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Anamelba Espíritu Rodriguez

2 de Secundaria A-B-C-DI. E. 2026- SAN DIEGO

Contenido

1. Lógica Proposicional

2. Simbolización y valoración de proposiciones

3. Ejercicios aplicativos

Objetivo

• Presentar los conceptos básicos de la lógicaproposicional.

• Analiza y resuelve problemasmatemáticos de su entorno aplicandoreglas, principios e inferenciasrelacionados a la Lógica Proposicional .

Capacidad

Lógica Proposicional

La lógica es la rama del conocimiento que trata los modelos de razonamiento, mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es válido. El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemáticas. Aquí trabajamos con elementos básicos llamados Proposiciones. Enunciado: Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración. Proposición: Enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.

Ejemplos Son proposiciones lógicas: Orlando y Ana van a estudiar en la USS. Orlando llamó a Ana para salir. El autobús pasa a las siete. Mañana lloverá. Chimbote está entre Trujillo y Casma. El IFB forma profesionales para desempeñarse en las entidades

bancarias.

No son proposiciones lógicas: ¡Siéntate! ¿Cuándo sale el autobús? ¿Fueron a pescar Orlando y Ana finalmente? Las creencias, mitos o leyendas. Así como:“Dios es un ser

misericordioso” “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por elsol”

Las metáforas o refranes. Así como: “El Perú es un mendigo sentado enun banco de oro”. “Has el bien, sin mirar a quién”

Las supersticiones. Así como: “Hoy día me irá muy mal por ser Martes13” “Pase por debajo de una escalera”

SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como:

p, q, r, etc., con la finalidad de representar a cada proposición

declarativa.

Las variables proposicionales sólo pueden asumir los

valores de verdad (V) o falsedad (F).Así tenemos:

Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de verdad:p q .. p q ..

V V 1 1

V F ó 1 0

F V 0 1

F F 0 0

SIMBOLIZACIÓN

Se denominan conectivos lógicosa aquellas palabras o términos funcionales que ligan,juntan, unen o enlazan las proposiciones simplesformando proposiciones compuestas. Los operadores oconectores básicos son:

CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN

No ~ Negación

Y ^ Conjunción

o Disyuntiva inclusiva

o. . . o. . . Disyuntiva exclusiva

Si… entonces... Condicional

…si y sólo si … Bicondicional

Es un conectivo singular. Se denomina proposiciónnegativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Sedenota por: ~p, -p, p y se lee: “no p”. La negación, puedetraducirse como: Es falso que... No es el caso que ... Jamás ...Ejemplo: p = La luna es un satélite.

~p = No es cierto que la luna es un satélite.

Conectivos Lógicos:

Negación (~):

Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultadode unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Sedenota con el símbolo: “”, “”, se escribe “p q”, “p q” y selee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuandolas dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguajepodemos emplear: Sin embargo… Aún cuando… Noobstante… Pero, etc.Ejemplo:Consideremos las siguientes proposiciones:p: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en eltanque”q: “Tiene corriente la batería”Entonces:p q: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en eltanque y tiene corriente la batería”

Conjunción:

Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q”relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido delconectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva oexclusiva.Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p q”, “p + q”y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el casoque ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la sumalógica. Otras formas de conexión que nos indican unadisyunción inclusiva son:A menos que, Excepto que, O en todo caso, A no ser que, etc.

Ejemplo: Consideremos:p : “La USS es privada”q : “La USS es estatal”

Entonces:p q: “La USS es privada o en todo caso la USS es estatal”

Disyunción:

Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: “p q”, “p V q”, “p q”, “p q”, “p q” y se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a emplear son: O ... o ... O bien ... o bien ... ... no equivale a ...No es cierto que...equivale a... O solo .... o solo ....

Ejemplo: Consideremos:

p : “viajo a España”q : “viajo a Brasil”

Entonces:

p q : “O viajo a España o viajo a Brasil”

Proposición compuesta que resulta de la combinación de dosproposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces...” y su símbolo es : “”, “”. La notación “p q”, “p q” selee “Si p , entonces q” ; proposición “p” se llama antecedente ohipótesis y la proposición “q” se llama consecuente oconclusión.

La manera de expresar la condicional en el ordenantecedente-consecuente (“p q” Implicación directa),son las siguientes:

Si p, entonces q p implica q p por ende q

Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q p” Implicación inversa), son:

q siempre que p Sólo cuando p, q q cada vez que p

Condicional:

Ejemplo: consideremos:p : “Llueva”q : “Mejorarán las cosechas”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por:

p q : “Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas”q p : “Mejoraran las cosechas siempre que llueva”

Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “... si y sólo si ...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición compuesta se denota por: “p q”, “p q”, “p q” y se lee: “p si y sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.También se suele emplear expresiones como:

…siempre y cuando… …por lo cual y según lo cual…Si y sólo si p, q …es lo mismo que…

Bicondicional:

Ejemplo: Consideremos:p : “Los bancos dan crédito”q : “Mirta labora en el IFB”

De tal manera que la representación del enunciado anteriorusando simbología lógica queda indicado por:p q : “Los bancos dan crédito siempre y cuando Mirtalabora en el IFB”.

RESUMEN DE TABLAS DE VERDAD

p q ~p p q p q p q p q p q

V V F V F V

V F F F

F V V

F F V F F V

VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

Hasta el momento hemos conocido la simbolización de las proposiciones tanto atómicas como las proposiciones moleculares. Para determinar los valores de verdad a las segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad de las proposiciones atómicas ya que, sólo ellas pueden recibir directamente los valores de verdad. Considere los siguientes ejemplos: Si los alumnos aprueban todos los cursos, entonces obtienen su bachillerato o su titulo. Tenemos las proposiciones:

p : “Los alumnos aprueban todos los cursos”q : “Obtienen su bachillerato”r : “Su titulo”

Se simboliza:p (q r)

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q r p (q r)

V V V V V V

V V F V V V

V F V V V V

V F F V F F

F V V F V V

F V F F V V

F F V F V V

F F F F V F

Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivoprincipal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, paratodas las posibles asignaciones de la tabla de verdad.

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q (p q) p q

V V V V V V V

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V F F V F

Tautología: Una expresión estautológica, cuando los valores desu conectivo principal resultanser verdaderos, para todas lasasignaciones posibles de la tablade verdad.

Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sinembargo sale el sol. Por tanto iremos a la playa.

Tenemos las proposiciones:p : “Sale el sol”

q : “Iremos a la playa”Se simboliza:

(p q) p q

La crisis mundial afecta a los países de bajos recursoseconómicos pero los analistas en economía buscansoluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a lospaíses de bajos recursos.

Tenemos las proposiciones:

p : “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos”

q : “Los analistas en economía buscan soluciones”

p : “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos”

(p q) p

Se simboliza:

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q (p q) p

V V V F F

V F F F F

F V F F V

F F F F V

Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción,cuando los valores de su conectivo principal resultan serfalsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla deverdad.

Ejercicios Aplicativos

1. No es cierto que no me guste estudiar

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.

3. Si los gatos de mi hermana no soltaran pelo, me gustaríaacariciarlos.

4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería quehay vida extraterrestre.

5. Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo queinvertir en minería es la mejor opción.

6. Cuando la producción de una empresa aumenta, en consecuenciaaumenta la productividad y en algunos casos la demanda.

7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempopara ello y no tengo que ir a trabajar al banco.

Formaliza las siguientes proposiciones:

SoluciónSolución (1):

p = Me gusta estudiarSe simboliza:

¬(¬p)Solución (2):

q = Me gusta bailarr = Me gusta leer libros de ciencia ficciónse

Se simboliza:q ∧ r

Solución (3):u = Los gatos de mi hermana sueltan pelot = Me gusta acariciar los gatos

Se simboliza:¬ u t

Solución (4):

p = Ver un marciano con mis propios ojosq = Creer en los extraterrestres

Se simboliza:p ⇔ q

Solución (5): q = Cajamarca es una ciudad minera por excelenciap = Invertir en minería es la mejor opción

Se simboliza:q p

Solución (6): p = Cuando la producción de una empresa aumentaq = Aumenta la productividad r = En algunos casos la demanda

Se simboliza: p(q ∧ r)

Solución (7): s = Prefiero ir de vacaciones t = Sin hacer nadap = Tener tiempo para elloq = Ir a trabajar al banco

Se simboliza:(p ∧ ¬ q ) (s v t )