I.E PARROQUIAL “SAN LUCAS” PUEBLO LIBRE
PROF:ROBERTO CASTRO CATARI
GUIA
DEL
ESTUDIANTE
TEMARIO Enunciado y proposición. Tablas de verdad. Leyes lógicas. Circuitos lógicos. Equivalencias notables. Cuantificadores. Segmentos Ángulos. Ángulos entre paralelas.
BIMESTRE I - 2013
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
PROPOSICIONAL
Etimológicamente la
lógica es la ciencia del
logos. Originalmente logos
significaba palabra o
discurso, por lo que en un
principio se definió la lógica como la rama
de la gramática que se ocupaba de ciertas
formas de lenguaje.
En respuesta a la necesidad de construir
argumentos, para defender o refutar
pensamientos de los demás, Aristóteles,
considerado por los griegos. El padre de la
lógica, creo métodos sistemáticos para
analizar y evaluar dichos argumentos, para
lo cual desarrolló la lógica proposicional
estableciendo procedimientos para
determinar la verdad o falsedad de
proposiciones compuestas.
Las proposiciones se representan
simbólicamente mediante el uso de letras
minúsculas del alfabeto tales como p, q, r,
s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre
de letras o variables proposicionales, de
esta forma, el lenguaje proposicional se
hace más simple y exacto que el lenguaje
natural.
Las proposiciones pueden ser simples o
compuestas:
Proposiciones simples.
Se denominan proposiciones simples
aquellas oraciones que no utilizan
conectivos lógicos.
Ejemplos:
p: El eclipse es un fenómeno natural.
q: La luna es un satélite de la tierra.
r: 2 es el inverso multiplicativo de 2.
s: 1 no es un número primo.
x: 4 + 3 = 10.
El valor de verdad de una proposición
simple puede ser verdadero (V) o falso (F),
pero no los dos valores al mismo tiempo,
pues dejaría de ser proposición.
Proposiciones Compuestas
Las proposiciones compuestas son
aquellas que se obtienen combinando dos o
más proposiciones simples mediante
términos de enlace.
Ejemplos:
Las rosas son rojas y tienen espinas.
¿La selección Colombia ganó o perdió?
En el país no hay violencia.
Si estudio lógica matemática entonces
seré un destacado ingeniero de sistemas.
4 es un número par si y sólo si se puede
dividir por 2.
Estas expresiones también se denominan
oraciones y para su formación se utilizaron
las letras y, o, no, si…entonces, sí y sólo
si, que sirvieron para unir o enlazar los
enunciados. Estos términos de enlace
reciben el nombre de Conectivos lógicos.
La validez de una proposición compuesta
depende de los valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen y se
determina mediante una tabla de verdad.
Para construir la tabla de verdad, se tiene
en cuenta la potencia 2n que representará el
número de filas de nuestra tabla, donde “n”
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 2 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
representa el número de variables
diferentes.
OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE
VERDAD
1. CONJUNCIÓN: Vincula dos proposiciones
mediante el conectivo lógico "y". Las
palabras: pero, además, aunque, sin
embargo, a la vez, también, asimismo,
igualmente, no obstante, etc., son algunas
expresiones conjuntivas.
Tabla de Verdad
2. DISYUNCIÓN: Vincula dos proposiciones
mediante el conectivo lógico "o".
Tabla de Verdad
3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O
DIFERENCIA SIMÉTRICA: Vincula dos
proposiciones mediante el conectivo
lógico: "o…o…"
Tabla de Verdad
4. CONDICIONAL: La implicación o
condicional de las proposiciones p y q, es
p⇒q donde p se denomina antecedente, y
q consecuente, la condicional vincula dos
proposiciones mediante el conectivo lógico:
"Si…, entonces…". Pueden considerarse
también conectivos de la condicional: “…por
consiguiente…”,”…luego…”,”…por lo
tanto…”,”…en conclusión…”
Tabla de Verdad
5. BICONDICIONAL: La doble implicación o
el bicondicional vincula dos proposiciones
mediante el conectivo lógico: "…si y sólo
si..."
Tabla de Verdad
6. NEGACIÓN: Afecta a una sola
proposición. Es un operador monádico que
cambia el valor de verdad de una
proposición:
Tabla de Verdad
IMPORTANTE:
Cuando los valores del operador principal
son todos verdaderos se dice que el
esquema molecular es TAUTOLÓGICO.
Si los valores del operador principal son
todos falsos. Se dirá que el esquema
molecular es CONTRADICTORIO.
Si los valores del operador principal tiene
por lo menos una verdad y una falsedad se
dice que es CONTINGENTE O
CONSISTENTE.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.¿Cuántas de las siguientes expresiones
son proposiciones?
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 3 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
* ¡Dios mío...se murió!
* El calor es la energía en tránsito.
* Baila a menos que estés triste.
* Siempre que estudio, me siento feliz.
* El delfín es un cetáceo, ya que es un
mamífero marino.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dadas las siguientes expresiones:
* El átomo no se ve, pero existe.
* Los tigres no son paquidermos,
tampoco las nutrias.
* Toma una decisión rápida.
* Hay 900 números naturales que se
representan con tres cifras.
* La Matemática es ciencia fáctica.
* Es imposible que el año no tenga 12
meses.
¿Cuántas no son proposiciones simples?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = F; V(r) =
F; V(s) = V. Hallar los valores de verdad
de:
([( p ↔ q) r] s
r (s p)
(r p) (r s)
a) FVF b) VFF c) FVV d) VFV e) VVF
4. Elabora una tabla de verdad y halla el
valor de verdad de los siguientes esquemas
moleculares.
a. ( p q) v r
b. (p q) ↔ (p r)
c. [(p q) p] r
5. Dadas las proposiciones:
p: 32 – 4 = 5
q: 2 x 30 + 5 = 65
r: 42 = 8
s: (3-4)3 – (4 + 5)2 = –82
t: Asunción no es la capital de
Paraguay.
Determina el valor de verdad de:
a. (p q) v r
b. (r p) s
c. (r s) ↔ (p t)
d. (p s) r
e. (r s) (t q)
6. Hallar el valor de verdad de las
proposiciones siguientes y menciona el
tipo de proposición que es.
a. (p s) [ q (p r)]
b. [(p q) (q r)] (p r)
c. [(p q) p] q
7. Si (p q) r es falsa, ¿Cuál es el valor
de verdad de las proposiciones p, q, r,
respectivamente?
a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e) VVF
8. Si la proposición compuesta:
(p q) (p r) es falsa, ¿Cuál
es el valor de verdad de las proposiciones
p, q, r, respectivamente?
a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e) VVF
9. Si la proposición compuesta:
(p q) (r t) Es falsa. Indicar las
proposiciones que son verdaderas.
a) p; r b) p; q c) r; t d) q; t e) p; r;
t
10.Si la proposición compuesta.
(p q) (s r) es falsa, ¿ cuál es del valor
de verdad de las proposiciones p, q, r, s,
respectivamente?
a) FFFV b) VVFF c) VVVF
d) VFVF e) VVFV
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 4 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
11.Sea: [(A B) → (C
→ D)] Verdadera. Luego:
i. (A B) C
ii. (A B) →
( C → D)
iii. ( A → C) (B → C)
iv. (A ↔ B) C
v. ( A ↔ B)
C.
Son verdaderas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) ii, iii,
v d) i, iii, v e) N.A.
12.De los siguientes esquemas:
( p q) ( p ↔ q)
[(p q) q] q
(p q) p
Indicar en el orden dado cuál es
Tautología (T), Contingencia (S) o
Contradicción (C):
a) T, C, S b) T, S, C c) C, T, Sd) S, T, C e) S, C, T
13.De la falsedad de la proposición :
(p q) (r s)
Se deduce que el valor de verdad de los
esquemas es:
[( p ↔ q) r] s
(r q) s (q ↔ p)
(r p) (r s)
a) VFV b) FFF c) VVV d) VVF e) FFV
14.Evaluar los siguientes esquemas y
mencionar si son tautologías,
contradicciones o contingencias.
( p q) (p ↔ q)
[(p q) p] q
(p q) ↔ [(p q) q]
15.Si: p # q = VVFV. Entonces: p # (p
# q) equivale a:
a) p q b) p q c) p d) q e) p → q
16.Si el esquema:
[(p q) ↔ (r →s)] → (
s → r) es falsa.
Reducir: [(w (p q)] ↔ (r s) p
a) V b) F c) w d) r e) w p
17.Si: p * q = ( p q) p. Señale
el valor de verdad de:
i. (p * q) q
ii. (p * q) p
iii. (p * q) (q * p)
a) VFV b) VFF c) FFV d) FFF e) VVV
18.Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = V; V(r)
= F; V(s) = F. Hallar los valores de verdad
de:
( p ↔ q) ( r s)
(p q) ↔ (r s)
a) FV b) VF c) FF d) VV e) N.D
19.Si: [(r s) t] ↔ [r (s t)] es falso.
Señale la verdad o falsedad de:
i. (r ↔ s) (s ↔ t)
ii. (r s) ↔ (t s)
iii. [(r s) ↔ t] ↔ [r ↔ (s ↔ t)]
a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e)
FVF.
20.Si se sabe que la fórmula:
(p ↔ q) ( p q) es
falsa
Entonces el valor de verdad de:
(p r) (q s) es:
21.Sabiendo que la proposición “p” es
verdadera. ¿En cuales de los siguientes
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 5 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
casos, es suficiente dicha información para
determinar el valor de verdad de las
proposiciones
i. (p q) ↔ ( p q)
ii. (p q) (p r s)
iii. (p q) r
a) solo i b) solo ii c) solo i, ii d) Solo ii, iii e) en i, ii, iii
22.Si: p # q = VVFV.
Simplificar: {[p # (p # q)] q}
p
a) p q b) q c) p q d) p q e) (p q)
LOS PRINCIPIOS LÓGICOS Y LEYES
LÓGICAS
Son esquemas tautológicos, es decir, son
fórmulas formalmente verdaderas, ya que
están en función al orden de sus
componentes y no a los valores de los
mismos.
Una fórmula es una ley lógica si y solo si
cualquiera sea la interpretación
formalmente correcta que se haga de la
misma se obtiene como resultado una
verdad lógica.
Leyes lógicas :
Permiten transformar y simplificar formulas
lógicas:
1. Ley de Involución (doble negación):
a) ( p) ≡ p
2. Ley de idempotencia:
a) p p ≡ p
b) p p ≡ p
3. Leyes conmutativas:
a) p q ≡ q p
b) p q ≡ q p
c) p ↔ q ≡ q ↔ p
4. Leyes asociativas:
a) (p q) r ≡ p (q r)
b) (p q) r ≡ p (q r)
c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
5. Leyes distributivas:
a) r (p q) ≡ (r q) (r q)
b) r (p q) ≡ (r p) (r q)
c) p (q r) ≡ (p q) (p r)
d) p (q r) ≡ (p q) (p r)
6. Leyes de Morgan:
a) (p q) ≡ (~p ~q)
b) (p q) ≡ (~p ~q)
7. Leyes del Condicional:
a) p q ≡ p q
b) (p q) ≡ p q
8. Leyes del Bicondicional:
a) p ↔ q ≡ (p q) (q p)
b) p ↔ q ≡ (p q) v ( p
q)
9. Leyes de la Absorción:
a) p (p q) ≡ p
b) p ( p q) ≡ p q
c) p (p q) ≡ p
d) p ( p q) ≡ p q
10.Leyes de Transposición:
a) (p q) ≡ ( q p)
b) p ↔ q ≡ ( q ↔ p)
11.Ley de Exportación:
a) (p q) r ≡ p (q r)
12.Leyes de Identidad:
a) p F = F
b) p V = p
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 6 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
c) p V = V
d) p F = p
13.Complemento:
a) p p = V
b) p p = F
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplificar: [ (
p q) p] q
a) p ~q b) p q c) p d) ~q e) q
2. Simplificar el esquema:
[( p q) (s s)]
q
a) p q b) p c) p
q d) q e) N.A.
3. Simplificar el esquema: ( p q)
(q p)
a) p q b) p c) p q
d) q e) (p q)
4. Se define: p ◊ q = (p q) (q
p)
Simplificar: [(p ◊ q) q] [p (q ◊
p)]
a) p b) q c) p d) V e) F
5. Simplificar el esquema:
[(p q) (q p) r] p
a) p q b) p q c) p d)
q e) q
6. Simplificar el esquema: ( p q)
(q p)
a) p q b) p c) p q
d) q e) (p q)
7. La siguiente proposición:
[( p q) (p q)] ( p
q) equivale a:
a) p q b) p q c) p q
d) p q e) N.A.
8. Simplificar el esquema:
[ (p q) (q p)] (p
q)
a) p b) q c) p d) p q
e) p q
9. Si: p * q ≡ p q
Simplifique: [(p q) * (
p)] * [(p q) *q]
a) p b) q c) p q d) p q
e) p q
CIRCUITOS LÓGICOS
Entre algunas aplicaciones de la lógica
aparece la construcción de circuitos lógicos
en la Electrónica y la Cibernética. Para
cualquier formula proposicional podemos
construir un circuito eléctrico basándose en
3 conectores u operadores: (, , ).
Los circuitos eléctricos están formados
por conmutadores o interruptores que son
los órganos que impiden o dejan pasar la
corriente eléctrica.
Los interruptores también llamados
conmutadores son los elementos que
participan en la instalación eléctrica: son de
dos tipos:
Conmutador cerrado: permite el
paso de la corriente eléctrica y equivale a
un dato verdadero que numéricamente
toma el valor de 1.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 7 cel: 991345677
pq
~ q
~ p
p q
~ pq
q
~ p
~ q
p
A B
~ p
q r
~ p
q
~ q
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Conmutador abierto: impide el paso
de la corriente y equivale a un dato falso
que numéricamente toma el valor de 0.
Tipos de circuitos
Circuito en serie : constan de dos o más
interruptores, donde un interruptor esta a
continuación de otro y así sucesivamente, el
grafico de un circuito en serie es la
representación de una formula proposicional
conjuntiva.
Se representa: (p q)
Circuito en Paralelo : consta de dos o
más interruptores, donde un interruptor está
sobre otro o en la otra línea y así
sucesivamente. El grafico de un circuito en
paralelo es la representación de la fórmula
proposicional disyuntiva.
Se representa: (p q)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simboliza cada circuito en los diagramas
que se presentan a continuación.
2. Señale el circuito equivalente más
simplificado de la proposición:
[(pq) p] [ p ( p q)]
3. Se tiene:
El costo de instalación de cada interruptor
es de S/. 12. ¿en cuánto se reducirá el costo
de la instalación si se reemplaza este
circuito por su equivalente más simple?
a) S/.48 b) S/.60 c) S/.72 d) S/.36 e) S/.24
4. Diseña los circuitos lógicos de las
siguientes proposiciones:
(p r) ( q s)
p [(s r) ( q
p)]
p q (r p q)
(p q) [(r q) s]
5. Simbolizar:
Si la proposición que se obtiene es falsa.
¿Cuáles son los valores de p y q
respectivamente?
a) VV b) VF c) FV d) FF e) N.P
6. Expresa como un circuito más
simplificado:
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 8 cel: 991345677
pq ~ r
~ qr
q ~ p
~ q r
p q~ r
~ s~ t
p q
r s t
p
~ p r
~ r~ p r
~ q p
p q
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
7. El equivalente del siguiente circuito es:
8. Determinar el circuito equivalente:
a) p q b) p q c) p q d)
p q e) N.A.
9. Hallar el circuito más simplificado de la
proposición: p {q [p ( p r)]}
10. Por la instalación del siguiente circuito
se ha pagado S/. 210.
¿Cuánto será el mínimo valor que se
pagará en la instalación de un circuito
equivalente al mismo?
FORMALIZACIÓN Y TRADUCCIÓN
PROPOSICIONAL
Formalización Proposicional es el
procedimiento mediante el cual se
identifican proposiciones simples y
estructuras lógicas proposicionales,
asignándoles a cada uno un determinado
símbolo del lenguaje de lógica proposicional
organizándolos con signos de agrupación.
Dentro de los términos del lenguaje
natural que designan operadores
proposicionales tenemos:
Negador: A
- Es falso que A - Es absurdo que A
- Es mentira que A - Es inconcebible que A
- Es negable que A - No ocurre que A
- Es inadmisible A - Es refutable A.
Conjuntor: A B
- A pero B - A sin embargo B
- A incluso B - A tanto como B
- A así mismo B - A también B
- A al igual que B - A no obstante B.
- No solo A también B
Disyuntor: A B
- A o también B - A o incluso B
- A a no ser B - A y/o B
- A o en todo caso B - A y bien o también
B
- A excepto que B - A a menos que B
- A salvo que B - A o bien B
- A alternativamente B
Implicador: A B
- Puesto que A entonces B - A por lo
tanto B
- A luego B - Ya que A entonces
B
- A solo si B. - Siempre que A entonces
B
- A consecuentemente B - A solo cuando B
- Dado que A entonces B - A implica a B
- A es condición suficiente para B
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 9 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Biimplicador: A ↔ B
- A siempre y cuando B
- A es condición suficiente y necesaria para
B
- A porque y solamente B
- A es suficiente y B también
- A es equivalente a B
- A es lo mismo que B
- A implica y esta implicado por B
- Solo si A entonces B.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sean las proposiciones simples:
p: Carlos juega futbol
q: Ángel juega ajedrez
r: Rosa juega vóley.
Simboliza el siguiente enunciado: “no es
cierto que Carlos juegue futbol o que Rosa
practique vóley, pero si Ángel no practica
ajedrez, entonces Rosa no practica vóley y
Carlos no juega futbol. En consecuencia
Ángel juega ajedrez y Carlos juega futbol”
2. El argumento: “Eres Ingeniero o
Matemático. Pero no eres profesional en
matemáticas. Por tanto eres profesional en
Ingeniería”. Se simboliza:
a) [(p q) ~q] p
b) [(p ↔ q) ~q] p
c) [(p q) ~q] p
d) [(p q) ~q] p
e) N.A
3. Sean las proposiciones simples:
p: Ángel estudia.
q: Ángel trabaja.
Simboliza el siguiente enunciado: “Ángel
estudia o trabaja, pero si no estudia
entonces trabaja. En consecuencia, Ángel
no trabaja”
4. La proposición: “Habrá aros y sortijas
refulgentes siempre que el oro sea derretido
además moldeado”, se formaliza:
a) (p q) (r s)
b) r (p q)
c) (r s) (p q)
d) (r s) (p q)
e) (p q) ↔ (r s)
5. Formalizar: “Si en Marte no hay agua;
entonces no hay vida; en consecuencia, no
hay marcianos ni platillos voladores”
a) ~p [~q (~r ~s)]
b) (~p q) (~r ~s)
c) (~p ~q) (~r ~s)
d) ~p [~q (~r ~s)
e) (~p ~q) (~r ~s)
6. La proposición “Si caigo, me levanto. Si
me levanto, camino. Por tanto ya que caigo
bien se ve que camino”. Se formaliza:
a) [(pq) (q r)] (p r)
b) [(pq) (q r)] (p r)
c) [(pq) (q r)] (p r)
d) [(p q) (q r)] (p r)
e) N.A.
7. “Si Alondra depende de Bárbara entonces
también depende de Clotilde. Y, si depende
de Clotilde, depende de Dalia, mas, si
depende de Dalia luego depende de
Ernestina. Por tanto, ya que alondra
depende de Bárbara en tal sentido depende
de Ernestina” se simboliza:
a) [(A B) (B C)] (C D) (A E)
b) [(A B) (B C)] (C D) (A D)
c) [(A B) (B C)] (C D) (A D)
d) [(A B) (B C)] (C D) (A D)
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 10 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
e) N.A.
8. En la siguiente expresión: “El alcalde
será reelegido, si mantiene el ornato de la
ciudad o no aumenta el impuesto predial”
su formalización es:
a) (q r) ~p
b) (q ~r) p
c) p (q ↔ r)
d) p (q r)
e) N.A.
9. Dada la proposición “Juan será
encontrado culpable, si hoy rinde su
instructiva, por tanto si hoy rinde su
instructiva, dirá la verdad. Juan no será
encontrado culpable, si no dice la verdad”.
La formalización correcta es:
a) [(A B) (B C)] (~C ~A)
b) [(A B) (B C)] (~C ~A)
c) [(A B) (B C)] (~C ~A)
d) [(B A) (B C)] (~C ~A)
e) N.A.
10. La proposición: “Siempre que y sólo
cuando haya explosión nuclear, habrá
radioactividad. Sin embargo, al haber
radioactividad luego habrá mutaciones. Por
lo tanto la explosión nuclear es condición
suficiente para las mutaciones”, se
simboliza:
a) [(A B) (B C)] (A C)
b) [(A ↔ B) (B C)] (A ↔ C)
c) [(A ↔ B) (B ↔ C)] (A C)
d) [(A ↔ B) (B C)] (A C)
e) N.A.
11. La traducción correcta de la formula
proposicional: (B A) ~( ~B ~A) es:
a) Si actúo entonces soy consciente; por
lo tanto si no actúo entonces no soy
consciente
b) Pienso porque existo. En consecuencia
no pienso porque no existo
c) Sale el sol si es de día, luego, es falso
que si no sale el sol luego no es de día.
d) Hace calor siempre que sea verano.
Entonces es falso que si no hace calor luego
es verano
e) N.A.
12. Dado el siguiente argumento: “Si sudo
es porque corro. Cierro los ojos entonces
duermo. Pero no corro o no duermo; en
consecuencia no sudo a menos que no
cierro los ojos” la formalización correcta es:
a) [(B A) (CD) (~B ~D)] (~A ~C)
b) [(B ↔ A) (CD) (~B ~D)] (~A C)
c) [(A B) (CD) (~B D)] (~A C)
d) [(A B CD) (~B ~D)] (~A ~C)
e) N.A.
EQUIVALENCIAS NOTABLES
Las equivalencias notables permiten realizar
transformaciones, es decir, convertir unas
expresiones en otras, o unas formulas en
otras
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dado el esquema: [( p q) q]
(p q). Su equivalencia es:
a) Juan va al cine o estudia
b) Juan no va al cine o estudia
c) Juan va al cine y estudia
d) Juan no va al cine ni estudia
e) N.A.
Respuesta: a) Juan va al cine o estudia
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 11 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
2. La proposición “no es falso que sea
absurdo que, el león es un mamífero”,
equivale a:
i. El león no es domestico
ii. El león no es mamífero
iii. Es objetable decir que, el león sea
mamífero
iv. El león es mamífero o además vertebrado
v. No es innegable que, el león sea
mamífero
No son ciertas, excepto:
a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) iii, v d) ii, iii, iv e) N.A.
Respuesta: d) ii, iii, iv
3. Que se concluye de la expresión “No río a
menos que reniegue. No reniego excepto
que esté tranquilo”
a) Ni río ni estoy tranquilo
b) No estoy tranquilo salvo que reniegue
c) Río porque estoy tranquilo
d) No río salvo que esté tranquilo
e) N.A.
Respuesta: d) No río salvo que esté
tranquilo
4. La expresión: “Si la televisión es
antinacional por tanto es alienante. Sin
embargo no es mentira que sea alienante”.
Es equivalente a:
a) La televisión es antinacional
b) Es falso que la televisión no sea
antinacional
c) No es verdad que la televisión sea
antinacional y alienante
d) Todas
e) La televisión es alienante.
Respuesta: e) La televisión es alienante.
5. La proposición: “los cetáceos tienen
cráneo si y solo si son vertebrados”,
equivale a:
i. Tienen los cetáceos cráneos y no son
vertebrados, a menos que, ni son
vertebrados ni tiene cráneo.
ii. Tienen cráneo o no son vertebrados, así
como, son vertebrados o no tiene cráneo.
iii. Si tiene cráneo, son vertebrados; tal
como; si son vertebrados, tienen cráneo.
iv. Los cetáceos son vertebrados o no tienen
cráneo, así como, tienen cráneo o no son
vertebrados.
v. Los cetáceos son vertebrados y no tiene
cráneo.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i, ii, v d) ii, iii, iv e)
N.A.
Respuesta: b) ii, iii, v
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El enunciado “Pablo no es rico pero es
feliz”. Se simboliza:
a) Es falso que, Pablo es rico o no es feliz
b) Pablo ni es rico ni feliz
c) Es incorrecto que si pablo es rico, es
infeliz
d) Pablo es rico o feliz
e) N.A.
2. Que se concluye de: “Si practicas pesas,
estás en forma. Si estas en forma, las chicas
te miran”.
a) No es el caso que practique deporte y las
chicas te miren
b) No es cierto que estés en forma o las
chicas te miren
c) Las chicas te miran y no practicas pesas
d) No practicas pesas o las chicas te miran
e) N.A.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 12 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
3. Dado el esquema molecular:
(p r) (p s) (q r) (q s) es equivalente
a:
a) Carmela recibió la carta también tomó el
bus. O también recibió el pedido salvo que
ofrezca el brindis
b) Carmela recibió la carta o también tomó
el bus. Del mismo modo recibió el pedido
salvo que ofrecerá el brindis.
c) Carmela recibió la carta al mismo tiempo
recibió el pedido, salvo que, Carmela tomó
el bus al igual que ofrecerá el brindis.
d) Carmela recibió la carta excepto que
recibió el pedido. Tal como, Carmela tomó el
bus a no ser que ella ofrecerá el brindis.
e) N.A.
4. Si la siguiente proposición es falsa:
“Si el viaje es muy largo entonces Luis
maneja con cuidado, o bien la carretera no
está bien asfaltada o Luis maneja con
cuidado; pero la carretera no está bien
asfaltada. Por tanto el viaje no es muy
largo.”
Se puede afirmar:
a) Luis maneja con cuidado y la carretera no
está bien asfaltada.
b) El viaje no es muy largo y Luis maneja
con cuidado.
c) El viaje es muy largo.
d) La carretera está bien asfaltada.
e) El viaje no es muy largo pero la carretera
esta bien asfaltada.
5. La negación de la proposición: “Juan no
viajó a Europa porque perdió sus
documentos” equivale a:
i. Es falso que Juan no perdió sus
documentos o Juan no viajó a Europa
ii. Juan perdió sus documentos y viajó a
Europa.
iii. Es mentira que si Juan viajó, entonces no
perdió sus documentos
iv. Juan viajó y perdió sus documentos.
v. Es absurdo que Juan no viajó, a menos
que no perdió sus documentos.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e)
Todas
6. La proposición “Es inadmisible que el
metabolismo se dé por catabolismo y
anabolismo” equivale a:
i. Metabolismo se da por catabolismo
entones no se da por anabolismo.
ii. Es absurdo que el metabolismo se da por
anabolismo también por catabolismo.
iii. El metabolismo se da por catabolismo y
anabolismo.
iv. Es falso que, si el metabolismo no se da
por catabolismo, luego no se da por
anabolismo.
v. El metabolismo no se da por catabolismo
o no se da por anabolismo.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) i, iv, v e) i, ii,
v.
7. El enunciado “Si has estudiado, entonces
pasarás de ciclo y no pagarás por segunda
matricula”. Es equivalente a:
a) Has estudiado entonces pasarás de ciclo
excepto que has estudiado y no pagarás por
segunda matricula.
b) Siempre que has estudiado por
consiguiente pasarás de ciclo, al mismo
tiempo, toda vez que has estudiado en
consecuencia no pagarás por segunda
matricula.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 13 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
c) Sólo si has estudiado, pasarás de ciclo y
no pagaras segunda matricula.
d) Si has estudiado no pasarás de ciclo y
pagarás por segunda matricula.
e) N.A.
8. El enunciado: “Sandra ni es profesora ni
es economista” equivale a:
a) Es falso que Sandra sea profesora así
como también economista.
b) Sandra es economista o profesora
c) Es incorrecto que Sandra fuera
economista será profesora.
d) Es falso que al no ser Sandra profesora
deducimos que será economista.
e) Si Sandra es economista, será profesora.
9. El enunciado: “La señal de corriente
alterna es sinusoidal del mismo modo que la
señal digital es cuadrada” equivale a:
i. La señal digital es cuadrada aunque de la
corriente alterna es sinusoidal.
ii. Es absurdo que la señal de corriente
alterna no es cuadrada.
iii. Es falso que la señal de corriente alterna
sea sinusoidal implica que la señal no sea
cuadrada.
iv. La señal digital es cuadrada implica que
la señal alterna sea sinusoidal.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) i, iv, v d) Todas e)
N.A.
10. Luis está de viaje. Pero Ricardo tiene
fiebre o también está agripado:
a) Luis está de viaje o Ricardo tiene fiebre.
Pero Luis está de viaje salvo que
Ricardo está agripado.
b) Luis esta de viaje sin embargo Ricardo
tiene fiebre. A menos que Luis está de viaje
aunque Ricardo esta agripado.
c) Luis esta de viaje así como Ricardo tiene
fiebre. A menos que Luis está de viaje y
Ricardo no está agripado
d) No solo Luis está de viaje también
Ricardo está agripado. A menos que, Luis
está de viaje y Ricardo tiene fiebre.
e) N.A.
LÓGICA CUANTIFICACIONAL
I. CUANTIFICADORES LÓGICOS
También llamados Cuantores son los
símbolos que determinan la cantidad de una
proposición categórica y son de dos tipos:
1. Cuantificador Universal: x
Para todo x
Para cada x
Para cualquier x
Cualquiera que sea x
Sean todos los x
Para cada una de las x.
2. Cuantificador Existencial: x
Existe x
Algunos x
Exista al menos un x
Tantos, ciertos, muchos x
Existe por lo menos un x
Pocos, muchos x
Hay al menos un x que.
II. EQUIVALENCIAS LOGICAS
Equivalencias entre cuantificadores con un
predicado (una variable).
~(x(Px)) x(~Px)
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 14 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
~(x(Px)) x(~Px)
x(Px) ~[x(~Px)]
~(x(~Px)) x(Px)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar los valores de verdad de las
negaciones de las proposiciones siguientes:
p: xN: x² > x
q: xZ: x + 1 > x
r: xR: x²= x
a) FFF b) FVF c) FVV d) VFF e)
VVF
2. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes
proposiciones?
i. x A: x ≤3 x > 4
ii. x A: x + 2 < 8 x – 1 > 5
iii. x A: x ≤3 x ≤2
Donde A = {1, 2, 3, 4}
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV
3. Hallar el valor de verdad de en A = {1, 2, 3}
i. ~[x/ x² = 4]
ii. ~[x/ x + 1>3]
iii. ~[x/ x + 2 = 5]
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A
4. Si. A = {1, 2, 3, 4}
P(n): nN: n² = n
Q(x): 2x + 1 > 8;
Hallar el valor de verdad de:
[n P(n)] [x Q(x)] [n P(n)] [x Q(x)]
a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Det. e) N.A.
5. Sean las proposiciones:
p: {xQ / x + 1/2 > 0}
q: {xI / x + 0 = π}
r: {xR / x² + 1 = 0}
Hallar el valor de: [(pq) r] ~q
a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Det. e) N.A.
6. Dadas las proposiciones:
p: ~{xQ, x + 2 > 0}
q: xN: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
r: xZ, x/x = 1
Hallar el valor de verdad de: (p q)r
a) F b) V c) V ó F d) No se puede Det. e) N.A.
7. Sí: A = {0, 2, 4, 6, 8} indicar el valor de
verdad de:
i. xA: x + 3 < 12
ii. xA: x + 3 < 12
iii. xA: xx+1
>0
a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e)
VFV
8. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} señalar el
valor de verdad de:
i. nA: n² ≤ 40
ii. mA: m² > 40
iii. nA: n² ≤25
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e)
VFV
9. Hallar el valor de verdad de:
i. (xR, | x |= x) (xR, x+1>x)
ii. ~xR, x² x
iii. ~[xN, | x | 0].
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e)
N.A.
10. Si “p q” sólo es verdadero cuando p y
q son ambos falsos. Hallar el valor de
verdad de: (~p q) (q ~r) si:
p: 2 es número impar
q: xA = {1, 2, 3}, x + 1 > 1
r: xB = {2, 4, 6}, x²= 9
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 15 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
a) F b) V c) V ó F d) No se puede Det. e) N.A
11. Si A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
p: xA, x + 3 > 2 x + 1 < 7
q: xA: x + 1 = 5 x – 2 = 1
r: xA: x + 2 > 0
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV
12. Sean las proposiciones:
p: xZ: (4x + 2) (3x – 7) = 0
q: xZ: (x2 2) (x – 1) < 0
r: xZ: (4x + 2) (3x – 7) = 0
Los valores de verdad son:
a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV
CUANTIFICADORES - FORMALIZACIÓN
DE PREDICADOS
La lógica cuantificacional, predicativa o de
los términos (clases o conjuntos) es aquella
que permite hacer un análisis más profundo,
refinado y riguroso que la lógica
proposicional. La razón básica es que esta
lógica permite el análisis de la Cantidad y
Cualidad de las proposiciones llamadas
categóricas.
Proposición
Categoría
Forma
Lingüística
Formalizació
n Lógica
Universal
Afirmativo
Todos los S
Son Px (Sx Px)
Universal
Negativo
Ningún S
Es Px (Sx ~Px)
Participativo
Afirmativo
Algún S
Es Px (Sx Px)
Participativo
Negativo
Algún S
No es P
x (Sx ~Px)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. El enunciado: “Existe al menos una cosa
que es bella”, se formaliza:
a) x (Bx) b) x (Bx) c) Bx d) ~x (Bx) e)
N.A.
Respuesta: b) x (Bx)
2. El enunciado: “Todo no es terrestre”, se
formaliza:
a) x ~(Tx) b) ~x (Tx) c) ~x
~(Tx) d) ~x (Tx) e) Tx
Respuesta: a) x ~(Tx)
3. La formula: x (~Ax), se traduce:
a) Cada uno no es lógico
b) Es verdad que muchos no son no lógicos
c) Varios no son lógicos
d) Todas
e) N.A.
Respuesta: c) Varios no son lógicos
4. El enunciado: “Ningún arácnido es
vertebrado”, es equivalente a:
a) Todo animal es arácnido a menos que sea
vertebrado
b) Para todo animal no es arácnido a menos
que no sea vertebrado
c) Es falso que algunos vertebrados no sean
arácnidos.
d) Todo vertebrado es arácnido
e) N.A.
Respuesta: b) Para todo animal no es
arácnido a menos que no sea vertebrado
5. El enunciado: “No existe dinero”, se
formaliza:
a) x (Dx) b) ~x (Dx) c) Dx d) ~x (Dx) e)
N.A.
Respuesta: a) x ~ (Tx)
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 16 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
6. El enunciado: “Es falso que todo
argentino sea sudamericano” es equivalente
a:
a) Todo argentino es sudamericano
b) Todo argentino no es sudamericano
c) Ningún argentino es sudamericano
d) Algunos argentinos no son
sudamericanos
e) N.A.
Respuesta: d) Algunos argentinos no son
sudamericanos
7. Identificar la proposición categórica
equivalente a: “Todo desleal es infiel”
a) Algún desleal no es fiel
b) Ningún fiel es leal
c) Algún fiel es desleal
d) Ningún desleal es fiel
e) N.A.
Respuesta: d) Ningún desleal es fiel
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El enunciado: “Dada cualquier x éste es
un mamífero”, se formaliza:
a) x (Mx) b) x (Mx) c) Mx d) ~x (Mx) e)
N.A.
2. El enunciado: “algunos no son felices”, se
formaliza:
a) x ~(Fx) b) x (~Fx) c) ~x
(~Fx) d) ~x (Fx) e) Fx
3. El enunciado: “Al menos un esquimal es
friolento”, es igual a:
a) x (Ax ~ Bx) b) ~x (Bx Ax) c)x
(Ax ~Bx) d) ~[x (Bx ~Ax)] e) N.A.
4. El enunciado: “No todo x es oro”, se
formaliza:
a) x (Ox) b) x (Ox) c) Ox d) ~x (Ox) e)
N.A.
5. En un universo finito; “Existen
profesionales” equivale decir:
a) Patricia es profesional o julia es
profesional
b) A menos que Juan es profesional, Ricardo
también es profesional
c) Carmen profesional o a la vez Teresa
también lo sea
d) Todas
a) N.A.
6. El enunciado: “Todos los profesores son
queridos”, se formaliza:
a) x (Px Qx) b) x (Px Qx) c) x (Px)
d) x (Mx Px) e) N.A.
7. El enunciado: “No todo lo que brilla es
oro”, se formaliza:
a) x (Bx Qx) b) x (Px ~Qx) c) x (Bx)
d) x (Bx Ox) e) N.A.
8. El enunciado: “Algunos niños son
infelices”, se formaliza:
a) x (Nx Fx) b) x (Nx ~Fx)
c) x (~Nx Fx) d) x (~Nx Hx) e) N.A.
9. El enunciado: “Todo pez es acuático”, se
formaliza:
a) x (~Ax ~Px) b) x (Px ~Ax)
c) x (Ax Px) d) x (~Ax Px) e) N.A.
10. La formula: "x (~Ax Bx), se traduce:
i. Cualquiera, a menos que no estudie,
ingresará a la UNJBG.
ii. Alguien no estudia o ingresa a la UNJBG.
iii. Cada uno no estudia excepto que a la
UNJBG ingrese
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 17 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
a) i, ii b) i, iii c) ii, iii d) Todas e)
N.A.
11. La formula: x (Ax ~Bx), se traduce:
a) Varios mamíferos no tienen onda
acústica.
b) Existe siquiera uno que no es periodista
c) Cada uno de los obreros jamás es
empresario.
d) Todas
e) N.A.
12. De las premisas: “Todos los cetáceos
son acuáticos”. Equivale a:
i. Es falso que algunos animales no
acuáticos sean cetáceos
ii. Es falso que algunos cetáceos no sean
acuáticos
iii. Ningún animal si no es acuático entonces
es cetáceo.
iv. Todos no son cetáceos o son acuáticos
v. Todos son acuáticos o no son cetáceos.
Son correctas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) Todas e)
N.A.
13. El enunciado: “Los embajadores siempre
reciben honores”, se formaliza:
a) x (Ex Hx) b) x (Ex ~Hx)
c) x (Ex ~Hx) d) x (Ex Hx) e) N.A.
14. El enunciado: “Algunos políticos son
honestos” equivale a:
a) Ningún político es honesto
b) Es falso que ningún político es honesto
c) Todo político es honesto
d) Algunas personas honestas no son
políticas
e) N.A.
18. La proposición: “Hubo varios pueblos
primitivos en África que fueron
antropófagos”, equivale a:
a) x (Ax Bx) b) ~x (Bx Ax) c)
~[x (~Ax ~Bx)] d) x (Ax Bx) e) N.A.
La geometría;
proveniente de dos
palabras griegas, Geo
(tierra) y metría
(medida) es una parte
de la Matemática que
estudia las propiedades
de las figuras y de los cuerpos, estudia
también la medida de las superficies y de
los volúmenes.
Su origen se remonta al
Medio Oriente, en
particular al Antiguo
Egipto unos tres mil años
antes de Cristo, por la
necesidad que tenían los
mismos de medir sus tierras de cultivo
cuyos límites eran borrados por las crecidas
del Río Nilo y en la construcción de
pirámides y monumentos.
Euclides es
conocido como el
padre de la
geometría, por su
gran aporte que
perduró sin
variaciones hasta el siglo XIX dentro de esta
rama de la matemática. Su geometría ha
sido extremadamente útil en muchos
campos del conocimiento; por ejemplo, en la
física, la astronomía, la química y diversas
ingenierías.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 18 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Otros campos de la geometría son la
geometría analítica, geometría descriptiva,
topología, geometría de espacios con cuatro
o más dimensiones, geometría fractal, y
geometría no euclidiana. La geometría es
con la aritmética, una de las primeras
ciencias que ha estudiado el hombre.
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
FUNDAMENTALES
EL PUNTO
El punto se caracteriza por no tener
dimensiones y en la geometría sirve para
indicarnos una posición en el espacio.
LA RECTA
La recta está formada por infinitos puntos
que se extiende infinitamente en ambos
sentidos y se lo designa así:
AB : Se lee “recta AB” l : Se lee “recta l”
SUBCONJUNTOS DE LA RECTA
1. Semirrecta
Consideremos una recta l que pasa por
los puntos A y B. si entre A y B tomamos un
punto “O”, la recta “l” queda dividida en los
siguientes subconjuntos: OA y OB.
El punto “O” se llama frontera (u origen)
y no pertenece a ninguna de las
semirrectas. Así:
2. Rayo
Llamaremos rayo a la figura formada por
una semirrecta y el punto de origen.
3. Segmento de recta
Dados dos puntos diferentes A y B de una
misma recta se denomina segmento AB,
denotado como AB, al conjunto de los puntos: A,
B y todos los puntos que estén comprendidos
entre A y B
La longitud de AB es un cantidad
positiva que expresa la distancia entre A y B
AB: Se lee segmento AB
Punto medio de un segmento
Se llama punto medio de un segmento, al
punto que divide al segmento en dos
segmentos parciales congruentes.
CASOS PARTICULARES
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 19 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Si en una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D el segmento EF que
une los puntos medios de AB y CD, se puede
expresar de la siguiente manera:
Si en una recta se tienen 4 puntos
consecutivos A, B, C y D; y además "C" es
punto medio del segmento BD, entonces se
cumple la siguiente igualdad:
DIVISIÓN ARMONICA
Sean A, B, C, y D puntos colineales y
consecutivos constituyen una “Cuaterna
Armónica” si se cumple:
RELACIÓN DE DESCARTES
La relación de Descartes se establece bajo
las mismas condiciones de la división
armónica y de donde se deduce la siguiente
relación:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. Sobre una recta se toman los puntos
colineales y consecutivos: A, B, C y D,
siendo AC=BD=6; AD=8. Hallar BC.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)
5
02. P, Q, R, y S son puntos consecutivos de
una recta, tal que PR = 16, QS =18 y PS
=25. Calcular “QR”.
A) 7 B) 6 C) 9 D) 8 E) N.A03. Sean los puntos consecutivos y
colineales A, B, M, C y D, siendo “M” punto
medio de AD. Hallar CD, si: AB + CD = 10,
BM – MC = 2.
A) 6 B) 4 C) 2 D) 5 E) 1
04. En una recta se ubican los puntos A, B,
C y D tal que AB3
=BC=CD2
, siendo AD=12.
Calcule BC.
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E)
N.A
05. Sobre una recta se tienen los puntos
consecutivos y colineales: A, B, C, D y E.
Si: AB=3; BC=4; CD=5; DE=6. Calcular:
AD+AB+DEAE−CE
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
06. Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A, B, C y D. Calcular BD, si:
BC=6, ABCD
=23
y ABBC
= ADCD
A) 12 B) 16 C) 18 D) 22 E)
24
07. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D; si AB=x-y;
BC=x+y; CD=2y-x y AD=24. Calcular la Prof: Roberto Carlos Castro Catari 20 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
suma del mínimo y máximo valor entero
que puede tomar x.
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E)
24
08. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y D, entre los puntos B y
D se toma el punto C. Si: CD=4AC y BD–
4AB=20. Halle: BC
A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1
09. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D. Halle BC. Si: AB =
4; CD = 6 y 1AB
+ 1AD
= 2AC
.
A) 3 B) 2 C) 3,5 D) 1,5 E) 2,5
10. En una recta se tienen los puntos
consecutivos P, Q, R y S. Calcular PR, Si (QR)
(QS) = k(RS – RQ) y PRPQ
− RSPR
=1
A) 2k B) K C) k3
D) k2
E) K4
11. Sobre una recta se dan los puntos
colineales y consecutivos A, B, C y D,
Calcular AC, si BD = 8 y (AB – CD)(AD +
BC)=36.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 6 E) 16
12. Sobre una línea recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C, D de manera
que se cumple: AD(CD-BC)=BD.CD, además:
2 AD−BDAD. AB
=mn Calcular AC.
A) mn B) m2
C) mn
D) n
2m E)
2nm
13. Sobre una línea recta se considera los
puntos consecutivos A , B , C ; D
determinados por la relación AB.CD =
K(BC.AD) además: 1AD
+ kAB
= 2kAC
Calcular
“K”
a) 1 b) 2 c) 13
d) 32
e) 3
14. En los puntos consecutivos que se
encuentran sobre una línea recta se cumple
que AB.CD=2AD.BC, además xAC
= yAB
+ zAD
. Calcular x + y + z
A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5
15. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si:
ABBC
=k, 1BC
= 1AC
+ 1BD
. Halle CDBC
A) k B) 1k
C) k3
D) k2
E) 2k
16. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C y D, donde B es punto
medio de AC. Encontrar BD. Si
AC.BD+CD2=12+AB2
A) 4 b) 3√3 c) 2√2 d) √3 e) 2√3
17. Sobre una línea recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C, D de manera
que AB.CD=n.BC.AD y 1AD
+ nAB
= 7AC
Hallar
“n”
A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5
18. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D
sobre una línea recta tal que
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 21 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
AB.AD=3.BC.CD, además 1CD
+ 4AC
=√3 .
Calcular AB.
A) 1 B) 2 C) √2 D) √3 E) 2
√3
19. Sobre una recta se toma los puntos
consecutivos A, B y C luego se toma el
punto medio M del segmento BC, de modo
que AB2+AC2=x.(AM2+BM2). Encontrar “x”.
A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 0,5
20. Sobre una recta se tiene los puntos
consecutivos A, B, C, D y E. Hallar AE,
sabiendo que AB + CE = 28; BE – CD = 22
y AE – DE=20.
a) 32 b) 35 c) 38 d) 26 e) 42
21. Un segmento AB=7, el cual se divide en
3 partes. La razón de la primera y la
segunda es 32
y de la Segunda y la tercera
es 45
; hallar el mayor segmento.
a)4 b)3 c)5 d)6 e)8
22. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C, D, E y F, de modo
que AB = BC = CD y CF = 2BE = 4AD. Si
EF = 14. Hallar CE.
A) 5 B) 8 C) 10 D) 14 E)
N.A
23. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A0, A1, A2,…, An tal que: A0A1 =
1, A0A1 = 12, A1A2 =
14 , A2A3 =
18 ,…
Calcular: A0An
A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1
24. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos O, A, B y C. calcule OA. Si
1OC
+ 1OB
= 1OA
, (AB).(AC)=289
A) 11 B) 19 C) 13 D) 15 E)
17
25. Sean los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D tal que; (AB) (AD) =3
(BC) (CD), además PCD
+ QAC
= mAB
. Hallar
(P+Q)m.
A) 125 B) 256 C) 64 D) 8 E)
N.A
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Sobre una recta se toma los puntos
consecutivos A, B, C y D. Calcular “n” si:
AB.BD=AD.BC y 1AB
+ 1BD
= n−18.BC
A) 11 B)9 C) 10 D) 12 E) N.A
02. En un recta se ubican los puntos
consecutivos A, B C, D y E de modo AB, BC,
CD y DE están en progresión geométrica. Si
AE = 8, Calcule AC (AB+CD )
AB
A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5
03. Sobre una línea recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C, D tal que
AB.CD=AD.BC, AB.BC=13, AD.CD=38. Hallar
BD.
A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 5
04. En los puntos consecutivos A, B, C, D, E
y F se cumple que AC+BD+CE+DF=42,
además BE=5. AF9
.Calcular BE.
A) 18 B) 21 C) 12 D) 15 E) 24
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 22 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
05. En los puntos colineales A, B, C, D se
cumple que AB.CD=x.AD.BC, además
1AD
+ xAB
=2x−3AC
Calcular “x”
A) 4 B) 2 C) 10 D) 3 E)
5
06. Sobre una línea recta se consideran los
puntos consecutivos A, B, C y D; de tal
manera que “B” es punto medio de AC,
además BD = 4 y 2AC+CD =13. Hallar BC .
A) 2 B) 1 C) 5 D) 3 E) 4
07. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C, D y E. Si: AE=110 y
AB=BC5
=CD7
=DE9
. Halle CE.
A) 68 B) 50 C) 70 D) 60 E) 80
08. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D; tal que CD es la
tercera parte de BC y AB es menor en 3 que
la mitad de BC. Si AD=63. Hallar el
complemento aritmético de AB.
a)5 b) 25 c) 45 d) 85 e)
985
09. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D; Sabiendo que
AC=18 y BD=34. Calcular la longitud del
segmento que une los puntos medios de AB
y CD.
A) 20 B) 23 C) 25 D) 26 E) 30
10. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, M, B, C, N y D; siendo M y N
puntos medios de AB y CD respectivamente.
Si BC=3 y MN=9; halle AD.
A) 12 B) 15 C) 9 D) 8 E) 18
11. Los puntos A, B, C, D y E están sobre
una recta de modo que n.AD=m.BE,
3.AB=2.CD, DE=2BC. si CD=9m-3n. Hallar
BC.
A) 5n-3m B) m+n C) n D) m E) N.A
12. Se dan los puntos consecutivos A, B, C,
D y E, siendo AC + BD +CE = 60. Hallar
AE, si: BD=78AE
A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E)
40
13. En una línea recta se toman los puntos
consecutivos y colineales A, B, C y D,
siendo AC + BD = 40 m. Hallar PQ si “P” es
punto medio de AB y “Q” es punto medio
de CD.
A) 40 B) 20 C) 10 D) 5 E) 1
14. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C y D; tal que BC=CD3
y
3AB+AD=20. Calcular AC.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
15. En una recta se tiene los puntos
colineales A, B y C; luego se ubica M
punto medio de BC. Si: BC=4 y AB·AC=3.
Halle AM
A) 3 b) 5 c) 4 d) √7 e) 1
16. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D,
y E; situados de tal forma que AC + BD +
CE=45; si AEBD
=32 . Calcular “AE”
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
17. Se tienen los puntos consecutivos A, B,
M, C, donde M es punto medio de BC, MC=4,
además 2AM=3BC. Calcular AC
A) 16 B) 14 C) 12 D) 20 E) 18
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 23 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
18. En una recta se tiene los puntos
colineales A, B, C y D. si AB x BD = AC x CD.
Hallar: AB2−CD2
A) 4 B) 2 C) 0 D) 5 E) 1
19. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D,
E y F tal que: AC+BD+CE+DF=40 y
BE=37AF. Calcular “AF”
A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
20. Se tienen los puntos colineales A, B, C y
D; luego se ubican los puntos medios M y N
de AB y CD respectivamente. Si: AC=8 y
BD=16. Halle: MN.
A) 8 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13
21. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C, luego se toman los
puntos medio M de AB y N de BC tal que
MN=4, además BC=3AB. Calcular AB.
A) 3 B) 4 C) 2 D) 1,5 E) 1
22. Sobre una línea recta se toman los
puntos consecutivos A, B, C, D tal que B es
punto medio de AD. Hallar: 32 ( AC−CDBC )
A) 4 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 5
23. Los puntos A, B, C, D se encuentran
sobre una línea recta de modo que BC=CD.
Calcular AB2+AD2
BC 2+AC 2
A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 0,5
24. Sobre una recta se toma los puntos
consecutivos A, B, C, D, E, con la condición
AC+BD+CE=44. Hallar AB. Si AE=25 y
DE=2AB
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E)
N.A
25. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D, E de tal manera que
BD+2 ABAB
= BD+2DEDE
y BE=22. Calcular AD.
A) 21 B) 19 C) 20 D) 22 E) N.A
26. Los puntos consecutivos A, M, B, C se
encuentran sobre una recta de modo que M
es punto medio de AB. Calcular AC+BC, si
MC=8
A) 18 B) 24 C) 16 D) 12 E) 14
27. En los puntos colineales A, B, C, D y E
se cumple que AB=CD, AB.DE=CD.AD;
BC+DE=6. Hallar BD.
A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5
ÁNGULOS
Se llama ángulo a la reunión de dos rayos
que tienen el mismo origen. Los dos rayos
se llaman lados del ángulo y su origen se
llama vértice.
En el gráfico adjunto OA y OB son los lados
y “O” es el vértice del ángulo.
El ángulo mostrado en la figura se denota
por: ∢ AOBó∢BOA
La medida del ángulo AOB se denota por
m∢AOB, así en la figura:
m∢AOB=α
NOTA: La medida de un ángulo geométrico
es un número real y positivo comprendido
entre 0° y 360°.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 24 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Bisectriz de un Ángulo
Es el rayo cuyo origen es el vértice del
ángulo y que lo divide en dos ángulos
congruentes.
Para la figura adjunta diremos que OM
biseca al ángulo AOB, si:
m∢AOM=m∢MOB=m∢ AOB2
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según su medida.
a)Ángulo nulo : Los dos lados coinciden, su
medida es 0°.
m∢AOB=0 °
b)Ángulo agudo : Es aquel cuya medida
está comprendida entre 0° y 90°.
c) Ángulo recto : Es aquel cuya medida
mide 90.
Decimos que OA y OB son perpendiculares y
escribimos:
OA⊥ OB
d)Ángulo obtuso : Es aquel cuya medida
está comprendida entre 90° y 180°.
Según sus características
a)Ángulos complementarios : son dos
ángulos cuyas medidas suman 90°. Se
dice que uno cualquiera de ellos es el
complemento del otro.
El complemento del ángulo α, se denota
C(α). Luego:
C(α) = 90° - α , α < 90°
b)Ángulos suplementarios: son dos
ángulos cuyas medidas suman 180°. Se
dice que uno cualquiera de ellos es el
suplemento del otro.
El suplemento del ángulo α, se denota
S(α). Luego:
S(α) = 180° - α
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 25 cel: 991345677
BO
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
c) Ángulos adyacentes: son dos ángulos
que tienen el mismo vértice y un lado
común, además los lados no comunes
están situados en distintos semiplanos
determinados por el lado común.
d)Ángulos consecutivos: son aquellos
ángulos ordenados de forma que
compartan un lado con el ángulo
siguiente y todos tengan el mismo
vértice.
e)Ángulos opuestos por el vértice : Son
dos ángulos tales que los lados de uno
son los rayos opuestos de los lados del
otro.
OBSERVACIONES:
01. Los ángulos adyacentes son
suplementarios. (Par lineal)
02. Ángulos formados a un mismo lado de
una recta.
03. Ángulos formados alrededor
de un punto.
α + β + θ + φ + δ =360°
04. Cuando a un ángulo recto se le divide en
varios ángulos consecutivos, las
medidas de dichos ángulos suman 90°.
PROPIEDADES IMPORTANTES
N° par de veces.
- CCC…Cα = α
- SSS…Sα = α
N° impar de veces.
- CCC…Cα = 90° – α
- SSS…Sα = 180° – α
SCα = 90° + α
CSα = α – 90°
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 26 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Sα – Cα = 90°
Teorema: las bisectrices de dos ángulos
adyacentes suplementarios forman un
ángulo que mide 90°.
α + β = 90°
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las
bisectrices de dos ángulos adyacentes y
complementarios?
A) 30° B) 35° C) 40° D) 45° E) 50°
02. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB
son complementarios; m∢AOD+ m∢
AOB=120°. Calcule la m∢DOC.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
03. Si a la medida de un ángulo se le
disminuye su suplemento resulta 20°.
¿Cuánto mide dicho ángulo?
A) 100° B) 80° C) 20° D) 180° E)
130°
04. Se tiene los ángulos consecutivos AOB;
BOC y COD, tal que: m∢AOD=148° y m∢
BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos
AOB y COD.
A) 90° B) 95° C) 92° D) 93° E) N.A
05. Las medidas de dos ángulos
complementarios están en la relación de 4 a
5. Calcular el suplemento del mayor.
A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E)
150°
06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD cuyas medidas son
proporcionales a 4; 3 y 5 respectivamente,
tal que la m∢AOD=120°. Calcular la m∢
AOC.
A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 80°
07. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD, tales que: m∢AOC=45, m∢
BOD=65° y m∢AOD=100°. Calcular la m∢
BOC.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
08. La suma de las medidas de dos ángulos
es 70° y el complemento del primero es el
doble del segundo ángulo. Calcular la
diferencia de las medidas de dichos ángulos.
A) 30° B) 45° C) 60° D) 70° E) 80°
09. Calcular “x”, si θ – β = 6°.
A) 60° B) 54° C) 63° D) 57° E) 66°
10. Se tiene dos ángulos consecutivos AOB
y BOC de manera que OM es bisectriz del
ángulo BOC. Si la m∢AOB+m∢AOC=136°,
calcular la m∢AOM.
A) 44° B) 58° C) 72° D) 68° E)
88°
11. Se tiene los rayos coplanarios OA, OB,
OC, OD y OE; Calcular la m∢AOD. Sabiendo
que OB es bisectriz del ∢AOC, m∢AOB + m
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 27 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
∢AOE=81° y m∢COD = 2m∢DOE.
A) 27° B) 40,5° C) 36° D) 54° E)
48°
12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y
BOC, tal que OM es bisectriz del ángulo
AOC. Si: m∢BOC - m∢AOB = 50°, calcular la
m∢BOM.
A) 20 B) 25° C) 40° D) 45° E)
50°
13. Calcular la m∢AOB, si Sα+Cβ = SCθ+40°.
A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E)
150°
14. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD tal que sus medidas suman
180°, además la m∢BOC=40°. Calcular la
medida del ángulo que forman las
bisectrices de los ángulos AOC y BOD.
A) 70° B) 80° C) 40° D) 50° E)
45°
15. Si a uno de dos ángulos suplementarios
se le disminuye su complemento para
agregárselo al otro; éste nuevo ángulo
resulta ser ocho veces lo que queda del
primero. Calcular el menor de dichos
ángulos suplementarios.
A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E)
70°
16. Se tiene los ángulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC, se traza las
bisectrices OM y ON de los ángulos AON y
BOC respectivamente. Si la m∢MOB = 60°,
calcular la m∢MOC.
A) 120° B) 110° C) 90° D) 100° E) 105°
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si la sexta parte del suplemento del
complemento de un ángulo es igual a 1/3 de
9° menos que su complemento, calcule la
medida del ángulo.
A) 32° B) 16° C) 48° D) 24° E) 30°
02. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo
recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo
recto, calcule el complemento de su
diferencia.
A) 30° B) 78° C) 18° D) 48° E) 60°
03. En el gráfico, calcule, cuando "x" sea
máximo. Siendo: x = (6a - a2)°
A) 0° B) 39° C) 35° D) 36° E) 30°
04. El doble del complemento de un ángulo
sumado con el suplemento de otro ángulo
es igual al suplemento del primer ángulo.
Calcule la suma de las medidas de dichos
ángulos.
A) 100° B) 45° C) 90° D) 180° E) 160º
05. Sean los ángulos consecutivos AOB y
BOC, tal que m∢BOC=m∢AOB+36°. Se
trazan las bisectrices OX, OY y OZ de los
ángulos AOB, BOC y XOY respectivamente.
Calcular la m∢BOZ.
A) 8° B) 9° C) 12° D) 18° E) 27°
06. Del gráfico, calcule el valor de la razón
aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su
mínimo valor entero.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 28 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
A) 8° B) 3° C) 4° D) 5° E) 6°
07. La suma del complemento de un ángulo
y el suplemento de otro ángulo es 140°.
Calcular el suplemento de la suma de
ambos ángulos.
A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 80°
08. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD cuyas medidas son 20°; 40° y
70° respectivamente. Calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los
ángulos AOB y COD.
A) 65° B) 85° C) 75° D) 80° E) 70°
09. Si el suplemento del complemento del
suplemento de un ángulo es 130°, calcular
la medida de dicho ángulo.
A) 100° B) 115° C) 140° D) 150° E) 135°
10. Si al mayor de dos ángulos
complementarios se le quita 20° para
agregarle al otro; ambos se igualan, calcular
el menor de dichos ángulos
A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 45°
11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD. Calcular la m∢BOC, si m∢
AOD=90° y m∢AOC + m∢BOD=140°.
A) 20° B) 100° C) 25° D) 40° E) 50°
12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD; tal que OP, OQ; ¿ y OS son las
bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y
BOD respectivamente. Si: m∢POQ+m∢
ROS=144°, calcule la m∢AOD.
A) 144° B) 72° C) 288° D) 128° E) 124°
13. Calcule el menor valor entero que puede
tomar “x”.
A) 37° B) 53° C) 59° D) 62° E)
36°
14. La diferencia de las medidas de dos
ángulos es 40° y el triple del suplemento del
ángulo doble del primero es igual al duplo
del complemento del suplemento del ángulo
triple del segundo. Calcule la medida de
dichos ángulos.
A) 60° y 60° B) 30° y 90° C) 45° y
75° D) 70° y 50° E) 40° y 80°
15. El doble del complemento de un ángulo
aumentado en el triple del suplemento del
doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule
el suplemento de la medida de dicho
ángulo.
A) 30° B) 60° C) 120° D) 150° E)
135°
16. En el gráfico, el rayo OP es bisectriz del
ángulo AOD, siendo: m∢POC - m∢BOP =
20°.
Calcule m∢AOB - m∢COD.
A) 22° B) 40° C) 25° D) 10° E) 20°
17. Sean: AOB, BOC, COD, DOE y EOF
ángulos consecutivos tales que: m∢AOF =
154° y m∢AOD = m∢BOE = m∢COF.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 29 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Calcule la m∢BOC, si la medida del ángulo
formado por la bisectriz del ángulo COD y el
rayo OE es igual a 54°.
A) 23° B) 28° C) 63° D) 36° E) 75°
Calcular el valor de “x” en:
18. CCCCCCX+SSSSSSSSSS2X=
150°
19. CC……CCX + SS……SS3X= x + 60°
403 veces 523 veces
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
1. Rectas oblicuas.
Dos rectas en un plano son oblicuas
cuando al cortarse forman cuatro
ángulos diferentes de un ángulo recto.
Se lee: la recta L es oblicua a la
recta L1.
2. Rectas perpendiculares.
Dos rectas en un plano son
perpendiculares cuando al cortarse
forman cuatro ángulos que miden 90°
cada uno.
Se lee: la recta L es perpendicular
a la recta L1
3. Rectas paralelas.
Dos rectas en un plano son paralelas
cuando por más que se prolonguen no
llegan a cortarse.
Se lee: la recta L es paralela a la
recta L1
ÁNGULO ENTRE RECTAS PARALELAS
1. Ángulos correspondientes.
Uno interno y el otro externo, a un mismo
lado.
2. Ángulos alternos internos
Ambos internos, uno en cada lado.
3. Ángulos conjugados internos
Ambos internos y en un mismo lado.
PROPIEDADES
1.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 30 cel: 991345677
L L1
L L1
L/¿ L1
α = θ
α = θ
α+ θ=180°
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
2.
3.
4.
5.
6. Ángulos
paralelos
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
En cada caso hallar el valor del ángulo “x”,
si L1 // L2
01.
A) 35º
B) 45º C) 40º D) 25º E) 30º
02.
A) 35º B) 45º C) 40º D) 25º E) 30º
03.
A) 50º B) 45º C) 40º D) 55º E) 60º
04.
A) 10º B) 18º C) 20º D) 15º E) 20º
05.Si L1 // L2 calcular “x”.
A) 35º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
06.Si: L1 // L2, calcular “x + y”.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 31 cel: 991345677
x=α+ θ
x=90°
a+b+c=α+ θ
α+β+θ+Φ=180°
α+β+θ+γ+Φ=180°. n
n=N° de segmentos
3)4) 5)
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
A) 60º B) 70º C) 80º D) 90º E)
100º
07.Si: L1 // L2, calcular x+ y−z
2
A) 60º B) 70º C) 80º D) 90º E) 100º
08.Si: L1 // L2, calcular x
A) 60º B) 70º C) 80º D) 120º E) 100º
09.Calcule el menor valor entero de “x” si: θ es obtuso.
A) 24º B) 29º C) 60º D) 59º E) 23º
10.Si: L1 // L2, calcular x
A) 24º B) 29º C) 60º D) 59º E) 23º
11.Dada la siguiente gráfica, calcular x. Si L1 // L2
A) 56º B) 84º C) 54º D) 90º E) 72º
12.Si: L1 // L2, calcular x
A) 38º B) 24º C) 64º D) 32º E) 78º
13.Si: L1 // L2, calcular x
A) 10º B) 40º C) 30º D) 20º E) 50º
14.Si: L1 // L2, calcular x
A) 15° B) 10° C) 12,5° D) 22° E) 22°3015.En el grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 12º B) 22º C) 24º D) 26º E) 28º
16.Del grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 12º B) 22º C) 24º D) 26º E) 28º
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Si: L1 // L2, calcule "xº". Si: bº+wº = 220°.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 32 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
02.Del grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 80º B) 03.Calcular “x”, si L1 // L2
A) 15º B) 45º C) 30º D) 40º E) 12º04.Si: L1 // L2, calcular x
A) 143° B) 127° C) 150° D) 135° E) 165°05.Del grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 16º B) 32º C) 14º D) 29º E) 28º
06.En gráfico, si: L1 // L2 , además: Ф - θ =
75; calcular: “x”
A) 75º B) 85º C) 78º D) 76º E) N.A
07.Si L1 // L2, calcular “x”
A) 154° B) 115° C) 130° D) 144° E) 120°
08.Calcule "xº", si: aº + bº = 50º y L1 // L2
A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 65
09.Según el gráfico, calcule "xº", si: L1 // L2
A) 66° B) 85° C) 77° D) 70° E) 80°
10.Del grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 18° B) 9° C) 27° D) 30° E) 20°
11.Si: L1 // L2, calcule el máximo valor
entero de "xº", siendo el ángulo CAB
agudo.
A) 18° B) 17° C) 16° D) 15° E) 12°
12.Si: L1 // L2, calcule "xº".
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 33 cel: 991345677
L2
L1
L2
L1
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
A) 34° B) 48° C) 82° D) 98° E) 49°
13.Calcule "xº", siendo: L1 // L2
A) 60° B) 75° C) 105° D) 135° E) 140°
14.Del gráfico, calcule el valor de " θ "
cuando "x" toma su mínimo valor
entero par. Si: L1 // L2
A) 34° B) 32° C) 28° D) 29° E) 30°
“La dicha de la vida consiste en tener siempre algo que hacer, alguien a quien
amar y alguna cosa que esperar”
Thomas Chalmers
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 34 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 35 cel: 991345677
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
15.Del grafico L1 // L2, calcular “x”
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º
16.Si: L1 // L2, calcular x
A) 15º B) 75º C) 50º D) 25º E) 35º
17.Calcular “x”, si: a + b = 300º. (L1 // L2).
A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
18.
A) 40º B) 45º C) 50º D) 55º E) 60º
19.En el gráfico: L1 // L2, L3 // L4, L5 // L6,
calcule: xº+yº.
A) 170° B) 180° C) 210° D) 235° E) 245°
20.Si: L1 // L2, calcule θ
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 36 cel: 991345677
55°
11
y°
x°
L6
L5
L4
L3
L2
L1
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
A) 10º B) 40º C) 30º D) 20º E) 50º
21.Si: L1 // L2 y α + β = 66º. Calcular el valor
de “y”
A) 76º B) 65º C) 81º D) 79º E)
N.A
19. El enunciado “Todas las proteínas son
compuestos orgánicos” equivale:
i. Todos los que no son proteínas o son
compuestos orgánicos
ii. Es absurdo que algunos que no son
compuestos orgánicos sean proteínas.
iii. Ninguno que no es compuesto orgánico
es proteína
iv. Ninguna proteína es compuesto orgánico
v. Es falso que algunas proteínas sean
compuesto orgánicos.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv d) i, iii, v e) i, iv, v
23.Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = F; V(r) =
F. Hallar los valores de verdad de:
a. ( p q) (r r)
b. (p q) ↔ (q r)
c. (r p) (p q)
a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e)
VVF
24.Determinar el valor de verdad de cada
una de la siguientes proposiciones:
I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8
II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo
si 4 + 4 = 10.
III. Madrid está en España o Londres
está en Francia.
a) VFV b) VVV c) VFF
d) FVF e) FFF
25.La fórmula:
[(p q] r] ↔ [p (q r)] es:
a) Tautología b) Contingencia c) Contradicción
26.Sabiendo que:
(p ↔ q) es falsa
(q r) es verdadera
(r t) es verdadera
Deducir los valores de verdad de p, q, r y
t.
a) VFVF b) FFFV c)
VVVF
d) FFVV e) FVFV
10. Simplificar: [ (p q) q)
p
a) p b) p c) V d) F
e) N.A.
11. Simplificar el esquema:
p {q [p ( }p r)]}
a) p q b) p q c) p d)
p e) q
11. Simplificar el siguiente circuito:
a) p b) q c) p d) p q e) q
13. Hallar la equivalencia a: “Es falso que
si Ud. ve un gato negro entonces tendrá
mala suerte”
a) Ve un gato negro y tiene mala suerte
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 37 cel: 991345677
L2
L1
Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE
b) no tiene mala suerte si ve un gato
negro
c) Ve un gato negro y no tiene mala
suerte
d) Ve un gato negro si tiene mala suerte
e) N.A.
14. Sean las proposiciones:
p: hoy es domingo
q: Samantha va al cine
Simboliza el siguiente enunciado:
“Si hoy es domingo, Samantha va al
cine. Samantha no va al cine, en
consecuencia, Samantha va al cine”
15. La proposición: “Es absurdo que, los
sueldos no tienen capacidad adquisitiva,
pero los trabajadores protestan”. Se
formaliza como:
a) A ~B b) ~A ~B c) A ~B d) ~A ~B e)
N.A
27.Si la proposición compuesta
p (q p) es verdadera, determinar el
valor de verdad de:
(p q) ↔ p
( p q) (
p q)
( p ↔ q) ( p
q)
a) VFV b) FFF c) FVV d) FVF e) FFV
12. Simplificar el siguiente circuito:
a) p q b) p q c) q d) (p q) e) p q
15. La negación de la proposición: “Benito
no viajo a Europa porque perdió sus
documentos” equivale a:
i. Es falso que Benito no perdió sus
documentos o Benito no viajo a Europa.
ii. Benito perdió sus documentos y viajo a
Europa.
iii. Es mentira que si Benito viajó, entonces
no perdió sus documentos
iv. Benito viajó y perdió sus documentos.
v. Es absurdo que Benito no viajó, a menos
que no perdió sus documentos.
Son ciertas:
a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e)
todas
16. Sean las proposiciones:
p: Los astronautas son seres normales
q: Los científicos son seres normales
Dado el esquema: (p q) p.
Su equivalencia es:
a) Es falso que los científicos son seres
normales, excepto que los astronautas son
seres normales.
b) Los científicos son seres normales a no
ser que los astronautas no son seres
normales.
c) Es falso que los científicos no son seres
normales.
d) No sólo los científicos son seres normales
también los astronautas son seres normales.
e) N.A.
Prof: Roberto Carlos Castro Catari 38 cel: 991345677