1Matemtica discreta. Lgica
LgicaMatemtica discreta
2Matemtica discreta. Lgica
Lgica:
rama de las matemticas instrumento para representar el lenguaje
natural proporciona un mecanismo de deduccin
3Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional y de predicados
Razonamientos
Clculoproposicional
Sentencias que expresan relaciones entre atributos y cualidades de los objetos
Clculo de predicados
Establecen propiedades de individuos y relaciones entre estos
4Matemtica discreta. Lgica
ejemplo
p = el dato es de salida
q = el dato es de entrada
{p V q , p} q
"si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada, entonces es de salida"
"si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria"
Px = x es un dato de entrada
Qx = x se graba en la memoriaPx Qx
5Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Clculo proposcionalProposicin o enunciado: es toda afirmacin u oracin
declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso. Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente. Qu hora es?. (x-y)2=x2-2xy+y2. Menudo rollo de pelcula!. Esta frase es falsa.
Proposiciones simples o atmicas. Proposiciones compuestas o frmulas.
6Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Proposiciones simples o atmicas
No pueden reducirse a otras ms sencillas Smbolos primitivos { }K,,,,,,T srqp=
Smbolos de proposicinEnunciados atmicos
Constantes lgicas Falsedad
Verdad
K,,,, srqp
T
7Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Proposiciones compuestas o frmulas Enunciados bien formados a partir de smbolos
primitivos unidos mediante conectivas.{ }K,,,,L SRQP=Negacin
Conjuncin
Disyuncin (o inclusivo)
Disyuncin (o exclusivo)
Implicacin
Doble implicacin
Smbolos auxiliares ( , ) para evitar ambigedades
Conectivas
8Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Regla de formacin de frmulas pLP,PP, 21
)()()()()()(T::P 21212121211 PPPPPPPPPPPp =Para abreviar se siguen las siguientes directrices:
Omisin de parntesis externos
Prioridad entre conectivas:
Asociatividad de la implicacin: asocia a la derecha
,,,,,
9Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemplos))(( rqp )( rqp lo escribimos
rqp ))(( rqp es)( rqp rqp es distinto de
rqp ))(( rqp es
10Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Semntica del clculo proposicional Valoracin
Valor veritativo
A cada smbolo primitivo se le asigna un valor booleano de verdad o falsedad: 0 falso, 1 verdad.
A cada frmula se le asigna un valor veritativo dependiendo de los valores de verdad de los smbolos primitivos que la componen.
: { }1,0=: L
En general, y abusando de la notacin, hablaremos de valoracin y de valor veritativo indistintamente.
11Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Tablas de verdadRepresentan todos los posibles valores veritativos de las frmulas bsicas.
p q
0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 1 1
p q qp qp qp qp qp
12Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Las tablas de verdad son una representacin de las funciones
1)1,1(0)0,1(0)1,0(0)0,0(
:
====
ffff
f
1)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(
:
====
ffff
f 0)1(1)0(
:
==
ff
f
0)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(
:
====
ffff
f
1)1,1(0)0,1(1)1,0(1)0,0(
:
====
ffff
f
1)1,1(0)0,1(0)1,0(1)0,0(
:
====
ffff
f
13Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Valores veritativos(p)= (p)( )=0(T)=1( )=( )=( )=( )=( )=( )=
P (P))(f
(Q))(P),(fQPQPQP
QPQP
(Q))(P),(f(Q))(P),(f(Q))(P),(f(Q))(P),(f
14Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemploSi (p)=1, (q)=0, (r)=1( ) r)q(p == r))(q(p),(f
))(r),(q)((p),( = ff ))1,0(1,( ff= =1)11,( == f
p q r1 0 1 1 1
r)q(p rq
15Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Satisfactibilidad
Una frmula P es satisfactible, si existe alguna valoracin que verifique (P)=1, se dice entonces que satisface P (= P), o que es un modelo de P [ Mod(P)].
En caso contrario, se dice que P es insatisfactible.
16Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemplop q r
0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 1 1 01 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1
r)q(p rq
17Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Tautologa, contingencia, contradiccin
Un frmula P es una tautologa si toda valoracin es modelo de ella. (Si P es tautologa, entonces es satisfactible).
Un frmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son.
Un frmula P es una contradiccin si no tiene modelos. (P es contradiccin si y slo si es insatisfactible).
18Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemplop q r
0 00000000
contradiccin
0001101
contingencia
0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1
tautologa
r)q(p q)(pp q)(p(p )
19Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Equivalencia lgica 1
Cuando los valores veritativos de dos frmulas P y Q son iguales en cualquier valoracin, es decir, (P)=(Q), se dice que P y Q son lgicamente equivalentes y se denota PQ.
PQ Mod(P) = Mod(Q).
20Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemploqp qp y son lgicamente equivalentes
p q0 0 1 1
101
0 1 11 0 01 1 1
qp qp
qp qp
21Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Equivalencia lgica 2
PP. Si PQ, entonces QP. PT si y slo si P PT si y slo si P es
tautologa. P Q T si y slo si todo
modelo de P lo es de Q. PQ T si y slo si P Q.
P P. Si PQ y QR, entonces PR. T y T P si y slo si P es
contradiccin. P Q T si y slo si toda
valoracin que no es modelo de Q, tampoco lo es de P.
22Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Teorema de reemplazamiento
Si PQ y F(P) es una frmula que contiene a P como subfrmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una frmula F(Q) que verifica F(P)F(Q).
Lo utilizaremos para simplificar frmulas complejas.
23Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Leyes de equivalencia lgica 1 Conmutativa: PQ QP
PQ QP Distributiva: P(QR)(PQ)(PR)
P(QR)(PQ)(PR) De identidad: PT P
P P Tercio excluso: P P T Contradiccin: P P Idempotencia: PP P
PP P
24Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Leyes de equivalencia lgica 2 Acotacin: P
PT T Absorcin: P(PQ) P
P(PQ) P Asociativa: P(QR) (PQ)R
P(QR) (PQ)R De Morgan: (PQ) P Q
(PQ) P Q Relacin entre conectivas: P Q PQ
PQ (P Q) (QP)
25Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Razonamiento lgico deductivo 1
Razonamiento inductivo: se generaliza una situacin, a partir de un nmero relativamente pequeo de hechos particulares u observaciones.
Razonamiento deductivo: consiste en obtener una conclusin a partir de ciertas sentencias ciertas.
Un argumento es un conjunto de proposiciones en las que hay una, la conclusin Q, que se justifica a partir de las otras, las premisas {Pi}.
26Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Razonamiento lgico deductivo 2
Dado un conjunto de frmulas {Pi} es un modelo de {Pi} si (Pi)=1 i. {Pi}es satisfactible si que sea modelo de {Pi}. En
caso contrario, es insatisfactible. Si AB, {Pi, A} y {Pi, B} tienen los mismos modelos.
27Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemplo{qr, p(rq)} y {pqr, qr} tienen los mismos modelos.
p q r qr p(rq) p q r pqr qr
1
100000
1
01
1
1
1
1
011
10
0
01
011
01
1
11
101
101
0111
11110111
0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1
28Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Razonamiento lgico 3 Q es consecuencia lgica de {Pi}, {Pi}= Q, si todo
modelo de {Pi}, lo es tambin de Q. Decir que una consecuencia lgica es vlida, {Pi}= Q,
es lo mismo que P1P2..PnQ es una tautologa, o que {Pi, Q} es insatisfactible.
Para probar la validez de un argumento se pueden utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lgica o reglas de inferencia.
29Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
ejemploConsecuencia lgica no vlida,
razonamiento incorrecto:{pq, p} q
Consecuencia lgica vlida, razonamiento correcto:
{pq, p}= qconclusinpremisas
0101 q
0011 p
111001110100
pqqp
premisas conclusinp q pq p q
0 0101
011
0 0 10 1 11 0 01 1 1
30Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Reglas de inferencia Modus ponens:{PQ,P}= Q Modus tolens:{PQ, Q}= P Silogismo: {PQ,QR}= PR Silogismo disyuntivo: {PQ, Q}= P Simplificacin: {PQ}= P
{P}= PQ{P,Q}= PQ
Regla de la cadena: si {Pi}= Q1 y {Pi ,Q1}= Q son vlidas, tambin lo es {Pi}= Q
31Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Clculo de predicados Introduce los elementos necesarios para manejar
razonamientos en los que intervienen propiedades de
individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son
los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en
funcin de sus argumentos.
Alfabeto A.
Trminos y frmulas L .
32Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Alfabeto 1 smbolos de constante: C={c, t, ...}A smbolos de predicado: P={P, Q, ...}A
de aridad 1: propiedad de un individuo.Px x es parP4 4 es par
de aridad 2: relacin entre individuos.Pxy x es ms alto que y
P Ana Juan Ana es ms alta que Juan.
33Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Alfabeto 2 constantes lgicas: { ,}A conectivas: {, , , , }A cuantificadores: {, }A.
Se usan acompaados de variables y con ellos se cierran los enunciados.
El radio de accin de la cuantificacin K en KxF es F. Tienen ms prioridad que cualquier conectiva.
smbolos auxiliares: {'(', ')'}A
34Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Alfabeto 3 variables: V={x, y, z, ...}A
Representan individuos annimos, generales. Una variable est ligada si est en el radio de accin
de algn cuantificador, Kx F[x], y est libre en otro caso.
Una frmula est abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres est cerrada.
35Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
ejemplox y (Mx Q(x,y))
Frmula cerrada.La variable y est ligada por el cuantificador existencial y
la variable x por el cuantificador universal.
F x (Mx Q(x,y))Frmula abierta.
La variable y est libre [ylib(F)] y la variable x estligada por el cuantificador universal.
36Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Frmulas y trminos Trminos: T=CVA. Frmulas: palabra formada a partir del
alfabeto aplicando las reglas:L conjunto de frmulas del alfabeto A.
t1,..., tnT F, F1, F2 L xlib(F1) F::=| |P(t1,...,tn) |(F1#F2), #{ , , , }
|F1 | (x F1) | (x F1).
37Matemtica discreta. Lgica
Semntica del clculo de predicados
Clculo de predicados
Un dominio o universo de discurso es un conjunto formado por personas, ideas, smbolos, datos, o cualquier otra opcin que afecte al argumento lgico que se estconsiderando.
A los elementos del dominio se les llama individuos. Las constantes identifican de modo nico a individuos particulares.
38Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
InterpretacinI={D, ci , Pi} Dominio D. A cada smbolo de constante c se le asigna
un elemento del dominio D: c A cada smbolo de predicado P de aridad n se
le asigna una funcin booleana P:Dn{0,1}.
Dn ={(x1 ,...,xn) / xi D}
39Matemtica discreta. Lgica
ejemploI={N, c0, c2, c3, c5, P, Q, R, S, }
x R(x,x,y) y es un cuadrado perfecto. x y P(x,y) todo natural tiene un sucesor. x S(x,c0) todos los naturales son mayores o
iguales que 0. Q(c2,c3,c5) 5=2+3
c0 0 c33 P(x,y) y=x+1 Q(x,y,z) z=x+yc2 2 c55 R(x,y,z) z=xy S(x,y) x y
40Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Valores veritativos
(T)=1()=0(F)=f(F)(F1#F2)= f# ((F1), (F2)) #{ , , , }(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)(x F)=1 si cD / (F[x/c])=1(x F)=1 si cD / (F[x/c])=1
41Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Satisfactibilidad
Una frmula F es satisfactible, si existe alguna interpretacin I en la que el valor veritativo de F sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I= F).
En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.
42Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Equivalencia lgica
Cuando los valores veritativos de dos frmulas F1 y F2 son iguales en cualquier interpretacin, se dice que F1 y F2 son lgicamente equivalentes y se denota F1F2
F1F2 Mod(F1) = Mod(F2).
43Matemtica discreta. Lgica
Clculo de predicados
Leyes de equivalencia lgica 1
x F[x] y F[y] x F[x] y F[y] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] Las de la lgica de proposiciones si no
interfieren los cuantificadores.
44Matemtica discreta. Lgica
Clculo proposicional
Tautologa, contradiccin
Un frmula F es una tautologa si cualquier interpretacin es modelo de ella.
Un frmula F es una contradiccin si no tiene modelos
LgicaLgica:Clculo proposicional y de predicadosejemploClculo proposcionalProposiciones simples o atmicasProposiciones compuestas o frmulasRegla de formacin de frmulasejemplosSemntica del clculo proposicionalTablas de verdadValores veritativosejemploSatisfactibilidadejemploTautologa, contingencia, contradiccinejemploEquivalencia lgica 1ejemploEquivalencia lgica 2Teorema de reemplazamientoLeyes de equivalencia lgica 1Leyes de equivalencia lgica 2Razonamiento lgico deductivo 1Razonamiento lgico deductivo 2ejemploRazonamiento lgico 3ejemploReglas de inferenciaClculo de predicadosAlfabeto 1Alfabeto 2Alfabeto 3ejemploFrmulas y trminosSemntica del clculo de predicadosInterpretacinejemploValores veritativosSatisfactibilidadEquivalencia lgicaLeyes de equivalencia lgica 1Tautologa, contradiccin
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