiene.
Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III
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